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\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
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\usepackage{pst-all}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Florence Francillette et Vincent Tolleron
% Corrigé : François Hache
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}

\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique
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\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures}
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Antilles--Guyane 19 juin 2014~\decofourright}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée.\\
% Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
%  
%\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Réponse \textbf{a.}: $- 1 + 2^{31}$
%La somme $S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{30}$ est égale à : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $- 1 + 2^{31}$ 
%		\item $1 - 2^{31}$ 
%		\item $- 1 + 2^{30}$ 
%		\item $1 - 2^{30}$
%	\end{enumerate} 

Il faut reconnaitre la somme des 31 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 20.

\item Réponse \textbf{b.}: trois solutions distinctes

%L'équation $- \dfrac{x^3}{3} + x^2 +3x = 0$ admet sur $\R$ : 
%	\begin{enumerate}
%		\item la solution $- 2$ 
%		\item trois solutions distinctes 
%		\item aucune solution 
%		\item une unique solution 
%	\end{enumerate} 

$- \dfrac{x^3}{3} + x^2 +3x = 0 \iff -\dfrac{1}{3\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}x\left ( x^2 - 3x^2 - 9\right ) = 0$; $x=0$ est une solution et le discriminant du trinôme $x^2 - 3x^2 - 9$ est strictement positif ce qui donne deux solutions distinctes et différentes de 0.

\item Réponse \textbf{c.}: $F(x)=x \ln x - x$.

Il suffit de dériver cette fonction $F$.

%Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.
% 
%Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $F(x) = \dfrac{1}{x}$  
%		\item $F(x) = x \ln x$ 
%		\item $F(x)= x \ln x - x$ 
%		\item $F(x) = \text{e}^x$ 
%	\end{enumerate}

\item Réponse \textbf{b.}: $n \pg 9$

$\left (\dfrac{1}{2}\right )^n < 0,003 
\iff \ln \left (0,5^n\right ) < \ln 0,003
\iff n \ln 0,5 < \ln 0,003
\iff n > \dfrac{\ln 0,003}{\ln 0,5}$
et 

$\dfrac{\ln 0,003}{\ln 0,5} \approx 8,38$

%Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $\left(\frac{1}{2}\right)^n < 0,003$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $n \geqslant 8$ 
%		\item $n \geqslant 9$ 
%		\item $n \leqslant 8$ 
%		\item $n \leqslant 9$ 
%	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

%\medskip 
% 
%Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8\,\% de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.
% 
%En 2013 le nombre d'abonnés est de 20 millions.
% 
%On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année $2013 + n$. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 
%
%\[\left\{\begin{array}{l @{\ = \ } l}
%u_{0}&  20\\ 
%u_{n+1} & 0,92u_{n} + 3.
%\end{array}\right.\]
% 
%Le terme $u_{n}$ donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année $2013 + n$.

%\medskip
% \textbf{Partie A}
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie A} 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant cette modélisation, l'opérateur décide d'arrondir les résultats à $10^{-3}$.
		 
%À quoi correspond ce choix d'arrondi ? 
Ce choix d'arrondi correspond à obtenir les résultats au millier d'abonnés près.

		\item% Déterminer le nombre d'abonnés en 2014 et en 2015. 
Le nombre de millions d'abonnés en 2014 est
$u_1=0,92 u_0 +3 = 0,92\times 20 + 3 = 21,4$.

Le nombre de millions d'abonnés en 2015 est
$u_2=0,92 u_1 +3 = 0,92\times 21,4 + 3 = 22,688$.

	\end{enumerate}

{\setlength\parindent{-10mm}
On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = u_{n} - 37,5$ pour tout $n$ de $\N$; donc $u_n=v_n+37,5$.}

 
\item% Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme. 
$v_{n+1}=u_{n+1}-37,5 = 0,92 u_n +3 -37,5 = 0,92(v_n+37,5) - 34,5 = 0,92 v_n + 34,5 - 34,5 = 0,92 v_n$

$v_0 = u_0 - 37,5 = 20 - 37,5 = -17,5$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $v_0=-17,5$.


