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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\lfoot{\small{juin  2005}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique Nord~\decofourright\\24 juin 2005}} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le triangle ABC est \emph{rectangle et pas isocèle} car:
\begin{eqnarray*}
AB&=&|-3-\text{i}-(-2+3\text{i})| = |-1-4\text{i}| = \sqrt{17}\\
AC&=&|2,08+1,98\text{i}-(-2+3\text{i})| = |4,08-1,02\text{i}|=\sqrt{17,6868}\\
BC&=&|2,08+1,98\text{i}-(-3-\text{i})| = |5,08+2,98\text{i}|=\sqrt{34,6868}
\end{eqnarray*}
Alors $BC^2 = AB^2+AC^2$.
\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| = 1$  est \emph{ une droite}, c'est la médiatrice de [AB] avec A et B d'affixes: -2 et $4\text{i}$, car:

\begin{eqnarray*}
|z'|=1 & \iff & |\frac{z-4\text{i}}{z+2}|=1\\
&\iff & |z-4\text{i}|=|z+2|\\
&\iff & AM=BM
\end{eqnarray*}
\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ est un réel est : \emph{une droite privée du point d'affixe $-2$}.

En effet, en posant $z=x+\text{i}y$, on obtient:
\begin{eqnarray*}
z'&=&\frac{x+\text{i}y-4\text{i}}{x+\text{i}y+2}\\
&=&\frac{x+\text{i}(y-4)}{(x+2)+\text{i}y}\\
&=&\frac{(x+\text{i}(y-4))((x+2)-\text{i}y)}{(x+2)^2+y^2}\\
&=&\frac{x(x+2)+y(y-4)+\text{i}\left((y-4)(x+2)-xy\right)}{(x+2)^2+y^2}\\
&=&\frac{x(x+2)+y(y-4)+\text{i}\left(4x+2y+8\right)}{(x+2)^2+y^2}\\
\end{eqnarray*}
Or pour que $z'$ soit réel il faut que sa partie imaginaire soit nulle, donc $4x+2y+8=0$ avec $z\neq- 2$.

Comme de plus ce point d'affixe $- 2$ appartient à la droite d'équation $4x+2y+8 = 0$, alors CDFQ.
\item L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $-\frac{\pi}{3}$ est:
\begin{eqnarray*}
z&=&\text{e}^{-\frac{\pi}{3}}(z-z_D)+z_D\\
&=&\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+ \text{i}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(z-\text{i})+\text{i}\\
&=&\left(\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z-\text{i}\left(\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\text{i}\\
&=&\left(\frac12- \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12 \text{i}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ est une fraction rationnelle, donc dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition, et:

\[f'(x)= \dfrac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac1{(x+1)^2}>0\]

Donc $f$ est croissante sur [0~;~2], et comme $f$ est continue l'image de [1;2] par $f$ est\\  $[f(1)~;~f(2)]=[\frac32~;~\frac53] \subset [1~;~2]$, ainsi:

\[\mbox{ si } x \in [1~;~2] \mbox{ alors } f(x) \in [1~;~2].\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir le graphique.
		\item Soit $P_n$ la proposition de récurrence: $ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$.
		
\emph{Initialisation} : comme $v_0 = 2$ alors $P_0$ est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons $P_n$ vraie, alors $ 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$, donc 

$1 \leqslant f(v_{n}) \leqslant 2$, d'après la relation démontrée à la question 1.

Ainsi si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie

La proposition est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $n$ elle est vraie au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence  $P_n$ est vraie quel que soit le naturel $n$.

Ainsi pour tout entier naturel $n,~1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$.

Soit $Q_n$ la proposition de récurrence : $v_{n+1} \leqslant  v_{n}$.

Or $v_1=f(v_0)=f(2)=\frac53$ donc $v_1 \leqslant v_0$. Donc $Q_0$ est vraie.

