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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES} 
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2006} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2006
~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s'intéresse aux prises de sang effectuées dans cet hôpital.
%
%\medskip

\textbf{Partie A Dans le service de soins A}

\medskip

%Dans le tableau suivant figure le nombre de prises de sang effectuées dans le service de soins A lors des premiers mois de l'année 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
%mois								&	janvier	&février	&mars		&avril	&mai \\ \hline
%rang du mois $x_{i}$	&	1			&2			&3			&4		&	5 \\ \hline
%nombre de prises de	sang
% effectuées $y_{i}$		&51			&49			&48			&46		&44 \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne avec des coefficients arrondis au dixième : $y = - 1,7x + 52,7$.
\item %Avec cet ajustement, quel nombre de prises de sang peut-on prévoir pour le mois de décembre 2006 ? (arrondir à l'unité).
Le mois de décembre 2006 correspond au rang $x = 12$, d’où $y = - 1,7 \times 12 + 52,7 = 52,7 - 20,4 = 32,3 \approx 32$ à l’unité près
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B Dans l'ensemble des trois services de soins}

\medskip

%On a constaté après l'observation d'une assez longue période que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  40\,\% des prises de sang sont effectuées dans le service de soins A,
%\item[$\bullet~$]  un tiers le sont dans le service de soins B,
%\item[$\bullet~$]  les autres dans le service de soins C.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Les aiguilles utilisées pour effectuer les prises de sang sont fournies soit par le laboratoire GLOBULEX, soit par le laboratoire HÉMATIS ;
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] dans le service de soins A, 60\,\% des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire GLOBULEX ;
%\item[$\bullet~$] dans le service de soins B, $\dfrac{4}{5}$ des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire HÉMATIS ;
%\item[$\bullet~$] dans le service de soins C, il y a autant de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire GLOBULEX que de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire HÉMATIS.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit au hasard un patient qui a subi une prise de sang dans l'hôpital.
%
%On considère les évènements suivants :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item A :	\og La prise de sang a été effectuée dans le service de soins A \fg
%\item B :  \og  La prise de sang a été effectuée dans le service de soins B \fg
%\item C : \og  La prise de sang a été effectuée clans le service de soins C \fg
%\item G : \og  L'aiguille utilisée a été fournie par le laboratoire GLOBULEX \fg
%\item H : \og  L'aiguille utilisée a été fournie par le laboratoire HÉMATIS \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour toutes les questions, en donnera les valeurs exactes des probabilités demandées}
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter la situation par un arbre  en complétant cet arbre autant qu'il est possible.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\frac{2}{5}$}}
	{\TR{$G$}\taput{$\frac{3}{5}$}
	\TR{$H$}\tbput{$\frac{2}{5}$}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\taput{$\frac{1}{3}$}}
	{\TR{$G$}\taput{$\frac{1}{5}$}
	\TR{$H$}\tbput{$\frac{4}{5}$}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{\blue $\frac{4}{15}$}}
	{\TR{$G$}\taput{$\frac{1}{2}$}
	\TR{$H$}\tbput{$\frac{1}{2}$}
	}
}
\end{center}

\medskip

On a $1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{15 - 6 - 5}{15} = \frac{4}{15}$.
\item %Déterminer la probabilité de l'évènement \og Le patient a subi une prise de sang dans le service de soins B avec une aiguille fournie par le laboratoire HÉMATIS \fg.
Il faut calculer $p(B \cap H)  = p(B) \times p_{B}(H) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}$.
\item %Calculer la probabilité de l'évènement H.
D’après la loi des probabilités totales on a :

$p(H) = p(A \cap H) + p(B \cap H) + p(C \cap H)$.

Or $p(A \cap H) = p(A) \times p_{A}(H) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$.   

De même $p(C \cap H) = p(C) \times p_{C}(H) = \frac{4}{15} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{15}$.

Donc  $p(H) = \frac{4}{25} + \frac{4}{15} + \frac{2}{15} = \frac{12 + 20 + 10}{75} = \frac{42}{75} = \frac{14}{25} = \frac{56}{100} = 0,56$.
\item %Le patient a subi une prise de sang avec une aiguille fournie par le laboratoire HÉMATIS.

