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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 17 novembre 2014}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat série S Amérique du Sud~\decofourright\\[10pt]
17 novembre 2014}}\end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football.\\
Cette entreprise propose deux tailles de ballons: 
une petite taille, et une taille standard. 

%Les trois parties suivantes sont indépendantes. 

%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence).

En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle \cd 410~;~450\cg et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle \cd 68~;~70\cg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise, associe sa masse en grammes. 

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10.

%Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité 
%$P(410 \leqslant X \leqslant 450)$. 

À la calculatrice, on trouve $P(410 \pp X \pp 450) \approx 0,954$.
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise associe sa circonférence en centimètres. 

On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type 
$\sigma$. 

On sait que 97\,\% des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation ce qui veut dire que $P(68 \pp Y \pp 70) \approx 0,97$. 

Si $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu=69$ et d'écart type $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-69}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

De plus: $68 \pp Y \pp 70 \iff -1 \pp Y-69 \pp 1 \iff -\dfrac{1}{\sigma} \pp \dfrac{Y-69}{\sigma} \pp \dfrac{1}{\sigma} \iff -\dfrac{1}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{1}{\sigma}$

On a donc $P(68 \pp Y \pp 70) = 0,97 \iff P\left (-\dfrac{1}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{1}{\sigma}\right )=0,97$.

Or, d'après le texte, $P(-2,17 \pp Z \pp 2,17) = 0,97$.\\
On peut déduire que $\dfrac{1}{\sigma} = 2,17$ et donc que $\sigma \approx 0,46$.

%On pourra utiliser le résultat suivant: lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors $P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) = 0,97$ pour $\beta \approx 2,17$. 
\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B}

L'entreprise affirme que 98\,\% de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de $250$~ballons de taille standard. Il est constaté que $233$ d'entre eux sont conformes à la réglementation. 

%Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse. 
%
%(On pourra utiliser l'intervalle de fluctuation) 

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ d'une fréquence est:

\smallskip

\hfill $I=\left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt n}\,;\,p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \right]$\hfill\null

\smallskip

On a $n = 250$ et $p = 0,98$.

$\bullet~~$$250 \geqslant 30$ ;

$\bullet~~$$np = 250 \times 0,98 = 245 \geqslant 5$ ;

$\bullet~~$$n(1 - p) = 250\times 0,02 = 5 \geqslant 5$

Donc  l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence de conformité des ballons est:

\smallskip

\hfill $I=\left[ 0,98-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,98\times 0,02}}{\ds\sqrt{250}}\,;\,0,98+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,98\times 0,02}}{\ds\sqrt{250}} \right] = \cd 0,962\,;\, 0,998 \cg$\hfill\null

\smallskip

Il y a 233 ballons conformes sur 250 ce qui fait une fréquence de $f=\dfrac{233}{250} = 0,932$.

$0,932 \not\in I$ donc le résultat du contrôle remet en question l'affirmation de l'entreprise.

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie C}

L'entreprise produit 40\,\% de ballons de football de petite taille et 60\,\% de ballons de taille standard. 

On admet que 2\,\% des ballons de petite taille et 5\,\% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. 

On considère les évènements : 

$A$ : \og le ballon de football est de petite taille \fg, 

$B$ : \og le ballon de football est de taille standard \fg, 

$C$ : \og le ballon de football est conforme à la réglementation\fg{} et $\overline{C}$, l'évènement contraire de $C$. 

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilité.
On représente la situation par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\taput{0,40}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{0,98}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,02}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\tbput{0,60}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{0,95}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,05}
	  }
}
\end{center}

\medskip

\item% Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
\og{}Le ballon est de petite taille et il est conforme à la règlementation\fg{} correspond à l'événement $A \cap C$.
D'après l'arbre: $P(A \cap C) = 0,40 \times 0,98 = 0,392$
\item% Montrer que la probabilité de l'événement $C$ est égale à $0,962$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(C)= P( A \cap C) + P(B \cap C) = 0,40 \times 0,98 + 0,60 \times 0,95 = 0,392 + 0,570 = 0,962$
\item Le ballon de football choisi n'est pas conforme à la réglementation. %Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.

