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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache

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%%%%   Commandes perso FH
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud -- }}
\rfoot{\small 24 novembre 2016}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[4pt]
24 novembre 2016} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip 
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}

\item La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~6].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
\psframe(2,0)(4,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 3 exp 23 mul 210 div x dup mul 79 mul 60 div sub 562  x  mul 35 div add}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,3)(2,3.85)(2.5,4)(3,3.94)(4,3.5)(5,2.63)(6,1.5)
\uput[u](6.8,0){$x$}\uput[r](0,5.8){$y$}
\psdots(0,0)(6,1.5)
\uput[u](5.5,2.05){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

On pose $\text{I} = \displaystyle\int_2^4  f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de I est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0 \leqslant  \text{I} \leqslant 2$& \textbf{b.~~} $2 \leqslant  \text{I} \leqslant 4$&\textbf{c.~~} $4 \leqslant  \text{I} \leqslant 6$&\textbf{d.~~} \fbox{$6 \leqslant  \text{I} \leqslant 8$}
\end{tabularx}

\smallskip

Voir graphique.

\medskip

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x - 3x^2$.

La courbe représentative de $g$ admet un point d'inflexion qui a pour abscisse :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1&\textbf{b.~~} 0&\textbf{c.~~} \fbox{$\ln 3$} &\textbf{d.~~}$\ln 2$
\end{tabularx}

\smallskip

Un point d'inflexion est un point où la représentation graphique traverse sa tangente. C'est donc un point où la dérivée seconde s'annule et change de signe.



$g'(x)= 2\e^{x}-6x$; $g''(x)=2\e^{x}-6$ et $g''(x)=0 \iff x= \ln 3$

\medskip

\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~0,6)$.

La probabilité qui admet pour valeur approchée $0,012$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p(X= 2)$&\textbf{b.~~} $p(X \geqslant 2)$&\textbf{c.~~} \fbox{$p(X \leqslant 2)$} &\textbf{d.~~} $p(X < 2)$
\end{tabularx}

\smallskip

On trouve ce résultat à la calculatrice.

\medskip

\item Une société de vente en ligne de chaussures souhaite connaître la proportion d'articles présentant un défaut de coloris. Pour cela, on prélève au hasard dans le stock $400$ paires de chaussures. On constate que $24$ paires présentent ce défaut.

L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95\,\%, de la proportion $p$ de paires de chaussures présentant un défaut de coloris est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}[0,89~;~0,99]& \textbf{b.~~} \fbox{[0,01~;~0,11]} & \textbf{c.~~} [0,05~;~0,07]& \textbf{d.~~} [0,92~;~0,96]
\end{tabularx}

\smallskip

L'intervalle de confiance est donné par 
$\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~ f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ]
= \left [ \dfrac{24}{400}-\dfrac{1}{\sqrt{400}}~;~ \dfrac{24}{400}+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] =$

$ [0,06 - 0,05~;~0,06 + 0,05]
= \cd 0,01~;~0,11 \cg$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle \cd 1~;~45\cg{} par 
$g(x) = - 20x + 5x \ln(x) + 30$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.
		
%Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [1~;~45], on a $g'(x) = - 15 + 5 \ln(x)$.

$g'(x)=-20 +\left ( 5\times \ln(x) +5x\times \dfrac{1}{x}\right )
= -20 +5\ln(x) +5
= -15+5\ln(x)$

		\item% Montrer que l'inéquation $- 15 + 5 \ln(x) \geqslant 0$ est équivalente à $x \geqslant \text{e}^3$.

$\begin{array}[t]{l !{\iff} l}
- 15 + 5 \ln(x) \geqslant 0 & 5 \ln(x) \pg 15\\
							& \ln(x) \pg 3\\
							& x \pg \e^{3}
\end{array}$

		\item% Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ (les valeurs seront arrondies au centième si besoin).
$g(1)=10$; $g(\e^{3}= -20\e^{3} + 5\e^{3}\times 3 + 30 = 30-5\e^{3} \approx -70,43$; \\
$g(45)=-900 + 225 \ln(45) +30 = 225\ln(45)-870 \approx -13,50$

On dresse le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\cd 1~;~45 \cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \hspace*{\esp} & \e^{3} & \hspace*{\esp} & 45 \\
 \hline
g'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{10}  &  &  &  & \Rnode{max2}{-13,50}   \\
g(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-70,43} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~45].

