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% Tapuscrit Denis Vergès
% Corrigé de Sylvie Thiault et François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{ Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30  mai 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

%\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

%\vspace{0,25cm}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord~\decofourright\\[4pt]30  mai 2013}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}% \section{exercice 1}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B(1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrons que les points A, B et C ne sont pas alignés. 

On a $\vect{\text{AB}}(1~;~-1~;~-1)$ et $\vect{\text{AC}}(2~;~-5~;~-3)$.
On a : $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{-1}{-5}$. 

Les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas proportionnelles.

Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés.

\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		
On a  $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{u} = 1\times 2+ (- 1)\times (-1) + (-1)\times 3 = 0$ et $\vect{\text{AC}}~.~\vect{u} = 2\times2+(-5)\times (-1)+(-3)\times 3 = 0$.
		Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux à $\vect{u}$.
		
		La droite  $\Delta$ est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan  (ABC) : elle est orthogonale au plan (ABC).		
		\item De ce qui précède, on déduit que $\vect{u}$ est un vecteur normal à (ABC). 
		
Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme $2x - y + 3z + d = 0$.
		
Comme le point A appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient :
		
$2 \times 0 + (4) \times (-1) + (1) \times 3 + d = 0 \iff d = 1$.
		
On en déduit une équation cartésienne du plan (ABC): $2x - y+ 3z + 1 = 0$.
		\item Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		
Comme la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$ et contient le point D $(7~;~- 1~;~4)$, une représentation paramétrique de $\Delta$ est :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t+4
\end{array}\right., \:\: t \in \R$. \\
		
		\item Déterminons les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
		
Les coordonnées de H sont les solutions du système:
		
$\left\{\begin{array}{r c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4\\
2x-y+3z+1&=&0
\end{array}\right., \:\: t \in \R$.
		
\bigskip
		 
$\left\{\begin{array}{r c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4\\
2x-y+3z+1&=&0
\end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{r c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4\\
2(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)z+1&=&0
\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{r c l}
x&=&2t+7\\ 
y &=&-t-1\\ 
z &=& 3t + 4\\
t&=&-2
\end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{r c l}
x&=&3\\ 
y &=&1\\ 
z &=& -2\\
t&=&-2
\end{array}\right.$
		 
Le point H a pour coordonnées $H(3;~~1;~~-2)$		 
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
		
Le plan $\mathcal{P}_{1}$  d'équation $x + y + z = 0$ a pour vecteur normal $\vect{n_1}(1~;~1~;~1)$.
		
Le plan $\mathcal{P_2}$  d'équation $x + 4y + 2 = 0$ a pour vecteur normal $\vect{n_2}(1~;~4~;~0)$.
		
Les coordonnées des vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas proportionnelles.
Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; ils sont sécants.	
		\item Vérifions que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&\phantom{-4}t\\ 
z &=&\phantom{-}3t +2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$. 

\bigskip
Considérons le système:

$\left\{\begin{array}{r c l}
x+y+z 	&=&0\\ 
x+4y+2 	&=&0\\
y		&=&y\end{array}\right., \:\: t \in \R$.

$\left\{\begin{array}{r c l}
x+y+z 	&=&0\\ 
x+4y+2 	&=&0\\
y		&=&t
\end{array}\right.
\iff\left\{\begin{array}{r c l}
z 	&=&-\phantom{4} x - t\\ 
x 	&=&- 4t - 2 \\
y	&=&\phantom{-4}t
\end{array}\right.
\iff\left\{\begin{array}{r c l}
z &=&3t+2\\ 
x &=&-4t-2\\
y&=&t
\end{array}\right.$
 		
 		On en déduit que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&\phantom{-4}t\\ 
z &=&\phantom{-}3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$. \\
\textbf{On peut également vérifier que la droite $(d)$ est incluse dans le plan  	$\mathcal{P}_{1}$ et également dans le plan $\mathcal{P}_{2}$	. \newline
En effet, on a démontré que ces deux plans étaient sécants, ils sont donc sécants suivant une droite qui appartient simultanément aux deux plans et cette droite est unique.} \newline
$-4t-2+t+3t+2=0$  donc $(d)$ est contenue dans le plan $\mathcal{P}_{1}$ ; \newline
$-4t-2+4t+2=0$ donc $(d)$  est contenue dans la plan $\mathcal{P}_{2}$ 		
		\item % La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
		
On déduit de la représentation paramétrique précédente que la droite $d$ a pour vecteur directeur $\vect{u'}(-4~;~1~;~3)$.
		
Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
		
$\vect{u}.\vect{u'} = 0$. $\vect{u}$ et $\vect{u'}$  sont orthogonaux : la droite $d$ et le plan (ABC) sont parallèles. 		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}% \section{exercice 2 non spé}

\textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip
  
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 				&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :	&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
				&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
				&Fin de Pour\\ 
Sortie :		& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item On a : $u_0=1$, $u_1 = \displaystyle\sqrt{2u_0}= \displaystyle\sqrt{2}$, $u_2 = \displaystyle\sqrt{2u_1} = \displaystyle\sqrt{2\sqrt{2}}$ et 
		
$u_3 = \displaystyle\sqrt{2u_2} = \displaystyle\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}= \np{1.8340}$ à $10^{- 4}$ près.		
		\item Cet algorithme permet le calcul du terme de rang $n$. 
		\item D'après le tableau des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$, on peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 2.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		
\textbullet~~\emph{Initialisation}
		
On a $u_0=1$ donc $0 < u_{0} \leqslant 2$ : l'encadrement est vrai au rang $0$.
		
\textbullet~~\emph{Hérédité}
		
Soit $n \in \N$, et   $0 < u_{n} \leqslant 2$.
		
On a : $0 < u_{n} \leqslant 2\iff 0 < 2u_{n} \leqslant 4 \iff0 <\sqrt{2u_{n}} \leqslant 4\iff0 < u_{n+1} \leqslant 2$. L'encadrement est donc vrai au rang $n + 1$.
				
L'encadrement est vrai au rang $0$, et s'il est vrai au rang $n$, il est vrai au rang $n + 1$ : on a donc démontré par le principe de récurrence que pour $n \in \N$, \: $0 < u_{n} \leqslant 2$. 				
		\item Déterminons le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		
Comme  pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$, comparons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
		
On a : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{2u_{n}}}{u_n}=\sqrt{\dfrac{2u_{n}}{u_n^2}} = \sqrt{\dfrac{2}{u_n}}$.
		
Et comme on a démontré précédemment que $u_{n} \leqslant 2$, alors ${\dfrac{2}{u_n}}\geqslant1$ et ${\sqrt{\dfrac{2}{u_n}}}\geqslant1$. 
		
On en déduit que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$,  $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ ; $(u_n)$ est une suite croissante.		
		\item On vient de prouver que d'une part la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que d'autre part elle est majorée par 2.
		
Ceci démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$ donc en particulier: 
		
$u_0 = \ln \left(u_0\right) - \ln 2 = \ln 1 - \ln 2 = -\ln2$ 
		
On a aussi pour tout entier naturel $n$, \: $v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2$, mais $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$.
		
Alors: $v_{n+1} = \ln {\sqrt{2u_{n}}} - \ln 2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)+\ln2\right)-\ln2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)-\ln2\right)=\dfrac{1}{2}v_n$  
		
On peut en conclure que  la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$.
		\item On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel $n$,  $v_{n}=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
				
$v_{n} = \ln (u_{n}) - \ln 2 \iff \ln \left(\dfrac{u_n}{2}\right) = v_n \iff {\dfrac{u_n}{2}}=e^{v_n} \iff u_n=2e^{v_n}$.
$u_{n}$ en fonction de $n$.
		 
		\item Comme $\dfrac{1}{2} \in [0~;~1]$,		
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(v_n\right)}=0$ 
		
On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(\text{e}^x\right)} = 1$, alors par composition des limites : $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(\text{e}^{v_n}\right)}= 1$ et finalement: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(u_n\right)} = 2$
		
		\item L'algorithme ci-dessous permet d' afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&Tant que $u\leqslant 1,999$\\
				&Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
				&Affecter à $n$ la valeur $n+1$\\ 
Sortie :		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}  %\section{exercice 2 spé}

\textbf{Candidats AYANT  SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques} 

\medskip

\textbf{Partie A}% \subsection{partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		& 	$a$ est un entier naturel\\
				& $b$ est un entier naturel\\ 
				&$c$ est un entier naturel\\ 
Initialisation :& Affecter à $c$ la valeur $0$\\
				& Demander la valeur de $a$\\
				& Demander la valeur de $b$\\ 
Traitement :	& Tant que $a \geqslant b$\\ 
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
				Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ 
				Affecter à $a$ la valeur $a - b$
								\end{tabular}\\
				&Fin de tant que \\
Sortie : 		&Afficher $c$\\
				&Afficher $a$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}