On cherche la probabilité qu'il soit de petite taille, autrement dit on cherche $P_{\overline C}(A)$.

$P(\overline C) = 1-P(C)=1 - 0,962 = 0,038$
donc
$P_{\overline C}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline C)}{P(\overline C)} = \dfrac{0,40 \times 0,02}{0,038} \approx 0,211$.

\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}

\item \textbf{b.}

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les  points A\,$(2~;~5~;~- 1)$, B\,(3~;~2~;~1) et C\,$(1~;~3~;~- 2)$.

$\text{AB}^2 = (3-2)^2 + (2-5)^2 + (1+1)^2 = 1+9+4=14$

$\text{AC}^2 = (1-2)^2 + (3-5)^2 + (-2+1)^2 = 1+4+1 = 6$

$\text{BC}^2 = (1-3)^2 + (3-2)^2 + (-2-1)^2 = 4+1+9 = 14$

Donc le triangle ABC est isocèle non rectangle.

%	\begin{enumerate}
%		\item rectangle et non isocèle 
%		\item isocèle et non rectangle 
%		\item rectangle et isocèle 
%		\item équilatéral 
%	\end{enumerate}
	
\item \textbf{c.}

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $P$ d'équation $2x - y + 3z - 1 = 0$ et le point A\,$(2~;~5~;~-1)$.% Une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $P$ et passant par A est: 

Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec n\,(2\,;\, -1 \,;\, 3)$, donc toute droite perpendiculaire au plan $P$ aura un vecteur directeur colinéaire au vecteur $\vec n$, ce qui élimine les propositions \textbf{a.} et \textbf{b.}

On cherche si le point A appartient à la droite dont la représentation paramétrique est en \textbf{c.}; on résout le système:
$\left\{
\begin{array}{r @{\ = \ } l} 
2 &  6 - 2t\\
5 &  3 + t\\
-1 &  5 - 3t
\end{array}\right.$

Ce système a pour solution $t=2$ donc la bonne réponse est \textbf{c.} 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
%\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 
%x &=& 2 + 2t\\
%y &=& 5+t\\
%z &=& - 1 + 3t 
%\end{array}\right.$&
%\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 
%x &=& 2 + 2t\\
%y &=& - 1 + 5t\\
%z  &=& 3 - t
%\end{array}\right.$& 
%\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 
%x &=& 6 - 2t\\
%y &=& 3 + t\\
%z &=& 5 - 3t
%\end{array}\right.$&
%\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}  
%x &=& 1 + 2t \\
%y &=& 4 - t\\
%z &=& - 2 + 3t 
%\end{array}\right.$\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item \textbf{c.}

Soit A et B deux points distincts du plan. 

$\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}} = 0 \iff 
\vect{M\text{A}} \perp \vect{M\text{B}} \iff
M\text{AB est un triangle rectangle en } M \\
\phantom{\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}} = 0} \iff
M \text{ appartient au cercle de diamètre \cd{}AB\cg}$ 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
% \textbf{a.~}l’ensemble vide& \textbf{b.~} la médiatrice du segment [AB] &\textbf{c.~} le cercle de diamètre [AB] &\textbf{d.~} la droite (AB)
% \end{tabularx}
% \medskip 

\item \textbf{c.}

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et  [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF. 

Les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales; il suffit pour s'en convaincre de regarder le cube du dessus: 


