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% Corrigé : Isabelle Faure
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Nord }}
\rfoot{\small{4 juin 2009}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. 

\begin{center}
\textbf{Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours}
\end{center}

%Au début de l'épidémie on constate que 0,01\:\% de la population est contaminé.

%Pour $t$ appartenant à [0~;~30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.

% On a donc $y(0) =  0,01$.

%On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0~;~30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
%\[ y'= 0,05y(10 - y).\] 
\begin{enumerate}
\item  %On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $z = \dfrac{1}{y}$. 

%Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions

Comme $y$ est dérivable sur $[0~;~ 30]$, $z$ aussi et $y' = - \dfrac{z'}{z^2}$ ; on va remplacer :

$\left\{\begin{array}{l c l} 	y(0)& =&0,01\\
y'&=& 0,05y(10 - y)\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l} 	z(0)& =&100\\
- \dfrac{z'}{z^2}&=& 0,05\dfrac{1}{z}(10 - \dfrac{1}{z})\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l} 
z(0)&=&100\\
z' &=& - 0,5z + 0,05\\\end{array} \right.$ 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$. 
		$z$ est donc solution d'une équation différentielle de la forme $z' = az + b$. Les solutions sont les fonctions définies sur $[0~;~30]$ par $z(x) =k \text{e}^{-0,5x}+0,1$ avec k réel. 
		
		$z(0) = 100 \Longleftrightarrow k \text{e}^{-0,5 \times 0}+0,1 = 100 \Longleftrightarrow k = 99,9$
		
		Ainsi, $z$ est définie par $z(x) = 99,9 \text{e}^{-0,5x}+0,1$
		
		Enfin, $y$ est définie par $y(x) = \dfrac{1}{99,9 \text{e}^{-0,5x}+0,1}$.
	\item %Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.
	On veut $y(30)$.
	
	$y(30) = \dfrac{1}{99,9 \text{e}^{-0,5 \times 30}+0,1} \approx 9,99$. Après 30 jours, 10\:\% de la population est infectée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip	
	 
\begin{center}\textbf{Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin}\end{center}

%\medskip

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip 

%Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92\:\% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10\:\% des individus sont malades.

%On choisit au hasard un individu dans cette population.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement « l'individu n'est pas vacciné et tombe malade » est égale à $0,08$. 
Notons $M$ l'évènement \og l'individu tombe malade \fg et $V$ \og l'individu est vacciné \fg.

On a $p(V) = 0,25$ ; $p_{V}\left(\overline{M}\right) = 0,92$ et $p(M) = 0,1$

\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}

\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{$0,25$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{$0,08$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{M}$}\tbput{$0,92$}
		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{V}$}\tbput{$0,75$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{M}$}\tbput{$$}
		}
}

&ET&

\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{$0,1$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$$}
		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{M}$}\tbput{$$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{$$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{M}$}\tbput{$$}
		}
}

\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

On veut $p(M \cap \overline{V})$.

$p(M \cap V) = p(V) p_{V}(M) = 0,25 \times 0,08 = 0,02$.

$p_{M}(V) = \dfrac{p(M \cap V)}{p(M)} = \dfrac{0,02}{0,1} = 0,2$

$p_{M}\left(\overline{V}\right) = 1 - p_{M}(V) = 0,8$

Enfin, $p\left(M \cap \overline{V}\right) = p(M) \times p_{M}\left(\overline{V}\right) = 0,1 \times 0,8 = 0,08$

\item %Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ? 

On cherche ici $p_{\overline{V}}(M)$ : $p_{\overline{V}}(M) = \dfrac{p\left(M \cap \overline{V}\right)}{p\left(\overline{V}\right)} = \dfrac{0,08}{0,75} = \dfrac{8}{75}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip 

%On supposera connus les résultats suivants : 

%Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
%\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b %u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{5mm}

%\medskip

%Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 
Voir le cours pour les détails, voici la démarche :

Par linéarité de l'intégrale (second rappel) :
$\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \Longleftrightarrow \displaystyle\int_{a}^b (f-g)(x)\:\text{d}x \leqslant 0$.

Or, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$, donc $f-g \leqslant 0$ et le premier rappel assure le résultat.

\newpage

\textbf{Partie B}

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 

%\[\left\{\begin{array}{l}
%u_{0} =\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ 
%\text{pour tout entier naturel}~ n~ \text{non nul},~ u_{n} = \int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\
%\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1.$
		$f$ est la composée de la fonction $x \longmapsto -x^2$, décroissante sur $[0~;~1]$, suivie de la fonction exponentielle croissante sur $\R$. $f$   est donc décroissante sur $[0~;~1]$.
		