\item% Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 

En faisant tourner l'algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$, on obtient:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\sep{\hspace*{0.5cm}}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline 
Variables 		&\sep $a$\sep 	& \sep $b$ \sep & \sep  $c$ \sep  \\ \hline 
Initialisation 	&  				&  				& 0 \\ \hline 
Entrées 		& 13 			& 4 			& 0 \\ \hline 
Traitement 		& 9 			& 4 			& 1 \\ \cline{2-4} 
 				& 5 			& 4 			& 2 \\ \cline{2-4} 
 				& 1 			& 4 			& 3 \\ \hline 
Sortie 			& \multicolumn{3}{c|}{On affiche la valeur de $c$: 3} \\ \cline{2-4} 
 				& \multicolumn{3}{c|}{On affiche la valeur de $a$: 1} \\ \hline 
\end{tabular}}
\end{center}


\item% Que permet de calculer cet algorithme ?
Dans cet algorithme, on retire le nombre $b$ du nombre $a$ autant de fois que l'on peut et on fait afficher le nombre de fois que l'on a retiré $b$ et ce qui reste dans $a$ ; cet algorithme fournit donc le quotient (dans $c$) et le reste (dans $a$) de la division de $a$ par $b$.

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

\medskip

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B	&C 	&D	&E &F	&G 	&H	&I	&J	& K &L 	&M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 &5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 &11 &12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	&T	&U 	&V 	&W 	&X 	&Y	&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17&18 	&19 &20	&21	&22	&23 &24	&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item On va coder la lettre U.
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& La lettre U correspond à $m = 20$.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	$9m+5=9\times 20+5 = 185$; le reste de la division de 185 par 26 est $p=3$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p=3$, on associe la lettre D.\\
\end{tabular}

Donc la lettre U se code en D. 


\item On modifie l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		& $m$ est un entier naturel\\
 				& $p$ est un entier naturel\\
Initialisation :& Demander la valeur de $m$\\
 				& Affecter à $p$ la valeur $9m+5$\\
Traitement :	& Tant que $p \geqslant 26$\\ 
				&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
				Affecter à $p$ la valeur $p - 26$
\end{tabular}\\
				& Fin de tant que \\
Sortie : 		&Afficher $p$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}% \subsection{partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\  [26]$. 
On sait que $9\times 3 = 27 \equiv 1 \  [26]$ ; donc pour $x = 3$, on a $9x \equiv 1 \  [26]$.
\item% Démontrer alors l'équivalence : $9m + 5 \equiv  p  \  [26] \iff m =  3p -  15 \  [26]$
$9m + 5 \equiv p \  [26]
\Longrightarrow 27m + 15 \equiv 3p \  [26] 
\iff 27m \equiv 3p - 15 \  [26]$

Or $27 \equiv 1 \  [26]$ donc $27m \equiv m \  [26]$

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ \equiv\ } l}
27m & 3p - 15\\
27m & m \  [26]
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
m \equiv 3p - 15 \  [26]$

Réciproquement :

$m \equiv 3p-15 \  [26]
\iff m + 15 \equiv 3p \  [26] 
\Longrightarrow 9m + 135 \equiv 27p \  [26]$

Or $27 \equiv 1 \  [26]$ donc $27p \equiv p \  [26]$; de plus $135 = 5\times 26+5$ donc $135 \equiv 5 \  [26]$.

$
135 \equiv 5 \  [26]
\Longrightarrow
9m + 135 \equiv 9m + 5 \  [26]$

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ \equiv\ } l}
9m+135 & 9m + 5 \  [26]\\
27p & p \  [26]\\
9m + 135 & 27p \  [26]
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
9m+5 \equiv p \  [26]
$

On peut donc dire que: $9m+5 \equiv p \  [26] \iff m \equiv 3p-15 \  [26]$.
 
\item% Décoder alors la lettre B. 
Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi:

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut décoder, on associe le nombre $p$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne de $3p-15$ par $26$ et on le note $m$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $m$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

Pour décoder la lettre B:

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre B, on associe le nombre $p=1$.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	$3p-15 = - 12 \equiv 14 \  [26]$ donc $m=14$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $m=14$, on associe la lettre O.\\
\end{tabular}

Donc la lettre B se décode en la lettre O.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}% \section{exercice 3}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\begin{center}
\emph{Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385~grammes est commercialisable.
 
