%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Olivier Noël et Valérie Camargo
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Amérique du Sud  13 novembre 2012},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 13  novembre 2012}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud
~\decofourright\\[4pt]13 novembre 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissance}
  
%L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$. 
%
%On suppose connus les résultats suivants : 
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa fonction dérivée 
%\item[$\bullet~~$] $\text{e}^0 = 1$ 
%\item[$\bullet~~$] Pour tout réel $x$, on a $\text{e}^x > x$ 
%\item[$\bullet~~$] Soit deux fonctions $v$ et $w$ définies sur l'intervalle $[A~;~+ \infty[$, où $A$ est un réel positif.
 
%Si pour tout $x$ de $[A~;~+ \infty[$,\: $v(x) \leqslant w(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty$. 
%\end{itemize} 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}$.
		 
%Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \varphi(x) \geqslant 1$.
Somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$, $\varphi$ est dérivable sur cet intervalle et 

$\varphi^{\prime}(x) = \text{e}^x - x  > 0$ d'après le troisième résultat admis.

$\varphi$ est donc une fonction croissante sur $[0~;~+\infty[$ et comme $\varphi(0) = \text{e}^0 - 0 = 1$ qui est donc le minimum de $\varphi$ sur $[0~;~+\infty[$, on a donc $\varphi(x) \geqslant 1$ pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$.
		\item %En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$.
		Le résultat précédent s'écrit donc pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$ :
		
$ \varphi(x) \geqslant 1 \iff \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2} \geqslant 1 \iff \text{e}^x   \geqslant 1 + \dfrac{x^2}{2}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \frac{x^2}{2} = + \infty$, par comparaison (quatrième résultat admis),  
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \varphi(x)  = + \infty$.
	\end{enumerate}  
\item %Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\emph{Méthode 1} : $f(x) = \dfrac{\frac{1}{2}x}{\text{e}^{\frac{1}{2}x}}$.

Posons $u(x) = \frac{1}{2}x$, alors $f(x) = \dfrac{u}{\text{e}^u} = \dfrac{1}{\frac{\text{e}^u}{u}}$.

Si $x$ tend vers plus l'infini, $u$ tend vers plus l'infini. On a démontré au 1. que $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} \dfrac{\text{e}^u}{u}  = + \infty$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{u \to + \infty}\dfrac{1}{\frac{\text{e}^u}{u}} = 0$, soit 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$

\emph{Méthode 2} : $f(x) = - \left(- \dfrac{1}{2}x\right) \text{e}^{- \frac{1}{2}x}$.

Posons $u(x) = - \dfrac{1}{2}x$; on a donc $f(x) = - u\text{e}^u$.

Si $x$ tend vers $+ \infty$, \:$u$ tend $- \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{u \to - \infty} u\text{e}^u$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
		\item %Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-\frac{1}{2}x} - \dfrac{1}{2}x\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\left(1 - \dfrac{1}{2}x \right)$.

Comme $\text{e}^{-\frac{1}{2}x} > 0$, quel que soit le réel $x$, le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de la différence $1 - \dfrac{1}{2}x$.

$1 - \dfrac{1}{2}x > 0 \iff 1 > \dfrac{1}{2}x \iff 2 > x$.

De même $1 - \dfrac{1}{2}x < 0 \iff 1 < \dfrac{1}{2}x \iff 2 < x$.

Donc $f$ est croissante sur [0~;~2] et décroissante sur $[2~;~+ \infty[$.

On a $f(0) = 0$ et $f(2) = \dfrac{1}{2}\times 2 \text{e}^{- \frac{1}{2}\times 2} = \text{e}^{- 1} = \dfrac{1}{\text{e}}$. On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,2.5)
\psframe(9,2.5)
\psline(0,2)(9,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.1,2){$0$}\uput[u](5,2){$2$}\uput[u](8.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\uput[u](1.1,0){0}\uput[d](5,2){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[u](8.5,0){$0$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1~mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures $(t \geqslant 0)$.
% 
%On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle 
%
%\[(E) :\qquad  y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}t}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On considère l'équation différentielle 

%\[\left(E'\right) :\qquad y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = 0\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t) = at\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ soit solution de l'équation (E).
$u$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $u^{\prime}(t) = a\text{e}^{- \frac{1}{2}t} - \dfrac{1}{2}at\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$.