\emph{On peut bien sur argumenter sur la dérivabilité de $f$ puis le signe de sa dérivée.}
	
On en déduit que, pour tout x de $[0~;~1]$, $f(1) \leqslant f(x) \leqslant f(0) \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1$.
		\item %En déduire que  $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$.
Par croissance de l'intégrale, on déduit de la question précédente :
	
$\int_{0}^1 \dfrac{1}{\text{e}} \:\text{d}x \leqslant \int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x \leqslant \int_{0}^1 1 \:\text{d}x \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$
	\end{enumerate} 
\item %Calculer $u_l$. 
$u_1 = \int_{0}^1 xf(x)  \:\text{d}x =  \int_{0}^1 x \text{e}^{-x^2} \:\text{d}x$

On pose $u(x) = - x^2$, ainsi $u'(x) = -2x$ et $(u' \text{e}^u)(x) = -2xf(x) \Longleftrightarrow xf(x)= - \dfrac{1}{2} u'(x) \text{e}^{u(x)}$.

On a donc : $ u_1 = \left[ - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x^2} \right]_0^1 = - \dfrac{1}{2 \text{e}} +  \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{\text{e}} \right).$

\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n}$. 
		Comme la fonction exponentielle est positive sur $\R$, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $x^n f(x) \geqslant 0$. Enfin, comme les bornes sont dans le bon ordre, par positivité de l'intégrale, on a bien le résultat.
	\item %Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	Pour tout $n$ dans $\N$, $u_{n+1} - u_n = \int_0^1 x^{n+1} f(x) - x^n f(x)  \:\text{d}x = \int_0^1 (x - 1) x^n f(x)  \:\text{d}x \leqslant 0$ car la fonction intégrée est clairement négative sur $[0~;~1]$. 
	
	La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
	\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
La suite	$\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $0$ donc elle converge.
	\end{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  \dfrac{1}{n+1}$. 
		
		D'après la question 1. a., pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $f(x) \leqslant 1$, par croissance de l'intégrale :
		
		$\int_0^1 x^n f(x) \:\text{d}x \leqslant \int_0^1 x^n \:\text{d}x \Longleftrightarrow \int_0^1 x^n f(x) \:\text{d}x \leqslant \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 \Longleftrightarrow \int_0^1 x^n f(x) \:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{n+1}$ 
	\item  %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	D'après les questions 3. a. et 4. a., on a $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n+1} = 0 $
	
	Avec le théorème des gendarmes la suite converge vers 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

% \medskip

%On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

\medskip


%\medskip

%On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

% L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère. 

$\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{2} \left( \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} \right)$, donc $I \left(0~;~\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right) $

$\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{2} \left( \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} \right)$, donc J$ \left(\dfrac{1}{2}~ ;~\dfrac{1}{2}~ ;~0 \right) $

Enfin, K est le milieu de [IJ], donc K$ \left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{4} \right)$

\item %Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
On a G(1~;~ 1~;~1), donc $\vect{\text{AG}} (1~;~1~;~1)$ et $\vect{\text{AK}} \left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{4} \right)$ 

Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc ils ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item % Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG). 
	Montrons que les trois points A, K et G sont équidistants de I et J.
	
	AI = AJ = $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$ (cube de côté 1). 
	
	KI = KJ car K est le milieu de [IJ].
	
	Le théorème de Pythagore appliqués aux triangles GHI rectangle en H et GCJ rectangle en C, permet de montrer que GI = GJ.
	
	Les trois points A, K et G sont équidistants de I et J, donc (AKG) est bien le plan médiateur de [IJ].
	\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). 
	Le vecteur $\vect{\text{IJ}} \left ( \dfrac{1}{2}~;~ 0~;~ - \dfrac{1}{2} \right)$ est donc normal à (AKG), une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : $\dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{2} z  + d = 0 \iff x - z  + 2d= 0$.
	
	Comme A $\in$ (AKG), les coordonnées de A vérifient cette équation, donc $d = 0$.
	
	Une équation de (AKG) est donc $x - z = 0$.
	\item %Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
	Les coordonnées de D(0 ; 1 ; 0) vérifient l'équation précédente, donc D $\in$ (AKG).
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.

%Soit L le centre du carré DCGH. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
		
		L $\left( \dfrac{1}{2}~;~ 1~;~ \dfrac{1}{2} \right)$, on en déduit les coordonnées du milieu de [AL] ; on trouve les coordonnées de K !