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip
 
\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip
 
\textbf{Partie A}% \subsection{partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$					&380	&385	&390	&395	&400	&405	&410	&415	&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$	&0,035	&0,086	&0,182	&0,325	&0,5	&0,675	&0,818	&0,914	&0,965\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $P(390 \leqslant X \leqslant 410)=P( X \leqslant 410) - P(X < 390)= 0,818 - 0,182 = 0,636 $.\\ 
\item Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si 

\og $X \geqslant 385$ \fg. 

\og$X\geqslant385$\fg est l'évènement contraire de \og $X < 385$ \fg.

On a donc $p(X\geqslant385)=1- p(X < 385) = 1 - 0,086 = 0,914$.
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.

Soit Y la variable aléatoire de paramètres $\mu = 400$ et $\sigma$, on a :

$p(X \geqslant 385)= 0,96\iff1-p(Y<385)=0,96\iff p(Y < 385)= 0,04$
 
Si Y suit une loi normale de paramètres $\mu=400$ et $\sigma$, on sait que $Z=\dfrac{X-400}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite et $p(Y<385)=0,04\iff P\left(Z \leqslant \dfrac{385-400}{\sigma}\right) = 0,04$.

Or $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.On a donc : $\dfrac{-15}{\sigma}= - 1,751\iff\sigma=\dfrac{15}{1,751} = 8,6 $.

Pour $\sigma = 8,6$, au dixième près ; la probabilité qu'un pain soit commercialisable est de 96\% 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300 est de la forme 
 
\[I_{300}=\left[ p-1,96{\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}~;~p+1,96{\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\right]\]

avec $p = 0,96$ et $n = 300$.

On a donc: $I_{300} = [0,93~;~0,99]$

\item Parmi les 300~pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables. 
Ce qui représente 94\,\% de la production. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, on accepte que l'objectif a été atteint.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}% \subsection{partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $p(T\geqslant30)=0,913$. 

On a par ailleurs :	 $p(T\leqslant30) = \int_0^{30}{\lambda \text{e}^{-\lambda x }\:\text{d}x} = \left[-\text{e}^{-\lambda x}\right]_0^{30} = 1-\text{e}^{-30\lambda}$.

On en déduit : $p(T\geqslant 30) = 1 - p(T\leqslant30) = \text{e}^{-30\lambda}$ et finalement :

$\text{e}^{-30\lambda} = 0,913\iff  - 30\lambda =\ln(0,913)\iff \lambda = 0,003$.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Calculons $p_{T\geqslant 60}\left(T\geqslant 90\right)$.

On a 
$p_{T\geqslant 60}\left(T\geqslant 90\right)
= \dfrac{p((T\geqslant 60)\cap(T\geqslant 90))}{p(T\geqslant 60)}
= \dfrac{p(T\geqslant 90)}{p(T\geqslant 60)}
= \dfrac{1-p(T\leqslant90)}{1-p(T\leqslant 60)}
= \dfrac{\text{e}^{-90\lambda}}{\text{e}^{-60\lambda}} = \text{e}^{-30\lambda}$.

Avec $\lambda = 0,003$, on a donc $p_{T \geqslant 60}\left(T \geqslant 90\right) = p(T\geqslant30) = 0,913$.

La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours est 0,913 (loi à durée de vie sans vieillissement !)\\
 \item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons la durée maximale $t_{max}$ pour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à 0,5.

$p(T\leqslant t_{\text{max}})\leqslant 0,5 \iff =\int_0^{t_{\text{max}}}{\lambda \text{e}^{-\lambda x }\:\text{d}x} \leqslant 0,5\iff[-\text{e}^{-\lambda x}]_0^{t_{\text{max}}}\leqslant 0,5 \iff1-\text{e}^{-\lambda t_{\text{max}}}\leqslant 0,5$

$1-\text{e}^{-\lambda t_{\text{max}}}\leqslant 0,5\iff \text{e}^{-\lambda t_{\text{max}}}\geqslant 0,5\iff-\lambda t_{max}\geqslant \ln0.5 $

Avec $\lambda = 0,003$, on trouve $t_{\text{max}} = 231$. Le vendeur avait donc tort.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}% \section{exercice 4}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]

et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.4,0.7){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudions la limite de $f$ en $0$. 
		
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} {\ln (x)}=-\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} {1+\ln (x)}=-\infty$ .
		