Supposons $Q_n$ vraie, alors $v_{n+1} \leqslant  v_{n}$, mais $v_n$ et $v_{n+1}$ sont deux nombres de [0~;~2], donc comme $f$ est croissante sur [0~;~2], alors :

\[f(v_{n+1}) \leqslant f(v_{n}) \iff v_{n+2} \leqslant v_{n+1}\]

Donc $Q_{n+1}$ est vraie.

Ainsi, si $Q_n$ est vraie alors $Q_{n+1}$ est vraie, mais $Q_0$ est vraie, donc pour tout $n$, $Q_n$ est vraie.

Ainsi pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} \leqslant v_{n}$.

On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que :

Pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant u_{n}\leqslant  u_{n+1} \leqslant 2$.
		\item 
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}-u_{n+1}&=&\frac{2v_n+1}{v_n+1}-\frac{2u_n+1}{u_n+1}\\
&=&\frac{(2u_n+1)(v_n+1)-(2u_n+1)(v_n+1)}{(v_n+1)(u_n+1)}\\
&=&\frac{2u_nv_n+u_n+2v_n+1-2u_nv_n-2u_n-v_n-1}{(u_n+1)(v_n+1)}\\
&=&\frac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n}+ 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}
\end{eqnarray*}
Soit $R_n$ la relation de récurrence: $v_{n} - u_{n} \geqslant  0$\\
Or $v_0-u_0=2-=1$, donc $R_0$ est vraie.

Supposons $R_n$ vraie, alors $v_{n} - u_{n} \geqslant  0 $, mais:

\[v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{\overbrace{v_{n} - u_{n}}^{>0}}{\left(\underbrace{v_{n}+ 1}_{>0} \right)\left(\underbrace{u_{n} + 1}_{>0}\right)}.\]

Donc $v_{n+1}-u_{n+1}>0$.

Ainsi, si $R_n$ est vraie alors $R_{n+1}$ est vraie, mais $R_0$ est vraie, donc pour tout $n$, $R_n$ est vraie.

Ainsi pour tout entier naturel $v_{n} - u_{n} \geqslant  0$.

Comme $1 \leqslant u_n \leqslant 2$, alors $2\leqslant u_n + 1 \leqslant 3$ et $\frac13 \leqslant \frac1{u_n+1} \leqslant \frac12$.

De même, $\frac13 \leqslant \frac1{v_n+1} \leqslant \frac12$.

Or  

\[v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_{n} - u_{n}}{\left(v_{n}+ 1 \right)\left(u_{n} + 1\right)}\Rightarrow v_{n+1}-u_{n+1} \leqslant \frac{v_n-u_n}4.\]

\item En procédant par récurrence, on démontre que pour tout entier naturel $n$: 

\[v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n(\underbrace{v_0-u_0}_{=1})\]

\item Comme la suite $(u_n)$ est croissante ($u_n \leqslant u_{n+1}$) et majorée par 2, alors $u$ est convergente.

Comme la suite $(v_n)$ est décroissante ($v_n \geqslant v_{n+1}$) et minorée par 1, alors $v$ est convergente.

Comme $-1 < \frac14 < 1$, alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(\frac14 \right) ^n=0$

et  comme pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant  v_{n} - u_{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$,

alors d'après le théorème des gendarmes :

\[\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0 \underbrace{\iff}_{u~et~v~ \text{convergent}} \lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}u_n.\]

Donc les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent vers le même réel $\alpha$.

Comme $f$ est continue, $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u$ converge vers $\alpha$, alors:
\begin{eqnarray*}
\alpha=f(\alpha) &\iff & \alpha =\frac{2\alpha+1}{\alpha+1}\\
& \iff & \alpha(\alpha+1)=2\alpha+1\\
& \iff &\alpha^2-\alpha-1=0\\
& \iff & \alpha = \frac{1 \pm \sqrt{5}}2 
\end{eqnarray*}
Or comme $1 \leqslant u_n \leqslant 2$, $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $f(x) = (x - 1)\left(2 - \text{e}^{-x}\right)$ \\
$\left.\begin{aligned} & \lim_{x\to+\infty} x-1 = +\infty \\
&\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x} = 0 \text{ donc }
\lim_{x\to+\infty}2- \text{e}^{-x} = 2
\end{aligned}\right\}$
donc par produit, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)  = +\infty$.
		\item Comme $f(x)-(2x-2)=-\frac{(x-1)}{\text{e}^{x}}$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)-(2x-2)=0$.
		
