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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mai 2011}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S~\decofourright\\Amérique du Nord 27 mai 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On considère les points A et B d'affixes respectives : $a = \text{i}$ et $b = 1 + \text{i}$.
% 
%On note : $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_{\text{O}}$ la  rotation de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. 

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A }
\end{center}

%On considère le point C d'affixe $c = 3\text{i}$. On appelle D l'image de C par $r_{\text{A}}$, G l'image de D par $r_{\text{B}}$ et H l'image de C par $r_{\text{O}}$.
% 
%On note $d, g$ et $h$ les affixes respectives des points D, G et H.
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $d = -2+ \text{i}$.
Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$, son image $M'$ par $r_{\text{A}}$ a une affixe $z'$ définie par : $z' -  \text{i} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z - \text{i})$ ou encore : $z' - \text{i} = i(z  - \text{i}) \iff z' = \text{i} + \text{i}z + 1 \iff z' = \text{i}z + 1 + \text{i}$.

D étant l'image de C $r_{\text{A}}$, on a donc :
$d = \text{i}(3\text{i}) + 1 + \text{i} = - 3 + 1 + \text{i} = - 2 + \text{i}$.
\item %Déterminer $g$ et $h$.
De même, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$, son image $M'$ par $r_{\text{B}}$ a une affixe $z'$ définie par : $z' - (1 +  \text{i}) = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z - 1 - \text{i}) \iff z' = 1 + \text{i} + \text{i}(z - 1 - \text{i}) \iff z' = 1 + \text{i} + \text{i}z - \text{i} + 1 \iff z' = \text{i}z + 2$.
Donc $g = \text{i}( - 2 + \text{i}) + 2 = - 2\text{i} - 1 + 2 = 1 - 2\text{i}$.

Enfin  pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$, son image $M'$ par $r_{\text{O}}$ a une affixe $z'$ définie par : 

$z'  = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}z = - \text{i}z$.
Donc $h = - \text{i}(3\text{i}) = 3$.
\item %Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.
On a $d - c = - 2 + \text{i} - 3\text{i} = - 2 - 2\text{i}$ et 
$g - h =  1 - 2\text{i} - 3 = - 2  - 2\text{i}$.

Or $d - c = g - h \iff \vect{\text{CD}} = \vect{\text{HG}} \iff $ CDGH est un parallélogramme.

De plus $g - c = 1 - 2\text{i} - 3\text{i} = 1 - 5\text{i}$, donc CG$^2 = 1 + 25 = 26$ et 

$h - d = 3 - ( - 2 + \text{i}) = 5 + \text{i}$, donc DH$^2 = 25 + 1 = 26$.

On a donc CG$^2$ = DH$^2 \iff $ CG = DH.

Conclusion : le parallélogramme CDGH a ses diagonales de même longueur : c'est un rectangle. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
 
%On considère un point $M$, distinct de O et de A, d'affixe $m$. On appelle $N$ l'image de $M$ par $r_{\text{A}}$,  $P$ l'image de $N$ par $r_{\text{B}}$ et $Q$ l'image de $M$ par $r_{\text{O}}$.
% 
%On note $n, p$ et $q$ les affixes respectives des points $N,\, P$ et $Q$. 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $n = \text{i}m + 1 + \text{i}$. On admettra que $p = -m + 1+\text{i}$ et $q = -\text{i}m$.
En reprenant les définitions des rotations trouvées dans la partie A, on a :
$n = \text{i}m + 1 + \text{i}$.

De même : $p = \text{i}n + 2 = \text{i}(\text{i}m + 1 + \text{i}) + 2 = - m + \text{i} -1  + 2 = - m + 1 + \text{i}$.

Enfin $q = -\text{i}m$.
\item %Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
D'une part : $n - m = \text{i}m + 1 + \text{i} - m = m(\text{i} - 1) + 1 + \text{i}$, d'autre part :

$p - q = - m + 1 + \text{i} - (-\text{i}m) = m(\text{i} - 1) + 1 + \text{i}$.

