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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Olivier Noël et Denis Le Fur
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 16  novembre 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud
~\decofourright\\16 novembre 2011}}
\end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$ par :
%
%\[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x + 1}.\]
%  
%On considère la suite définie pour tout $n \in \N$ par : 
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}	&=&4\\
%u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)
%\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item %On a tracé, en annexe 1, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur le graphique en annexe 1, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$. Faire apparaître les traits de construction.
Voir à la fin. 
		\item %Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la suite est décroissante et qu'elle converge vers $1$. 
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n \in \N$.
\emph{Initialisation :} $u_{0} = 4 > 1$. L'inégalité est vraie au rang $0$ ;

\emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $k \geqslant 0$ tel que $u_{k} > 1$.

Alors $u_{k} + 1 > 2 \Rightarrow \dfrac{1}{u_{k} + 1} < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{4}{u_{k} + 1} < 2 \Rightarrow - \dfrac{4}{u_{k} + 1} > - 2 \Rightarrow 3 - \dfrac{4}{u_{k} + 1} > 1$.

Or $3 - \dfrac{4}{u_{k} + 1} = u_{k+1}$.

On a donc démontré que si $u_{k} > 1$, alors $u_{k+1} > 1$.

Conclusion : on a démontré par récurrence que quel que soit le naturel $n,\:u_{n} > 1$.
		\item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
La fonction $f$ somme de fonctions dérivables sur  $]- 1~;~ +\infty[$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f^{\prime}(x) = \dfrac{4}{(x + 1)^2} > 0$ car quotient de deux nombres supérieurs à zéro.

La fonction $f$ est donc croissante sur $]- 1~;~ +\infty[$.

Montrons par récurrence la décroissance de la suite :

\emph{Initialisation :} $u_{1} = 2,2 < u_{0} = 4$. La relation est vraie au rang $0$ ;

\emph{Hérédité :} Supposons qu'il existe un naturel $k \geqslant 0$ tel que $u_{k}< u_{k - 1}$ ; la fonction $f$ étant croissante (tous les termes étant supérieurs à 1), on a $f\left(u_{k} \right) <  f\left(u_{k-1} \right) \iff u_{k+1} < u_{k}$.

On a donc démontré que quel que soit le naturel $n,\:u_{n + 1} <  u_{n}$.
		\item %Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite.
		On a démontré que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $1$ : elle est donc convergente vers un nombre $\ell$  supérieur ou égal à $1$.
		
La fonction $f$ est continue car dérivable sur $]- 1~;~ +\infty[$ ; la relation de récurrence 

$u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ donne à la limite $\ell = f(\ell) \iff \ell = 3 - \dfrac{4}{\ell + 1} \iff \ell(\ell + 1) = 3(\ell + 1) - 4 $

$\iff \ell^2 + \ell - 3\ell - 3 + 4 = 0\iff \ell^2 - 2\ell +1 = 0 \iff (\ell - 1)^2 = 0\iff \ell - 1 = 0 \iff \ell = 1$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. 
%
%On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note :
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item $V$ l'évènement : \og le dé tiré est vert \fg 
%\item $R$ l'évènement : \og le dé tiré est rouge \fg 
%\item $S_{1}$ l'évènement : \og on obtient 6 au lancer du dé \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item %On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. 


\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$V$}\taput{$\frac{2}{3}$}}
	  { 
		  \TR{$S_{1}$}\taput{$\frac{1}{6}$}
		  \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{$\frac{5}{6}$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{R}\tbput{$\frac{1}{3}$}}
	  {
		  \TR{$S_{1}$}\taput{$\frac{4}{6}$}
		  \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{$\frac{2}{6}$}	   
	  }
	
}
\end{center} 

		\item %Calculer la probabilité $P\left(S_{1}\right)$.
		D'après la loi des probabilités totales on a :
		
$P\left(S_{1}\right) = P\left(V \cap S_{1}\right) + P\left(R \cap S_{1}\right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{6}  + \dfrac{1}{3}  \times \dfrac{4}{6}  = \dfrac{2}{18} + \dfrac{4}{18} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item %On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé $n$ fois de suite. On note $S_{n}$ l'évènement : \og on obtient 6 à chacun des $n$ lancers \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que : 

%\[P\left(S_{n}\right) =  \dfrac{2}{3} \times  \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n.\]
Le tirage d'un dé vert a une probabilité de $\dfrac{2}{3}$ et celui du dé rouge de  $\dfrac{1}{3}$.

