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%Tapuscrit : Denis Vergès  rectifié par Céline Galland (merci !)
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Amérique du Nord~\decofourright\\juin 2009}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

%\textbf{Exercice 1}
% 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
%
% Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d'entre elles est exacte. 
% 
%Chaque réponse donne un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
%
%\textbf{Pour chacune des 5 questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|>{\centering \arraybackslash}p{2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%	&&Réponse 1 &Réponse 2 &Réponse 3\\ \hline 
%1 	&$6 - 4 (x - 2)$ est égal à &$2x-4$ &$14-4x$ &$-2-4x$\\ \hline 
%2	& Quelle est l'expression factorisée de : $4x^2 - 12x + 9$& $(2x + 3)(2x - 3)$ &$(2x + 3)^2$& 
%$(2x - 3)^2$\\ \hline 
%3 	&Pour $x = -2$, l'expression $5x^2 + 2x - 3$ est égale à &13& $-27$ &17 \\ \hline
%4	& Le nombre 1 est solution de l'inéquation: &$4x- 3> 7$ &$-2x + 1 \leqslant  -3$ &$5x + 3 < 9$\\ \hline 
%5	&$\dfrac{4 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2}$  est égal à& \np{0,0000008}& $8 \times  10^{-6}$ &$0,8 \times 10^{-6}$ \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $6 - 4 (x - 2) = 6 - 4x + 8 = 14 - 4x$. Réponse 2.
\item $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$. Réponse 3.
\item $5\times (- 2)^2 + 2 \times (- 2) - 3 = 20 - 4 - 3 = 13$. Réponse 1.
\item $5 + 3 < 9$ est vraie. Réponse 3.
\item $\dfrac{4 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2} = 0,8 \times 10^{-3 - 2} = 0,8 \times 10^{-5} = 8 \times 10^{-6}$. Réponse 2.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}
 
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2} 
% 
%\multirow{4}{6cm}{On donne le programme de calcul suivant : }&Choisir un nombre\\
%	& Multiplier ce nombre par 4\\
%	& Ajouter 6 \\
%	&Écrire le résultat\\ \cline{2-2}
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
	\begin{enumerate}
		\item  %le nombre choisi est $1,2$ ; 
$1,2 \to 4 \times 1,2 = 4,8 \to 4,8 + 6 = 10,8$.		
		\item  %le nombre choisi est $x$.
$x \to 4 \times x \to 4x + 10$. 
	\end{enumerate}
\item %Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 15 ?
Il faut trouver un nombre $x$ tel que $4x + 10 = 15$, soit $4x = 5$ et enfin $x = \dfrac{5}{4} = 1,25$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires).
Par l'algorithme d'Euclide :

$186 = 155 \times 1 + 31$ ;

$155 = 31 \times 5 + 0$.

On a donc PGCD$(186~;~155) = 31$. 
\item %Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats.
 
%Les colis sont constitués ainsi : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Le nombre de pralines est le même dans chaque colis. 
%\item[$\bullet~$] Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis. 
%\item[$\bullet~$] Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ?
Il pourra faire au maximum 31 colis. 
		\item %Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ? 
		Comme $186 = 31 \times 6$ et $155 = 31 \times 5$, il y aura dans chacun des 31 colis, 6 chocolats et 5 pralines.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

%\emph{Les longueurs sont données en centimètres.}
%
%On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(16,5)
%\psline(0,1.4)(15,1.4)
%\psline(0,0)(14.8,4.2)
%\psline(1.4,0.42)(1.2,1.4) \psline(11.6,1.4)(11.2,3.2) \psline(14,1.4)(13.4,3.85)
%\uput[u](1.2,1.4){F} \uput[dr](1.4,0.42){G} \uput[d](4.9,1.4){O} \uput[ul](11.2,3.2){B} 
%\uput[dr](11.6,1.4){D} \uput[ul](13.2,3.8){C} \uput[d](14,1.4){E} 
%\end{pspicture}
%
%\medskip
%
%\emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. }
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer OE puis BD.
D'après la propriété de Thalès on a $\dfrac{\text{OB}}{\text{OC}}  = \dfrac{\text{OD}}{\text{OE}}$ ou encore $\dfrac{7,2}{10,8} = \dfrac{6}{\text{OE}}$ d'où $7,2\text{OE} = 6 \times 10,8$ et $\text{OE} = \dfrac{6 \times 10,8}{7,2} = 9$. OE $ = 9$~cm.