%\begin{center}
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\psframe(1,0.2)(4.3,3.5)%ABFE
\psline(4.3,0.2)(5.1,1)(5.1,4.4)(4.3,3.5)%BCGF
\psline(5.1,4.4)(1.9,4.4)(1,3.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](1,0.2)(1.9,1)(1.9,4.4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](1.9,1)(5.1,1)%DC
\psline[linecolor=blue](1,5.3)(6,3.5)%(IJ)
\psline[linecolor=red](0.2,1.4)(2.65,1.85)%(..M]
\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt,linecolor=red](2.65,1.85)(4.7,2.25)%[MN]
\psline[linecolor=red](4.7,2.25)(6,2.5)%[N...)
\uput[dl](1,0.2){A} \uput[d](4.3,0.2){B} \uput[r](5.1,1){C} 
\uput[l](1.9,1){D} \uput[l](1,3.5){E} \uput[dl](4.3,3.5){F} 
\uput[ur](5.1,4.4){G} \uput[ul](1.9,4.4){H} \uput[u](3.5,4.4){\blue I} 
\uput[d](4.7,3.95){\blue J} \uput[u](2.65,1.85){\red M} \uput[u](4.7,2.25){\red N} 
\psdots(1,0.2)(4.3,0.2)(5.1,1)(1.9,1)(1,3.5)(4.3,3.5)(1.9,4.4)(3.5,4.4) (4.7,3.95)(2.65,1.85)(4.7,2.25)
\end{pspicture}}
%\end{center}
\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{Choisissons le repère $\left(\text{A},\,\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}}, \,\vect{\text{AE}}  \right)$

Les  points I, J, M et N ont respectivement comme coordonnées :

$\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~1 \right), \quad \left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right), \quad \left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2} \right), \quad \left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right)$

I et J ont la même cote : ils appartiennent au plan d'équation $z = 1$ ;

M et N ont la même cote : ils appartiennent au plan d'équation $z = \dfrac{1}{2}$. Ces deux plans sont parallèles et distincts, donc les droites (IJ) et (MN) ne sont ni perpendiculaires ni sécantes. Les réponses \textbf{a.} et \textbf{b.} sont fausses. 

On a $\vect{\text{IJ}}\left(\dfrac{1}{2}~;~- \dfrac{1}{2}~;~0\right)$ et $\vect{\text{MN}}\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ ; ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (IJ) et (MN) ne sont pas parallèles. La réponse \textbf{d.} est fausse.

Or $\vect{\text{IJ}} \cdot $\vect{\text{MN}} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux et les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales. Réponse \textbf{c.}
}
%%\begin{center}
%\psset{unit=0.825cm}
%\begin{pspicture}(0,0)(7,6)
%\psframe(1,1)(5,5)%EFGH
%\psline[linecolor=blue](2,6)(6,2)
%\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt,linecolor=red](3,1)(5,3)
%\psline[linecolor=red](2,0)(3,1)
%\psline[linecolor=red](5,3)(6,4)
%\psdots(3,1)(5,3)(3,5)
%\uput[dl](1,1){E} \uput[dr](5,1){F} 
%\uput[ur](5,5){G} \uput[ul](1,5){H} 
%\uput[ur](3,5){\blue I} \uput{8pt}[r](5,3){\blue J} 
%\uput{8pt}[l](5,3){\red N} \uput[dr](3,1){\red M}  
%\end{pspicture}
%\end{center}

%	\begin{enumerate}
%		\item perpendiculaires 
%		\item sécantes, non perpendiculaires 
%		\item orthogonales 
%		\item parallèles 
% 	\end{enumerate}


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l’enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par : 
$\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ = \ } l}
u_0 & 2\\[5pt]
u_{n+1} & -\dfrac{1}{2}u_n^2 +3u_n -\dfrac{3}{2} \text{ pour tout } n \in \N
\end{array}
\right.$

%\textbf{Partie A : Conjecture}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A: Conjecture}

\begin{enumerate}

\item% Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. 
$u_{1} = -\dfrac{1}{2}u_0^2 +3u_0 -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}2^2 +3\times 2 -\dfrac{3}{2} = -2 +6 -\dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$

$u_{2} = -\dfrac{1}{2}u_1^2 +3u_1 -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{5}{2}\right )^2 +3\times \dfrac{5}{2} -\dfrac{3}{2} = -\dfrac{25}{8} + \dfrac{15}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}$ 
\item% Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
En programmant à la calculatrice la fonction $f$ définie par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x^2 +3x -\dfrac{3}{2}$, on obtient:

$u_3 = f(u_2) = f\left(\dfrac{23}{8}\right) = \dfrac{383}{128} \approx \np{2,99219}$
et
$u_4 = f(u_3) = f\left(\dfrac{383}{128}\right) \approx \np{2,99997}$
\item% Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
On peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est croissante et qu'elle converge vers 3.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B: Validation des conjectures}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B: Validation des conjectures}