Donc $n - m = p - q \iff MNPQ$ est un parallélogramme 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer l'égalité : $\dfrac{m - n}{p - n} = \text{i}  + \dfrac{1}{m}$.
$\dfrac{m - n}{p - n} = \dfrac{m - (\text{i}m + 1 + \text{i})}{- m + 1 + \text{i} - (\text{i}m + 1 + \text{i})} = \dfrac{m(1 - \text{i}) - 1 - \text{i}}{m(-\text{i} - 1)} = \dfrac{[m(1 - \text{i}) - 1 - \text{i}](- 1 + \text{i})}{m(-\text{i} - 1)(\text{i} - 1)}  = \dfrac{2m\text{i} + 2}{2m} = \dfrac{m\text{i} + 1}{m} = \text{i} + \dfrac{1}{m}$ (car $M \neq \text{O} \Rightarrow m \neq 0$).
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que le quadrilatère $MNPQ$ soit un rectangle.
$MNPQ$ est un rectangle si et seulement si $\left(\vect{NP},\,\vect{NM}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad \mod \pi) \iff \dfrac{m - n}{p - n}$ est un imaginaire pur.

Donc comme $\text{i} + \dfrac{1}{m}$ ne peut être un imaginaire que si $\dfrac{1}{m}$ est un imaginaire, c'est-\`a-dire si $m$ est un imaginaire, $MNPQ$ est un rectangle si et seulement si $m = \alpha \text{i}$, avec $\alpha \neq 0$ et $\alpha \neq 1$, puisque $M$ ne peut être ni  O ni en A.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center} 
%Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.
% 
%On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
% 
%Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?
Puisque tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis la probabilité est égale à:

$\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{25}{2}} = \dfrac{\dfrac{3!}{2!}}{\dfrac{25!}{2! \times 23!}} = \dfrac{3}{25 \times 12} = \dfrac{1}{100} = 0,01$.
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
 
%La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
% 
%Ainsi, pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à $t$ années, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par : $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $\lambda$ sachant que $p(X > 5) = 0,4$.
On a $p(X > 5)  = 1 - p(X \leqslant 5)$. Donc :

$p(X > 5) = 0,4 \iff 1 - p(X \leqslant 5) = 0,4 \iff 0,6 = p(X \leqslant 5) \iff 0,6 =  \displaystyle\int_{0}^5 \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x \iff 0,6 = \left[- \text{e}^{-\lambda x} \right]_{0}^5  \iff 0,6 = -  \text{e}^{-5\lambda } + 1 \iff  \text{e}^{-5\lambda } = 0,4 \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $-5\lambda = \ln 0,4 \iff \lambda = \dfrac{\ln 0,4}{-5}$.

Or $\dfrac{\ln 0,4}{-5} \approx 0,183$ à$10^{-3}$ près. 
\item %Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,18$.
 
%Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?
Il faut calculer : $p_{(X >3)}(X > 5) = \dfrac{p(X > 5)}{p(X > 3)} = \dfrac{\text{e}^{-5\lambda}}{\text{e}^{-3\lambda}} = \text{e}^{-2\lambda}  = \text{e}^{-0,36} \approx 0,698$.
\item %Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que $p(X > 5) = 0,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item %On considère un lot de 10 ordinateurs.
		 
%Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.
On fait 10 fois le même tirage de façon indépendante. On a donc une loi binomiale de paramètre 10 et $0,4$. La probabilité cherché est donc le complément à $1$ de la probabilité de n'avoir aucun ordinateur en état de marche soit :

$1 - (0,6)^{10} \approx 0,994$~à$10^{-3}$ près.
		\item %Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement \og l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans \fg{} soit supérieure à $0,999$ ?
Avec $n$ ordinateurs on a à résoudre l'inéquation :

$1 - 0,6^n \geqslant 0,999 \iff 0,001 \geqslant 0,6^n \iff \ln 0,001 \geqslant n \ln 0,6 \iff $

$n \geqslant \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,6}$.
Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,6} \approx 13,5$. 