On complète le tableau de variations de $g$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \hspace*{\esp} & \e^{3} & \hspace*{\esp} & 45 \\
% \hline
%g'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{10}  &  &  &  & \Rnode{max2}{-13,50}   \\
g(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-70,43} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\rput*(-4.55,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
\rput(-4.55,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut conclure que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $\cd 1~;~45\cg$.

		\item% Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
On trouve à la calculatrice:

$\left. 
\begin{array}{l}
g(1) = 10 >0\\
g(2) \approx -3,07<0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \alpha \in \cd 1~;~2 \cg$
\hfill
$\left. 
\begin{array}{l}
g(1,7) \approx 0,51 >0\\
g(1,8) \approx -0,71<0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \alpha \in \cd 1,7~;~1,8 \cg$

$\left. 
\begin{array}{l}
g(1,74) \approx 0,02 >0\\
g(1,75) \approx -0,10<0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \alpha \in \cd 1,74~;~1,75 \cg$


		\item% En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle [1~;~45].
On peut donc déduire que $g(x)>0$ sur $\cd 1~;~\alpha \cd$, $g(\alpha)=0$ et $g(x)<0$ sur $\cg \alpha~;~45 \cg$.

 	\end{enumerate}

\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle \cd 1~;~45\cg{} par 
$G(x) = - 11,25x^2 + 2,5x^2\ln (x) + 30x$.
	
%Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~45].

$G'(x)= -11,25\times 2x + \left ( 2,5\times 2x \times \ln(x) + 2,5x^2\times \dfrac{1}{x}\right ) + 30
= -22,5x +5x\ln(x)+2,5x +30 \\
\phantom{G'(x)} = -20x +5x\ln(x) + 30 = g(x)$

Donc $G$ est une primitive de $g$ sur $\cd 1~;~45\cg$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer une valeur approchée au dixième de l'intégrale 
$\displaystyle\int_{10}^{45} g(x)\:\text{d}x
= G(45)-G(10)
\approx \np{-1910,7}$

		\item% Déduire de la question précédente la valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle [10~;~45]. Arrondir le résultat à l'unité.
La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle \cd 10~;~45\cg{} est:
$\dfrac{1}{45-10} \ds\int_{10}^{45} g(x) \d x
\approx -55$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu'à 45~km d'altitude.
On admet que la fonction $g$ définie dans la partie A modélise la température de l'air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l'altitude $x$ du ballon sonde, exprimée en km.

%\smallskip
%À l'aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}

\item L'altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à $0$ degré Celsius est la valeur de $x$ pour laquelle $g(x)$ devient négatif donc à partir de $x=\alpha$ soit à peu près 1,74~km.

\item% Déterminer la température minimale relevée par la sonde.
La température minimale relevée par la sonde est le minimum de la fonction $g$ sur $\cd 1~;~45\cg$ soit approximativement $-70,4$ degrés Celsius.

\item On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10~km et 45~km d'altitude.

La température moyenne de la stratosphère est la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cd 10~;~45\cg$, c'est donc, d'après la question \textbf{A.3.}, $-55$ degrés Celsius.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill {\normalsize Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \hfill 5 points}


%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Le gérant d'un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.

Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l'UNESCO et l'hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1997 &1998 &1999 &2000\\ \hline
Nombre de clients& 950 &\np{1105} &\np{2103} &\np{2470}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.
Entre 1997 et 2000, le nombre de clients est passé de 950 à \np{2470} ce qui fait une augmentation de 
$\np{2470} - 950 = \np{1520}$.
$\dfrac{\np{1520}}{950}\times 100=160$ donc 

le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000 est de 160\,\%.

\end{enumerate}

\smallskip

Par ailleurs, depuis le 1\up{er} janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l'hôtel compte \np{1200} nouveaux clients et que 70\,\% des clients de l'année précédente reviennent.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre total de clients de l'hôtel durant l'année $2000 + n$.
On a ainsi $u_0 = \np{2470}$ et, pour tout entier naturel $n$, on a 

$u_{n+ 1} = 0,7u_n + \np{1200}$.

\begin{enumerate}[resume]

\item Le nombre total de clients durant l'année 2001 est
$u_1= 0,7 u_0 + \np{1200} = 0,7\times \np{2470} + \np{1200} = \np{2929}$.

