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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache

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\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\setlength\parindent{0mm}
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%      crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%      crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%       plus grand ou égal
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Amérique du Sud 22 novembre 2016},
allbordercolors = white,
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}  
%%% commandes à placer après hyperref
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 22 novembre 2016}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016~\decofourright\\[10pt]
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ données en annexe 1 
 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \Oij, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$.
 
On considère les points A(0,5~;~1) et B$(0~;~-1)$ dans le repère \Oij.
 
On sait que O appartient à $\mathcal{C}_f$ et que la droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point O.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que la fonction $f$ s'écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\e^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels.% Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche.

On sait que le point O appartient à $\mathcal C_f$ donc $f(0)=0$ ce qui équivaut à $(0+b)\e^{0}=0$ ou encore $b=0$.

Donc $f(x)$ s'écrit $f(x)=ax\e^{-x^2}$.

La droite (OA) est tangente à la courbe $\mathcal C_f$ en O, et elle a pour coefficient directeur 2, donc $f'(0)=2$.

$f(x)=ax\e^{-x^2}$ donc $f'(x)=a\times \e^{-x^2} +ax \times (-2x)\e^{-x^2} = (a - 2ax^2)\e^{-x^2}$.

$f'(0)=2 \iff (a-0)\e^{0}= 2 \iff a=2$;
donc $f(x)=2x\e^{-x^2}$. 

\end{enumerate}

\textbf{Désormais, on considère que \boldmath$f(x) = 2x\e^{- x^2}$ pour tout $x$ appartenant à  $cd 0~;~+ \infty\cd$\unboldmath}

\begin{enumerate}[resume]
\item  
	\begin{enumerate}

		\item On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times  \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.

%Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

$\left. 
\begin{array}{r}
\left. 
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty\\
\text{on pose } X=x^2\\
\ds\lim_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\e^{X}}=0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0\\
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies 
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0
\iff \ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$

\medskip

		\item% Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ et
on a déjà vu que $f(x) = (a - 2ax^2)\e^{-x^2} = (2-4x^2)\e^{-x^2}$ puisque $a=2$.

Pour tout $x$, $\e^{-x^2}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-4x^2$ c'est-à-dire de $4\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} + x \right )\left (  \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2} - x \right )$. 

Sur $\cd 0~;~+\infty\cd$, la dérivée s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}$;  $f\left ( \dfrac{\ds\sqrt{2}}{2}\right )=\ds\sqrt{2}\e^{-\frac{1}{2}}\approx 0,86$.

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \hspace*{\esp} & +\infty \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
\hline
4\left (\frac{\sqrt{2}}{2} + x\right ) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
\hline
\frac{\sqrt{2}}{2} - x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\sqrt{2}\e^{-\frac{1}{2}}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

	\end{enumerate}
	
\item La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ passe par le point B$(0~;~-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$.

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer l'expression de $g(x)$.
On sait que la dérivée de $x \longmapsto \e^{u(x)}$ est $x \longmapsto u'(x) \e^{u(x)}$, donc une primitive de $x \longmapsto u'(x) \e^{u(x)}$ est $x \longmapsto \e^{u(x)}$.

Donc la fonction $x \longmapsto -2x\e^{-x^2}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \e^{-x^2}$ donc une primitive de la fonction $f$ est $g$ définie par $g(x)= -\e^{-x^2} +k$ où $k\in \R$.

$\mathcal C_g$ contient le point B\,$(0~;~-1)$, donc $g(0) = -1$, ce qui équivaut à $-\e^{0} +k = -1$ donc $k=0$.

La primitive de $f$ dont la courbe représentative passe par le point B est donc la fonction $g$ définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par $g(x)=-\e^{-x^2}$.

		\item Soit $m$ un réel strictement positif.
		
$I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t) \d t
= g(m)-g(0)
= -\e^{-m^2} -(-1)
= 1 - \e^{-m^2}$ 

		\item On cherche $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m$:

$\left. 
\begin{array}{l}
\ds\lim_{m\to +\infty} -m^2 = -\infty\\
\text{on pose } M=-m^2\\
\ds\lim_{M\to -\infty} \dfrac{X}{\e^{M}}=0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \ds\lim_{m\to +\infty} \e^{-m^2}=0
\iff \ds\lim_{m\to +\infty} 1- \e^{-m^2}=1 \iff
\ds\lim_{m\to+\infty} I_m = 1$.

	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$.
\begin{tabular}[t]{@{}l !{\ \textbullet\ }l}
La fonction $f$ est & continue sur $I$\\
 & positive sur $I$\\
 & telle que $\ds\lim_{m \to +\infty} \ds\int_{0}^m f(t) \d t = 1$
\end{tabular}

donc la fonction $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $\cd 0~;~+\infty\cd$.