\item% Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
On déduit que, pour tout $n$ de $\N$, $v_n = v_0 \times q^n = -17,5 \times 0,92^n$. 

Comme, pour tout $n$ de $\N$, $u_n=v_n+37,5$, on peut dire que $u_n =  -17,5 \times  0,92^n + 37,5$. 

\item% Déterminer le nombre d'abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à $10^{- 3}$. 
$2020=2013+7$ donc le nombre de millions d'abonnés en 2020 est $u_{7}$:

$u_{7} = -17,5 \times 0,92^7 + 37,5 \approx 27,738$.

\item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
$0 \pp 0,92 < 1$ donc la suite géométrique $(v_{n})$ de raison $0,92$ a pour limite 0.

Comme $u_n=v_n+37,5$, la suite $(u_n)$ a pour limite 37,5. 


\item% L'opérateur peut-il espérer dépasser 30~millions d'abonnés ? 
Comme la limite de la suite $(u_n)$ est de 37,5, cela veut dire que $u_n$ se rapprochera de la valeur 37,5 donc dépassera à un moment donné la valeur 30.

\textit{\`A la calculatrice, on trouve $u_{10}\approx 29,898$ et $u_{11} \approx 30,506$.}

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}
 
%Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25~millions.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On complète l'algorithme pour déterminer le nombre d'années nécessaires à partir de 2013 pour que l'opérateur fasse des bénéfices:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
 & \\[-5pt]
\textbf{Variables :}& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
&$U$ un nombre réel \\
\textbf{Traitement : }& Affecter à $U$ la valeur 20\\ 
&Affecter à $N$ la valeur $0$\\ 
&Tant que {\red $U \pp 25$} \\ 
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
 affecter à $U$ la valeur $0,92 \times  U + 3$\\
 affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
 \end{tabular}\\ 
&Fin Tant que\\ 

\textbf{Sortie :}&Afficher {\red $N$} \\ 
 & \\[-5pt] \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item% En quelle année l'opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ? 
L'opérateur fera des bénéfices dès que $n$ vérifiera $u_n>25$; on résout cette inéquation:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l l}
u_n >25 & -17,5\times 0,92^n +37,5 >25\\
 & 12,5 > 17,5 \times 0,92^n\\[5pt]
 & \dfrac{12,5}{17,5} > 0,92^n \\[9pt]
 & \ln \dfrac{12,5}{17,5} > \ln\left (0,92^n\right ) & (\text{croissance de la fonction ln})\\[9pt]
 & \ln \dfrac{12,5}{17,5} > n \times \ln 0,92 & (\text{propriété de la fonction ln})\\[9pt]
 & \dfrac{\ln \dfrac{12,5}{17,5}}{\ln 0,92} < n & (\text{car } \ln 0,92 <0)
\end{array}$

\medskip

Or $\dfrac{\ln \dfrac{12,5}{17,5}}{\ln 0,92} \approx 4,04$ donc l'opérateur fera des bénéfices la première fois pour $n=5$ soit en 2018.

