\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{ulem}
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\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-all}
%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : François Hache
%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit

\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent

\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

\usepackage[body={15cm,24cm}]{geometry}
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\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2014 - Corrigé},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}  
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 17 novembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[10pt]
17 novembre 2014} \end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip 
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
Une bibliothèque municipale dispose pour ses usagers de deux types de livres: les livres à support numérique et les livres à support papier. 

\medskip

Le service des prêts observe que 85\,\% des livres empruntés sont à support papier. 

Un livre est rendu dans les délais s'il est rendu dans les quinze jours suivant son emprunt. 

Une étude statistique montre que 62\,\% des livres à support numérique sont rendus dans les délais et que 32\,\% des livres à support papier sont rendus dans les délais. 

\medskip

Un lecteur, choisi au hasard, emprunte un livre de cette bibliothèque. On note : 

$\bullet~~$ $N$ l'évènement : \og le livre a un support numérique \fg{} ; 

$\bullet~~$ $D$ l'évènement : \og le livre est rendu dans les délais \fg. 

\medskip

%Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire. 
%\medskip

On peut représenter la situation par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$N$}\taput{0,15}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,62}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,38}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline N$}\tbput{0,85}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,32}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,68}
	  }
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% La probabilité de $D$ sachant $N$ est égale à : 
\textbf{a.~~} 0,62 

Le résultat est donné dans le texte: \og{}62\,\% des livres à support numérique sont rendus dans les délais\fg{} donc $P_N(D)=0,62$.

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,62 &\textbf{b.~~}0,32&\textbf{c.~~} 0,578&\textbf{d.~~} 0,15
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item% $P\left(\overline{N} \cap \overline{D}\right)$ est égale à : 
\textbf{c.~~}  0,578

$P\left(\overline{N} \cap \overline{D}\right) = 0,85 \times 0,68 = 0,578$

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,907&\textbf{b.~~}  0,272&\textbf{c.~~}  0,578 &\textbf{d.~~} 0,057 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item% La probabilité de l'évènement $D$ est égale à : 
\textbf{b.~~}  0,365

$P(D)=P(N \cap D) + P(\overline N \cap D) = 0,15\times 0,62 + 0,85 \times 0,32 = 0,093 + 0,272 = 0,365$


%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,272&\textbf{b.~~}  0,365&\textbf{c.~~} 0,585 &\textbf{d.~~}0,94 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item On appelle $X$ la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,62$. 

\hspace{0.3cm}\textbf{4.1}% La probabilité à $10^{-3}$ près d'avoir $X \geqslant 1$ est : 
~Réponse \textbf{d.~~} 0,992

$P(X \pg 1) = 1-P(X=0) = 1 - (1-0,62)^5 \approx 0,992$

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,8& \textbf{b.~~} 0,908&\textbf{c.~~} 0,092&\textbf{d.~~} 0,992 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\hspace{0.3cm}\textbf{4.2}% L'espérance de $X$ est : 
~Réponse \textbf{a.~~}3,1

L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ est $np = 5 \times 0,62=3,1$.

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}3,1& \textbf{b.~~}5&\textbf{c.~~} 2,356 &\textbf{d.~~}6,515 
%\end{tabularx}
%\medskip 

\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip   

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd 0~;~4\cg$ par 
$f(x) = (3 x - 4) \e^{-x} + 2$.

\begin{enumerate}

\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

La fonction $f$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables.

Pour tout $x$ de $\cd 0~;~4\cg$:
$f'(x)=3 \e^{-x} + (3x-4)(-1)\e^{-x} = (3 - 3x +4)\e^{-x}=(7-3x)\e^{-x}$

%Montrer que l'on a, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4], 
%
%$f'(x) = (7 - 3 x)\text{e}^{-x}$. 

\item% Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~4] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte. 

$f'(x)=(7-3x)\e^{-x}$ ; or, pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $7-3x$, donc s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{7}{3}$.