On a aussi $\dfrac{\text{OB}}{\text{OC}}  = \dfrac{\text{BD}}{\text{CE}}$, soit  $\dfrac{7,2}{10,8} = \dfrac{\text{BD}}{5,1}$, d'où $\text{BD} =\dfrac{7,2 \times 5,1}{10,8} = 3,4$. Donc BD $ = 3,4$~cm.
\item  %On donne OG = 2,4 et OF = 2.
 
%Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{OF}}{\text{OD}} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

$\dfrac{\text{OG}}{\text{OB}} = \dfrac{2,4}{7,2} = \dfrac{1}{3}$.

Donc $\dfrac{\text{OF}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{OG}}{\text{OB}}$, soit d'après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (FG) et (BD) sont parallèles.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}
 
\medskip

%\parbox{0.52\linewidth}{On donne BD = 4 cm; BA = 6 cm et \mbox{$\widehat{\text{DBC}}= 60\degres$}.
% 
%\emph{On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. }
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que BC = 8~cm. 
%\item Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. 
%\item Calculer AC.  
%\item Quelle est la valeur de $\tan \widehat{\text{BAC}}$ ? 
%\item En déduire la valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{BAC}}$.
%\end{enumerate} }\hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(7.5,6.5)
%\pspolygon(4.8,0)(7.3,2.05)(0,6.4)(4.8,0)(0,0)(0,6.4)
%\rput{36}(4.8,0){\psframe(0.3,0.3)}
% \psarc(4.8,0){4mm}{123}{180}\rput(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
%\uput[dr](7.3,2.05){A} \uput[d](4.8,0){B} \uput[l](0,6.4){C} \uput[d](0,0){D} 
%\uput[d](2.4,0){4 cm} \uput[dr](6.15,1.025){6 cm} \uput[ul](4,0){60\degres} 
%\end{pspicture}
%}
\begin{enumerate}
\item Dans BCD rectangle en D, on a $\cos \widehat{\text{CBD}} = \dfrac{\text{DB}}{\text{BC}}$ d'où $\text{BC} = \dfrac{\text{DB}}{\cos \widehat{\text{CBD}}} = \dfrac{4}{\frac{1}{2}} = 8$~cm.
\item Dans BCD rectangle en D le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{BC}^2 = \text{DB}^2 + \text{DC}^2$ soit $\text{DC}^2 = \text{BC}^2 - \text{DB}^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$. Donc DC $ = \sqrt{48} = \sqrt{16\times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$~cm.
\item Toujours avec le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :

$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$, donc AC $ = 10$~cm.
\item Dans ABC rectangle en B, $\tan\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{BA}} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$.
\item La calculatrice donne à partir de la tangente $\widehat{\text{BAC}} \approx 53,1$, donc $\widehat{\text{BAC}} \approx 53$\degres au degré près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 12 points}