\textit{\`A la calculatrice, on trouve $u_4 \approx 24,963$ et $u_5\approx 25,966$.}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip 
% 
%Les services commerciaux d'une grande surface de produits alimentaires ont défini un profil de client qui a été appelé \og consommateur bio \fg.
%
%\medskip
% 
%Sur la base d'observations réalisées les années précédentes, il a été constaté que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{description}
%\item[ ] 90\,\% des clients \og consommateur bio \fg{} maintenaient cette pratique l'année suivante; 
%\item[ ] 15\,\% des clients n'ayant pas le profil de \og{}consommateur bio\fg{} entraient dans la catégorie \og{}consommateur bio\fg{} l'année suivante.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On suppose que cette évolution se poursuit d'une année à l'autre à partir de 2013, année au cours de laquelle il a été constaté que 20\,\% des clients ont le profil \og consommateur bio \fg.
% 
%Par un tirage aléatoire effectué tous les ans, on choisit un client de cette grande surface.
% 
%Pour tout nombre entier naturel $n$ on note :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $b_{n}$, la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ soit un \og consommateur bio \fg{} ;
%\item[ ] $c_{n}$, la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ ne soit pas un \og consommateur bio \fg{} ; 
%\item[ ] $P_{n}$, la matrice ligne $\left(b_{n}\:\: c_{n}\right)$ donnant l'état probabiliste lors de l'année $2013 + n$. 
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et C où B correspond à l'état \og consommateur bio \fg. 

On représente la situation à l'aide d'un graphe pondéré:

\hfill
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(4,1.1)
\Rnode{B}{B} \hskip 4cm \Rnode{C}{C}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{B}{C} \Aput{0,1}%                 arc pondéré partant de B
\ncarc{->}{C}{B} \Aput{0,15}%                 arc pondéré arrivant à C
\nccircle[angleA=90]{->}{B}{4mm}   \Bput{0,9}%   boucle autour de B
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{.4cm} \Bput{0,85}%  boucle autour de C
\end{pspicture}
\hfill\,


		\item% Donner $P_{0}$ l'état probabiliste en 2013 et la matrice $M$ de transition correspondant à ce graphe, les sommets B et C étant classés dans cet ordre.
En 2013, donc pour $n=0$, on a constaté qu'il y avait $20\,\%$ de consommateurs ayant le profil bio donc $a_0=0,2$; $b_0=1-a_0=0,8$.		
		
$P_0 =
\begin{pmatrix} b_0 & c_0 \end{pmatrix}		
= 
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$	
		 
La matrice de transition $M$ est la matrice $2\times 2$ telle que $P_n \times M = P_{n+1}$.

D'après le texte, on peut dire que:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
b_{n+1} & 0,9 b_n + 0,15 c_n\\
c_{n+1} & 0,1 b_n + 0,85 c_n
\end{array}
\right. $

Donc la matrice de transition est:
$M=
\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}$

		 
		\item On donne la matrice $M^2 = \begin{pmatrix}0,825& 0, 175\\\np{0,2625}& \np{0,7375}\end{pmatrix}$

La probabilité que le client choisi en 2015 soit un \og{}consommateur bio\fg{} est donnée par $b_2$; on va donc calculer
$P_2 =
\begin{pmatrix} b_2 & c_2 \end{pmatrix}$	
 
Pour tout $n$ de $\N$, $P_{n} \times M = P_{n+1}$ donc $P_{1} \times M = P_{2}$ et $P_{0} \times M = P_{1}$, donc $P_0 \times M \times M = P_2$ et donc 

$P_2= P_0 \times M^2
=  
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}0,825& 0, 175\\\np{0,2625}& \np{0,7375}\end{pmatrix}$

$\phantom{P_2}
=
\begin{pmatrix} 0,2\times 0,825 + 0,8\times \np{0,2625}& 0,2\times 0,175 + 0,8 \times \np{0,7375}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,375 & 0,625 \end{pmatrix}
$

 
Donc la probabilité que le client choisi en 2015 soit un \og{}consommateur bio\fg{} est de $0,375$. 


		\item% Déterminer l'état stable $(b\:\: c)$ du graphe probabiliste.
L'état stable du graphe probabiliste est l'état
$\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}$
tel que
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix} \times M &
\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}\\
b+c & 1
\end{array}
\right. $

$\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
0,9 b + 0,15 c & b\\
0,1 b + 0,85 c & c
\end{array}
\right. 
\iff
0,1 b - 0,15 c = 0
\iff
b=1,5c
$

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
b & 1,5 c\\
b+c & 1
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
b & 1,5 c\\
2,5 c & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
b & 0,6\\
c & 0,4
\end{array}
\right.
$
\hfill L'état stable est
$\begin{pmatrix} 0,6 & 0,4 \end{pmatrix}$.