On calcule: $f(0)=-2$ ; $f\left (\dfrac{7}{3}\right ) = 3 \e^{-\frac{7}{3}}+2$ et $f(4)=8\e^{-4}+2$

D'où le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & \frac{7}{3} & \hspace*{\esp} & 4 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{3\e^{-\frac{7}{3}}+2}  &  &  \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{8\e^{-4}+2} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}


\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
$f(0)=-2<0$ ; $f\left (\dfrac{7}{3}\right ) = 3 \e^{-\frac{7}{3}}+2 >0$ et $f(4)=8\e^{-4}+2>0$ donc on peut compléter le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & \frac{7}{3} & \hspace*{\esp} & 4 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{3\e^{-\frac{7}{3}}+2}  &  &  \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{8\e^{-4}+2} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
 \def\pos{-7.4}
 \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](\pos,0.8)(\pos,2.3)
 \rput*(\pos,0.84){\red 0} \rput(\pos,2.5){\red \alpha}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

On en déduit que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\cd 0\,;\,4\cg$ et que cette solution est dans l'intervalle $\left [0\,;\, \dfrac{7}{3}\right ]$.


		\item% Donner à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près. 
~\\[-23pt]

$\left.
\begin{array}{@{} l}
f(0,3)\approx -0,3 <0\\
f(0,4) \approx 0,12 >0
\end{array}
\right\rbrace \text{donc } \alpha \in \cd 0,3\,;\,0,4\cg$
et $\left.
\begin{array}{@{} l}
f(0,36)\approx -0,04 <0\\
f(0,37) \approx 0,004 >0
\end{array}
\right\rbrace \text{donc } \alpha \in \cd 0,36\,;\,0,37\cg$
	
Donc $0,36$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près.

\emph{On peut également utiliser le \texttt{solveur} de la calculatrice qui donne pour valeur approchée de $\alpha$ le nombre $0,369$; on prendra alors $0,37$ comme valeur approchée à 0,01 près.}

\end{enumerate}


\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\cd 0~;~4\cg$ par 
$F(x) = (1 - 3 x) \e^{-x} + 2 x$

	\begin{enumerate}

		\item Pour montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0~;~4\cg$, on dérive la fonction $F$:

$F'(x)=-3\e^{-x}+(1-3x)(-1)\e^{-x}+2 = (-3 -1 +3x)\e^{-x}+2 = (3x-4)\e^{-x}+2=f(x)$ donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0~;~4\cg$.		 

		\item% Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~4] 
La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $\cd a\,;\,b\cg$ est
$\dfrac{1}{b-a}\ds\int_a^b f(t) \d t$

Donc la valeur moyenne de $f$ sur $\cd 0~;~4\cg$ est 
$\dfrac{1}{4-0}\ds\int_0^4 f(t) \d t$ et comme $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0~;~4\cg$, cette valeur moyenne vaut 
$\dfrac{1}{4}\left ( F(4) - F(0)\rule{0pt}{9pt}\right )$.

$F(4)=8-11\e^{-4}$, $F(0)=1$, donc $F(4)-F(0)=7-11\e^{-4}$ et donc la valeur moyenne de $f$ sur $\cd 0\,;\,4\cg$ est égale à 
$\dfrac{7-11\e^{-4}}{4}\approx 1,70$.

	\end{enumerate}

\item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie sur l'intervalle $\cd 0~;~4\cg$ par $f''(x) = (3 x - 10)\e^{-x}$. 

	\begin{enumerate}

		\item L'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est l'intervalle sur lequel la dérivée seconde $f''$ est positive ou nulle.
		
$f''(x) = (3 x - 10)\e^{-x}$; or $\e^{-x}>0$ pour tout $x$ donc $f''$ est du signe de $3x-10$.

$3x-10\pg 0 \iff 3x \pg 10 \iff x\pg \dfrac{10}{3} \iff x \in \left [ \dfrac{10}{3}\,;\,4\right ]$

La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left [ \dfrac{10}{3}\,;\,4\right ]$.

		\item% Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. 
La courbe représentant $f$ admet un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule donc pour $x=\dfrac{10}{3}$.

	\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%   Retirer le signe % devant les lignes qui suivent 
%%%%%%   pour tracer la courbe représentant la fonction f
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
%\bigskip
%
%Courbe représentative de la fonction $f$ et la même courbe avec sa tangente au point d'inflexion.
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
%\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
%\def\ymin {-3}   \def\ymax {4}
%\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
%\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]
%\def\f{3 x mul 4 sub 2.7183 -1 x mul exp mul 2 add}% définition de la fonction
%\psplot[plotpoints=2000]{0}{4}{\f}
%\uput[d](2.333,0){\red $\frac{7}{3}$}
%\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.333,0)(2.333,2.29)
%\end{pspicture} \hfill
%\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
%\psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]
%\def\f{3 x mul 4 sub 2.7183 -1 x mul exp mul 2 add}% définition de la fonction
%\psplot[plotpoints=2000]{0}{4}{\f}
%\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed]{-1}{5}{x 3.333 sub -0.107 mul 2.214 add}
%\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt,linecolor=red](3.333,0)(3.333,2.214)
%\uput{8pt}[d](3.333,0){\red $\frac{10}{3}$}
%\uput{8pt}[d](4,0){\red $4$}
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{[-]}(3.333,0)(4,0)
%\end{pspicture}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip 

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent. 