Donc la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x -2$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
		\item Comme \begin{eqnarray*}
f(x)\leqslant 2x-2 &\iff& -\frac{(x-1)}{\text{e}^{x}}\leqslant 0\\
&\iff& -(x-1)\leqslant 0\\
&\iff& x\geqslant 1
            \end{eqnarray*}
Donc $\mathcal{C}$ est au-dessous de $\Delta$ sur $[1~;~ + \infty[$
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item 
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&1\times(2-\text{e}^{-x})+(x-1)\times \text{e}^{-x}\\
&=&2-\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}\\
&=&x\text{e}^{-x} +2\left(1 - \text{e}^{-x}\right)
\end{eqnarray*}
		\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $-x <0$ donc $\text{e}^{-x}<\text{e}^{0}\iff \text{e}^{-x}<1$\\
Ainsi si $x>0$, $1-\text{e}^{-x}>0$ et $x\text{e}^{-x}>0$, alors $f'(x)>0$.
		\item Tableau de variations de $f$:
	\end{enumerate}
\item Sur $[1 , 3]$ la droite $\Delta$ est située au-dessus de la courbe
$\mathcal{C}$. L'aire, en unité d'aire,  du domaine plan limité par la
courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x =
1$ et $x = 3$  est égal à  l'intégrale $I$ suivante :

$I = \displaystyle \int_{1}^{3}(2x-2 - f(x))\:\text{d}x
=\int_{1}^{3}(x-1)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$

On intègre $I$ par parties, en posant :
$\left\{\begin{array}{cc}
u'(x)=\text{e}^{-x}& u(x)=-\text{e}^{-x}\\
v(x)=x-1& v'(x)=1
\end{array}\right.$

$\displaystyle I = \left[(x-1)\times(-\text{e}^{-x})\right]_1^3 -
\int_{1}^{3}-\text{e}^{-x}\:\text{d}x = 
\left[-(x-1)\text{e}^{-x}\right]_1^3 - \left[\text{e}^{-x}\right]_1^3  = 
\left[-x\text{e}^{-x}\right]_1^3 = \text{e}^{-1} - 3\text{e}^{-3}$

Ainsi l'aire cherchée est en unités d'aire : $I = \text{e}^{-1} -
3\text{e}^{-3}$.

L'unité d'aire étant 4~cm$^2$, on a donc finalement :

\[I = 4\left(\text{e}^{-1} -3\text{e}^{-3} \right) \approx 0,87~\text{cm}^2\]

%L'aire, exprimée en unité d'aire,  du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$ est puisque $f$ est positive:\\
%\[\int_{1}^{3}(x-1)(2-\text{e}^{-x})\:\text{d}x=\int_{1}^{3}2(x-1)\:\text{d}x+\int_{1}^{3}(x-1)(-\text{e}^{-x})\:\text{d}x=\left[(x-1)^2\right]_1^3+\int_{1}^{3}(x-1)(-\text{e}^{-x})\:\text{d}x\]
%Ainsi l'aire cherchée est en unités d'aire: \[4+\int_{1}^{3}(x-1)(-\text{e}^{-x})\:\text{d}x\]
%Intégrons par parties cette dernière intégrale:
%\[
%\begin{array}{cc}
%u'=-\text{e}^{-x}& u=\text{e}^{-x}\\
%v=x-1& v'=1
%\end{array}
%\]
%\begin{eqnarray*}
%\int_{1}^{3}(x-1)(-\text{e}^{-x})\:\text{d}x&=&\left[(x-1)\text{e}^{-x}\right]_1^3-\int_1^3\text{e}^{-x}\:\text{d}x\\
%&=&2\text{e}^{-3}-\left[-\text{e}^{-x}\right]_1^3\\
%&=&2\text{e}^{-3}-\left(-\text{e}^{-3}+\text{e}^{-1}\right)\\
%&=&3\text{e}^{-3}-\text{e}^{-1}
%\end{eqnarray*}
%Ainsi l'aire est, en unités d'aire, $$4+3\text{e}^{-3}-\text{e}^{-1}$$ soit $$16(4+3\text{e}^{-3}-\text{e}^{-1})~\text{cm}^2$$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour déterminer le point A de $\mathcal{C}$ où la tangente à $\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$, il faut que les coefficients directeurs soient égaux, donc:
\begin{eqnarray*}
f'(x)=2&\iff& x\text{e}^{-x} +2\left(1 - \text{e}^{-x}\right)=2\\
&\iff& x\text{e}^{-x} -2\text{e}^{-x}=0\\
&\iff& \text{e}^{-x}(x-2)=0\\
&\iff& x=2
\end{eqnarray*}
Ainsi le point A de coordonnées $\left(2~;~2-\text{e}^{-2}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente à $\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$.
\item Comme la droite $\Delta$ a pour équation $2x-y-2=0$, alors la distance de A à $\Delta$ est :