		\item Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité.% Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $P(X \leqslant x) = g(x) + 1$.

Pour tout $x$ de $I$, $P(X \pp x)= \ds\int_{0}^x f(t) \d t = g(x)-g(0)$.

Or $g(0)=-\e^{0}= -1$, donc $P(X \pp x) = g(x)+1$.

		\item% En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \leqslant  \alpha) = 0,5$.

Soit $\alpha$ le réel tel que $P(X \pp \alpha) = 0,5$.

$P(X \pp \alpha) = 0,5 \iff g(\alpha)+1=0,5 \iff g(\alpha)=-0,5\\ 
\phantom{P(X \pp \alpha) = 0,5}\iff -\e^{-\alpha^2}=-0,5 \iff -\alpha^2 = \ln 0,5 \\
\phantom{P(X \pp \alpha) = 0,5} \iff -\alpha^2 = -\ln 2 \iff \alpha^2=\ln 2 \\
\phantom{P(X \pp \alpha) = 0,5} \iff \alpha = \ds\sqrt{\ln 2}$ car $\alpha>0$

		\item% Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ en laissant apparents les traits de construction.
%		
%Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \leqslant \alpha)$.

On construit le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ et on hachure la région du plan correspondant à 

$P(X \leqslant \alpha)$:

\begin{center}
\psset{xunit=2.75cm,yunit=2.75cm}
\def\xmin {-0.5}     \def\xmax {3}
\def\ymin {-1.2}   \def\ymax {1.1}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
\psgrid[subgriddiv=2, griddots=10,gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none,arrowscale=1.7](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]
\def\f{2 x mul 2.7183 -1 x x mul mul exp mul}% définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{\xmax}{\f}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{0.833}{\f}% courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{0.833}{0}{0}%   axe des abscisses
\closepath % indispensable !
}
\def\g{-1 2.7183 -1 x x mul mul exp mul}% définition de la fonction g
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\g}
\uput[ur](1.5,0.316){\red $\mathcal C_f$}
\uput[dr](1.5,-0.105){\blue $\mathcal C_g$}
\psline[ArrowInsideNo=2,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3,linecolor=red,linestyle=dashed](0,-0.5)(0.833,-0.5)(0.833,0)
\uput[dl](0,-0.5){\red $-0,5$}
%\uput[dl](0.833,0){\red $\alpha$}
\uput[dr](0.833,-0.5){\red $(\alpha,g(\alpha))$}
\uput[dl](0.833,0){\red $(\alpha,0)$}
\psdots[linecolor=red](0.833,0)
\psdots[linecolor=red](0.833,-0.5)
\psdots(0.5,1) \uput[ul](0.5,1){A}
\psdots[linecolor=blue](0,-1) \uput[-135](0,-1){\blue B} 
\psplot{-0.5}{0.6}{2 x mul}
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
%
%Il est attribué \textbf{un point par réponse exacte correctement justifiée}. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

\smallskip

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

\medskip

\textbf{Proposition 1}

\smallskip

L'ensemble des points du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est une droite qui passe par le point A d'affixe 3i.

\medskip

\textbf{Proposition vraie}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item
Soit B le point d'affixe $b=4$ et C le point d'affixe $c=-2\i$; on appelle M le point d'affixe $z$.

$|z - 4| = |z + 2\text{i}|
\iff
|z - b| = |z -c|
\iff
\text{MB} = \text{MC}$

Donc l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est la médiatrice $\Delta$ du segment \cd BC\cg.

\item

On appelle $a$ l'affixe du point A.

$\text{AB} = |b-a| = |4-3\i|
= \ds\sqrt{16+9} = 5$

$\text{AC} = |c-a| = |-2\i-3\i| = |-5\i|=5$

Donc le point A est à égale distance de B et de C; il appartient donc à la droite $\Delta$, médiatrice de \cd BC\cg.

\end{list}

L'ensemble des points M du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est donc la droite médiatrice du segment \cd BC\cg{} et cette droite passe par le point A d'affixe 3i.

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.8cm,PtNameMath=false}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pstGeonode[PosAngle={-60,150,0}](4,0){B}(0,-2){C}(0,3){A}
\pstLineAB[nodesep=-1]{B}{C}
\psset{PointNameA=none,PointNameB=none,PointSymbolA=none,PointSymbolB=none}
\pstMediatorAB[nodesep=-3,CodeFig=true,CodeFigColor=red,linecolor=red,RightAngleSize=0.2]{C}{B}{I}{M_I}
\rput(3,-2){A}
\end{pspicture*}
\end{flushright}

\end{minipage}

\medskip

\textbf{Proposition 2}

\smallskip

Soit $(E)$ l'équation $(z -1)\left(z^2 - 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes.

Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle rectangle.

\medskip

\textbf{Proposition vraie}

\medskip


\begin{minipage}{0.6\linewidth}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item L'équation $z-1=0$ a pour solution le nombre $a=1$ affixe d'un point appelé A.

\item On résout dans $\C$ l'équation $z^2-8z+25=0$; $\Delta = 64-100=-36$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjuguées $b=\dfrac{8+6\i}{2} = 4+3\i$ et $c=4-3\i$.

Ces deux nombres complexes $b$ et $c$ sont les affixes de deux points qu'on appelle B et C.

\item L'équation (E) a donc trois solutions qui sont les affixes des trois points A, B et C.

\item 
$\text{AB}^2 = |b-a|^2 = |4+3\i -1|^2 = |3+3\i|^2 = 9+9= 18$

$\text{AC}^2 = |c-a|^2 = |4-3\i -1|^2 = |3-3\i|^2 = 9+9 = 18$

$\text{BC}^2 = |c-b|^2 = |4-3\i -4-3\i|^2 = |-6\i|^2 = 36$

\item
$18+18=36$ donc $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

\end{list}


\end{minipage}
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.8cm,PtNameMath=false}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-4}   \def\ymax {4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
{\red
\pstTriangle[PosAngleA=120,linecolor=red](1,0){A}(4,3){B}(4,-3){C}
}
\pstRightAngle[linecolor=red,RightAngleSize=0.3]{B}{A}{C}
\end{pspicture*}
\end{flushright}

\end{minipage}

\medskip

Donc les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle rectangle.

\medskip 


\textbf{Proposition 3}

\smallskip

$\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \text{i}\right)^8$.

\medskip

\textbf{Proposition fausse}

\medskip

Soit $z$ le nombre complexe $-\sqrt{3}+\i$; on cherche $\theta$ un argument de $z$.

$|z|= \ds\sqrt{\left (-\sqrt{3}\right )^2+1} = \sqrt{4} = 2$

On cherche donc $\theta$ tel que $\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta=\dfrac{1}{2}$;
un argument de $z$ est donc $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$.

\smallskip

D'après le cours, un argument de $z^8$ est 
$8\theta = \dfrac{40\pi}{6} \equiv \dfrac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}$.

Les nombres $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ ne sont pas congrus modulo $2\pi$ donc la proposition est fausse.

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par
$u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
On calcule les premiers termes de la suite $(u_n)$:		
		
\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|>{\ca}p{1cm}|*6{>{\ca}p{1.2cm}|}}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5\\
\hline
$u_n$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$  & $\dfrac{2}{3}$ & $\dfrac{3}{4}$ & $\dfrac{4}{5}$ & $\dfrac{5}{6}$ \rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		
On peut conjecturer que, pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
		
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \textbf{Initialisation}

Pour n=0, $u_n=u_0=0$ et $\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{0}{1}= 0$.

Donc la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{Hérédité}

Soit $n$ un entier naturel quelconque.

On suppose que la propriété est vraie au rang $n$, c'est-à-dire que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ (hypothèse de récurrence).

On va démontrer que la propriété est vraie au rang $n+1$, c'est à dire $u_{n+1} = \dfrac{n+1}{n+2}$.

$u_{n+1} = \dfrac{1}{2-u_n} = \dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} 
= \dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} 
= \dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}}
= \dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} = \dfrac{n+1}{n+2}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P_n \implies \mathcal P_{n+1}$.

\item \textbf{Conclusion}

On a vérifié que la propriété était vraie au rang 0. 

On a démontré que la propriété était héréditaire pour tout $n$. 

Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
		
		\item% En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = 1-\dfrac{1}{n+1}$.

D'après le cours: 
$\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$ 
donc:
$\ds\lim_{n \to +\infty} 1- \dfrac{1}{n+1} = 1$.

On peut donc en déduire que la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ est égale à 1.

	\end{enumerate}

\item% Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant  10^{-3}$.
On complète l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $|u_{n+1} - u_n| \pp 10^{-3}$:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|@{\hspace*{5mm}} l X|}
\hline
 & \\[-5pt]
\textbf{Variables :}		&$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\
\textbf{Initialisation :}	& $n$ prend la valeur $0$\\
							&$a$ prend la valeur $0$\\
							&$b$ prend la valeur $0,5$\\
\textbf{Traitement :}		& Tant que $|b - a| \red > 10^{-3}$\\
							&\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur $\red n+1$\\
							&\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur $\red b$\\
							&\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur $\red \dfrac{1}{2-b}$\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $\red n$\\[-5pt] 
 & \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\emph{Explications}

Pour $n$ donné, $a$ joue le rôle de $u_n$ et $b$ celui de $u_{n+1}$. 