\item Le gérant de l'hôtel souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera \np{3900}.
On veut un algorithme qui donne l'année correspondante.

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{2mm}X p{2mm}X} 
Algorithme 1&&Algorithme 2&&Algorithme 3
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X|}\hline 
\footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\
\footnotesize $N$ prend la valeur 0\\
\footnotesize Tant que $U < \np{3900}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\footnotesize Fin tant que\\
\footnotesize Afficher 2000 + $N$\\ \hline
\end{tabularx}~~\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X| }\hline 
\footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\
\footnotesize $N$ prend la valeur 0\\
\footnotesize Tant que $U > \np{3900}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\footnotesize Fin tant que\\
\footnotesize Afficher 2000 + $N$\\ \hline
\end{tabularx}~~\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X|}\hline 
\footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\
\footnotesize $N$ prend la valeur 0\\
\footnotesize Tant que $U < \np{3900}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\footnotesize Fin tant que\\
\footnotesize Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item À la sortie de l'algorithme 3, on affiche $U$, c'est-à-dire le nombre de clients. Comme on veut un algorithme qui donne une année, l'algorithme 3 est à rejeter.

\item Dans l'algorithme 2, la condition est \og Tant que $U>\np{3900}$\fg{} ; en initialisation on a donné à $U$ la valeur $\np{2470}$ donc on n'entre jamais dans la boucle \og Tant que\fg. L'algorithme 2 est à rejeter.

\end{list}

L'algorithme qui convient est l'algorithme 1.

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{4000}$; donc 

$u_n=v_n+\np{4000}$.

	\begin{enumerate}
	
		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ et préciser le premier terme.
$v_{n+1} = u_{n+1} - \np{4000} 
= 0,7 u_n + \np{1200} - \np{4000}
= 0,7 \left ( v_n + \np{4000} \right ) -\np{2800}$

$= 0,7 v_n +\np{2800} -\np{2800}
= 0,7 v_n$

$v_0 = u_0 - \np{4000} = \np{2470} - \np{4000} = -\np{1530}$.

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=-\np{1530}$ et de raison $q=0,7$.

		\item% Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
$(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=-\np{1530}$ et de raison $q=0,7$ donc, 

\hfill{}pour tout $n$, $v_n=v_0 \times q^n = -\np{1530} \times 0,7^n$.\hfill{}
		
		\item% Justifier que $u_n = \np{4000} - \np{1530} \times  0,7^n$ pour tout entier naturel $n$.
On a vu que, pour tout $n$, $v_n = -\np{1530} \times 0,7^n$ et $u_n=v_n+\np{4000}$ donc, 

\hfill{}pour tout $n$, $u_n= \np{4000} - \np{1530} \times 0,7^n$.\hfill{}


		\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé \np{3900} revient à déterminer le nombre $n$ tel que $u_n>\np{3900}$; on résout cette inéquation:
		
$\begin{array}{l !{\iff} l l}
u_n>\np{3900} & \np{4000} - \np{1530} \times 0,7^n >\np{3900} & \\
			  & 100 > \np{1530} \times 0,7^n & \\
			  & \dfrac{100}{\np{1530}} > 0,7^n & \\[7pt]
			  & \ln \left ( \dfrac{100}{\np{1530}} \right ) > \ln\left ( 0,7^n \right ) & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0~;~ +\infty \cd\\[7pt]
			  & \ln \left ( \dfrac{100}{\np{1530}} \right ) > n\times \ln(0,7) & \text{propriété de la fonction ln}\\[7pt]
			  & \dfrac{\ln \left ( \dfrac{100}{\np{1530}} \right ) }{\ln(0,7)} < n & \text{car } \ln(0,7)<0
\end{array}$

\smallskip

$\dfrac{\ln \left ( \dfrac{100}{\np{1530}} \right ) }{\ln(0,7)} \approx 7,6$ donc $n=8$.

\smallskip

La première année à partir de laquelle le nombre de clients  a dépassé \np{3900} est 

$2000+8=2008$.

	\end{enumerate}

\item On veut déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année à long terme; on cherche donc
$\ds\lim_{n \to +\infty} u_n$.

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,7; or $0 < 0,7 < 1$ donc la suite $(v_n)$ a pour limite~0. 

Pour tout $n$, $u_n=\np{4000} - v_n$ donc la suite $(u_n)$ a pour limite \np{4000}.