	\item% \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. }
	
Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectés de coefficients que l'on précisera.

On vient de montrer que K est le milieu de [AL], donc K $= \text{bar}\left\{(\text{A},~ 2), (\text{L},~ 2) \right\}$

Mais, L est aussi le milieu de [DG], donc  L = $\text{bar}\left\{(\text{D},~ 1), (\text{G},~  1) \right\}$

Par associativité du barycentre, on a donc  K$ = \text{bar}\left\{(\text{A},~ 2), (\text{D},~ 1), (\text{G},~ 1) \right\}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire} 
\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. 

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'un cas particulier}

\medskip 

%On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 

%On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$.

%La figure est donnée en annexe  (figure 1). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item % Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique. 
		$\dfrac{- a}{b - a} = \dfrac{ -1 - \text{i}\sqrt{3}}{- \sqrt{3} + \text{i}} = \dfrac{\left( -1 - \text{i}\sqrt{3} \right) \left(- \sqrt{3} - \text{i} \right)}{4} = \text{i}$
	\item  %En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.
	
On en déduit que $0 - a = \text{i} (b - a)$, donc, que le point O est l'image de B($b$) dans la rotation de centre A($a$) et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

Le triangle OAB est bien rectangle, isocèle en A.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$.
On utilise l'écriture complexe de la rotation $r~ :~ z'-0 = \text{e}^{\frac{2 \pi}{3}}(z-0)$.

$c = \text{e}^{\frac{2 \pi}{3}} a = \text{e}^{\frac{2 \pi}{3}} (1 + \text{i}\sqrt{3}) = \left( - \dfrac{1}{2} + \text{i} \frac{\sqrt{3}}{2} \right)(1 + \text{i}\sqrt{3}) = \dfrac{1}{2} \left( -1 - (\sqrt{3})^2 \right) = -2 $

\item 	
	\begin{enumerate} 
	\item %Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$.
	On peut se contenter de vérifier que les coordonnées de A et de C vérifient cette équation : 
	
	A$(1~;~ \sqrt{3})$ et C$(0~;~ -2)$.
	
	Pour A : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(1+ 2) = \sqrt{3}$. OK
	
	Pour C :  $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2) =  \dfrac{\sqrt{3}}{3}(-2+ 2) = 0$. OK
	
	A et C appartiennent à la droite d'équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$, c'est donc bien la droite (AC).
	\item %Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).
L'affixe du milieu E de [BD] est $z_{\text{E}} = \dfrac{b+d}{2} = \dfrac{1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i} -2 - 2\text{i}}{2} = $

$\dfrac{-1- \sqrt{3}}{2} +  \dfrac{-1+ \sqrt{3}}{2} \text{i}$	

Or, $\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x_{\text{E}}+ 2) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{-1- \sqrt{3}}{2} + 2\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{3- \sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} = y_{\text{E}}$. E est bien sur (AC). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude du cas général}

\medskip 

%Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$.

%On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$. 

%La figure est donnée en annexe  (figure 2). 

%L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu.


\begin{enumerate}
\item  %Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. 

$a' = a \text{e}^{\text{i} {\theta}}$ et $b' = b \text{e}^{\text{i} {\theta}}$.

\item %Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$].
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$.
$p = \dfrac{a + a'}{2} = \dfrac{1}{2} a \left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)$		

$q = \dfrac{b + b'}{2} = \dfrac{1}{2} b \left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)$		 

	\item %Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$. 
$\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{-\dfrac{1}{2} a\left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)}{ \dfrac{1}{2} b\left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right) - \dfrac{1}{2} a\left(1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}}\right)} = \dfrac{- a}{b - a}$	 en simplifiant par $\dfrac{1}{2} (1 + \text{e}^{\text{i} {\theta}})$
	\item %En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ). 
Or, d'après la question A 1. a., 	$\dfrac{- a}{b - a} = \text{i}$, donc $\dfrac{-p}{q - p} = \text{i} $.
Donc, $\left(\vect{\text{PQ}} ; \vect{\text{PO}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ [$2\pi$]

Les droites (OP) et (PQ) sont bien orthogonales.
	
	\item %Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA').
A$'$ est l'image de A dans une rotation de centre O, donc OA$'$ = OA et O est sur la médiatrice de (AA$'$).

Comme P est le milieu de [AA$'$], cette médiatrice est donc (OP).