Donc $u^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}u(t) = a\text{e}^{- \frac{1}{2}t} - \dfrac{1}{2}at\text{e}^{- \frac{1}{2}t} + \dfrac{1}{2}at\text{e}^{- \frac{1}{2}t} = a\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$

$u$ est solution de $(E)$ si $a\text{e}^{- \frac{1}{2}t} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}t} \iff a = \dfrac{1}{2}$.

La fonction $t \longmapsto u(t) = \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ est solution de $(E)$.
		\item %Montrer qu'une fonction $v$ est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, la fonction 
		
%$h = v - u$ est solution de l'équation $\left(E'\right)$.
On vient de voir que $u(t) =  \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ est solution de $(E)$ soit :

$\star \quad u^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}u(t) = \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$.

$v$ est solution de $(E) \iff v^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}v(t) = \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t} \iff \text{par différence avec l'égalité} \: \star $

$v^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}v(t) - \left(u^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}u(t)\right) = \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t} - \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t} \iff $

$v^{\prime}(t) - u^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}v(t) - \dfrac{1}{2}u(t) = 0 \iff (v - u)^{\prime}(t) + \dfrac{1}{2}(v - u) (t) = 0$

c'est-dire si et seulement si la fonction $h = v - u$ est solution de l'équation $\left(E'\right)$.
		\item %Résoudre l'équation $\left(E'\right)$.
Soit $y$ une solution de l'équation, donc $y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = 0 \quad \star\star$.

Posons $z(t) = \text{e}^{\frac{1}{2}t}y$. $z$ est dérivable et 

$z^{\prime}(t) = \frac{1}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}t}y + \text{e}^{\frac{1}{2}t}y^{\prime} = \text{e}^{\frac{1}{2}t}\left(\frac{1}{2}y + y^{\prime}\right) = \text{e}^{\frac{1}{2}t} \times 0 (\text{d'après }\:\star\star)\: = 0$.

La fonction $z$ de dérivée nulle est donc une constante $K \in \R$.

$z(t) = \text{e}^{\frac{1}{2}t}y = K \iff y = K\text{e}^{-\frac{1}{2}t}, K \in \R$.
		\item %En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
On a vu au \textbf{b.} que les solutions $v$ de l'équation $(E)$ sont telles que $v - u = v - \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ sont solutions de $\left(E'\right)$. Donc d'après la question précédente :

$v - \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t} = K\text{e}^{- \frac{1}{2}t} \iff v = \left(K' + \dfrac{1}{2}t\right)\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$.

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $t \longmapsto  \left(K + \dfrac{1}{2}t\right)\text{e}^{- \frac{1}{2}t},\quad K' \in \R$.
	\end{enumerate} 
\item %On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.
 
%Montrer que la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie cette condition initiale est la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.
La solution $y(t)  = \left(K + \dfrac{1}{2}t\right)\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ vérifie :

$y(0) = 0\iff K \text{e}^{- \frac{1}{2}\times 0} = 0 \iff K = 0$.

La solution est donc définie par $t \longmapsto  \dfrac{1}{2}t\text{e}^{- \frac{1}{2}t} = f(t)$.
\item %On donne l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{l l} 
%Entrée		& 	Affecter la valeur $3$ à la variable $n$.\\ 
%Traitement	& Tant que $f(n) > 0,1$\\ 
%			&\hspace{0.5cm}incrémenter la variable $n$ de 1.\\ 
%			&Fin Tant que\\ 
%Sortie		&Afficher la valeur de $n$.
%\end{tabular} 
%\end{center} 
%où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la question 2. a. de la \textbf{partie A}, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie.
On a vu que sur $[2~;~+ \infty[,\:f$ est décroissante. L'algorithme fait calculer successivement $f(3)$,\:$f(4)$, $\ldots$ : ces valeurs décroissent vers zéro, donc l'algorithme va s'arrêter dès qu'une image $f(n)$ sera inférieure à $0,1$. Cette valeur de $n$ sera celle donnée à la sortie de l'algorithme.
		 