D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to 0} {\dfrac{1}{x^2}}=+\infty$, alors par produit des limites, $\displaystyle\lim_{x \to 0} {f (x)}=-\infty$
		
		\item On sait que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln{x}}{x}=0$, 
		
D'autre part  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {\dfrac{1}{x}}=0$, alors par produit des limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln{x}}{x^2}=0$,
		
		On a aussi $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^2}=0$, et en ajoutant ces deux dernières limites, on obtient :
		
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {f (x)}=0$		 
		\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} {f (x)}=-\infty$ prouve que l'axe des ordonnées est asymptote verticale .
		
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {f (x)}=0$ que l'axe des abscisses est asymptote horizontale.à $\mathcal{C}$
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  

$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, 

\[f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-(1+\ln{x})}{x^4}  =\dfrac{-x-2x\ln{x}}{x^4}= \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
 
		\item  $-1 - 2\ln {x} > 0\iff \ln{x}<-\dfrac{1}{2}\iff x<\text{e}^{-\frac{1}{2}}$.
		 
Pour tout $x\in ]0~;~+ \infty[$, $x^2>0$ et $f'(x)$ est du signe de $-1 - 2\ln (x)$.\\

		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
		
On a $f\left(\text{e}^{-\frac{1}{2}}\right)=\dfrac{1-\frac{1}{2}}{\left(\text{e}^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\text{e}^{-1}}=\dfrac{\text{e}}{2}$
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(1,0)(1,3.5) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.14,0)(1.14,2.5)
\uput[u](0.5,2.5){$x$}\uput[u](1.12,2.5){$0$}\uput[u](5,2.5){$\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}$}\uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\uput[u](3,2){$+$}\uput[u](5,2){$0$}\uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](5,2){$\frac{\text{e}}{2}$}\uput[u](7.8,0){$0$}
\psline{->}(1.7,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\end{pspicture}	
%	$$\tabvar{%
%	\tx{x}&\tx{0}&&&\tx{\frac{1}{\sqrt{\text{e}}}}&&\tx{+\infty}\cr
%	\tx{f^{\,\prime}(x)}&\dbt&&\tx{+}&&\tx{-}&\cr
%	\tx{f(x)}&\dbt&\txb{-\infty}&\fm&\txh{\frac{1}{e}}&\fd&\txb{0}\cr
%	}$$
	\end{center}
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a : $f(x)=0\iff 1+\ln{x}=0\iff \ln{x}=-1\iff x=\text{e}^{-1}$
		
Ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, le point de coordonnées $\left(\text{e}^{-1}~;~0\right)$
		\item D'après le tableau des variations de $f$ et sachant que $f\left(\text{e}^{-1}\right) = 0$. 
		
		On en déduit que  $f(x) > 0$ sur l'intervalle $\left]\text{e}^{-1}~;~+ \infty \right[$ et $f(x) < 0 $ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^{-1}\right[$.				
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que $f > 0$ sur $\left]\text{e}^{-1}~;~+ \infty \right[$, donc $I_{n} =\displaystyle\int_{\text{e}^{-1}}^n{f(x)}\:\text{d}x$ 
		
Sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~2\right]$ on a au vu des variations de $f$ : $0 < f(x) \leqslant \dfrac{\text{e}}{2}$. Comme l'intégration conserve l'ordre et le signe, on en déduit :
		
$0\leqslant I_2\leqslant \displaystyle\int_{\text{e}^{-1}}^n{\dfrac{\text{e}}{2}}\:\text{d}x = {\dfrac{\text{e}}{2}}\left(2-\dfrac{1}{\text{e}}\right)=\text{e}-\dfrac{1}{2}$ et finalement: 		

$0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
		 
On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty [$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculons $I_{n}$ en fonction de $n$. 
On a :
		
$I_n=\left[\dfrac{-2-\ln{x}}{x}\right]_0^n=\dfrac{- 2- \ln{n}}{n}-\left(\dfrac{- 2- \ln(\text{e}^{-1})}{\text{e}^{-1}}\right)=\dfrac{-2-\ln{n}}{n}- (- 2 + 1)\text{e}$.
		 
Et finalement:

$I_n = \dfrac{-2-\ln{n}}{n}+\text{e}=\text{e}-\dfrac{\ln{n}}{n}-\dfrac{2}{n}$
		\item  Étudions la limite de $I_n$ en $+ \infty$. 
		
On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\ln{n}}{n}=0$, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{2}{n} = 0$	
alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n = \text{e}$.
		
Graphiquement cela signifie que l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$  tend vers $\text{e}$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}