Dans chaque cas le lancer $n$ fois de suite est un schéma de Bernouilli de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{6}$ pour le dé vert et de $n$ et $\dfrac{4}{6}$ pour le dé rouge. La probabilité de tirer $n$ 6 est donc :

\[P\left(S_{n}\right) = \overbrace{\dfrac{2}{3} \times  \left(\dfrac{1}{6}\right)^n}^{\text{dé vert}} + \overbrace{\dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{4}{6} \right)^n}^{\text{dé rouge}} = \dfrac{2}{3} \times  \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n.\]

		\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_{n}$ la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ lancers.
		 
%Démontrer que : 

%\[p_{n} = \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1 }.\]

D'après la question précédente la probabilité d'avoir tiré le dé vert puis obtenu $n$ fois 6 est égale à $\dfrac{2}{3} \times  \left(\dfrac{1}{6}\right)^n$ et la probabilité d'avoir tiré $n$ fois de suite le 6 est égale à $P\left(S_{n}\right)$.

On a donc $p_{n} = p_{\text{tirer}\: n\: 6}(\text{tirer le dé rouge}) = \dfrac{\text{tirer}\: n\: 6 \:\text{et tirer le dé rouge}}{\text{tirer}\: n\: 6} =$

$ \dfrac{\dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n}{\dfrac{2}{3} \times  \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n} = $ en multipliant par $3 \times 3^n, \quad p_{n} = \dfrac{2^{n}}{2\times \frac{1}{2^n} + 2^{n}} =$

$ \dfrac{2^n}{2^{1 - n} + 2^n} = \dfrac{1}{2^{1 - 2n} + 1} = \dfrac{1}{2\times 2^{-2n} + 1} = \dfrac{1}{2 \times \frac{1}{2^{2n}} + 1} = \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1 }$.

		\item %Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que $p_{n} \geqslant  0,999$ pour tout $n \geqslant  n_{0}$.
On a $p_{n}\geqslant  0,999 \iff \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1 } \geqslant  0,999 \iff 1 \geqslant 0,999\left[2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1\right] \iff$

$ 1 \geqslant 1,998 \left(\frac{1}{4} \right)^n + 0,999 \iff 0,001 \dfrac{1,998}{4^n} \iff 1 \geqslant \dfrac{\np{1998}}{4^n} \iff 4^n > \np{1998} \iff n \ln 4 \geqslant \ln \np{1998} \iff n \geqslant \dfrac{\ln \np{1998}}{\ln 4} \approx 5,4$

Conclusion : $n_{0} = 6$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

%\[g(x) = x^2(1 - \ln x).\]

%\textbf{Partie A Étude de la fonction}\: \boldmath  $g$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
Ob a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \ln x = - \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
\item %Déterminer la limite de $g$ en 0.
On a $g(x) = x^2 - x^2 \ln x$.

On a  $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ et on sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2\ln x = 0$, donc par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$.
\item %Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
$g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ car produit de sommes de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$g^{\prime}(x) = 2x(1 - \ln x) + x^2 \times \left(- \dfrac{1}{x} \right) = 2x - 2x\ln x - x = x - 2x \ln x = x(1 - 2\ln x)$ qui est du signe de $1 - 2\ln x$ puisque $x$ est positif.

Or $1 - 2\ln x > 0 \iff 1 > 2\ln x \iff \dfrac{1}{2} > \ln x \iff \text{e}^{\frac{1}{2}} > x$ et de même  $1 - 2\ln x < 0 \iff x > \text{e}^{\frac{1}{2}}$ (ou $x > \sqrt{\text{e}}$).

La fonction est donc croissante sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$ et décroissante sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty\right[$, avec un maximum $f\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right) = \left[\text{e}^{\frac{1}{2}} \right]^2 \left(1 - \ln \text{e}^{\frac{1}{2}}\right) = \text{e} \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \text{e} \times \frac{1}{2} = \dfrac{\text{e}}{2}$.
\item %En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[,\: g$ croît de $0$ à $\dfrac{\text{e}}{2}$, puis de décroît de $\dfrac{\text{e}}{2}$ à $- \infty$.

La fonction $g$ étant continue car dérivable s'annule donc en point unique de $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty\right[$ tel que :

$g(x) = 0 \iff x^2(1 - \ln x) = 0 \iff 1 - \ln x$\:(puisque $x \neq 0$) \: $\iff 1 = \ln x \iff x = \text{e}$.