\medskip
 
%On considère la figure ci-dessous où les dimensions sont données en cm et les aires en cm$^2$.
%
%ABCD est un rectangle.
%  
%Le triangle DCF est rectangle en D. 
%
%\medskip
%
%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(6,9.5)
%\psline(1,6.7)(1,0)(5.8,6.7)
%\psframe(1,6.7)(5.8,8.9)
%\psline[linestyle=dotted]{<->}(0.8,0)(0.8,6.8)\uput[l](0.8,3.4){$x$}
%\psline[linestyle=dotted]{<->}(0.2,0)(0.2,8.9)\uput[l](0.2,4.45){$6$}
%\psline[linestyle=dotted]{<->}(1,9)(5.8,9)\uput[u](3.7,8.9){$4$}
%\uput[ul](1.6,8.9){A} \uput[ur](5.8,8.9){B} \uput[dr](5.8,6.7){C} \uput[ul](1.6,6.7){D} \uput[d](1,0){F} 
%\end{pspicture}} \hfill \parbox{0.56\linewidth}{\textbf{Partie  A}
\begin{enumerate}
\item %Dans cette question on a AB = 4 ;  AF~=~6 et DF = 2 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'aire du rectangle ABCD.
AD = AF $-$ DF = 6 - 2 = 4 = AB ; ABCD est donc un carré de côté 4 donc d'aire $4^2 = 16$~cm$^2$. 
		\item %Calculer l'aire du triangle DCF.
On a $\mathcal{A}_{\text{DCF}} = \dfrac{\text{DC} \times\text{DF}}{2} = \dfac{4 \times 2}{2} = 4$~cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\item  %Dans la suite du problème AB = 4 ; AF~=~6 ; DF $=x$ et AD = $6 - x$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'aire du rectangle ABCD est de $24 - 4x$.
$\mathcal{A}_{\text{ABCD}}  = \text{AB} \times\text{AD} = 4(6 - x) = 24 - 4x$. 
		\item %Montrer que l'aire du triangle DCF est $2x$.
$\mathcal{A}_{\text{DCF}} = \dfrac{\text{DC} \times\text{DF}}{2} =  \dfac{4 \times x}{2} = 2x$.
		\item %Résoudre l'équation $24 - 4x = 2x$. 
$24 - 4x = 2x$, donc $24 = 6x$ ou $4 = x$.
	
%Pour quelle valeur de $x$, l'aire du rectangle ABCD est-elle égale à l'aire du triangle DCF ?
L'aire du rectangle ABCD est égale à l'aire du triangle DCF lorsque $x = 4$~cm.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On note $f$ la fonction définie par : $f(x) = 24 - 4x$ et $g$ la fonction définie par : $g(x) = 2x$.
 
%Compléter le tableau figurant sur le document \textbf{annexe}, puis représenter graphiquement la fonction $f$ sur le document annexe (à rendre avec la copie) sur lequel figure la représentation graphique $(\mathcal{G})$ de la fonction $g$. 
Voir l'annexe
\item  %Par lecture graphique, déterminer pour quelle valeur de $x$ l' aire de DCF est égale à 6~cm$^2$.
On lit que l'aire de DCF est égale à 6 lorsque $x = 4,5$ 
\item  %Par lecture graphique, déterminer l'aire de ABCD pour $x = 2,5$~cm.
Pour $x = 2,5$, on lit que l'aire de ABCD est égale à 5~cm$^2$. 
\item  Par lecture graphique, retrouver le résultat de la question 2. c. de la partie A. 
On lit que les aires sont égales pour $x = 4$.
\medskip

%Pour les questions 2.,  3. et 4. on laissera apparents les traits nécessaires sur le graphique. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Problème}

\medskip

\textbf{Partie B 1.} \end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$				&0	&1	&5\\ \hline
$f(x) = 24 - 4x$&24	&20	&4\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.2)(9,27.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(8.5,27)
\multido{\n=0.5+1.0}{9}{\psline(\n,0)(\n,27)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(9,27)
\uput[d](8.5,0){$x$} \uput[l](0,27){$y$}\uput[dl](0,0){O}
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](8,17) 
\uput[u](6,13){$(\mathcal{G})$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{6}{24 4 x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{2 x mul}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](4,0)(4,8)(0,8)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](2.5,0)(2.5,5)(0,5)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,6)(4.5,6)(4.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}