	\end{enumerate} 

\item% Le directeur du supermarché affirme que, dans un futur proche, plus de la moitié de sa clientèle aura le profil de \og consommateur bio \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item% Recopier et compléter l'algorithme suivant qui doit permettre de déterminer le nombre minimal d'années pour que l'affirmation du directeur soit vérifiée.

L'algorithme suivant donne le nombre minimal d'années pour que l'affirmation du directeur soit vérifiée:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline 
 & \\[-5pt]
\textbf{Variables :}	& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
						&$B$ un nombre réel\\ 
\textbf{Traitement :}	& Affecter à $N$ la valeur $0$\\
						& Affecter à $B$ la valeur $0,2$\\
						& Affecter à $C$ la valeur $0,8$\\
						& Tant que {\red $B \pp 0,5$}\\
						&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} 
				affecter à $B$ la valeur $0,9 \times B + 0,15 \times C$\\
				affecter à $C$ la valeur $1 - B$ \\
				affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
						\end{tabular}\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}		&Afficher {\red $N$}\\ 
 & \\[-5pt] \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
		\item% Déterminer le nombre minimal d'années recherché en expliquant la démarche. 
\`A la calculatrice, on trouve:

$P_3 = P_2 \times M = 
\begin{pmatrix} 0,375 & 0,625 \end{pmatrix} \times M
\approx \begin{pmatrix} 0,431 & 0,569 \end{pmatrix}
$		

$P_4 = P_3 \times M 
\approx \begin{pmatrix} 0,473 & 0,527 \end{pmatrix}
$

$P_5 = P_4 \times M 
\approx \begin{pmatrix} 0,505 & 0,495 \end{pmatrix}
$

L'affirmation du directeur est vraie au bout de 5 années, donc en 2018.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%D'après une étude récente il y a \np{216762}~médecins en France métropolitaine parmi lesquels 0,6\,\% pratiquent l'ostéopathie et on compte \np{75164}~kinésithérapeutes parmi lesquels 8,6\,\% pratiquent l'ostéopathie. 
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

%On choisit une personne au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes. 
%
%On note les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}
%\item $M$ : \og la personne choisie est médecin \fg{} ; 
%\item $K$ : \og la personne choisie est kinésithérapeute\fg{} ; 
%\item $O$ : \og la personne choisie pratique l'ostéopathie \fg. 
%\end{itemize}
%
%On représente la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :
%

\begin{enumerate}

\item% Reproduire l'arbre de probabilité puis le compléter. 

\begin{list}{\textbullet}{D'après le texte, on sait que:}
\item $0,6\,\%$ des médecins pratiquent l'ostéopathie ce qui veut dire que $P_M(O)=0,006$ et donc que $P_M(\overline O)=1-0,006 = 0,994$;
\item $8,6\,\%$ des kinésithérapeutes pratiquent l'ostéopathie ce qui veut dire que $P_K(O)=0,086$ et donc que $P_K(\overline O)=1-0,086 = 0,914$.
\end{list}

D'où l'arbre:

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\taput{0,74}}
	  { 
		  \TR{$O$}\taput{\red 0,006}
		  \TR{$\overline{O}$}\tbput{\red 0,994}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$K$}\tbput{0,26}}
	  {
		  \TR{$O$}\taput{\red 0,086}
		  \TR{$\overline{O}$}\tbput{\red 0,914}	  
	  }
}
\end{center} 

\bigskip

\item% Montrer que la probabilité $P(O)$ de l'évènement $O$ est égale à \np{0,0268}. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P(O)=P(M \cap O) + P(K \cap O) = 0,74 \times 0,006 + 0,26 \times 0,086 = \np{0,0268}$ 


\item Un patient vient de suivre une séance d'ostéopathie chez un praticien d'une des deux catégories.
 
La probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute est $P_O(K)$:

$P_O(K)=\dfrac{P(K \cap O)}{P(O)} = \dfrac{0,26 \times 0,086}{\np{0,0268}} \approx 0,083$.
 
\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B}

%On note $T$ la variable aléatoire associant à chaque patient la durée de visite, en minutes, chez un médecin-ostéopathe. On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma = 10$. 

%Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Déterminer la probabilité $P(20 \leqslant T \leqslant 40)$. 
La probabilité $P(20 \leqslant T \leqslant 40)$ correspond à $P( \mu - \sigma \pp T \pp \mu + \sigma)$ où $\mu$ représente l'espérance et $\sigma$ l'écart type; d'après le cours, $P( \mu - \sigma \pp T \pp \mu + \sigma)$ a pour valeur arrondie au centième $0,68$. 

\item% Déterminer la probabilité qu'une visite dure plus de trois quart d'heure.
La probabilité qu'une visite dure plus de trois quart d'heure est $P(T \pg 45)$.

\`A la calculatrice, on trouve $P(T \pg 45) \approx 0,07$.

\end{enumerate}
 
%\bigskip
%
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie C}

%On rappelle qu'en France métropolitaine 0,6\,\% des médecins pratiquent l'ostéopathie. Une région compte \np{47000}~médecins dont $164$ médecins-ostéopathes. 
%
%On note $I$ l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de médecins ostéopathes de la région. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Vérifier que les conditions d'utilisation de cet intervalle sont remplies. 
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% sont: 
$n \pg 30$, $np\pg 5$ et $n(1-p) \pg 5$.

$n=\np{47000} \pg 30$; $p=0,006$ donc
$np= \np{47000}\times 0,006 = 282 \pg 5$ et
$n(1-p) = \np{47000} \times 0,994 = \np{46718} \pg 5$.

Donc les trois conditions sont réalisées. 
		
		\item% Justifier que $I = [\np{0,0053}~;~\np{0,0067}]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près. 

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ est:

$I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}
\right]$\\

$\phantom{I} = \left[ 0,006-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{\np{47000}}}\,;\,0,006+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{\np{47000}}}
\right]
\approx \cd \np{0,0053}\, ;\, \np{0,0067} \cg$

%Peut-on considérer que pour la pratique de l'ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine ? Justifier la réponse.

La région compte $\np{47000}$ médecins dont 164 ostéopathes, ce qui fait une fréquence de\\ 
$f = \dfrac{164}{\np{47000}} \approx 0,003$.

\smallskip

La fréquence $f$ n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation trouvé et elle est plus petite que la borne inférieure de cet intervalle; on peut donc dire que cette région est défavorisée par rapport à la situation de la France métropolitaine.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une entreprise fabrique et vend aux écoles primaires des lots constitués de cahiers et de stylos. 

%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

%L'entreprise possède une machine qui peut fabriquer au maximum \np{1500}~lots par semaine. Le coût total de fabrication hebdomadaire est modélisé par la fonction $g$ définie sur [0~;~15] par 

Soit $g$ la fonction définie sur $\cd 0\,;\, 15\cg$ par $g(x) = 18x + \e^{0,5x - 1}$.
 
%Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $g(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
$g'(x)= 18 + 0,5 \e^{0,5x-1}$
\item% Justifier que $g$ est strictement croissante sur [0~;~15]. 
Sur $\R$, $\e^{0,5x-1}>0$ donc $g'(x)>0$ sur $\cd 0\,;\, 15\cg$; \\
la fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\cd 0\,;\, 15\cg$.
\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B}

%L'entreprise acquiert une nouvelle machine qui permet d'obtenir un coût total de fabrication hebdomadaire modélisé par la fonction $f$ définie sur [0~;~15] par 

Soit $f$ la fonction définie sur $\cd 0\,;\, 15\cg$ par
$f(x) = \e^{0,5x - 1} - x^2 + 20x + 20$.

%Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $f(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
% 
%On note $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{f}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $g$ et $f$.
 
\begin{figure}
\label{ex4fig}
\begin{center}
\psset{xunit=0.667cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(16,950)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(16,950)
\uput[u](14,0){centaines de lots}
\uput[r](0,935){centaines d'euros}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp x dup mul sub 20 x mul add 20 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp   18 x mul add }
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp   2 x mul sub 20 add}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](12,240){\cyan $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ul](12,380){\blue $\mathcal{C}_{g}$}
\psdots[linecolor=red](5.58,106.5)
\psline[linecolor=red, linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](5.58,0)(5.58,106.5)(0,106.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
 
\begin{enumerate}
\item% Par lecture graphique, donner un encadrement d'amplitude $100$ du nombre $k$ de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production, 
La nouvelle machine permet d'obtenir un coût inférieur à l'ancien quand la courbe $\mathcal C_f$ sera en-dessous de la courbe $\mathcal C_g$; voir figure page \pageref{ex4fig}.

Le nombre $k$ de lots à partir duquel la nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production est compris entre 500 et 600. 

\item% On cherche à préciser le résultat précédent par le calcul. 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la détermination de $k$ conduit à résoudre l'inéquation $- x^2 + 2x + 20 \leqslant 0$. 
Le coût avec la nouvelle machine est inférieur au coût avec l'ancienne quand $f(x) \pp g(x)$;

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l}
f(x) \pp g(x) & \e^{0,5x - 1} - x^2 + 20x + 20 \pp 18x + \e^{0,5x - 1}\\
 & - x^2 + 20x + 20 \pp 18x\\
 & - x^2 + 2x + 20 \pp 0
\end{array}$

		\item% Résoudre cette inéquation sur l'intervalle [0~;~15]. 
On résout dans $\cd 0\,;\, 15 \cg$ l'inéquation $-x^2 + 2x + 20 \pp 0$:

$\Delta = 84 >0$ donc l'équation $-x^2 + 2x + 20 = 0$ admet deux solutions distinctes\\
 $\dfrac{-2 + \sqrt{84}}{-2}= 1- \sqrt{21} <0$ et $1+\sqrt{21}\in \cd 0\,;\, 15 \cg$.

Le trinôme $-x^2 + 2x + 20$ est du signe de $a=-1$ donc négatif à l'extérieur des racines.

Donc $-x^2 + 2x + 20 \pp 0$ si $x \in \cd 1+\sqrt{21} \,;\, 15 \cg$.

		\item% En déduire le nombre entier de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production. 

Le nombre $x$ représente le nombre de centaines de lots; $1+\sqrt{21} \approx 5,583$.

Donc la nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production à partir de 559 lots.

	\end{enumerate}

\item% Le coût marginal obtenu avec cette nouvelle machine est donné par la fonction $f'$. 

Le coût marginal est le surcout de fabrication d'un lot supplémentaire; il est donné par la fonction dérivée $f'$.

La valeur moyenne du coût marginal lorsqu'on fabrique entre $5$ centaines et $8$ centaines de lots est
 
\[\dfrac{1}{8-5} \ds\int_5^8  f'(x) \:\d x =
\dfrac{1}{3} \left[ f(x)\rule{0pt}{10pt} \right]_5^8 =
\dfrac{f(8) - f(5)}{3} \approx 12,20.\]

\smallskip

La valeur moyenne, arrondie à l'euro, du coût marginal d'un lot quand on en fabrique entre 5 et 8 centaines, est de \np{12}~\euro.
 
%\emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $h$ sur  $[a~;~b]$ est donnée par }$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b h(x)\:\text{d}x$. 
\end{enumerate}
\end{document}