Conclusion : la fonction $g$ est positive sur $]0~;~\text{e}[$ et négative sur $]\text{e}~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie  B Représentation graphique et aire sous la courbe}

\medskip

%Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$. 

\begin{enumerate}
\item %Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 5~cm et donné en annexe 2.
Voir l'annexe 2. 
\item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. La tracer sur le graphique.
On a $g(1) = 1^2(1 - \ln 1) = 1$.

Le coefficient directeur de la tangente  à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ est le nombre dérivé 

$f'(1) = 1(1 - 2\ln 1) = 1$.

Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ est donc :

$M(x~;~y) \in (T) \iff y - g(1) = g^{\prime}(1)(x - 1) \iff y - 1 = x - 1 \iff y = x$.
\item %Calculer l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
On a vu que la fonction $g$ est positive sur $]0~;~\text{e}[$, donc sur $]1~;~\text{e}[$.

L'aire, en unités d'aire de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$ est donc égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} x^2(1 - \ln x)\:\text{d}x$.

En posant : $\begin{array}{l l}
u^{\prime} = x^2&v = 1 - \ln x\\
u = \dfrac{x^3}{3}&v' = - \dfrac{1}{x}
\end{array}$

Toutes ces fonctions étant continues, on peut intégrer par parties :

$\mathcal{A} = \left[\dfrac{x^3}{3}(1 - \ln x)  \right]_{1}^{\text{e}}- \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{x^3}{3} \times \left(- \dfrac{1}{x} \right)\:\text{d}x =
\left[\dfrac{x^3}{3}(1 - \ln x)  \right]_{1}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{x^2}{3}\:\text{d}x  =$

$ \left[\dfrac{x^3}{3}(1 - \ln x) + \dfrac{x^3}{9}  \right]_{1}^{\text{e}} = \dfrac{\text{e}^3}{3}(1 - 1) - \dfrac{1}{3} + \dfrac{\text{e}^3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{\text{e}^3}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{\text{e}^3 - 4}{9}$~(u. a.).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation 

%\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]
$z^2 - 2z + 5 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 5 = 0 \iff (z - 1)^2 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - (2\text{i})^2 = 0 \iff$

$ (z - 1 + 2\text{i})(z - 1 - 2\text{i}) = 0$

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : $1 + 2\text{i}$ et  $1 - 2\text{i}$.
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 

%On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :
 
%\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
Voir la figure ci-dessous.
		\item %Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \dfrac{1 - 2\text{i}- 1 - \sqrt{3} - \text{i}}{1 + 2\text{i} - 1 - \sqrt{3} - \text{i}} \dfrac{- 3\text{i} - \sqrt{3}}{\text{i} - \sqrt{3}} =$

$ \dfrac{\left(- 3\text{i} - \sqrt{3} \right)\left(\text{i} + \sqrt{3} \right)}{\left(\text{i} - \sqrt{3} \right)\left(\text{i} + \sqrt{3} \right)} = \dfrac{3 - 3\text{i}\sqrt{3} - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{\text{i}^2 - 3} = \dfrac{-4\text{i}\sqrt{3}}{- 4} = \text{i}\sqrt{3}$. 
		\item %En déduire la nature du triangle ABC.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \text{i}\sqrt{3}$ (imaginaire pur) : cette égalité montre qu'un argument du quotient est égal à $\dfrac{\pi}{2}$, soit $\left(\vect{\text{CA}},~\vect{\text{CB}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Conclusion le triangle ABC est rectangle en C. (non isocèle car CB $= \sqrt{3}$CA)
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.
Le triangle ABC est rectangle d'hypoténuse [AB] ; il est donc inscrit dans un cercle $\Gamma$ de centre le milieu de [AB] soit le point d'affixe $1$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$AB = 2.

Dans la symétrie autour de l'axe $\left(\text{O},~\vect{u}\right)$ les points A et B sont symétriques de même que les points C et D puisque leurs affixes sont conjuguées.