		\item %Quelle est la valeur $n_{0}$ de la variable $n$ obtenue à la sortie de l'algorithme ?
La calculatrice donne  $f(7) \approx 0,107,\quad f(8) \approx 0,073$ : $n_{0} = 8$.
		\item %L'absorption du médicament par l'animal a lieu un matin à $8$~h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ?
La réponse précédente peut se traduire par : à partir $8 + 8 = 16$~h il restera dans le corps moins de 0,1~g de principe actif soit moins de 10\,\%. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique 2~cm). On considère les points A, B et C d'affixes respectives 
%
%\[z_{\text{A}} = \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\text{i}, \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 1.\]
% 
%On considère la transformation $f$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, distinct de A, associe le point  $M'$ d'affixe 
%
%\[z' = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}}.\] 
% 
%On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble des points invariants par la transformation $f$.
$M$ d'affixe $z$ est invariant si et seulement si $M' = M \iff z' = z \iff  \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}} = z \iff z(z - \text{i}) =  2\text{i}z \iff z (z -  \text{i} - 2 \text{i}) = 0 \iff z(z - 3 \text{i}) = 0 \iff z = 0 \quad \text{ou}\:\: z = 3 \text{i}$.

Les points invariants par $f$ sont O et le point d'affixe $3 \text{i}$.
\item %Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B$'$ et C$'$, images respectives des points B et C par $f$.
On a $z_{\text{B}'} = \dfrac{2\text{i}z_{\text{B}}}{z_{\text{B}} - \text{i}} = \dfrac{2\text{i}\times 2\text{i}}{2\text{i} - \text{i}} = \dfrac{- 4}{\text{i}} = 4\text{i}$.

$z_{\text{C}'} = \dfrac{2\text{i}z_{\text{C}}}{z_{\text{C}} - \text{i}} = \dfrac{2\text{i}\times 1}{1 - \text{i}} = \dfrac{2\text{i}(1 + \text{i})}{(1 - \text{i})(1 + \text{i})} = \dfrac{2\text{i}(1 + \text{i})}{2} = \text{i}(1 + \text{i}) = - 1 + \text{i}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, l'affixe $z'$ de $M'$ vérifie l'égalité 
		
%$z' - 2\text{i} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}}$.
Pour tout point $M$ distinct de A, l'affixe $z'$ de $M'$ est telle que :

$z' = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}} \Rightarrow z' - 2\text{i} = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}} - 2\text{i}$

$ z' - 2\text{i} = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}} - \dfrac{2\text{i}(z - \text{i})}{z - \text{i}} = \dfrac{2\text{i}z - 2\text{i}z - 2}{z - \text{i}} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}}$. 
		\item %En déduire que si le point $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$, alors son image $M'$ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
On a $\left|z' - 2\text{i}\right| = \text{B}M'$ et 

$\left|\dfrac{- 2}{z - \text{i}}\right| = \dfrac{|- 2]}{|z - \text{i} |} = \dfrac{2}{\text{A}M}$.

L'égalité précédente :  $z' - 2\text{i} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}}$ se traduit en termes de modules par : $\text{B}M' = \dfrac{2}{\text{A}M}$.

Si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$, alors $\text{A}M = 1$, donc $\text{B}M' = \dfrac{2}{1} = 2$. 

Conclusion : si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$, alors $M'$ appartient au cercle $\Gamma'$ de centre B et de rayon $2$.
		\item %Exprimer une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction d'une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$.
Pour les arguments : $z' - 2\text{i} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}} \rightarrow \arg(z' - 2\text{i}) = \arg\left(\dfrac{- 2}{z - \text{i}} \right) \iff$

$\arg(z' - 2\text{i}) = \arg (- 2) - \arg(z - \text{i}) \iff
\left(\vect{u},\vect{\text{B}M'}\right) = \pi - \left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right) $. 
		\item %On considère le point D d'affixe $z_{\text{D}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. Vérifier que D appartient au cercle $\Gamma$. 
On calcule AD$^2 = \left|z_{\text{D}} -  z_{\text{A}} \right|^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right)^2 + \left(\dfrac{3}{2} - 1 \right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$.

AD$^2 = 1 \Rightarrow \text{AD} = 1$, donc D appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$.
%Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D$'$ par $f$.
D'après les résultats de la question précédente, D appartenant à $\Gamma$, son image D$'$ appartient à $\Gamma'$ cercle de centre B et de rayon 2.