%Déterminer la probabilité que cette prise de sang ait été effectuée dans le service de soins B.
On a $p_{H}(B) = \dfrac{p(H \cap B)}{p(H)} = \dfrac{p(B \cap H)}{p(H)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{14}{25}} = \frac{4}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{10}{21}$.
\end{enumerate}
	
\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en \textbf{justifiant} la réponse fournie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %La fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $f(x) = 2^x$ a pour dérivée la fonction $f'$ telle que pour tout réel $x,\: f'(x) = x~2^{x - 1}$.
La dérivée de la fonction $x \longmapsto 2^x$ est la fonction $x \longmapsto 2^x \times \ln 2$. Fausse.
\item %L’équation $\ln (x + 1) + \ln(x + 3) = \ln (3x + 5)$ a une autre solution réelle que le nombre $1$.
Il faut que $x > - 1,\: x > - 3,\: x > - \frac{5}{3}$, soit $x > - 1$.

Dans ce cas :  $\ln (x + 1) + \ln(x + 3) = \ln (3x + 5) \iff \ln (x+1)(x+3) = \ln (3x + 5) \iff (x+1)(x+3) = 3x + 5 \iff x^2 + 3x + x + 3 = 3x + 5 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff (x - 1)(x + 2) = 0\iff \left\{\begin{array}{l c r} x&=&1\\
x&=&- 2
\end{array}\right.$

Mais $- 2$ ne peut être solution car $- 2 > - 1$ est fausse. Vraie.
\item	%En 20 ans, la population d'une commune rurale a augmenté de 40\,\%. Le taux d'accroissement moyen annuel, arrondi à $10^{-2}$, est de $1,70$\,\%.
Si $t$ est le taux d'accroissement moyen annuel, on a :

$\left(1 \dfrac{t}{100}\right)^{20} = 1 \dfrac{40}{100} \iff \left(1 \dfrac{t}{100}\right)^{20} = 1,4 \iff 1 \dfrac{t}{100} =  1,4^{\frac{1}{20}} \iff \dfrac{t}{100} = 1,4^{\frac{1}{20}} - 1 \iff$

$ t = 100\left(1,4^{\frac{1}{20}} - 1  \right)\approx \np{1,6966} $.

Au centième près on a bien $t \approx 1,70$. Vraie.
\item %La valeur moyenne sur l'intervalle [0 ;  4] de la fonction qui à $x$ associe $\text{e}^{-x}$ est $\dfrac{1 - \text{e}^{-4}}{4}$.
La valeur moyenne sur l'intervalle [0 ;  4] de la fonction qui à $x$ associe $\text{e}^{-x}$ est égale à :

$\displaystyle\int_0^4 \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-x} \right]_0^4 = -\text{e}^{-4} - \left(- \text{e}^{-0} \right) = 1 - \text{e}^{-4}$. Fausse.
\item	%Une étude statistique sur des séances de \og  tir au but \fg{} a montré que 75\,\% des tirs au but étaient réussis. Au cours d'un match de football, 4 tirs au but, que l'on suppose être des épreuves aléatoires indépendantes, ont été effectués.

%Affirmation : \og La probabilité qu'au moins un des quatre tirs au but échoue est $0,25^4$. \fg
On a une épreuve de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et de probabilité (échec) égale à 0,25.

La probabilité qu’il y ait 0 échec est égale à $0,75^4$ donc la probabilité cherchée de l'évènement contraire  est égale à $1 - 0,75^4$. Fausse.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%À l'occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voyages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d'une équipe nationale.

%Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les villes.
%
%Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmund, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart.
%
%\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,6)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20}
\cnodeput(0,0){A}{K} \cnodeput(0.5,2){B}{F} 
\cnodeput(0,4){C}{D} \cnodeput(3,6){D}{H}
\cnodeput(8,4.5){E}{B} \cnodeput(8,2){F}{N}
\cnodeput(5.5,0){G}{M} \cnodeput(3,1){H}{S}
\ncarc{A}{B} \ncput*{120} \ncarc{B}{D} \ncput*{490} 
\ncarc{D}{H} \ncput*{650} \ncarc{D}{G} \ncput*{780} 
\ncarc{D}{F} \ncput*{600} \ncarc{C}{E} \ncput*{490} 
\ncarc{C}{G} \ncput*{600} \ncarc{E}{H} \ncput*{630} 
\ncarc{E}{G} \ncput*{580} \ncarc{F}{H} \ncput*{210} 
\ncarc{G}{H} \ncput*{230} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

%En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin en utilisant les cars de cette agence.
On utilise l'algorithme de Dijkstra.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5cm}|}\hline
K	&F			&H			&S			&M		&N			&D		&B		&sommet choisi\\ \hline
0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&K\\ \hline
	&120 (K)	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&F\\ \hline
	&			&610 (F)	&$\infty$	&$\infty$&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&H\\ \hline
	&			&			&1260 (H)	&1390 (H)&1210 (H)	&$\infty$	&$\infty$&N\\ \hline
	&			&			&260 (H)	&1390 (H)&			&$\infty$	&$\infty$&S\\ \hline
	&			&			&			&1390 (H)&			&$\infty$	&1890 (S)&M\\ \hline 
	&			&&&&&1990 (M)&1890 (S)&B\\ \hline
	&			&&&&&1990 (M)&&D\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le chemin le plus court obtenu en remontant est K--F--H--S--B, la distance parcourue étant de \np{1890}~km.
\item %Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel.

%L'objectif de cette question consiste à rechercher une répartition des supporters afin d'utiliser le minimum d'hôtels.

%On donne ci-dessous le graphe d'incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un supporter de l'équipe A ne peut être logé avec un supporter de l'équipe B.

\emph{Ce même graphe figure sur la feuille annexe qui peut être rendue avec la copie.}

\bigskip
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4.4)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=40}
\cnodeput*[fillcolor=blue](0,0){A}{G} \cnodeput*[fillcolor=green](0,3){B}{A} 
\cnodeput*[fillcolor=red](3,4){C}{P} \cnodeput*[fillcolor=blue](6,3){D}{C}
\cnodeput*[fillcolor=yellow](6,1.7){E}{Q} \cnodeput*[fillcolor=blue](6,0){F}{E}
\cnodeput*[fillcolor=green](3,0){G}{R} 
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{B}{F} 
\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} 
\ncline{C}{E} %\ncline{D}{F}
\ncline{D}{G}  \ncline{D}{B} 
\ncline{E}{B} \ncline{F}{E} 
\ncline{G}{A} 
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée.
Le sommet de plus haut degré 5 est A : le nombre chromatique $\gamma$ est donc tel que $\gamma \leqslant 6$.

Mais le sous graphe $\{$A~;~E~;~P~;~Q$\}$ est complet d'ordre, donc $\gamma \geqslant 4$.

Conclusion : $4 \leqslant \gamma \leqslant 6$. 
		\item  %Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d'hôtels.
On utilise l'algorithme glouton :

\begin{itemize}
\item On attribue une première couleur au sommet de plus haut degré A ;
\item On attribue cette couleur au sommet non adjacent à A,  donc au seul sommet R ;
\item On attribue une deuxième couleur au sommet de degré inférieur soit par exemple à E ;
\item On attribue la couleur de E aux sommets non adjacents à E  soit C et G ;
\item On attribue une troisième couleur au sommet P ;
\item On attribue une quatrième couleur au dernier sommet Q.

Finalement seules 4 couleurs sont nécessaires : $\gamma =  4$ (voir ci-dessus).
\end{itemize}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation :		

\[2X^2 - 15X + 18 = 0.\]

$\Delta = (- 15)^2 - 4 \times 2 \times 18 = 225 - 144 = 81 = 9^2$ : l'équation a deux solutions :

$X_1 = \dfrac{15 + 9}{2 \times 2} = 6$ et $X_2 = \dfrac{15 - 9}{2 \times 2} = \dfrac{3}{2}$.
\item En déduire
	\begin{enumerate}
		\item  %les solutions de l'équation : $2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18 = 0$ ;
En posant $X = \text{e}^{x}$, on obtient l'équation précédente ; on a donc deux possibilités :

$\left\{\begin{array}{l c r}
\text{e}^{x}&=&6\\
\text{e}^{x}&=&\frac{3}{2}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\ln 6\\
x&=&\ln \left(\frac{3}{2}\right)
\end{array}\right.$

$S \left\{\ln 6~;~\ln \left(\frac{3}{2}\right)  \right\}$.
		\item  %le signe de $2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18$ selon les valeurs de $x$.
On sait que :

$2X^2 - 15X + 18 = 2(X - 6)\left(X - \frac{3}{2} \right) = 2\left(\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x -\frac{3}{2} \right)$.