Le nombre minimal est donc 14 ordinateurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
%On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels $a, b$ et $c$ de somme non nulle.
% 
%Démontrer que, pour tout réel $k$ strictement positif, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| = k$ est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$.
Comme $a + b + c \neq 0$ le barycentre G de A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$ et vérifie :

$a\vect{\text{GA}} + b\vect{\text{GB}} + c\vect{\text{GC}} = \vect{0}$. On a donc grâce à la relation de Chasles :

$\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| = k \iff \|a \vect{M\text{G}} + a \vect{\text{GA}} + b \vect{M\text{G}} + b \vect{\text{GB}} + c \vect{M\text{G}} + c \vect{\text{GC}}  \| = k \iff $

$\left\|\underbrace{a\vect{\text{GA}} + b\vect{\text{GB}} + c\vect{\text{GC}}}_{= \vect{0}} + (a + b + c)\vect{M\text{G}}  \right\| = k \iff |a + b + c| \left\|\vect{M\text{G}} \right\| = k \iff \text{G}M = \dfrac{k}{|a + b + c| }$.

Cette dernière égalité montre que tous les points $M$ sont à la distance $\dfrac{k}{|a + b + c| }$ du point G, donc appartiennent à la  sphère de centre G et de rayon $\dfrac{k}{|a + b + c| }$.
 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B}
\end{center}

%On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.
%
%Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.
% 
%L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\,\vect{\text{AE}}\right)$.
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~0~;~1)$ est un vecteur normal au plan (BCE).
On a $\vect{\text{BC}}(0~;~1~;~0), \quad     \vect{\text{BE}}(- 1~;~0~;~1)$ d'o\`u $\vect{n}  \cdot  \vect{\text{BC}} = 0 + 0 + 0 = 0$ et   $\vect{n}  \cdot  \vect{\text{BE}} = 0 + 0 + 0 = 0$. 

Comme  $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{BE}}$ ne sont pas colinéaires, on déduit que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (BCE).
\item %Déterminer une équation du plan (BCE).
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{BCE}) \iff \vect{n} \cdot \vect{\text{B}M} = 0 \iff 1(x - 1) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \iff x + z - 1 = 0$. 
\item %On note $(\Delta)$ la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).
La droite $(\Delta)$ étant perpendiculaire  au plan (BCE) admet pour vecteur directeur $\vect{n}$ et contient E.

Une des équations paramétriques est donc :

$M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) \iff \, \text{il existe } t \in \R$ tel que $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0 + t\\
y&=&0 + 0t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y&=&0\\
z&=&1 + t
\end{array}\right.\, t \in \R$
%Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$. 
\item %Démontrer que la droite $(\Delta)$ est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.
Le plan (ABC) a pour équation $z = 0$. Un point est commun à$(\Delta)$ et à(ABC) si ses coordonnées vérifient le système :

$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y&=&0\\
z&=&1 + t\\
z&=&0
\end{array}\right.\, t \in \R \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\
y&=&0\\
- 1&=& t\\
z&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 1\\
y&=&0\\
- 1&=& t\\
z&=&0
\end{array}\right.$

Il y a donc un seul point commun le point R de coordonnées $(- 1~;~0~;~0)$.

Or le milieu de [BR] a	 pour coordonnées $\left(\frac{1 - 1}{2}~ ;~\frac{0 + 0}{2}~ ;\frac{0 + 0}{2}\right) = (0~;~0~;~0)$ : c'est le point A. Donc R est le symétrique de B par rapport à A. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs $1,\, -1$ et $2$.
Soit $G$ le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs $1,\, -1$ et $2$ : ce barycentre existe puisque $1 - 1 + 2 \neq 0$ et vérifie donc par définition :

$-\vect{G\text{R}} - 1\vect{G\text{B}}  +  2\vect{G\text{C}} = \vect{0}$.

Les coordonnées de $G$ sont donc :

$x_{G} = \dfrac{1x_{\text{R}} - x_{\text{B}} + 2x_{\text{C}}}{2} = 0$ ; 
$y_{G} = \dfrac{1y_{\text{R}} - y_{\text{B}} + 2y_{\text{C}}}{2} = 1$ ;
$z_{G} = \dfrac{1z_{\text{R}} - z_{\text{B}} + 2z_{\text{C}}}{2} = 0$.

Ces coordonnées sont en fait celles du point D. 
		\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que $\| \vect{M\text{R}} - \vect{M\text{B}} + 2 \vect{M\text{C}}\| = 2\sqrt{2} $.
		Comme D est le barycentre de R, B et C affectés des coefficients respectifs $1,\, -1$ et $2$, on a donc par définition :
		
$1\vect{\text{DR}}   - 1\vect{\text{DB}}   + 2\vect{\text{DC}} = \vect{0}$.