Si l'objectif $|u_{n+1} - u_n| \pp 10^{-3}$ n'est pas atteint, on passe au rang $n+1$: on remplace $u_n$ par $u_{n+1}$, c'est-à-dire $a$ par $b$, et on remplace $u_{n+1}$ par $u_{n+2}$, c'est-à-dire $b$ par $\dfrac{1\rule{0pt}{10pt}}{2-b}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}


%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\subsubsection*{Partie A : Un calcul de volume sans repère}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}
{
On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre.

Les diagonales du carré ABCD mesurent 24~cm. 

On note O le centre du carré ABCD.

On admettra que OS = OA.
}
\hfill 
\parbox{0.48\linewidth}
{
\begin{flushright}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(8,5.2)
\pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA
\psline(3.5,0.5)(4,5)%BS
\psline[linestyle=dashed](4,1.2)(4,5)(4.5,1.9)%OSD
\psline[linestyle=dashed](3.5,0.5)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%BDS
\pspolygon[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC
\uput[l](0.5,1.2){A}\uput[d](3.5,0.5){B}\uput[dr](7.5,1.2){C}
\uput[dr](4,1.2){O}\uput[ur](4.5,1.9){D}\uput[u](4,5){S}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}

\begin{enumerate}
\item% Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
On sait que O est le centre du carré ABCD donc $\text{OA} = \text{OC}$.

On sait que la pyramide SABCD est équilatère à base carrée donc $\text{SA} = \text{SC}$.

\smallskip

On se place dans le triangle SAC.

$\text{SA} = \text{SC}$ donc le triangle SAC est isocèle.

$\text{OA} = \text{OC}$ donc O est le milieu de \cd AC\cg{} et donc (SO)  est  la médiane issue de S du triangle SAC.

Comme le triangle SAC est isocèle de sommet principal S, la médiane issue de S est aussi une médiatrice; on en déduit que (SO) est perpendiculaire à (AC).

\smallskip

En se plaçant  dans le triangle (SBD), on démontre de même que (SO) est perpendiculaire à (BD).

\smallskip

La droite (SO) est perpendiculaire à deux droites sécantes (AC) et (BD) du plan (ABC) donc la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

\item% En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD.
Le volume d'une pyramide est donné par la formule
$V=\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item La base de la pyramide est le carré ABCD dont les diagonales mesurent 24~cm.

Dans le triangle ABC isocèle rectangle en B on a, d'après le théorème de Pythagore, 
$\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2$
ce qui équivaut à 
$2 \text{AB}^2 = 24^2$
ou
$\text{AB}^2 = 288$.

L'aire du carré ABCD est $\text{AB}^2=288 \text{ cm}^2$.

\item D'après le texte, $\text{SO}=\text{OA}$ donc $\text{SO} = \dfrac{24}{2} = 12$.

\end{list}

Le volume de la pyramide est donc
$V=\dfrac{288\times 12}{3} = 1152 \text{ cm}^3$.

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B : Dans un repère}

On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, ~\vect{\text{OS}}\right)$.

On peut donc dire que les points O, A, B et S ont pour coordonnées respectives $(0~;~0~;~0)$, $(1~;~0~;~0)$, $(0~;~1~;~0)$ et $(0~;~0~;~1)$.

Comme O est le milieu de \cd AC\cg{} et de \cd BD\cg{}, on peut dire que les points C et D ont pour coordonnées respectives $(-1~;~0~;~0)$ et $(0~;~-1~;~0)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note P et Q les milieux respectifs des segments \cd AS\cg{} et \cd BS\cg{}.

Donc P et Q ont pour coordonnées respectives $\left (\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right )$ et $\left (0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right )$.

	\begin{enumerate}
		\item Soit  $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(1~;~1~;~- 3)$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Le vecteur $\vect{\text{PC}}$ a pour coordonnées $\left (-\dfrac{3}{2}~;~0~;~-\dfrac{1}{2}\right )$.

$\vect{n}.\vect{\text{PC}} = 1\times \left ( -\dfrac{3}{2}\right ) + 0 + (-3)\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right ) = 0$ donc 
$\vect{n}\perp \vect{\text{PC}}$.

\item Le vecteur $\vect{\text{QC}}$ a pour coordonnées $\left (-1~;~-\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}\right )$.

$\vect{n}.\vect{\text{QC}} = 1\times \left ( -1\right ) + 1\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right ) + (-3)\times \left ( -\dfrac{1}{2}\right ) = 0$ donc 
$\vect{n}\perp \vect{\text{QC}}$.

\item Les vecteurs $\vect{\text{PC}}$ et $\vect{\text{QC}}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

\end{list}

Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs $\vect{\text{PC}}$ et $\vect{\text{QC}}$ non colinéaires, donc il est normal au plan (QPC).