Le symétrique du triangle ABC est donc le triangle BAD. La symétrie étant une isométrie, le triangle BAD est lui aussi rectangle en D donc inscrit dans le même cercle $\Gamma$  centré au milieu de [AB] et de rayon 2. 
\item %Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée.
C est le point partie réelle positive, intersection du cercle précédent $\Gamma$  et de la droite d'équation $y = 1$.idem pour D avec la droite d'équation $y = - 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(1,2)(1,-2)(2.732,1)(2.732,-1)
\uput[ur](1,2){A} \uput[dr](1,-2){B} \uput[ur](2.732,1){C} \uput[dr](2.732,-1){D}
\pspolygon[linecolor=blue](1,2)(1,-2)(2.732,1)
\pspolygon[linecolor=blue](1,2)(1,-2)(2.732,-1)
\pscircle[linecolor=red,linestyle=dashed](1,0){2}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,1)(3,1)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,-1)(3,-1)
\uput[dr](2,-1.7){$\Gamma$}  
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 5 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère le point A de coordonnées $(-1~;~-1~;~1)$ et les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ de représentations paramétriques :

%\[\mathcal{D}\:\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&\phantom{-}2t - 1 \\
%y&=&-3t + 2\\
%z&=&\phantom{-}t
%\end{array}\right.\:  \text{où}\: t \in \R \qquad 
%\mathcal{D}'\:\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&3t' \\
%y&=&t' + 2\\
%z&=&3t' - 2
%\end{array}\right.\:  \text{où}\: t' \in \R\]
 
\textbf{Proposition 1 :} %\og Le point A appartient à la droite $\mathcal{D}$ \fg.

Faux : on devrait avoir $t = 1$, mais alors $x = 1$.
 
\textbf{Proposition 2 :} %\og Le plan perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ passant par le point O a pour équation : 

$2x - 3y + z = 0$ \fg.
La droite $\mathcal{D}$ a un vecteur directeur de cordonnées $(2~;~-3~;~1)$ qui est un vecteur normal au plan : une équation de ce plan est $2x - 3y + z = a$ et comme O appartient à ce plan on a $a = 0$. Vrai.
 
\textbf{Proposition 3 :} %\og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales \fg. 
On a vu qu'un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vect{u}(2~;~-3~;~1)$ ; de même un vecteur directeur de $\mathcal{D}'$ est $\vect{v}(3~;~1~;~3)$.

Or $\vect{u} \cdot \vect{v} = 6 - 3 + 3 \neq 0$ : les vecteurs ne sont pas orthogonaux, donc les droites ne sont pas orthogonales.

\textbf{Proposition 4 :} %\og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires \fg. 
Les droites sont coplanaires si elles sont parallèles, ce qui est faux puisque leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, ou si elles ont un point en commun.

On devrait donc avoir $z = t = 3t' - 2$ soit en remplaçant dans $x = 2t - 1 = 2(3t' - 2) - 1 = 6t' - 5$.

Or $6t' - 5 = 3t' \iff 3t' = 5 \iff t' = \dfrac{5}{3}$ et $t = 3t' - 2 = 5 - 2 = 3$.

Or avec l'équation de $\mathcal{D}$, on aurait $y = - 9 + 2 = -7$ et avec celle de $\mathcal{D}'$, on aurait $y = \dfrac{5}{3} + 2 = \dfrac{11}{3}$. Il n'y a donc pas de point commun.  

Conclusion : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires. Faux.
 
\textbf{Proposition 5 :} %\og La distance du point A au plan d'équation $2x - 3y + z = 0$ est $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$. 
On a $d = \dfrac{|-2 + 3 + 1|}{\sqrt{2^2 + (- 3)^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{14}} = \dfrac{2\sqrt{14}}{14} = \dfrac{\sqrt{14}}{7}$. Vrai.
\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 5 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{Proposition 1 :} %\og Le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2011}}$ par 7 est 2 \fg.

On a $\np{2011} = 7 \times 287 + 2$, donc $\np{2011} \equiv 2 \quad [7]$.

On en déduit que $\np{2011}^3 \equiv 2^3 \quad [7]$ ou encore $\np{2011}^3 \equiv 8 \quad [7]$ ou plus simplement $\np{2011}^3 \equiv 1 \quad [7]$.

Or $\np{2011} = 3 \times 670 + 1$, donc $\np{2011}^{\np{2011}} = \np{2011}^{3 \times 670 + 1} = \np{2011} \times  \np{2011}^{3 \times 670} = \np{2011} \times  \left(\np{2011}^3\right)^{670}$.

On a vu que  $\np{2011}^3 \equiv 1 \quad [7]$, donc $\left(\np{2011}^3\right)^{670} \equiv 1^{670}$ soit $\left(\np{2011}^3\right)^{670} \equiv 1$

Finalement comme $\np{2011} \equiv 2 \quad [7]$ et $\left(\np{2011}^3\right)^{670} \equiv 1$ par produit on obtient $\np{2011}^{\np{2011}} \equiv 2 \times 1\quad [7]$ soit $\np{2011}^{\np{2011}} \equiv 2 \quad [7]$. Vrai.
\medskip
 
\item[$\bullet~~$] %Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls.
 