En utilisant la relation de Chasles :

$\| \vect{M\text{R}} - \vect{M\text{B}} + 2 \vect{M\text{C}}\| = 2\sqrt{2}  \iff \| \vect{M\text{D}} + \vect{\text{DR}} - \vect{M\text{D}} - \vect{\text{DB}} + 2 \vect{M\text{D}} + 2\vect{\text{DC}}\| = 2\sqrt{2} \iff $

$\|\underbrace{\vect{\text{DR}} - \vect{\text{DB}} + 2\vect{\text{DC}}}_{= \vect{0}} + \vect{M\text{D}}  - \vect{M\text{D}}  + 2 \vect{M\text{D}} \| = 2\sqrt{2} \iff \|2\vect{M\text{D}}  \| = 2\sqrt{2} \iff \text{D}M = \sqrt{2}$ : les points $M$ appartiennent donc \`a, la sphère de centre D et de rayon $\sqrt{2}$.

\textbf{Rem. :  on aurait utiliser directement le résultat de la R. O. C.} 
		\item %Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble $(S)$.
On a DB$^2 = 1 + 1 = 2$, DE$^2 = 1 + 1 = 2$ et DG$^2 = 1 +1 = 2$, d'o\`u DB = DE = DG $ = \sqrt{2}$, ce qui démontre que  B, E et G appartiennent à l'ensemble $(S)$.
		\item %Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble $(S)$ est un cercle dont on précisera le rayon.
Calculons la distance du centre de la sphère au plan (BCE) :

$d(\text{D},\,(\text{BCE})) = \dfrac{|0 + 0 - 1}{1^2 + 1^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2}$.
Cette distance étant inférieure au rayon de la sphère, ceci démontre que $(S)$ et (BCE) sont sécants selon un cercle, dont le centre est le projeté orthogonal de D sur le plan (BCE) et son rayon $r$ vérifie l'égalité de Pythagore

 $r^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 \iff r^2 + \dfrac{1}{2} = 2 \iff r^2 = \dfrac{3}{2} \iff r = \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psline(0.4,4)(0.4,0.6)(4,0)(5.3,1.5)(5.3,5)(4,3.5)(0.4,4)(1.7,5.5)(5.3,5)%EABCGFEHG
\psline(4,0)(4,3.5)
\uput[ul](0.4,4){E} \uput[dl](0.4,0.6){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[r](5.3,1.5){C} 
\uput[ur](5.3,5){G} \uput[ul](4,3.5){F} \uput[u](1.7,5.5){H} \uput[ul](1.7,2.1){D} 
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(1.7,2.1)(1.7,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(5.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A :  Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
%Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Soient $a,\, b$ et $c$ trois entiers non nuls ; supposons que $a$ divise le produit $bc$ et que $a$ et $b$ soient premiers entre eux.

\medskip

Il existe donc un entier $k$ tel que $bc = ka$.
D'autre part puisque $a$ et $b$ soient premiers entre eux, il existe d'après le théorème de Bezout deux entiers $u$ et $v$ tels que : $au + bv = 1$ ou en multipliant par $c$ non nul :

$acu + bcv = c$ et en remplaçant $bc$ par $ka$ :

$acu + kav = c \iff a(cu + kv) = c$.

Cette égalité montre que $a$ divise $c$. 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B}
\end{center}

%On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
% 
%\og Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors 
%
%$q^{p - 1} \equiv 1 \quad (\text{modulo}\, p)$ \fg.
% 
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 
%
%\[u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les six premiers termes de la suite.
On calcule : $u_{1} = 2 + 3 + 6 - 1 = 10$ ;

$u_{2} = 4 + 9 + 36 - 1 = 48$ ;

$u_{3} = 8 + 27 + 216 - 1 = 250$ ;

$u_{4} =  16 + 81 + \np{1296} - 1 = \np{1392}$ ;

$u_{5} = 32 + 243 + \np{7776} - 1 = \np{8050}$ ;

$u_{6} = 64 + 729 + \np{46656} - 1 = \np{47448}$.
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair. 
On a : $2 \equiv 0 \mod 2 \Rightarrow 2^n \equiv 0 \mod 2$ ;

$3 \equiv 1 \mod 2 \Rightarrow 3^n \equiv 1 \mod 2$  ;

$6 \equiv 0 \mod 2 \Rightarrow 6^n \equiv 0 \mod 2$.