D'autre part le résultat de la question 3. c. montre qu'il suffit de construire sur le cercle de centre B et de rayon 1 un arc de même longueur que  l' arc du cercle de centre A et de rayon 1 intercepté par l'angle égal à l'argument de $\left(\vect{u},~\vect{\text{AD}}\right)$. (voir figure à la fin)
	\end{enumerate} 
\item %On note $G$ l'isobarycentre des points O, B et C. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'affixe du point $G$.
Par définition $\vect{G\text{O}} +  \vect{G\text{B}} + \vect{G\text{C}} = \vect{0} \iff \vect{G\text{O}} + \vect{G\text{O}} +  \vect{\text{OB}} + \vect{G\text{O}} + \vect{\text{OC}} \iff 3\vect{\text{O}G} =  \vect{\text{OB}} +  \vect{\text{OC}} \iff$

$\vect{\text{O}G} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{OB}} +  \vect{\text{OC}} \right)$.
		
On a donc $z_{G} = \dfrac{1}{3}\left(z_{\text{B}} + z_{\text{C}}\right) = \dfrac{1}{3}\left(2\text{i} + 1 \right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\text{i}$.
		\item %On admet que l'image $G'$ du point $G$ a pour affixe $z_{G'} = - 3 - \text{i}$. Le point $G'$ est-il l'isobarycentre des points O, B$'$ et C$'$ ?
On calcule l'affixe de $\vect{G'\text{O}} +  \vect{G'\text{B}'} + \vect{G'\text{C}'}$ c'est-dire $z_{\vect{G'\text{O}}} + z_{\vect{G'\text{B}'}} + z_{\vect{G'\text{C}'}} = 3 + \text{i} + 3  + 5\text{i} +  0 + 2\text{i} =$

$ 6 + 8\text{i} \neq 0$.

Conclusion : $G'$ n'est pas l'isobarycentre de O, B$'$ et C$'$. Ce qui est évident sur la figure.

On peut également dire que O, B$'$ et C$'$ appartiennent au disque de centre B et de rayon 2 : leur isobarycentre (centre de gravité) appartient lui aussi à ce disque ce qui n'est pas le cas de $G'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.1,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,1)(0,2)(1,0)(0.866,1.5)(0.3333,0.66667)(-3,-1)(0,4)(-1,1)(-1.732,3)%ABCDGG'B'C'
\uput[r](0,1){A}\uput[ur](0,2){B}\uput[u](1,0){C}\uput[ur](0.866,1.5){D}
\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](0.3333,0.66667){$G$}\uput[dr](-3,-1){$G'$}
\uput[u](0,4){B$'$}\uput[ur](-1,1){C$'$}\uput[ul](-1.732,3){D$'$}
\pscircle(0,1){1}\pscircle(0,2){1}
\psarc(1,1){0.5176}{80}{130}\psarc(1,2){0.5176}{-120}{-80}
\pscircle(0,2){2}
\psline(-2,1)(2,1)\psline(-2,2)(2,2)
\psline(0,1)(0.866,1.5)
\psline(0.866,1.5)(0,2)(-1.732,3)
\psarc[linecolor=red,linewidth=2pt](0,1){1}{0}{30}
\psarc[linecolor=red,linewidth=2pt](0,2){1}{150}{180}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans le plan orienté, on considère un rectangle direct ABCD tel que AB $= L$ et AD = $1$ $(L > 1)$. 
%
%Sur les segments [AB] et [CD], on place respectivement les points F et E tels que AFED soit un carré.
% 
%On suppose qu'il existe une similitude directe $f$ de rapport $k$ telle que : 
%
%\[f(\text{A}) = \text{B},\quad f(\text{B}) =  \text{C},\quad  f(\text{C}) = \text{E}.\]
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant des rapports de longueurs, montrer que $L = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
On a par définition de la similitude de rapport $k$ :

BC = $k$AB soit $1 = kL$ ;

CE $ = k$ BC soit $L - 1 = k \times 1$ soit en reportant dans l'équation précédente :

$1 = L(L - 1) \iff L^2 - L - 1 = 0 \iff \left(L - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} - 1 = 0 \iff \left(L - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{5}{4} = 0 \iff \left(L - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)\left(L - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right) = 0 \iff L - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} = 0 \quad \text{ou}\quad L - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} = 0 \iff L = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} \quad \text{ou}\quad L = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Seule la solution positive est valable : $L = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (le nombre d'or).
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $f$. 
La droite (AB) a pour image la droite (BC). L'angle de la similitude est donc égale à 

$\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{BC}} \right) = + \dfrac{\pi}{2}$.