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 
$v_n = u_n - 3$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. 
$v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = -\dfrac{1}{2}u_n^2 + 3 u_n - \dfrac{3}{2} - 3 = -\dfrac{1}{2}u_n^2 + 3 u_n - \dfrac{9}{2}$

$v_n^2 = \left ( u_n-3\right )^2 = u_n^2 - 6u_n + 9$
donc
$-\dfrac{1}{2} v_n^2 = -\dfrac{1}{2} \left (  u_n^2 - 6u_n +9 \right ) = -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n - \dfrac{9}{2} = v_{n+1}$  

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = -\dfrac{1}{2}v_n^2$.

\item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$. 

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $-1 \leqslant  v_n \leqslant 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $v_0= u_0 - 3 = 2 - 3 = - 1$ donc $- 1 \pp v_0 \pp 0$; la propriété est vraie au rang 0.

\item Supposons la propriété vraie au rang $p\pg 0$, c'est-à-dire $-1 \pp v_p \pp 0$.

On sait que, pour tout $p$, $v_{p+1} = -\dfrac{1}{2}v_p^2$.

$-1 \pp v_p \pp 0 \Longrightarrow 0 \pp v_p^2 \pp 1 \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} \pp -\dfrac{1}{2} v_p^2 \pp 0 \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} \pp v_{p+1} \pp 0$

Donc $-1 \pp v_{p+1} \pp 0$ et donc la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; donc elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}

Pour tout $n$ de $\N$, on a: $-1\pp v_n \pp 0$



\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right)$. 
Pour tout entier naturel $n$:
$v_{n+1}-v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 - v_n = -v_n\left ( \dfrac{1}{2}v_n +1\right )$

		\item% En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
Pour tout $n$, $v_n \pp 0$ donc $-v_n \pg 0$.

Pour tout $n$, $-1 \pp v_n \pp 0$ donc $-\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{2} v_n \pp 0$ et donc $\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{2} v_n +1  \pp 1$ ; donc $\dfrac{1}{2} v_n +1 >0$.

$\left.
\begin{array}{l}
-v_n \pg 0\\[5pt]
\dfrac{1}{2} v_n +1 >0
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow -v_n\left ( \dfrac{1}{2}v_n +1\right ) \pg 0 \iff
v_{n+1} - v_n \pg 0$

Pour tout $n$, $v_{n+1} - v_n \pg 0$, donc la suite $(v_n)$ est croissante.

	\end{enumerate} 

\item% Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par 0 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(v_n)$ est convergente. 

\item On note $\ell$ limite de la suite $\left(v_n\right)$. 
On admet que $\ell \in \cd - 1~;~0\cg$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 

%Déterminer la valeur de $\ell$. 

On résout l'équation $x = -\dfrac{1}{2}x^2$ dont $\ell$ est solution:

$x = -\dfrac{1}{2}x^2 \iff 2x+x^2=0 \iff x(2+x)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=-2$

Mais on sait que $\ell \in \cd -1\,;\, 0\cg$ donc ne peut pas correspondre à $x=-2$.

Donc $\ell=0$ et la limite de la suite $(v_n)$ est 0.

\item% Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? 
La suite $(v_n)$ est croissante et, pour tout $n$, $u_n=v_n+3$; donc on peut dire que la suite $(u_n)$ est croissante.

La suite $(v_n)$ est convergente vers 0 donc, d'après les théorèmes sur les limites, on peut dire que la suite $(u_n)$ est convergente vers 3.

Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont donc validées.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité}

\medskip

Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d'une colline. On admet qu'aucun vélo des autres stations n’arrive en direction des stations A et B.

%\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On constate  pour chaque heure $n$ qu'en moyenne:}
\item 20\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont toujours à cette station.
\item 60\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
\item 10\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station B sont à la station A, 30\,\% sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
\item Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos. 
\end{list}

%\newpage

%\textbf{Partie A}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

Au bout de $n$ heures, on note $a_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $b_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$  et donc $U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}$.