\medskip

Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. 

Une étude de marché estime à \np{1200} le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2\,\% chaque semaine pour les éditions suivantes. 

L'agence souhaite dépasser les \np{4000} journaux vendus par semaine. 

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus $n$ semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0 = \np{1200}$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération. 
2\,\% de \np{1200} correspondent à $\dfrac{2}{100}\times \np{1200}=24$;
donc $u_1 = \np{1200}+24 = \np{1224}$.

\item% Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
Ajouter 2\,\% c'est multiplier par $1,02$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{1200}$.

Donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \np{1200}\times 1,02^n$.

\item% Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}. 
Le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500} quand $u_n >\np{1500}$; on résout l'inéquation:

$\begin{array}{@{\hspace*{1cm}} l @{\iff} l l}
u_n >\np{1500} & \np{1200}\times 1,02^n > \np{1500}\\[3pt]
 & 1,02^n > \dfrac{\np{1500}}{\np{1200}}\\[5pt]
 & 1,02^n > 1,25 \\
 & \ln\left (1,02^n\right ) > \ln 1,25 & (\text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0\,;\,+\infty \cd)\\
 & n\times \ln 1,02 > \ln 1,25 & (\text{propriété de la fonction ln}) \\[3pt]
 & n > \dfrac{\ln 1,25}{\ln 1,02} & (\ln 1,02 >0)
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln 1,25}{\ln 1,02} \approx 11,3$ donc c'est à partir de 12 semaines que le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}.

\item Voici un algorithme : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :		& $U$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\ 
INITIALISATION :& $U$ prend la valeur \np{1200}\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\ 
TRAITEMENT :	&Tant que $U < \np{4000}$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur $1,02 \times U$\\
				&Fin du Tant que \\
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer la valeur de $N$ affichée par cet algorithme. 
La valeur de $N$ affichée par cet algorithme est la première valeur pour laquelle $U$ est supérieur ou égal à \np{4000}.

Dans cet algorithme, $U$ correspond au nombre de journaux vendus la semaine $N$, autrement dit correspond à $u_N$.

On résout donc dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_N \pg \np{4000}$:

$u_N \pg \np{4000} \iff \np{1200}\times 1,02^N \pg \np{4000} \iff 1,02^N \pg \dfrac{\np{4000}}{\np{1200}} \iff 1,02^N \pg \dfrac{10}{3} \\[5pt]
\phantom{u_N \pg \np{4000} } \iff \ln\left (1,02^N\right ) \pg \ln \dfrac{10}{3} \iff N\times \ln 1,02 \pg \ln \dfrac{10}{3} \iff N \pg \dfrac{\ln \frac{10}{3}}{\ln 1,02}$

Or $\dfrac{\ln \frac{10}{3}}{\ln 1,02} \approx 60,8$ donc la valeur de $N$ affichée par l'algorithme est 61.

		\item% Interpréter le résultat précédent. 
C'est à partir de la semaine 61 que le nombre de journaux vendus par semaine sera supérieur à \np{4000}.

\emph{On peut vérifier que $u_{60}\approx \np{3937} < \np{4000}$ et que $u_{61} \approx \np{4015} > \np{4000}$.}

	\end{enumerate}

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que, pour tout entier $n$, on a : 
%		
%		\[1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n = 50 \times \left(1,02^{n+1} - 1\right).\] 
D'après le cours, pour tout réel $q \neq 1$: $1+q+q^2+ \cdots + q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$. Donc:

$1 + 1,02 + \cdots + 1,02^n = \dfrac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02} = \dfrac{1,02^{n+1} - 1}{0,02} = \dfrac{1}{0,02} \times \left ( 1,02^{n+1} - 1 \right ) = 50\times \left ( 1,02^{n+1} - 1 \right )$


		\item On pose, pour tout entier $n, \:\: S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Donc:
		
$S_n= \np{1200} + \np{1200}\times 1,02 + \cdots + \np{1200} \times 1,02^n = \np{1200} \left ( 1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n \right )\\
\phantom{S_n} = \np{1200} \times 50 \times \left ( 1,02^{n+1} - 1 \right ) = \np{60000}\left ( 1,02^{n+1} - 1 \right )$

%À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : 
%$S_n = \np{60000} \times \left(1,02^{n+1} - 1\right)$. 