		\item% En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).
Le plan (QPC) est l'ensemble des points M de l'espace tels que les vecteurs $\vect{n}$ et $\vect{\text{CM}}$ soient orthogonaux.

Si M a pour coordonnées $(x~;~y~~;~z~)$, le vecteur $\vect{\text{CM}}$ a pour coordonnées $(x+1~;~y~~;~z~)$.

$\vect{\text{CM}} \perp \vect{n}
\iff
\vect{\text{CM}}\dot\perp \vect{n} = 0
\iff
1\times (x+1) + 1\times y -3\times z = 0
\iff
x+y-3z+1=0$

Le plan (PQC) a pour équation $x+y-3z+1=0$.
	\end{enumerate}
\item  Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).
	\begin{enumerate}
		\item% Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).
La droite (SH) est orthogonale au plan (PQC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect n$ qui est normal au plan (PQC).

La droite (SH) contient le point S de coordonnées $(0~;~0~;~1)$.

La droite (SH) a donc pour représentation paramétrique:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & k\\
y & k\\
z & 1-3k
\end{array}
\right. 
\text{ avec } k \in \R$
		\item% Calculer les coordonnées du point H.
$\text H \in \text{(SH)} \cap \text{(PQC)}$ donc les coordonnées de H sont solutions du système:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
x & k\\
y & k\\
z & 1-3k\\
x+y-3z+1 & 0 \hfill{}\\
\end{array}
\right.$

On a donc $k+k-3(1-3k)+1=0 \iff 11k=2 \iff k=\dfrac{2}{11}$.

$1 - 3k=1 - 3\times \dfrac{2}{11} = 1 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11}$

Les coordonnées de H sont donc $\left ( \dfrac{2}{11}~;~\dfrac{2}{11}~;~\dfrac{5}{11}\right )$.

		\item% Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
$\text{SH}^2 
= \left ( \dfrac{2}{11} - 0 \right )^2 + \left ( \dfrac{2}{11} - 0 \right )^2 + \left ( \dfrac{5}{11} - 1 \right )^2
=  \dfrac{4}{11^2} + \dfrac{4}{11^2} + \dfrac{36}{11^2}
= \dfrac{44}{11^2}$
donc
$\text{SH} = \dfrac{\sqrt{44}}{11} = \dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.

	\end{enumerate}

\item On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$

%Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.

La pyramide SPQCD a pour base le quadrilatère PQCD et pour hauteur SH; son volume est donc

$V'=\dfrac{\text{SH}\times \text{aire(PQCD}}{3} 
= \dfrac{\dfrac{2\sqrt{11}}{11}\times \dfrac{3\sqrt{11}}{8}}{3}
= \dfrac{\dfrac{6}{8}}{3} =\dfrac{1}{4}$ unité de volume.
   
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie C : Partage équitable}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et
Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les
diagonales du carré de base mesurent 24~cm.

Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement,
en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors
qu'Anne arrête son geste et lui propose une
découpe plus originale :

\og Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé \fg.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}
{
\begin{flushright}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,5.2)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,3.2)(4,5)(7.5,1.2)(4.5,1.9)
\pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA
\psline(3.5,0.5)(4,5)%BS
\psline(2.4,3.2)(3.8,3)(7.5,1.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.4,3.2)(4.5,1.9)
\uput[l](0.5,1.2){A} \uput[d](3.5,0.5){B} 
\uput[-30](7.5,1.2){C} \uput[d](4.5,1.9){D}
\uput[160](2.4,3.2){P} \uput[20](3.8,3){Q} 
\uput[u](4,5){S}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}

\medskip

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables.

%Est-ce le cas ? Justifier la réponse.
\medskip

Dans le repère de la partie B, la longueur OA est égale à une unité de longueur et à 12~cm.
Donc l'unité de longueur vaut 12~cm et l'unité de volume vaut $12^3=\np{1728} \text{ cm}^3$.

Le volume de la pyramide SABCD est égal à \np{1152}~cm$^{3}$.

Le volume de la pyramide SPQCD est égal à 0,25 unité de volume, soit $0,25 \times \np{1728} = 432 \text{ cm}^3$.

Or $\dfrac{\np{1152}}{2} = 576 \neq 432$ donc le partage proposé par Fanny n'est pas équitable.

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\textbf{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à } \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath

\medskip

On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un module électronique.
Si un module subit une panne, il est changé.

\medskip

\subsubsection*{Partie A : Étude des pannes du module mécanique}

\medskip

Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ce qui veut dire que $P (D < 48) = 1- \np{0,7977} = 0,2023$.