Donc $u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1 \equiv 0 + 1 + 0 - 1 \equiv 0 \mod 2$ ; 
$u_{n}$ est donc pair.

Ou encore $2^n$ et $6^n$ sont pairs ; $3^n$ et 1 sont impairs, donc leur différence est paire et par somme $u_{n}$ est pair.
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par~4.
$n$ est pair : il existe donc $k \in \N^{*}$ tel que $n = 2k$.

On peut donc écrire : $u_{n} = u_{2k} = 2^{2k} + 3^{2k} + 6^{2k} - 1 = 4^k + 9^k + 2^{2k}\times 3^{2k} - 1 = 4^k + 4^k \times 9^k +  9^k - 1$.

Comme $4 \equiv 0 \mod 4,\, 4^k \equiv 0 \mod 4$ ;
$4^k \times 9^k \equiv 0 \mod 4$ ; 

$9 \equiv 1 \mod 4$, donc $9^k \equiv 1 \mod 4$, d'où par somme :
$u_{2k} \equiv 0 + 0 + 1 - 1 = 0 \mod 4$, c'est-à-dire que $u_{2k}$ est un multiple de 4.

%On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item %Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ? 
On a vu que 2 divise $u_{1}$, que 3 divise $u_{2}$, que 5 divise $u_{3}$ et 7 divise $u_{5}$.

Donc 2, 3, 5 et 7 appartiennent à l'ensemble (E)
\item %Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que : $6 \times 2^{p-2} \equiv 3\quad  (\text{modulo}\, p)$ et $6 \times 3^{p-2} \equiv  2 \quad (\text{modulo}\, p)$.
D'après le théorème de Fermat, 2 étant premier avec $p$, on a $2^{p-1} \equiv 1 \mod p$.

Donc $6 \times 2^{p - 2} =  3 \times 2^{p - 1} \iff 3 \mod p$.

D'autre part 3 étant premier avec $p,\, 3^{p-1} \equiv 1 \mod p$.

Donc $6 \times 3^{p - 2} = 2 \times 3^{p - 1} \equiv 2 \mod p$. 
		\item %En déduire que $6u_{p-2} \equiv 0 \quad (\text{modulo}\, p)$.
Par définition : $6u_{p-2} = 6\left(2^{p-2}  + 3^{p-2}
 + 6^{p-2}	 - 1\right) =$
 $6 \times 2^{p-2} + 6\times 3^{p-2} + 6^{p-1} - 6$.
 
On a vu que $6 \times 2^{p-2} \equiv 3 \mod p$, que $6\times 3^{p-2} \equiv 2 \mod p$ et on a $6^{p - 1} \equiv 1 \mod p$ car p premier avec 2 et 3 est premier avec 6.

Donc $6 \times u_{p - 2} \equiv 3 + 2 + 1 - 6 \mod p$ soit $6 \times u_{p - 2} \equiv 0 \mod p$.
 
 		\item %Le nombre $p$ appartient-il à l'ensemble (E) ?
On vient de démontrer que $6 \times u_{p - 2} \equiv 0 \mod p$ : donc $p$ divise

$6 \times u_{p - 2}$, mais $p$ et 6 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss $p$ divise $u_{p-2}$.

Conclusion : tout entier $p$ premier appartient à l'ensemble (E)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
%On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

%\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $g$.
$g$ somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ est dérivable  et sur cet intervalle :

$g^{\prime}(x) = \text{e}^x  - 1$.

$g^{\prime}(0) = 0$ et pour tout réel $x \in [0~;~+ \infty[,\:g^{\prime}(x) \geqslant 0$ par stricte croissance de la fonction exponentielle ($x > 0 \Rightarrow \text{e}^x > \text{e}^0 > 1$).

Conclusion : $g^{\prime}(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~+ \infty[$, la dérivée ne s'annulant qu'en $0$ donc la fonction $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.

La fonction étant strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$, on a, quel que soit $x,\: g(x) \geqslant g(0)$, donc $g(x) \geqslant 0$. 
\item %En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$.
On vient de démontrer que pour tout réel de l'intervalle $[0~;~+ \infty[,$

$g(x) \geqslant 0 \iff \text{e}^x - x - 1 \geqslant 0 \iff \text{e}^x - x   \geqslant 1$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
%On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

%\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
%Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

%On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$.
On a $f(0) = \dfrac{1 - 1}{1} = 0$ et $f(1) = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e} - 1} = 1$.