À long terme, le gérant de l'hôtel peut espérer avoir \np{4000} clients.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}
%
%\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Un groupe de touristes a réservé toutes les chambres d'un hôtel-restaurant à Venise qui propose tous les soirs à ses pensionnaires le choix entre un menu gastronomique et un menu traditionnel.

On considère, pour la modélisation, que chaque soir les clients choisissent un des deux menus et que le restaurant est réservé aux clients de l'hôtel.

Une étude sur les habitudes des clients montre que, si un soir donné, un client choisit le menu gastronomique, il choisit également le menu gastronomique le soir suivant dans 60\,\% des cas.

Si le client choisit le menu traditionnel un soir donné, il choisit également le menu traditionnel le soir suivant dans 70\,\% des cas.

\smallskip

Afin de mieux prévoir ses commandes pour la saison estivale, le gérant souhaite connaître la
proportion de clients choisissant le menu gastronomique ou le menu traditionnel à partir du 1\up{er} juin 2015.  Ce soir-là, 55\,\% des clients ont choisi le menu gastronomique.

\smallskip

On note $g_0$ la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 1\up{er}~juin 2015 ; on a donc $g_0 = 0,55$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $g_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne le menu gastronomique le $n$-ième soir après le 1\up{er} juin 2015.

Ainsi, $g_1$ est la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 2~juin 2015.

De la même façon, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $t_n$ la probabilité qu'un client, choisi au hasard, prenne le menu traditionnel le $n$-ième soir après le 1\up{er} juin 2015.

\smallskip

On note $P_n$ la matrice $\left(g_n \quad  t_n\right)$ correspondant à l'état probabiliste au $n$-ième soir.

\smallskip

On note G l'état \og le client choisit le menu gastronomique \fg{} et T l'état \og le client choisit le menu traditionnel \fg.

\medskip

\begin{enumerate}

\item L'énoncé se traduit par le graphe probabiliste suivant :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\bf G}
\psnode(6,0){B}{\bf T}
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,4} 
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,3}
\nccircle[angleA=60]{->}{A}{.5cm} \Bput{0,6}
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,7}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que la matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est $M = \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume]

\item 
	\begin{enumerate}

\item Le 1\up{er} juin 1988, 55\,\% des clients ont choisi le menu gastronomique ; l'état initial est traduit par la matrice $P_0 = \begin{pmatrix}0,55&0,45\end{pmatrix}$.

\item De $P_1 = P_0 \times M$, \:$P_2 = P_1 \times M$ et $P_3 = P_2 \times M$, on déduit $P_3 = P_0 \times M^3$.

On obtient $P_3 \approx  \begin{pmatrix}\np{0,43190}&\np{0,5682}\end{pmatrix}$.

La probabilité que le 4 juin 2015 un client choisisse le menu gastronomique est environ \np{0,43} au centième près.

	\end{enumerate}

\item  

	\begin{enumerate}

\item On sait que l'état stable $P = \begin{pmatrix}g&t\end{pmatrix}$ vérifie l'équation  : $P = P \times M$. 

$\text{On a donc le système : }
\left\{\begin{array}{l c r}
\begin{pmatrix}g&t\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}g&t\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,3&0,7\end{pmatrix}\\
g + t&=&1\hfill{}
\end{array}
\right. 
\iff $

$\left\{
\begin{array}{l c r}
g&=&0,6g + 0,3t\\
t&=&0,4g + 0,7t\\
g + t&=&1 \hfill{}
\end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
0,4g&=&0,3t\\
0,3t&=&0,4g\\
g &=&1 - t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
0,4(1 - t)&=&0,3t\\
g &=&1 - t
\end{array}\right.  
$

$\iff \left\{\begin{array}{l c r}
0,4&=&0,7t\\
g &=&1 - t
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
\dfrac{4}{7}&=&t\\
0,3t&=&0,4g\\
g &=&1 - \dfrac{4}{7}
\end{array}\right.  \iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
\dfrac{4}{7}&=&t\\
g&=&\dfrac{3}{7}\\
\end{array}\right.$

On a donc $P = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{7}&\dfrac{4}{7}\end{pmatrix}$.

\item Le résultat précédent signifie qu'au bout d'un certain nombre de jours la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique est $\dfrac{3}{7}$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

L'hôtel propose également à ses clients des balades en gondole sur les canaux de Venise.