%\medskip 

\begin{enumerate}

\item% Déterminer la matrice $M$ telle que $U _{n+1} = M \times  U_{n}$. 
D'après le texte, on peut dire que, pour tout $n$:
$\left\lbrace
\begin{array}{@{} r @{\ =\ } l}
a_{n+1} & 0,2\,a_n + 0,1\,b_n\\
b_{n+1} & 0,6\,a_n + 0,3\,b_n
\end{array}
\right.$
avec
$\left\lbrace
\begin{array}{@{} r @{\ =\ } l}
a_{0} & 50\\
b_{0} & 60
\end{array}
\right.$

Donc 
$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,1\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n} \end{pmatrix}
\iff
U_{n+1} = M \times U_{n}$
où
$M = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,1\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix}$


\item% Déterminer $U_{1}$ et $U_{2}$. 
$U_1=M\times U_0 = 
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,1\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 50 \\ 60 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,2 \times 50 + 0,1\times 60 \\
0,6 \times 50 + 0,3 \times 60 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 16 \\ 48 \end{pmatrix}$

$U_2=M\times U_1 = 
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,1\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 16 \\ 48 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,2 \times 16 + 0,1\times 48 \\
0,6 \times 16 + 0,3 \times 48 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 8 \\ 24 \end{pmatrix}$

\item% Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ? 
À la calculatrice, on trouve successivement:
$U_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$,
$U_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ et
$U_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

C'est donc au bout de 5 heures qu'il ne reste qu'un seul vélo dans la station A.

\end{enumerate} 

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip  

\subsubsection*{Partie B}

Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30~vélos à la station A et 10~vélos à la station B. 

Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante : 

%\medskip

Au bout de $n$ heures, on note $\alpha_{n}$  le nombre moyen de vélos présents à la station A et $\beta_{n}$   le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $V_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}$ et $V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}$. 

Dans ces conditions $V_{n+1} = M \times V_{n} + R$ avec $R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}$ . 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - M$. 

	\begin{enumerate}

		\item On désigne par $V$ une matrice colonne à deux lignes. 

%Montrer que  $V = M \times V + R$ équivaut à $N \times V = R$ . 
$V = M \times V + R \iff V - M\times V = R \iff I\times V - M\times V = R \iff (I-M)\times V = R \iff N \times V = R$

		\item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{- 1}  = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}$. 

%En déduire que $V =  \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}$ 

$N \times V = R \iff N^{-1} \times N \times V = N^{-1} \times R \iff
V = \begin{pmatrix} 1,4 & 0,2 \\ 1,2 & 1,6  \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}30 \\ 10 \end{pmatrix}
\iff 
V = \begin{pmatrix} 1,4\times 30 + 0,2 \times 10\\ 1,2 \times 30 + 1,6 \times 10 \end{pmatrix}\\
\iff
V = \begin{pmatrix} 44 \\ 52 \end{pmatrix}$

	\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $W_{n} = V_{n} - V$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que $W_{n+1} =  M \times  W_{n}$. 
$W_{n+1} = V_{n+1}-V$; or
$V_{n+1} = M\times V_n +R$ et
$V = M\times V + R$
donc, pour tout entier $n$:

$W_{n+1} = M\times V_n + R - (M \times V + R) = M\times V_n +R - M\times V - R = M\times (V_n - V) = M \times W_{n}$

		\item 
\begin{tabular}[t]{@{} l l}
On admet que: 	&-- pour tout entier naturel $n$, $W_{n} = M^{n} \times W_{0}$, \\
				&-- pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, $M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$.\\
				\end{tabular} 

%Calculer, pour tout entier naturel $n \geqslant  1,\: V_{n}$ en fonction de $n$. 