On a vu que $1 = kL$, donc $k = \dfrac{1}{L} = \dfrac{2}{1 + \sqrt{5}} = \dfrac{2\left(1 - \sqrt{5} \right)}{\left(1 + \sqrt{5} \right)\left(1 - \sqrt{5} \right)} = \dfrac{2\left(1 - \sqrt{5} \right)}{1 - 5} = \dfrac{2\left(1 - \sqrt{5} \right)}{- 4} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
%On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $f$. 
		\item %Déterminer l'image par la composée $f \circ f$ des points D, A et B.
$\Omega$ est par définition invariant par $f$, donc aussi par $f \circ f$. $f \circ f(\Omega) = \Omega$ ;

Par $f$, A a pour image B et B a pour image C, donc $f \circ f(\text{A}) = \text{C}$ ;

Par $f$, B a pour image C et C a pour image E, donc $f \circ f(\text{B}) = \text{E}$ ;   
		\item %Quelle est la nature de la transformation $f \circ f$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
La composée des deux similitudes de centre $\Omega$ est une similitude de centre $\Omega$, dont le rapport est le produit des rapports soit $k^2$ et l'angle la somme des angles soit $\pi$. 
		\item %En déduire que $\Omega$ est le point d'intersection des droites (AC) et (BE).
A et C sont alignés avec $\Omega$ : $\Omega$ appartient à la droite (AC) ;

B et E sont alignés avec $\Omega$ : $\Omega$ appartient à la droite (BE), donc $\Omega$ est le point commun aux droites (AC) et (BE).	
\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'image de la droite (CD) par la similitude $f$.
L'image par $f$ de la droite (AB) est la droite (BC)  et l'image du point C est le point E.

Comme (CD) est parallèle à (AB) son image par $f$ est la parallèle à (BC) contenant E, donc la droite (EF). 
		\item %En déduire une construction du point E$'$, image du point E par la similitude $f$.
On sait que $\left(\vect{\Omega \text{E}},~\vect{\Omega}\text{E}' \right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Or on a vu que la droite (BE) est l'image de la droite (AC) par $f$, donc (AC) $ \perp $ (BE).

D'après la question précédente le point E$'$ appartient à la droite (EF) et aussi à (AC).

Conclusion : le point E$'$ est le point commun aux droites (EF)  et (AC). 
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AF}},~\vect{\text{AD}}\right)$.
%  
%On appelle $z$ l'affixe du point $M$, et $z'$ l'affixe du point $M'$, image du point $M$ par $f$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $z' = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}z + \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$.
Dans le repère choisi on a A(0~;~0), B$\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}~;~0\right)$ et C$\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}~;~1\right)$
%On sait que $f$ est une similitude directe de rapport $k = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

L'écriture complexe de la similitude directe est $z' = az + b$, avec $a, b \in \C$. En utilisant les images de A et de B par $f$ :
on a 

$\left\{\begin{array}{l c l}
z_{\text{B}} &=& az_{\text{A}} + b\\
z_{\text{C}} &=& az_{\text{B}} + b
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} &=& a\times 0 + b\\
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \text{i} &=& a\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) + b
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} &=&  b\\
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \text{i} &=& a\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{array}\right.$


$\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} &=&  b\\
 \text{i} &=& a\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) +
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\
a&=&\frac{2}{1 + \sqrt{5}}\text{i}
\end{array}\right.$.

$a =  \frac{2\left(1 - \sqrt{5} \right)}{\left(1 + \sqrt{5} \right)\left(1 - \sqrt{5} \right)}\text{i} = \frac{2\left(1 - \sqrt{5} \right)}{- 4}\text{i} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}$.

L'écriture complexe de $f$ est donc :

\[z' = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}z + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}.\]
  
\item %Déterminer l'image du point D par $f$.
On a $z_{\text{D}} = \text{i}$. En utilisant le résultat précédent et si D$'$ est l'image de D par $f$ :

$z_{\text{D}'} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}z_{\text{D}} + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}\times\text{i} + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 = z_{\text{F}}$.