$D<48 \iff D-50 < -2 \iff \dfrac{D-50}{\sigma} < -\dfrac{2}{\sigma}$

D'après le cours, si $D$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z=\dfrac{D-\mu}{\sigma}$ suit la loi nromale centrée réduite.

On cherche donc le réel $\beta$ tel que $P(Z<\beta) = 0,2023$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

À la calculatrice, on trouve $\beta\approx \np{-0,8334340}$ donc $\sigma \approx -\dfrac{2}{\np{-0,8334340}}  \approx \np{2,3997}$.

\end{enumerate}

\textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra }\boldmath$\sigma = 2,4.$\unboldmath

\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois est $P(45 \pp D \pp 52)$.

On trouve à la calculatrice \np{0,7791} comme valeur arrondie à $10^{-4}$ de la probabilité cherchée.

\item La probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois est
$P_{(D\pg 48)} (D \pg 48+6)$:

$P_{(D\pg 48)} (D \pg 54) = \dfrac{P\left ((D \pg 54) \cap (D\pg 48)\right )} {P(D\pg 48)}$

$P\left ((D \pg 54) \cap (D\pg 48)\right ) = P(D \pg 54) \approx \np{0,04779}$
et
$P(D \pg 48) \approx \np{0,79767}$

$P_{(D\pg 48)} (D \pg 54) \approx \dfrac{\np{0,04779}}{\np{0,79767}}
\approx \np{0,0599}$

La valeur approchée à $10^{-4}$ de la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois est \np{0,0599}.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B: Étude des pannes d'origine électronique}

\medskip

Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs:
$P(a \pp T \pp b) = \ds\int_{a}^{b} \lambda \e^{-\lambda t} \d t 
= \left [ -\e^{-\lambda t} \rule{0pt}{10pt} \right ]_{a}^{b}
= \e^{-\lambda a}-\e^{-\lambda b}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le service statistique indique que $P(0 \leqslant  T \leqslant 24) = 0,03$ donc $\lambda$ vérifie l'égalité
$\ds\int_{0}^{24} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = 0,03$
ou encore
$1-\e^{-24\lambda} = 0,03$.
On résout cette équation d'inconnue $\lambda$:

$\begin{array}{l @{\iff} l}
1-\e^{-24\lambda} = 0,03 & 0,97 = \e^{-24\lambda}\\
                         & \ln (0,97) = -24\lambda\\
                         & -\dfrac{\ln(0,97)}{24} = \lambda
\end{array}$

La valeur de $\lambda$ telle que $P(0 \leqslant  T \leqslant 24) = 0,03$ est $\lambda = -\dfrac{\ln(0,97)}{24}$.

\end{enumerate}

\textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra } \boldmath $\lambda = \np{0,00127}.$\unboldmath

\begin{enumerate}[resume]
\item% Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois.
$P(24 \pp T \pp 48) = \e^{-24\lambda} - \e^{-48\lambda}
\approx \np{0,0291}$

La valeur approchée à $10^{-4}$ de la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois est \np{0,0291}.

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a :  $P_{T \geqslant t}(T \geqslant  t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $P(T\pp b) = 1-\e^{-b\lambda} \implies P(T\pg b) = 1- P(T\pp b) = 1 - \left ( 1-\e^{-b\lambda}\right )
= \e^{-b\lambda}$

\item $h>0 \implies (T \geqslant  t + h) \cap (T \geqslant t) = (T \geqslant  t + h)$

\end{list}

$P_{T \geqslant t}(T \geqslant  t + h)
= \dfrac{P\left( (T \geqslant  t + h) \cap (T \geqslant t) \right )}{P(T \geqslant t)}
= \dfrac{P (T \geqslant  t + h)}{P(T \geqslant t)}
=  \dfrac{\e^{-(t+h)\lambda}}{\e^{-t\lambda}}
=  \dfrac{\e^{-t\lambda} \times \e^{-h\lambda}}{\e^{-t\lambda}}
= \e^{-h\lambda}\\
\phantom{P_{T \geqslant t}(T \geqslant  t + h)}
= P(T \pg h)
$

\smallskip

Donc la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.

		\item Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. La probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants est
$P_{T\pg 36}(T\pg 36 + 12)$ qui est égal à $P(T\pg 12)$ d'après la question précédente.

$P(T\pg 12) = \e^{-12\lambda} \approx \np{0,9849}$

La valeur approchée à $10^{-4}$ de la probabilité que le module électronique fonctionne encore $12$ mois, sachant qu'il a déjà fonctionné 36 mois, est égale à \np{0,9849}.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie C: Pannes d'origine mécanique et électronique}

\medskip

On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants donc
 
\hfill{}$P\left ((D \geqslant 48)\cap (T \geqslant 48)\right ) = P(D \geqslant 48)\times P(T \geqslant 48)$.\hfill{}

La probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois est 

\hfill{}$P\left ((D \geqslant 48)\cap (T \geqslant 48)\right ) 
= P(D \geqslant 48)\times P(T \geqslant 48)
= \np{0,7977} \times \e^{-48\lambda}
\approx \np{0,7505}$\hfill{}

\bigskip

\textbf{Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne}

\medskip

Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans.

%Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ? Justifier la réponse.

$P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ donc $p=\np{0,7977}$

$n=300\pg 30$; $np= 239,31\pg 5$ et $n(1-p) = 60,69 \pg 5$ donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%:

\setlength\parindent{30mm}
$I = \left [ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]$

\smallskip

$\phantom{I}
= \left [ \np{0,7977} -1,96 \dfrac{\sqrt{\np{0,7977}(1-\np{0,7977})}}{\sqrt{300}}~;~\np{0,7977}+1,96 \dfrac{\sqrt{\np{0,7977}(1-\np{0,7977})}}{\sqrt{300}}\right ]$

\smallskip

$\phantom{I}
\approx \cd \np{0,7522} ~;~ \np{0,8432} \cg$
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

La fréquence de climatiseurs ayant encore leur module mécanique en fonctionnement après 4 ans (ou 48 mois) est
$f=\dfrac{246}{300} = 0,82$.

\smallskip

Or $f\in I$ donc il n'y a pas lieu de remettre en cause le résultat donné par le service statistique.


\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les entiers naturels 1, 11, 111, \np{1111}, \ldots{} sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.

Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre~1~:
\renewcommand\arraystretch{0.7}
\[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{tabular}{c}\tiny $p${} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1
\end{tabular}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

%\vspace{-0.3cm}

%Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.
%
%L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5.
Le chiffre des unités de $N_p$ est 1 donc $N_p$ est impair donc il n'est pas divisible par 2.

Et comme le chiffre des unités n'est ni 0 ni 5, le nombre $N_p$ n'est pas divisible par 5.


\item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3.

	\begin{enumerate}

		\item% Prouver que, pour tout entier naturel $j$,\: $10^j \equiv  1 \:\:\text{mod}\:3$.
$10=3\times 3+1 \equiv 1 \mod 3$ et donc, pour tout $j$ de $\N$, $10^{j} \equiv 1^j \mod 3$ donc $10^{j} \equiv 1 \mod 3$.

		\item% En déduire que $N_p \equiv  p \:\:\text{mod}\:3$.
$N_p$ est la somme de $p$ termes de la forme $10^j$ avec $j\in\N$, et
pour tout $j$ de $\N$,  $10^j   \equiv 1 \mod 3$.

Donc $N_p \equiv p \mod 3$.

		\item% Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3.
On peut donc dire que $N_p$ est divisible par 3 si et seulement si $p$ est divisible par 3.

	\end{enumerate}

\item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif appartenant à $\left \lbrace-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3 \rule{0pt}{9pt}\right \rbrace$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$:
		
%\emph{On ne demande pas de justification.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$	&0	&1	&2	&3		&4		&5		&6\\ \hline
$a$	&1	&3	&2	&$-1$	&$-3$	&$-2$	&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
		
%Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.

La division euclidienne de $p$ par 6 permet d'écrire $p=6q+r$ avec $q\in \N$ et $r \in \left \lbrace 0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5 \rule{0pt}{9pt} \right \rbrace$.

$10^p=10^{6q+r} = 10^{6q}\times 10^r = \left (10^6 \right )^q \times 10^r$

Or d'après la question précédente, $10^6 \equiv 1 \mod 7$ donc $\left( 10^6 \right)^q \equiv 1^q \mod 7$ et donc $10^{6q} \equiv 1 \mod 7$. 

On en déduit que $10^p \equiv 10^r \mod 7$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item
Si $p$ est un multiple de 6, alors $r=0$ et 
$10^{r}=10^{0} \equiv 1 \mod 7$.
Donc $10^{p} \equiv 1 \mod 7$.

\item
Si $p$ vérifie  $10^p \equiv 1 \mod 7$, alors $10^r \equiv 1 \mod 7$ où $r$ est le reste de la division de $p$ par 6.

D'après le tableau de la question précédente, la seule valeur possible de $r$ dans $\left \lbrace 0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5 \rule{0pt}{9pt} \right \rbrace$ pour que $10^{r} \equiv 1 \mod 7$ est $r=0$. On en déduit que $p$ est un multiple de 6. 

\end{list}

On a donc démontré que $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de 6.

%\emph{On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.}

		\item% Justifier  que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$.
$N_p= \ds\sum_{k=0}^{p-1} 10^{k} = 1+10+10^2+ \ldots + 10^{p-1}$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 10.