Le graphe ci-dessous représente les principaux canaux de Venise empruntés par le gondolier.

Chaque arête représente un canal et chaque sommet un lieu de la ville.

Le poids de chaque arête représente la durée de parcours, exprimée en minutes, entre deux lieux de la ville en empruntant les canaux.

\begin{center}
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(6,6)
\cnode*(0.3,4.8){0.1cm}{R}\uput[ul](0.3,4.8){R}
\cnode*(3.3,5.4){0.1cm}{L}\uput[u](3.3,5.4){L}\ncline{R}{L}\ncput*{5}
\cnode*(5,4.8){0.1cm}{C}\uput[ur](5,4.8){C}\ncline{L}{C}\ncput*{6}
\cnode*(5.3,3.5){0.1cm}{P}\uput[r](5.3,3.5){P}\ncline{C}{P}\ncput*{3}
\cnode*(3,4.2){0.1cm}{S}\uput[ul](3,4.2){S}\ncline{L}{S}\ncput*{4}
\cnode*(3.5,2.4){0.1cm}{G}\uput[r](3.5,2.4){G}\ncline{C}{S}\ncput*{3}
\cnode*(1.5,2){0.1cm}{U}\uput[dl](1.5,2){U}\ncline{P}{G}\ncput*{4}
\cnode*(4,0.5){0.1cm}{M}\uput[r](4,0.5){M}\ncline{S}{G}\ncput*{2}
\ncline{G}{M}\ncput*{6}\ncline{G}{U}\ncput*{5}\ncline{M}{U}\ncput*{10}
\ncline{U}{R}\ncput*{7}\ncline{U}{S}\ncput*{4}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
C : Ca'Pesaro

G : Palazzo Grimani di San Luca

L : Palazzo Labia

M : Piazza San Marco

P : Ponte Di Rialto

R : Piazzale Roma

S : Campo Di San Polo

U : Universita Ca'Foscari}
\end{center}

Le gondolier employé par l'hôtel inspecte régulièrement les canaux pour en vérifier la navigabilité.

Il souhaite optimiser son trajet en inspectant une fois et une seule chaque canal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On établit le degré de chaque sommet :


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
sommet 	&C&G&L&M&P&R&S&U\\ \hline
degré 	&3&4&3&2&2&2&4&4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Il y a donc uniquement 2 sommets de degré impair: il existe donc une chaîne eulérienne, c'est-à-dire que l'on peut inspecter tous les canaux en passant une seule fois dans chacun d'eux.

On peut partir soit de Ca'Pesaro soit  de Palazzo Labia comme points de départ et d'arrivée.

Par exemple : L--R--U--S--G--U--M--G--P--C--S--L--C.

\item La durée de ce parcours est égale à la somme de tous les temps du graphe soit:

$5 + 7 + 4 + 2 + 5 + 10 + 6 + 4 + 3 + 3 + 4 + 6 = 59$~(min).

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

L'entreprise Éclairage vend des ampoules à deux magasins de bricolage : Atelier et Bricolo. 
Cette entreprise propose trois types d'ampoules : les ampoules fluocompactes qui représentent 30\,\% du stock, les ampoules halogènes qui représentent 25\,\% du stock et les ampoules à LED qui représentent 45\,\% du stock.

On sait que :

%\setlength\parindent{8mm}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item 65\,\% des ampoules fluocompactes sont achetées par le magasin Atelier ;

\item 70\,\% des ampoules halogènes sont achetées par le magasin Bricolo ;

\item 50\,\% des ampoules à LED sont achetées par le magasin Atelier.

\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On prélève au hasard une ampoule provenant du stock de l'entreprise Éclairage.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$F$ : \og l'ampoule est une ampoule fluocompacte \fg{} ;
\item[ ]$H$ : \og l'ampoule est une ampoule halogène\fg{} ;
\item[ ]$L$ : \og l'ampoule est une ampoule à LED\fg{} ;
\item[ ]$A$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Atelier \fg{} ;
\item[ ]$B$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Bricolo \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré avec les données du texte:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3.5cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$F$}\naput{0,3}}
		{
		\TR{$A$}\naput{0,65}
		\TR{$B$}\nbput{$\red 1-0,65=0,35$}
		}
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$H$}\naput{0,25}}
		{
		\TR{$A$}\naput{$\red 1-0,7=0,3$}
		\TR{$B$}\nbput{0,7}
		}
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$L$}\nbput{0,45}}
		{
		\TR{$A$}\naput{0,5}
		\TR{$B$}\nbput{$\red 1-0,5=0,5$}
		}
}				
\end{center}

\bigskip

\item% Calculer $p(F \cap A)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$F \cap A$ représente l'événement \og l'ampoule est fluocompacte et est achetée par le magasin Atelier\fg.