Les deux droites (PQ) et (AA$'$) sont donc orthogonales à (OP) et passent par P, elles sont donc confondues et Q appartient bien à (AA$'$).
	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}


\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 

Soit $A$  l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation 
\[(E) : \quad  23x + 47y = 1\]
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$. 
		$(-2 ; 1)$ est une solution de $(E)$ car $-2 \times 23 + 1 \times 47 = 1$.
	\item %Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$. 
	$(x~;~ y)$ solution de $(E) \Rightarrow 23x + 47y = 1$
	
$\left\{\begin{array}{l c l} 	23x + 47y& =&1\\
-2 \times 23 + 1 \times 47&=& 1\\ \end{array} \right.\stackrel{\text{par soustraction}}{\Rightarrow} 23(x+2) + 47(y-1) = 0 \Rightarrow 23(x+2) = 47( 1-y)$
		
Donc $23$ divise $47(1-y)$, mais $47$ et $23$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, $23$ divise $1-y$.
	
Donc il existe un entier relatif $k$ tel que $1-y = 23k$ soit $y = 1 - 23k$
	
On a donc aussi, $23(x+2) = 47 \times 23k \Longleftrightarrow x = 47k - 2$
	
On vérifie que, réciproquement, pour tout entier relatif $k$, $(47k-2~;~1 - 23k)$ est bien solution de $(E)$.
	
L'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des couples $(47k-2~;~1 - 23k)$ où $k \in \Z$.	\item %En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv  1\quad  (47)$.
	
$23x \equiv  1\quad  (47) \Leftrightarrow $ il existe $y \in \Z$, $23x = 1 - 47y \Leftrightarrow $ il existe $k \in \Z$, $x = 47k - 2$ et $y = 1 - 23k$
	 
De plus $x \in A \Leftrightarrow 1 \leqslant 47k-2 \leqslant 46 \Leftrightarrow 3 \leqslant 47k \leqslant 48$.
	 
Or un seul multiple de 47 se trouve dans cet encadrement, c'est 47. Donc $k = 1$ et $x = 45$.
	 
Le seul entier  $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv  1\quad  (47)$ est $45$.
	\end{enumerate} 
\item  Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que si $ab \equiv 0 \quad  (47)$ alors $a \equiv 0 \quad  (47)$) ou $b \equiv 0 \quad (47)$.
	$ab \equiv 0 \quad  (47)	 \Leftrightarrow 47$ divise $ab$.
	
	Or 47 est un nombre premier, il apparait donc au moins dans l'une des deux décompositions de a ou de b. D'où le résultat.
	\item %En déduire que si $a^2 \equiv  1 \quad  (47)$ alors $a \equiv  1 \quad  (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad  (47)$.
$a^2 \equiv  1 \quad  (47) \Leftrightarrow a^2 - 1\equiv  0 \quad  (47) \Leftrightarrow (a - 1)(a + 1) \equiv  0 \quad  (47)  \stackrel{\text{2a}}{\Rightarrow} a-1 \equiv 0 \quad  (47)$ ou $a + 1 \equiv 0 \quad  (47) \cdots$
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.
Tout entier $p$ de $A$ est premier avec 47, donc le théorème de Bezout assure l'existence de $(q,~s)$ entiers relatifs tels que $qp + 47s = 1$.

On a alors $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.

%Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté $inv(p)$, appartenant à $A$ tel que 

%$p \times inv(p) \equiv  1 \quad  (47)$. 

%Par exemple : 

%$inv(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad  (47),~ inv(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv  1 \quad  (47),$

%$ inv(3) = 16$ car $3 \times 16=\equiv  1 \quad  (47)$. 
	\item %Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p = inv (p)$ ?
$p =$ \emph{inv}$(p) \Rightarrow p^2 \equiv 1 \quad (47) \stackrel{\text{2b}}{\Rightarrow} p \equiv -1 \quad  (47)$ ou $p \equiv 1 \quad  (47) \stackrel{p \in A}{\Rightarrow} p = 46 \text{ ou } p = 1$	

Réciproquement 1 et 46 conviennent bien.
	\item %Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$. 
	Pour tout entier p de A compris entre 2 et 45, il existe (d'après 3a) un entier de A \textbf{distinct} (d'après 3b) \emph{inv}$(p)$ tel que $p \times$ \emph{inv}$(p) \equiv  1 \quad  (47)$, donc  $45 ! \equiv 1 \quad (47)$. On en déduit $46 ! \equiv 46 \quad (47)$ soit enfin $46 ! \equiv -1 \quad (47)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}