Donc $N_p= \text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} = 1\times \dfrac{1-10^{p}}{1-10} = \dfrac{10^p-1}{9}$.		
		
		
		\item% Démontrer que \og  7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og  7 divise $9N_p$ \fg.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item
Si 7 divise $N_p$, alors 7 divise tout multiple de $N_p$ donc 7 divise $9 N_p$.

\item On suppose que 7 divise $9 N_p$. 

On sait que 7 et 9 sont premiers entre eux; donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise $N_p$.

\end{list}

On a démontré que  \og  7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og  7 divise $9N_p$ \fg.

		\item% En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
On a vu dans une question précédente que $N_p=\dfrac{10^p-1}{9}$ ce qui équivaut à $9N_p= 10^p-1$.

$\begin{array}{l !{\iff} l l}
N_p \text{ est divisible par } 7 
       & 9 N_p  \text{ est divisible par } 7 & \text{(question d.)} \\
       & 9 N_p \equiv 0 \mod 7 & \\
       & 10^p - 1 \equiv 0 \mod 7\\
       & 10^p \equiv 1 \mod 7 \\
       & p \text{ est multiple de } 6 & \text{(question b.)}
\end{array}$

	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire
$n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$.
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau de congruences ci-dessous:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n \equiv \ldots \ \ [10]$&  0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}$n^2 \equiv \ldots \ \ [10]$& 0 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 \\ 
\hline
\end{tabularx}	
\end{center}

		\item% En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m - 1$.
D'après le tableau de la question précédente, pour avoir $n^2 \equiv 1 \mod 10$ il faut 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item soit $n \equiv 1 \mod 10$ donc $n=10m+1$ avec $m\in \N$;
\item soit $n \equiv 9 \mod 10$ donc $n=10m'+9$ ou $n=10m-1$ avec $m\in \N$.
\end{list}

		\item% Conclure que $n^2 \equiv  1 \:\: \text{mod}\: 20$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $n=10m+1$, alors $n^2= 100m^2 + 20m +1 = 20\left (5m^2+m\right )+1 \equiv 1 \mod 20$;
\item Si $n=10m-1$, alors $n^2= 100m^2 - 20m +1 = 20\left (5m^2-m\right )+1 \equiv 1 \mod 20$.
\end{list}

	\end{enumerate}

\item Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On sait que $N_p= \ds\sum_{k=0}^{p-1} 10^{k}$.

Pour tout $k\pg 2$, $10^{k} = 100\times 10^{k-2} = 20\left ( 5\times 10^{k-2}\right )\equiv 0 \mod 20$.
Donc $\ds\sum_{k\pg 2} 10^k \equiv0 \mod 20$.

Donc $N_p \equiv 1+10\mod 20$ c'est-à-dire $N_p\equiv 11\mod 20$.

\item% En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier.
On a vu que $n^2\equiv 1 \mod 10 \implies n^2 \equiv 1 \mod 20$; donc tout nombre qui a pour reste 1 dans la division par 10 et qui est un carré parfait, a pour reste 1 dans la division par 20.

Le nombre $N_p$ a pour reste 1 dans la division par 10 et pour reste 11 dans la division par 20. 

Donc $N_p$ ne peut pas être le carré d'un entier. 

\end{enumerate}

\end{document}

\newpage


\subsection*{ANNEXES (à compléter et à remettre avec la copie)}

\bigskip

\subsubsection*{Annexe 1 (Exercice 1)}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=4cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(2.6,1.2)
\multido{\nb=-1.0+0.5}{5}{
\multido{\n=-0.50+0.04,\na=-0.48+0.04}{80}{\psline(\n,\nb)(\na,\nb)}}
\multido{\nb=-0.5+0.5}{7}{
\multido{\n=-1.00+0.04,\na=-0.98+0.04}{50}{\psline(\nb,\n)(\nb,\na)}}

\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-1)(2.6,1.2)
\psaxes[linewidth=1.4pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](0.55,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.55){$\vect{\jmath}$}
\uput[ul](0.5,1){A}\uput[ul](0,-1){B}
\uput[u](2.2,0.1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](2.2,-0.05){\red $\mathcal{C}_g$}
\psplot{-0.6}{0.6}{x 2 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.6}{2 x mul 2.71828 x dup mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.6}{1 2.71828 x dup mul exp div neg}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection*{Annexe 2 (Exercice 3)}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}		&$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\
\textbf{Initialisation :}	& $n$ prend la valeur $0$\\
							&$a$ prend la valeur $0$\\
							&$b$ prend la valeur $0,5$.\\
\textbf{Traitement :}		& Tant que $|b - a|$\ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
							&\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
							&Fin Tant que.\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher \ldots \ldots.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}