$W_0 = V_0 - V = 
\begin{pmatrix} 50 \\ 60 \end{pmatrix} -
\begin{pmatrix} 44 \\ 52 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$

Pour tout $n$, $W_n=M^n \times W_0$ et pour tout $n \pg 1$, 
$M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$; donc pour tout $n \pg 1$, 
$W_n= \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} 
= 
\dfrac{1}{2^{n-1}} 
\begin{pmatrix} 0,2\times 6 + 0,1 \times 8 \\
0,6\times 6 + 0,3 \times 8  \end{pmatrix}
= 
\dfrac{1}{2^{n-1}} 
\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} $

On sait que, pour tout $n$, $W_n=V_n-V$ donc $V_n=W_n+V$.

Donc, pour tout $n\pg 1$,
$V_n = 
\dfrac{1}{2^{n-1}} 
\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 44 \\ 52 \end{pmatrix}$

		\item%  Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ? 
$\ds\lim_{n \to +\infty} 2^{n-1} = +\infty$ donc
$\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$ et donc
$\ds\lim_{n \to +\infty} V_n =
\begin{pmatrix} 44 \\ 52 \end{pmatrix}$

Le nombre de vélos va se stabiliser à 44 dans la station A et à 52 dans la station B. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On désire réaliser un portail comme indiqué à l'annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.

%\medskip
%
%\textbf{Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A: modélisation de la partie supérieure du portail}

On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction $f$ définie sur l'intervalle \cd 0~;~2\cg par 
$f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + b$
où $b$ est un nombre réel. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle \cd 0~;~2\cg.

%\medskip 

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. 
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$ donc $f$ est dérivable sur \cd{}0~;~2\cg:

$f'(x)= 1 \times \e^{-4x} + \left ( x+\dfrac{1}{4}\right )(-4)\e^{-4x}= \e^{-4x} -4x\e^{-4x} -\e^{-4x} = -4x \e^{-4x}$

		\item% En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. 
Pour tout réel $x$, $\e^{-4x}>0$ et pour tout $x$ de \cg 0\,;\, 2\cg, $x>0$

Donc, pour tout $x$ de \cg 0\,;\, 2\cg, $-4x \e^{-4x} <0$ donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur  \cd 0\,;\, 2\cg.

	\end{enumerate}

\item% Déterminer le nombre $b$ pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5~m. 
La fonction $f$ est strictement décroissante sur \cd 0\,;\, 2\cg donc son maximum est $f(0)$. On sait que le maximum est 1,5 on a donc $f(0)=1,5$ ce qui équivaut à $\dfrac{1}{4} + b = 1,5 \iff b = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} \iff b=\dfrac{5}{4}$.

Il faut donc que $b$ soit égal à $\dfrac{5}{4}$ pour que le maximum de la fonction $f$ soit égal à 1,5.


\end{enumerate}

%\medskip

Dans la suite la fonction $f$ est définie sur l'intervalle \cd{}0~;~2\cg par 
$f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{4}$


%\textbf{Partie B : détermination d'une aire}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B: détermination d'une aire}

Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05~m de hauteur du sol. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle \cd{}0~;~2\cg par 
$F(x) = \left(- \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4}x$

La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$,donc elle est dérivable sur \cd{}0~;~2\cg:

$F'(x)=-\dfrac{1}{4}\e^{-4x} + \left ( -\dfrac{x}{4} -\dfrac{1}{8} \right )(-4)\e^{-4x} = \dfrac{5}{4}= -\dfrac{1}{4}\e^{-4x} +x\e^{-4x} + \dfrac{1}{2}\e^{-4x} + \dfrac{5}{4} =  \left (x+\dfrac{1}{4}\right ) \e^{-4x}+\dfrac{5}{4}=f(x)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur \cd{}0\,;\, 2\cg.

\item% En déduire l'aire en m$^2$ de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis  une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de cette aire. (On s'intéresse ici à l'objet \og vantail\fg{} sans faire référence à son environnement). 

La fonction $f$ est positive sur \cd{}0\,;\, 2\cg donc l'aire du vantail est
$\mathcal A = \ds \int_0^2 f(t) \d t$.

Comme $F$ est une primitive de $f$ sur \cd{}0\,;\, 2\cg, cette intégrale est égale à $F(2)-F(0)$.