$\bullet~~$le premier facteur est positif si et seulement si $\text{e}^x - 6 > 0 \iff \text{e}^x > 6 \iff x > \ln 6$ ;

$\bullet~~$le second facteur est positif si et seulement si $\text{e}^x - \frac{3}{2} > 0 \iff \text{e}^x > \frac{3}{2} \iff x > \ln \frac{3}{2}$.

On peut donc dresser un tableau de signes :

\begin{center}

\end{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.6)
\psframe(9,3.6) \psline(0,1)(9,1) \psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3)
\psline(3,0)(3,3.6)\psline(5,0)(5,3)\psline(7,0)(7,3)
\uput[u](1.5,2.9){$x$} \uput[u](3.5,2.9){$- \infty$} \uput[u](5,2.9){$\ln \frac{3}{2}$} 
\uput[u](7,2.9){$\ln 6$} \uput[u](8.5,2.9){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.5){$\text{e}^x - \frac{3}{2}$} \rput(1.5,1.5){$\text{e}^x - 6$}
\rput(1.5,0.5){$\left(\text{e}^x - \frac{3}{2}\right)\left(\text{e}^x - 6 \right)$}
\uput[u](4,2.1){$-$} \uput[u](5,2.1){$0$} \uput[u](6,2.1){$+$} \uput[u](8,2.1){$+$} 
\uput[u](4,1.1){$-$} \uput[u](5,1.1){$-$} \uput[u](6,1.1){$0$} \uput[u](8,1.1){$+$} 
\uput[u](4,0.1){$+$} \uput[u](5,0.1){$0$} \uput[u](6,0.1){$-$} \uput[u](7,0.1){$0$} \uput[u](8,0.1){$+$} 
\end{pspicture}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie par :

\[\text{pour tout nombre réel}\: x\: \text{de l'intervalle}~ ]\ln 3~;~+\infty[,~ f(x) = 2x -2 + \dfrac{3}{\text{e}^{x} - 3}.\]

%On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ relativement é un repère orthonormal (unité graphique 2~cm).

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $\ln 3$. Que peut-on en déduire pour 
$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to \ln 3} \text{e}^x = 3$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to \ln 3} \text{e}^x  - 3 = 0$, puis $\displaystyle\lim_{x \to \ln 3} \frac{3}{\text{e}^x - 3}  = + \infty$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to \ln 3} f(x)  = + \infty$.

Géométriquement ce résultat montre que la droite verticale d'équation $x = 3$ est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.
\item  %Démontrer que la droite (D) d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x - 3 = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3}{\text{e}^x - 3} = 0$ ou encore 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (2x - 2) = 0$.

Ce résultat signifie géométriquement que la droite oblique (D)  d'équation 

$y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de plus l'infini.

%Quelle est la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ?
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3}{\text{e}^x - 3} = 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)  = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} (2x - 2) = + \infty$.
\item  %Étudier la position relative de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et (D).
Soit $d(x) = f(x) - (2x - 2) = \dfrac{3}{\text{e}^x - 3}$.

Ce quotient est du signe de $\text{e}^x - 3$, mais comme $x > \ln 3 \iff \text{e}^x > 3 \iff \text{e} - 3 > 0$, on a donc $d(x) > 0$ quel que soit $x > \ln 3$.

Géométriquement ce résultat montre que la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est au dessus de (D).
\item  %La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]\ln 3 ~;~ +\infty[$ ; on note $f'$ sa dérivée.