\textbf{Proposition 2 :} %\og S'il existe un couple de nombres entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $ua + vb = 3$, alors PGCD$(a,~b) = 3$ \fg. 
Faux : Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe deux entiers $u'$ et $v'$ tels que 

$au' + bv' = 1 \Rightarrow 3(au') + 3(bv') = 3 \iff a(3u') + b(3v') = 3$.

Avec $u = 3u'$ et $v = 3v'$, on a bien $au + bv = 3$ et PGCD$(a~;~b) = 1$.
\medskip

\item[$\bullet~~$] %Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$.
 
\textbf{Proposition 3 :}  %\og L'entier $n^2 - 3n - 10$ n'est jamais un nombre premier \fg.
 $n^2 - 3n - 10 = \left(n - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 10 =  \left(n - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{49}{4} = 0 \iff \left(n - \frac{3}{2} + \frac{7}{2}\right)\left(n - \frac{3}{2} - \frac{7}{2}\right) =$
 
$(n + 2)(n - 5)$.
 
Pour $n = 5$ le nombre est nul donc non premier.

Pour $n = 6$ le nombre est 8 qui n'est pas premier

Pour $n > 6,\:$ le nombre a deux diviseurs au moins distincts de 1 et de lui-même  : $n + 2$ et $n - 5$ : il n'est donc pas premier. Vrai
%L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\medskip
 
\item[$\bullet~~$] %On considère le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$.
 
%Soit A le point de coordonnées $(-2~;~-1~;~\gamma)$.
 
\textbf{Proposition 4 :} %\og Il existe un unique réel $\gamma$ tel que le point A appartient au cône $\Gamma$ \fg.
A$(-2~;~-1~;~\gamma) \in \Gamma \iff 4 + 1 = 5\gamma^2 \iff 5 = 5\gamma^2 \iff 1 = \gamma^2 \iff \gamma= 1\quad \text{ou}\quad \gamma = - 1$. Faux.
\medskip
 
\item[$\bullet~~$] %On coupe le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ par le plan $\mathcal{P}_{a}$ d'équation $x = a$ où $a \in \R$. 

\textbf{Proposition 5 :} %\og Cette intersection peut être la réunion de deux droites \fg.
Tout point de l'intersection a ses coordonnées qui vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 &=& 5z^2\\
x&=&a
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a^2 + y^2 &=& 5z^2\\
x&=&a
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y^2 - 5z^2&=&- a^2 \\
x&=&a
\end{array}\right. $. Cette équation est celle d'une hyperbole, mais si $a = 0$, cette équation se réduit à $y^2 - 5z^2 = 0 \iff \left(y + z\sqrt{5}\right)\left(y - z\sqrt{5}\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y &=& z\sqrt{5} \quad \text{ou}\\
y &=&- z\sqrt{5}
\end{array}\right.$

L'intersection est donc composée de deux droites. Vrai.
\end{itemize}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

(À rendre avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[ul](4.5,4.5){$\mathcal{D}$}\uput[d](5.5,2.3){$\mathcal{C}$}
\psline(-1,-1)(5,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{3 4 x 1 add div sub}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,2.2)(2.2,2.2)(2.2,1.75)(1.75,1.75)(1.75,1.54545)(1.54545,1.54545)(1.54545,1.42857)
\psline[linestyle=dashed]{->}(2.2,2.2)(2.2,0)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.75,1.75)(1.75,0)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.54545,1.54545)(1.54545,0)
\uput[d](3.8,-0.1){$u_{0} =$}\uput[d](2.2,-0.1){$u_{1}$}\uput[d](1.75,-0.1){$u_{2}$}\uput[d](1.54545,-0.1){$u_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(4.1,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.2,-1.5)(3.4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,
%gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\multido{\n=-0.2+0.1}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2)}
\multido{\n=-1.5+0.1}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(3.4,\n)}
\multido{\n=-1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(3.4,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput{-90}(4,0.25){\textbf{\Large ANNEXE 2}}
\rput{-90}(3.8,0.25){\textbf{À rendre avec la copie}}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3.16}{x dup mul 1 x ln sub mul}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0.01}{2}{x}
\uput[dl](2.71828,0){$\text{e}$}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x dup mul 1 x ln sub mul}
\psline(2.71828,0)(1,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape} 
\end{document}