$F(2)= -\dfrac{5}{8}\e^{-8} + \dfrac{5}{2}$ et $F(0)=-\dfrac{1}{8}$ donc
$F(2)-F(0) = \dfrac{21}{8} -\dfrac{5}{8}\e^{-8}$

Pour calculer l'aire du vantail il faut retrancher l'aire du vide de 0,05~m de haut 2~m de large et l'aire  du vantail est égale à :

$F(2)-F(0) - 2 \times 0,05 = \dfrac{21}{8} -\dfrac{5}{8}\e^{-8} - 0,1 \approx 2,52$~m$^2$.


\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C : utilisation d'un algorithme} 
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie C: utilisation d'un algorithme}

On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12~m, espacées de 0,05~m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annexe 2 de l'exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05~m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de $0$ : ainsi la première planche à gauche porte le numéro $0$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Donner l'aire de la planche numéro $k$. 

Les bords gauches des planches sont situés tous les $0,12+0,05 = 0,17$~m donc le bord gauche de la planche numéro $k$ est situé à l'abscisse $0,17\times k$.

L'ordonnée du point d'abscisse $0,17k$ est $f(0,17k)$ mais comme chaque planche est située à une hauteur de 0,05~m du sol, la hauteur de la planche numéro $k$ est de $f(0,17k)-0,05$ en mètres.

Chaque planche a une largeur de 0,12~m donc l'aire de la planche numéro $k$ est, en m\up{2}, égale à
$\left ( f(0,17k)-0,05\right )\times 0,12$.

\item% Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.

L'algorithme suivant  calcule la somme des aires des planches du vantail de droite:

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|@{\hspace*{1cm}}l X|}\hline
~ & \\
Variables :& Les nombres $X$ et $S$ sont des nombres réels\\ 
Initialisation:& On affecte à $S$ la valeur $0$\\ 
&On affecte à $X$ la valeur $0$\\ 
Traitement :& \textbf{Tant Que} $X + 0,17 < {\red 2,05}$\\ 
&\hspace{0,5cm}$S$ prend la valeur $S + {\red 0,12\left(f(X)-0,05\right)}$\\ 
&\hspace{0,5cm}$X$ prend la valeur $X + 0,17$\\ 
&\textbf{Fin de Tant Que}\\
Affichage :& On affiche $S$\\
~ & \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Dans cet algorithme, $S$ désigne la somme des aires des planches du vantail de droite, et $X$ désigne l'abscisse du bord gauche de chaque planche.}

\emph{Comme la largeur d'une planche est de $0,12$~m, il ne faut pas que l'abscisse $X$ du bord gauche de la dernière planche soit supérieure à $2 - 0,12$; il faut donc faire tourner la boucle \og{}Tant que $X+0,12 < 2$\fg, autrement dit \og{}Tant que $X+0,17 < 2,05$\fg.}

\end{enumerate} 


\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 de l'exercice 4}

\bigskip

\psset{xunit=2.8cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(2.5,2)
%\psgrid
\psframe(-2.5,-2)(-2,2)\psframe(2,-2)(2.5,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-2}{0}{x neg  0.25 add 2.71828 4 x neg  mul exp div 1.25 add}
\psline(0,-1.8)(-2,-1.8)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add}
\psline(2,-1.8)(0,-1.8)
}
\rput(-2.25,-2.5){pilier gauche}
\rput(2.25,-2.5){pilier droit}
\rput(-1.,-2.5){vantail de gauche}
\rput(1.,-2.5){vantail de droite}
\end{pspicture}
  
\bigskip

\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4}

\medskip

\psset{xunit=5cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(2.5,1.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.1)(2.5,1.6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.5)(0.12,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.17,1.4628)(0.29,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.34,1.4014)(0.46,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.51,1.3488)(0.63,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.68,1.3113)(0.8,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.85,1.2867)(0.97,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.02,1.2715)(1.14,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.19,1.2623)(1.31,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.36,1.257)(1.48,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.53,1.2539)(1.65,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,1.2522)(1.82,0.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.87,1.2512)(1.99,0.05)
\psframe(2,1.58)(2.4,0)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\medskip 

La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05~m. 
\end{center}
\end{document}