%Montrer que :
 
%\[\text{pour tout nombre réel}~ x~\text{de l'intervalle} ~]\ln 3~ ;~ +\infty[,\\ f'(x) = \dfrac{2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18}{(\text{e}^x - 3)^2}.\]
Sur l'intervalle $]\ln 3 ~;~ +\infty[$, \: $f'(x) = 2 - \dfrac{3\text{e}^{x}}{\left(\text{e}^{x} - 3 \right)^2} = \dfrac{2\left(\text{e}^{x} - 3 \right)^2 - 3\text{e}^{x}}{\left(\text{e}^{x} - 3 \right)^2} =$

$ \dfrac{2\left(\text{e}^{2x} + 9 - 6\text{e}^{x}\right) - 3\text{e}^{x} }{\left(\text{e}^{x} - 3 \right)^2} = \dfrac{2\text{e}^{2x} - 12\text{e}^{x} + 18 - 3\text{e}^{x}}{\left(\text{e}^{x} - 3 \right)^2} = \dfrac{2\text{e}^{2x} - 15\text{e}^{x} + 18}{\left(\text{e}^{x} - 3 \right)^2}$.
	
%En déduire, à l'aide de la partie A, le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Le dénominateur étant positif,le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur qui a été vu dans la partie A. On a donc :

$\bullet~~$sur $]\ln 3~;~\ln 6[$, \: $f'(x) < 0$, la fonction est décroissante ; 

$\bullet~~$sur $]\ln 6~;~+ \infty[$, \: $f'(x) > 0$, la fonction est croissante.

$\bullet~~$$f'(\ln 6) < 0$, la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est horizontale. $f(\ln 6)$ est le minimum de $f$ sur $\ln 3~;~+ \infty[$.

Ce minimum est égal à : $f(\ln 6) = 2\ln 6 - 2  + \dfrac{3}{\text{e}^{\ln 6} - 3} = 2\ln 6 - 2  + \dfrac{3}{3} = 2\ln 6 - 2  + 1 = 2\ln 6 - 1$.
\item ~%Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ainsi que ses asymptotes. (Si la fonction présente un minimum ou un maximum, le mettre en évidence.)
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-2,-0.75)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.1}{10}{2 x mul 2 sub 3 2.71828 x exp 3 sub div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{10}{2 x mul 2 sub}
\uput[d](1.79,0.1){\footnotesize $\ln 6$}
\psline[linestyle=dotted](1.79,0)(1.9,2.584)(0,2.584)
\psline{<->}(0.79,2.584)(2.79,2.584)
\uput[r](1,9){\blue $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$}
\uput[r](5.5,9){\red D}\uput[l](0,2.584){$2\ln 6 - 1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que :
		
%\[ \text{pour tout réel}\: x\: \text{de l'intervalle}~ ]\ln 3~;~+\infty[,~f(x) = 2x - 3 + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 3}.\]
On a $f(x) = 2x - 2 + \dfrac{3}{\text{e}^x - 3} = 2x - 3 + 1 + \dfrac{3}{\text{e}^x - 3} = 2x - 3 + \dfrac{\text{e}^x - 3 + 3}{\text{e}^x - 3} = 2x - 3 + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 3}$.
		\item  %Soit $g$ la fonction définie par :

%\[ \text{pour tout réel}~x~ \text{de l'intervalle}~ ]\ln 3~;~+\infty[,\: g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 3}.\]

%Déterminer une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]\ln 3~;~+\infty[$.
En posant $u(x) = \text{e}^x - 3$, on voit que $g(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \left[\ln (u(x))  \right]'$.

Une primitive sur $]\ln 3~;~+\infty[$ de la fonction $g$ est donc la fonction 

$x \longmapsto \ln \left(\text{e}^x - 3 \right)$. 
		\item %En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]\ln 3~ ;~+\infty[$.
Une primitive de la fonction $f$ sur $]\ln 3~ ;~+\infty[$ est la fonction $F$ définie par :