		\item% Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité. 
Le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines est $S_{52}$ c'est-à-dire\\
$\np{60000} \times \left (1,02^{53}-1 \right ) \approx \np{111380}$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La première semaine de l'année, le responsable de la communication d'une grande entreprise propose aux employés de se déterminer sur un nouveau logo, le choix devant être fait par un vote en fin d'année. 

Deux logos, désignés respectivement par A et B, sont soumis au choix. 

Lors de la présentation qui se déroule la première semaine de l'année, 24\,\% des employés sont favorables au logo A et tous les autres employés sont favorables au logo~B. 

Les discussions entre employés font évoluer cette répartition tout au long de l'année. 

Ainsi 9\,\% des employés favorables au logo A changent d'avis la semaine suivante et 16\,\% des employés favorables au logo B changent d'avis la semaine suivante. 

\medskip

Pour tout $n,\: n \geqslant 1$, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo A la semaine $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo B la semaine $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste la semaine $n$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On a donc, pour tout $n \geqslant 1,\:\: a_n + b_n = 1$ et $P_1 = \begin{pmatrix} 0,24 & 0,76 \end{pmatrix}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On traduit la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,09}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,16}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,91}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,84}%  boucle autour de V
\end{pspicture}



\item% Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
D'après le cours, la matrice de transition est
$M= \begin{pmatrix} 0,91 & 0,09 \\ 0,16 & 0,84 \end{pmatrix}$

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% À l'aide de la relation $P_{n+1} = P_n \times  M$, exprimer, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$. 
$P_{n+1} = P_n \times  M \iff 
\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,91 & 0,09 \\ 0,16 & 0,84 \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
a_{n+1} & 0,91 a_n + 0,16 b_n\\
b_{n+1} & 0,09 a_n + 0,84 b_n
\end{array}
\right.$

donc, pour tout $n \pg 1$, $a_{n+1} = 0,91 a_n + 0,16 b_n$.

		\item% En déduire que l'on a, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1} = 0,75 a_n + 0,16$. 
Pour tout $n \pg 1$, $a_{n+1} = 0,91 a_n + 0,16 b_n$; or, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$. 

Donc $a_{n+1} = 0,91 a_n + 0,16 \left (1-a_n\right ) \iff a_{n+1} = 0,75 a_n + 0,16$ pour tout $n \pg 1$.
		
	\end{enumerate}
	
\item La probabilité à $0,001$ près qu'un employé soit favorable au logo A la semaine 4 est $a_4 \approx 0,471$.

\emph{On sait que $a_1=0,24$ et la calculatrice donne successivement
$a_2 =0,75\times 0,24 + 0,16 = 0,34$;\\$a_3 =0,75\times 0,34 + 0,16 = 0,415$ et $a_4 =0,75\times 0,415 + 0,16 = \np{0,47125} \approx 0,471$.} 

\item On note $P = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ l'état stable de la répartition des employés. 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer. un système de deux équations que doivent vérifier $a$ et $b$. 
L'état stable $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ vérifie le système
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}  & \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M \\
a+b & 1
\end{array}
\right.$

% et d'après les questions précédentes, ça équivaut à
%$\left\lbrace 
%\begin{array}{r @{\ =\ } l}
%a & 0,75 a + 0,16\\
%a+b & 1
%\end{array}
%\right.$	
		
		
		\item% Résoudre le système obtenu dans la question précédente. 
$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\times M \iff
\left\lbrace
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
a & 0,91 a + 0,16 b\\
b & 0,09 a + 0,84 b
\end{array}
\right.
\iff
0.09 a = 0,16 b\\
$

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
0,09 a & 0,16 b\\
a+b & 1
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
0,09 (1-b) & 0,16 b\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
0,09  & 0,25 b\\
a & 1-b
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
a & 0,64\\
b & 0,36
\end{array}
\right.$

Donc l'état stable est $P = \begin{pmatrix} 0,64 & 0,36 \end{pmatrix}$
		
		\item% On admet que l'état stable est $P = (0,64\quad 0,36)$.% Interpréter le résultat. 