On peut également dire que D appartient à (CD), donc son image appartient à l'image de (CD) qui est la droite (EF)

D appartient à (AD), donc son image appartient à l'image par $f$ de (AD)  ; or A est invariant, donc l'image de (AD) est la perpendiculaire à (AD) contenant A, soit (AB).

Conclusion : D$'$' appartient à (EF) et à (AD) : c'est leur point commun F. 
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.61803,1)
\psframe(1.61803,1)\psframe(1,1)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](1.61803,0){B}\uput[ur](1.8,1){C}\uput[ul](0,1){D}
\uput[d](1,0){F}\uput[u](1,1){E}\uput[l](1,0.65){E$'$}
\psline(1.61803,1)\psline(1.61803,0)(1,1)\uput[u](1.2,0.73){$\Omega$}
\pscircle(0.5,0.5){0.707}
%\psline(0,1)(1,0)(
\end{pspicture}
\end{center}  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services.
% 
%Pour tout entier naturel non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire.
% 
%Soit $x_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $y_{n}$ celle de $\overline{R_{n}}$.
% 
%La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,7$.
% 
%On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées
%
%\begin{itemize}
%\item si le joueur réussit le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,8$ ; 
%\item si le joueur ne réussit pas le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,7$.
%\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item %On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
 
%Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $X$. (On pourra utiliser un arbre de probabilité)
On a l'arbre de probabilités suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$R_{1}$}\taput{$0,7$}}
		{
\TR{$R_{2}$}\taput{$0,8$}
\TR{$\overline{R_{2}}$}\tbput{$0,2$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{R_{1}}$}\tbput{$0,3$}}
		{
\TR{$R_{2}$}\taput{$0,7$}
\TR{$\overline{R_{2}}$}\tbput{$0,3$}
 		}
}
\end{center}

On a $p(X = 2) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$ ;

$p(X = 1) = 0,7 \times 0,2 + 0,3 \times 0,7 = 0,14 + 0,21 = 0,35$ ;

$p(X = 0) = 0,3 \times 0,3 = 0,09$ 
		\item %Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$.
		E$(X) = 2 \times 0,56 + 1 \times 0,35 + 0 \times 0,09 = 1,12 + 0,35 = 1,47 \approx 1,5$.
	\end{enumerate}
\item %On s'intéresse maintenant au cas général. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right)$.
D'après l'énoncé  $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right) = 0,8$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right) = 0,7$.
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,7$.
On construit un arbre analogue :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$R_{n}$}\taput{$x_{n}$}}
		{
\TR{$R_{n+1}$}\taput{$0,8$}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{$0,2$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{R_{1}}$}\tbput{$1 - x_{n}$}}
		{
\TR{$R_{n+1}$}\taput{$0,7$}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{$0,3$}
 		}
}
\end{center}

On a donc $x_{n+1} = x_{n} \times 0,8 + \left(1  - x_{n}\right) \times 0,7 = 0,8x_{n} - 0,7x_{n} + 0,7 = 0,7 + 0,1x_{n}$.		
	\end{enumerate} 
\item %Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul par $u_{n} = 9x_{n} - 7$.
 
%\emph{Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Quel que soit $n \in \N,\: n \neq 0,  \: u_{n+1} = 9x_{n+1} - 7 = 9\left(0,7 + 0,1x_{n} \right) - 7 = 6,3 + 0,9x_{n} - 7 = 0,9x_{n} - 0,7 = 0,1 \left(9x_{n} - 7 \right) = 0,1 u_{n}$.

$u_{n+1} = 0,1 u_{n}$ quel que soit le naturel $n$ non nul signifie que la suite  $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,1$, de premier terme $u_{1} = 9x_{1} - 7 = 9 \times 0,7 - 7 = - 0,7$.
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
On sait que pour tout naturel $n,\:u_{n} = u_{1}\times r^{n - 1} = - 0,7 \times 0,1^{n - 1}$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,1^{n - 1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 0$.

Par suite, comme $x_{n} = \dfrac{u_{n} + 7}{9}$, \: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} x_{n} = \dfrac{7}{9} \approx \np{0,777778}$.

Sur un très grand nombre de services le pourcentage de services réussis se rapproche de 77,8 \,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip
 
%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
% 
%Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z - 1 = 0$ et soit S le point de coordonnées $(1~;~3~;~5)$.
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie. ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Les points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois axes du repère sont les sommets d'un triangle isocèle.
Intersection avec $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ : avec $y = z  = 0$, on obtient A$\left(\frac{1}{2}~;~0~;~0\right)$.