$F(x) = x^2 - 3x + \ln \left(\text{e}^x - 3 \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Pour cet exercice, il est conseillé aux candidats d'expliquer leurs recherches sur leur copie car toute démarche correcte, y compris avec la calculatrice, sera valorisée même si elle ne permet pas d'aboutir au résultat demandé.}
%
%\bigskip
%
%Bruno a occupé un emploi saisonnier du 1\up{er} juin 2005 au 30 septembre 2005 en tant que commercial pour une entreprise de produits surgelés. Pour ses besoins professionnels, il a utilisé un téléphone portable et l'opérateur téléphonique lui a proposé la formule suivante :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  au 1\up{er} juin, il disposait d'un forfait de 420 minutes de communication ;
%\item  au l\up{er} juillet, il lui restait 300 minutes sur son forfait et l'opérateur lui a offert une durée supplémentaire de communication égale à $t$\,\% de la durée restante sur son forfait avec $5 < t < 20$ ;
%\item  en juillet, il a consommé 120 minutes, et au 1\up{er} août, l'opérateur lui a à nouveau offert une durée supplémentaire de communication égale à $t$\,\% de la durée restante sur son forfait;
%\item  en août, il a consommé 120 minutes, et au 1\up{er} septembre, l'opérateur lui a encore offert une durée supplémentaire de communication égale à $t$\,\% de la durée restante sur son forfait ;
%\item  en septembre, il a consommé 120 minutes, et au 1\up{er} octobre il a rendu son téléphone en ayant tout consommé.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Déterminer une approximation à $10^{-2}$ près de la valeur de $t$.
%%%%%%%%%%%%

Soit  $x$ le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $t$\,\%. Comme $5 < t < 20$, alors $x \in ]1,05~;~1,2[$.

– Le 1\up{er} juillet, il dispose de $300x$.

– Le 1\up{er} août, il dispose de $(300x - 120)x$.

– Le 1\up{er} septembre, il dispose de $[(300x - 120)x - 120]x$.

– Le 1\up{er} octobre, il dispose de $[(300x - 120)x - 120]x - 120$.

Il ne reste plus de crédit le 1\up{er} octobre, donc  :

$[(300x - 120)x - 120]x - 120 = 0 \iff \left[\left(300x^2 - 120x \right) - 120\right]x - 120 = 0 $

$\iff 300x^3 -  120x^2 - 120x - 120 = 0 \iff 10x^3 - 4x^2 - 4x - 4 = 0 \iff 5x^3 - 2x^2 - 2x - 2 = 0$

Sur la calculatrice on définit la fonction $f(x) = 5x^3 - 2x^2 - 2x - 2$ et on établit les 
 tableaux de valeurs pour $x \in ]1,05~;~1,2[$, on se rapproche de zéro et on obtient successivement :

$1,0 < x < 1,1$ ;

$1,09 < x < 1,10$ ;

$1,097 < x < 1,098$ ;

$1,0970 < x < 1,0971$  ;

$1,09701 < x < 1,09702$.

Au centième près $x \approx 1,0970$

La valeur approchée au centième  de $t$ est de 9,70\,\%.
%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage
%
%\begin{center} \textbf{Annexe}
%
%\vspace{1.5cm}
%
%{\small (peut être utilisée pour l'exercice 2, enseignement de spécialité, et rendue avec la copie)}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=40}
%\cnodeput(0,0){A}{G} \cnodeput(0,3){B}{A} 
%\cnodeput(3,4){C}{P} \cnodeput(6,3){D}{C}
%\cnodeput(6,1.7){E}{Q} \cnodeput(6,0){F}{E}
%\cnodeput(3,0){G}{R} 
%\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{B}{F} 
%\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} 
%\ncline{C}{E} %\ncline{D}{F}
%\ncline{D}{G}  \ncline{D}{B} 
%\ncline{E}{B} \ncline{F}{E} 
%\ncline{G}{A} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\vspace{2cm}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=40}
%\cnodeput(0,0){A}{G} \cnodeput(0,3){B}{A} 
%\cnodeput(3,4){C}{P} \cnodeput(6,3){D}{C}
%\cnodeput(6,1.7){E}{Q} \cnodeput(6,0){F}{E}
%\cnodeput(3,0){G}{R} 
%\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{B}{F} 
%\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} 
%\ncline{C}{E} %\ncline{D}{F}
%\ncline{D}{G}  \ncline{D}{B} 
%\ncline{E}{B} \ncline{F}{E} 
%\ncline{G}{A} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}