$p(F \cap A) = p(F)\times p_F(A)=0,3\times  0,65 = 0,195$.
\item La probabilité qu'une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo est $p(B)$.

$\left \lbrace F~;~H~;~L \rule{0pt}{9pt}\right \rbrace$ forme une partition de l'ensemble des ampoules, donc, d'après la formule des probabilités totales:

$p(B)=p(F\cap B) + p(H\cap B) + p(L\cap B)
= 0,3\times 0,35 + 0,25\times 0,7 + 0,45 \times 0,5
= 0,105 + 0,175 + 0,225 = 0,505$ 

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une norme de qualité stipule qu'une marque peut commercialiser ses ampoules si leur durée de vie est supérieure à \np{20000}~heures avec une probabilité d'au moins $0,95$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque ÉclaireBien. On admet que $X$ suit la loi normale dont la fonction de densité est tracée ci-après.

L'aire grisée comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à $0,46$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.00016cm, yunit=250cm, runit=1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true}
\def\xmin{5000}   \def\xmax{75000}
\def\ymin{-0.0047} \def\ymax{0.016}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=5000+5000}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.01496)}
\multido{\n=0.000000+0.002992}{6}{\psline[linestyle=dotted](5000,\n)(75000,\n)}
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\def\m{40000}% moyenne 
\def\s{10000}% écart type
\def\f{300/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{20000} \def\sup{40000}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\uput{12pt}[d](\sup,0){\footnotesize \blue \sup}
%\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf}

\multido{\n=10000+10000}{7}
{
\uput[d](\n,0){\footnotesize \n}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}

\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
\multido{\n=5000+5000}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.01496)}
\multido{\n=0.000000+0.002992}{6}{\psline[linestyle=dotted](5000,\n)(75000,\n)}
\rput(32500,0.0046){\bf 0,46}
\end{pspicture*}
\end{center}

%À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item% Donner l'espérance mathématique de $X$.
La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\np{40000}$ donc l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $\mu=\np{40000}$.
		\item% Déterminer $p(\np{20000} < X < \np{60000})$.
Par symétrie, $p(\np{20000} < X < \np{40000}) = p(\np{40000} < X < \np{60000})$.

Donc $p(\np{20000} < X < \np{60000}) = 2\times p(\np{20000} < X < \np{40000}) = 2\times 0,46 = 0,92$.
		\item% Déterminer si la marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules. Justifier la réponse.
Pour des raisons de symétrie, 
$p(X \pp \np{20000}) = p(X \pg \np{60000})$.		
		
De plus, $p(X \pp \np{20000}) + p(\np{20000} < X < \np{60000}) + p(X \pg  \np{60000}) = 1$.

On sait que $p(\np{20000} < X < \np{60000}) = 0,92$ donc 
$p(X \pp \np{20000}) = p(X \pg \np{60000}) = \dfrac{1-0,92}{2} = 0,04$.

On en déduit que $p(X>\np{20000}) = p(\np{20000} < X < \np{60000}) + p(X \pg \np{60000}) = 0,92+0,04 = 0,96$.

La probabilité est supérieure à 0,95 donc la marque \'EclaireBien pourra commercialiser ses ampoules.
	\end{enumerate}
\item On note $Y$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque BelleLampe.
On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance \np{42000} et d'écart-type \np{15000}.	
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules.
On trouve à la calculatrice $p(Y> \np{20000}) \approx 0,93$ donc la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules. 
		\item% Déterminer le nombre $a$, arrondi à l'unité, tel que $p(Y < a) = 0,05$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On trouve à la calculatrice que l'arrondi à l'unité du réel $a$  tel que $p(Y < a) = 0,05$ est  $\np{17327}$.

Donc la probabilité que la durée de vie d'une lampe de la marque BelleLampe soit inférieure à \np{17327} heures est égale à $0,05$.
	\end{enumerate}			
\end{enumerate}
\end{document}