\[\frac{|2\times2-(2-\text{e}^{2})-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{\text{e}^{-2}}{\sqrt{5}}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si le dé indique 1, alors la probabilité de gagner est de $\frac{4}{10}$. Donc :

\[p_{D_{1}}(G)=\frac{4}{10}.\]

Si le dé indique 2, alors la probabilité de gagner est de $\frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{2}{15}$. Donc  :

\[p_{D_{2}}(G)=\frac{2}{15}.\]

Si le dé indique 3, alors la probabilité de gagner est de $\frac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{30}$. Donc:

\[p_{D_{3}}(G)=\frac{1}{30}.\]

\item 
Comme $p(G) = p(G\cap D_1)+p(G\cap D_2)+ p(G\cap D_3) = $

$p(D_1)\times p_{D_{1}}(G)+p(D_2)\times p_{D_{2}}(G)+p(D_3)\times p_{D_{3}}(G)$,
alors  

\[p(G) = \dfrac{23}{180}.\]

	\end{enumerate}
\item Un joueur a gagné la partie. Alors la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé est 

\[p_{G}\left(D_{1}\right) = \frac{p(D_1\cap G)}{p(G)}=\frac{12}{23}.\]

\item Un joueur fait six parties. Comme il remet les boules tirées dans l'urne après chaque partie, les parties sont considérées comme indépendantes.

Désignons par $X$ la variable aléatoire désignant le nombre de parties gagnées sur 6 jouées. Alors puisque les parties sont indépendantes, on répète de manière indépendante la même expérience aléatoire (jouer une partie) à deux issues  (gagner ou perdre). Alors $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{23}{180}$.

Ainsi la probabilité qu'il gagne exactement deux parties est: 
$$P(X= 2) = \binom{6}{2}\left(\frac{23}{180}\right)^2\times \left(1-\frac{23}{180}\right)^4 \approx 0,14 $$

Pour déterminer le nombre minimal de parties qu'un joueur doit faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à 0,9, résolvons: 
\begin{eqnarray*}
P(X\geqslant1)\geqslant 0,9 &\iff&1-P(X<1)\geqslant 0,9\\
&\iff&1 - P(X=0)\geqslant 0,9\\
&\iff&1 - \left(1 -\frac{23}{180}\right)^n\geqslant 0,9\\
&\iff&\left(\frac{157}{180}\right)^n \leqslant 0,1\\
&\iff&\ln \left(\frac{157}{180}\right)^n \leqslant \ln 0,1\\
&\iff& n \ln \left(\frac{157}{180}\right) \leqslant \ln 0,1\\
&\iff& n  \geqslant \frac{\ln 0,1}{\ln \left(\frac{157}{180}\right)}\\
&\iff& n  \geqslant 16,8
\end{eqnarray*}
Ainsi, le nombre minimal cherché est $n=17$.
\end{enumerate}
Corrigé : Patrick Baril
\end{document} 