Intersection avec $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ : avec $x = z  = 0$, on obtient B$\left(0~;~- 1~;~0\right)$.

Intersection avec $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$ : avec $x = y  = 0$, on obtient A$\left(0~;~0~;~\dfrac{1}{3}\right)$.

On a AB$^2  = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$ ;

AC$^2  = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{13}{36}$ ;

BC$^2  = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$ ;

Donc tous les côtés ont des longueurs différentes : affirmation fausse.

\item %La droite $\delta_{1}$ de représentation paramétrique   

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&1 + t\\ 
%y&=&5 - 4t\\ 
%z&=&2 - 2t
%\end{array}\right.\:,t \in \R\] 
%
%est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

$M(x~;~y~;~z) \in \delta_{1} \cap  \mathcal{P} \iff 2(1 + t) - (5 - 4t) + 3(2 - 2t) - 1 = 0 \iff 2 + 2t - 5 + 4t + 6 - 6t - 1 = 0 \iff 2 = 0$ égalité fausse : affirmation fausse

\item %La droite $\delta_{2}$ de représentation paramétrique 
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&-t\\ 
%y&=&7 + 4t\\ 
%z&=&7 + 2t 
%\end{array}\right.,\:t \in \R\]  
%
%est la droite parallèle à la droite $\delta_{1}$ passant par le point S.

$\delta_{1}$ a un vecteur directeur $\vect{\delta_{1}}(1~;~- 4~;~- 2)$ ;

$\delta_{2}$ a un vecteur directeur $\vect{\delta_{2}}(-1~;~+ 4~;~2)$.

Ces deux vecteurs  sont  colinéaires ($\vect{\delta_{2}} = - \vect{\delta_{1}}$), donc les droites  sont  parallèles : affirmation vraie.
 
\item %Le projeté orthogonal du point S sur le plan $\mathcal{P}$ a pour coordonnées 
 
%\[\left(- \dfrac{6}{7}~;~\dfrac{55}{14}~;~\dfrac{31}{14}\right).\]
$\mathcal{P}$ a un vecteur normal $\vect{n}(2~;~- 1~;~3)$.

La perpendiculaire à  $\mathcal{P}$ contenant S a pour vecteur directeur $\vect{n}$.

Une équation paramétrique de cette perpendiculaire est donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + 2t \\
y&=&3 - t \\
z&=&5 + 3t
\end{array}\right.$ 

Cette perpendiculaire coupe le plan $\mathcal{P}$ en un point éventuel dont les coordonnées vérifient l'équation de $\mathcal{P}$ c'est-à-dire si :

$2(1 + 2t) - (3 - t ) + 3(5 + 3t) - 1 = 0 \iff 2 + 4t - 3 + t + 15 + 9t - 1 = 0 \iff 14t + 13 = 0 \iff t = - \dfrac{13}{14}$.

En reportant cette valeur dans l'équation paramétrique, on obtient les coordonnées du projeté orthogonal de S sur $\mathcal{P}$ : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + 2\times \left(-\frac{13}{14}\right) \\
y&=&3 - \left(-\frac{13}{14}\right) \\
z&=&5 + 3\left(-\frac{13}{14}\right)
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-\frac{12}{14}\\
y&=&\frac{55}{14} \\
z&=&\frac{31}{14}
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-\frac{6}{7}\\
y&=&\frac{55}{14} \\
z&=&\frac{31}{14}
\end{array}\right.$

Affirmation vraie. 
\item %Le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère de centre S et de rayon 3.
On calcule la distance du point S au plan $\mathcal{P}$ :

$d(\text{S}~;~\mathcal{P}) = \dfrac{\left|2x_{\text{S}} - y_{\text{S}} + 3z_{\text{S}} - 1  \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2}} = \dfrac{|2 - 3 + 15 - 1 |}{\sqrt{14}} = \dfrac{13}{\sqrt{14}} \approx 3,4 > 3$.

La distance du point S au plan $\mathcal{P}$ est supérieure au rayon de la sphère : cela signifie que la sphère et le plan n'ont pas de point commun : affirmation fausse.
\end{enumerate} 
\end{document}