Si on laisse s'exprimer les employés au fil des semaines, le pourcentage d'employés favorables au logo A va tendre vers 64\,\%, et le pourcentage de ceux favorables au logo B va tendre vers 36\,\%.

	\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
VARIABLES :		&$A$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\
INITIALISATION :&$A$ prend la valeur $0,24$\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\
TRAITEMENT :	&Tant que $A < 0,639$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,75 \times A + 0,16$\\
				&Fin du Tant que\\ 
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

%Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir (on ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée). 

Dans cet algorithme, la variable $A$ représente le pourcentage d'employés favorables au logo A, et la variable $N$ désigne le numéro de la semaine; donc $N$ représente $n$ et $A$ représente $a_n$.

Cet algorithme permet de trouver la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $a_n$ est supérieur ou égal à 0,639, autrement dit pour laquelle le pourcentage d'employés favorables au logo A est supérieur ou égal à 63,9\,\%. 

\end{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%% 

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Les deux parties $1$ et $2$  sont  indépendantes.}
%
%\medskip
%
%\emph{Les probabilités et les  fréquences demandées seront données à $0,001$ près.}

\medskip
 
Dans un atelier de confiserie,  une machine remplit des boîtes de berlingots après avoir mélangé différents arômes.

%\bigskip
%\textbf{Partie 1}
%\medskip 

\subsubsection*{Partie 1}

On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (en gramme) est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 9$. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse $X$ soit comprise entre 485 g et 515 g. 
\`A la calculatrice, on trouve: $P(485 \pp X \pp 515) \approx 0,904$

		\item L'atelier proposera à la vente les boîtes dont la masse est comprise entre 485~g et 515~g. 

%Déterminer le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dam un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard. 

\emph{La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.} 

Donc le nombre de boîtes dont la masse est comprise entre 485~g et 515~g suit une loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,904$; l'espérance mathématique de cette loi est $np=500\times 0,904 = 452$.

Le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dam un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard est 452.

	\end{enumerate}
\item On trouve à la calculatrice que la probabilité que la masse $X$ soit supérieure ou égale à 490~g est $P(X \pg 490) \approx 0,867$. 

\item

	\begin{enumerate}

		\item% À l'aide de la calculatrice, déterminer à l'unité près l'entier $m$ tel que 
On cherche à la calculatrice, à déterminer à l'unité près l'entier $m$ tel que $p(X \leqslant m) = 0,01$. 

On trouve:
$P(X \pp 478) \approx 0,007$; $P(X \pp 479) \approx \np{0,0098}$ et $P(X \pp 480) \approx 0,013$.

Donc $m=479$ et $P(X \pp 479) \approx 0,01$.

		\item% Interpréter ce résultat. 
On peut donc dire que la probabilité que la masse d'une boîte soit inférieure ou égale à 479~grammes est égale à 0,01, ou encore que le pourcentage de boîtes dont la masse est inférieure ou égale à 479~g est de 1\,\%.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie 2}
%
%\medskip  

\subsubsection*{Partie 2}

La machine est conçue pour que le mélange de berlingots comporte 25\,\% de berlingots parfumés à l'anis. 

On prélève 400~berlingots au hasard dans le mélange et on constate que 84 sont parfumés à l'anis. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer un intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis dans un échantillon de 400~berlingots. 

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ d'une fréquence est:

\[I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}
\right]\]

\smallskip

On a $n=400$ et $p=0,25$ donc l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis est:



\[I = \left[ 0,25-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,25 \times 0,75}}{\sqrt{\np{400}}}\,;\,0,25 +1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,25 \times 0,75}}{\sqrt{\np{400}}}
\right]
\approx \cd 0,207\,;\, 0,293 \cg\]


\item% Calculer la fréquence $f$ des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon prélevé. 
La fréquence $f$ des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon prélevé est $\dfrac{84}{400} = 0,21$.

\item% Déterminer si, au seuil de confiance de 95\,\%, la machine est correctement programmée. 
Comme $f \in I$, on peut estimer, au seuil de confiance de 95\,\%, que la machine est bien réglée.

\end{enumerate}

\end{document}