Comme la fonction $f$ est croissante sur [0~;~1], $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow$

$f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1) \iff 0 \leqslant f(x) \leqslant 1$.
\item %Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$.
$f(x) - x = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x} - x = \dfrac{\text{e}^x - 1 - x\text{e}^x + x^2}{\text{e}^x - x} = \dfrac{\text{e}^x(1 - x) + x^2 - 1}{\text{e}^x - x} =$

$\dfrac{\text{e}^x(1 - x) + (x + 1)(x - 1)}{\text{e}^x - x} = \dfrac{\text{e}^x(1 - x) - (x + 1)(1 - x)}{\text{e}^x - x} = \dfrac{(1 - x)\left(\text{e}^x - x - 1\right)}{\text{e}^x - x} = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. 
		\item %Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
La position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1] est donnée par le signe de la différence précédente : $f(x) - x$.
Or on a vu sur [0~;~1], $g(x) \geqslant 0$ et $\text{e}^x - x \geqslant 1 > 0$. Comme de plus $1 - x > 0$, tous les termes du quotient sont positifs, donc $f(x) - x \geqslant 0$, ce qui signifie que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de la droite (D). 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1].
En posant : $u(x) = \text{e}^x - x$, $u$ est dérivable sur [0~;~1] et $u'(x) = \text{e}^x - 1$, donc $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

On reconnaît la dérivée de la fonction $\ln |u(x)|$, mais comme on a vu que 

$u(x) = \text{e}^x - x \geqslant 1 > 0, |u(x)| = u(x)$.

Conclusion : une primitive sur [0~;~1] de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = \ln \left(\text{e}^x - x\right)$.  
		\item %Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (CD) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
On a vu que sur [0~;~1], la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de la droite (D), donc l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^1 [f(x) - x]\:\text{d}x \left[F(x) - \dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^1 = F(1) - \dfrac{1}{2} - F(0) =
\ln \left(\text{e}^1 - 1\right) - \dfrac{1}{2} -  \left[\ln \left(\text{e}^0 - 0\right)\right] =\ln (\text{e} - 1) - \dfrac{1}{2}$.~(u. a.)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie C}
\end{center}

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
%u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
%\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
Voir plus bas. 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
\emph{Initialisation} : $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et on a vu (question 2. b.) que  sur [0~;~1] $f(x) - x \geqslant 0$, soit avec $x = u_{0},$

$f\left(u_{0}\right) - u_{0} \geqslant 0 \iff u_{1} - u_{0} \geqslant 0 \iff u_{1} \geqslant u_{0}$.

On a donc $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 1$. La relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} :
Soit $n \in \N$ tel que :
$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$  : par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~1] :

$f\left(\dfrac{1}{2} \right) \leqslant f\left(u_{n} \right) \leqslant f\left(u_{n+1} \right) \leqslant f(1) \iff u_{1} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\leqslant 1$

et comme $u_{1} > u_{0} = \dfrac{1}{2}$, on a 
$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\leqslant 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang$n$, elle l'est aussi au rang $n + 1$.

On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n,$

$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
On vient de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et elle est majorée par 1.

Elle converge donc vers un réel $\ell \leqslant 1$.

Or $f$ est continue, donc comme $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ on obtient par continuité $\ell = f(\ell)$ qui a pour solution dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ le nombre 1.

Conclusion $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}
 
%\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve}

\bigskip
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4} \end{flushleft} 

\vspace{1cm}
\psset{unit=10cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5,0)(0.5,0.5647)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5,0.5647)(0.5647,0.5647)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.5647,0)(0.5647,0.63553)
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\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.63553,0)(0.63553,0.709)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.63553,0.709)(0.7009,0.709)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.709,0)(0.709,0.78)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 4]{->}(0.709,0.78)(0.78,0.78)
\uput[d](0.5,0){$u_{0}$} \uput[d](0.5647,0){$u_{1}$} \uput[d](0.63553,0){$u_{2}$} \uput[d](0.709,0){$u_{3}$}  
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}