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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à l'académie de la Martinique pour le sujet
% Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit

\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent

\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles Guyane ES - septembre 2014},
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} 
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 12 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles -- Guyane ~\decofourright\\[5pt] 12 septembre 2014}}
\end{center}

%
%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
% Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.\\ Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item \textbf{Réponse c}: $\ln(10)+2$

% La valeur exacte de $\ln \left(10 \e^2\right)$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $2\ln (10) + 2$&\textbf{b.~~} \np{4,302585093}& 
%\textbf{c.~~}  $\ln (10) + 2$& \textbf{d.~~}  $2\ln (10 \text{e})$
%\end{tabularx}
%\medskip 

$\ln\left (10\e^2\right )=\ln(10) + \ln\left (\e^2\right ) = \ln(10)+2$
  
\item \textbf{Réponse b}: $n \pg 13$ 

% On désigne par $n$ un nombre entier naturel. L'inégalité $0,7^n \leqslant 0,01$ est réalisée dès que :
% 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $n \geqslant 12$& 
%\textbf{b.~~} $n \geqslant 13$& 
%\textbf{c.~~} $n \leqslant 13$& 
%\textbf{d.~~} $n \geqslant 70$
%\end{tabularx}
%\medskip  

$0,7^n \pp 0,01 \iff \ln\left (0,7^n\right ) \pp \ln(0,01) \iff n \ln(0,7) \pp \ln(0,01) \iff n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)} \iff n \pg 13$

\item \textbf{Réponse a}: $5\e^{5x+2}$

% On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 
%\text{e}^{5x+2}$.
% 
%L'expression $f'(x)$ de la dérivée de $f$ est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~}$5\text{e}^{5x+2}$&
%\textbf{b.~~}$\text{e}^{5x+2}$&
%\textbf{c.~~}$2\text{e}^{5x+2}$&
%\textbf{d.~~}$(5x + 2) \text{e}^{5x+2}$ 
%\end{tabularx}
%\medskip 

Formule à utiliser: $\left (\e^{u}\right )' = u'\e^{u}$

\item \textbf{Réponse a}: $\e - 2$ 

%On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan.
% 
%La valeur de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $\text{e} - 2$& 
%\textbf{b.~~} $2$& 
%\textbf{c.~~} $1/4$&
%\textbf{d.~~} $\ln (1/2)$ 
%\end{tabularx}
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2]
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.25}{1.25}{2.71828 x exp 1 sub}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

2 est trop grand, 1/4 trop petit et ln(1/2) négatif

\item \textbf{Réponse b}: $y=\e x - 1$

%La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation: 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $y = \text{e}x + 1$& 
%\textbf{b.~~} $y = \text{e}x - 1$& 
%\textbf{c.~~} $y = -\text{e}x + 1$& 
%\textbf{d.~~} $y = -\text{e}x - 1$
%\end{tabularx}
%\medskip

Le coefficient directeur de la tangente doit être positif, et si $x=1$, $f(x)$ est compris entre 1,5 et 2 donc on peut éliminer la réponse \textbf{a} car $\e+1 \approx 2,7$ est trop grand.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L} 
 
%\medskip
% 
%\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}

%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

Une entreprise fabrique des balles de tennis et dispose de trois chaines de fabrication appelées A, B, C.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] La chaine A fabrique 30\,\% de la production totale de l'entreprise. 
\item[ ] La chaine B en fabrique 10\,\%. 
\item[ ] La chaine C fabrique le reste de la production. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

En sortie de chaines, certaines balles peuvent présenter un défaut.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]5\,\% des balles issues de la chaine A présentent un défaut. 
\item[ ]5\,\% des balles issues de la chaine B présentent un défaut. 
\item[ ]4\,\% des balles issues de la chaine C présentent un défaut.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une balle dans la production de l'entreprise et on note les évènements : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]$A$ : \og la balle provient de la chaine A \fg{} ; 
\item[ ]$B$ : \og la balle provient de la chaine B \fg{} ; 
\item[ ]$C$ : \og la balle provient de la chaine C \fg{} ; 
\item[ ]$D$ : \og la balle présente un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
%\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré de la page \pageref{arbre} résume la situation.

\begin{figure}[t!] \label{arbre}
\centering
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\taput{0,3}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\red 0,95}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\tbput{\red 0,1}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\red 0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\red 0,95}
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C$}\tbput{\red 0,6}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\red 0,04}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\red 0,96}
	  }	
}
\end{figure}


\item L'événement \og{}la balle présente un défaut et provient de la chaine B\fg{} se note $B \cap D$.  

\item% Montrer que $P(D)$, la probabilité de l'évènement $D$, vaut $0,044$. 
D'après la formule des probabilités totales, $P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) + P(C \cap D)$.

$\left.
\begin{array}{@{\hspace*{0.7cm}} l }
P(A \cap D) = P(A)\times P_A(D) = 0,3\times 0,05 = 0,015\\
P(B \cap D) = P(B)\times P_B(D) = 0,1\times 0,05 = 0,005\\
P(C \cap D) = P(C)\times P_C(D) = 0,6\times 0,04 = 0,024
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
p(A) = 0,015+0,005+0,024 = 0,044$


\item La probabilité de $A$ sachant $D$, $P_{D}(A) = \dfrac{P(D \cap A)}{P(D)} = \dfrac{0,015}{0,044} \approx 0,341$.

\item On choisit 5 balles au hasard dans la production totale qui est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise.

La variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de balles défectueuses suit donc une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,044$ (répétition d'épreuves indépendantes et identiques).

Si $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, alors $P(Y=k)=\ds\binom{n}{k}\,p^k\left (1-p\right)^{n-k}$.

Donc $P(Y=3)=\ds\binom{5}{3}\,0,044^3\left (1-0,044\right)^{5-3} \approx \np{0,0008}$

La probabilité que 3 balles possèdent un défaut est $\np{0,0008}$.
 
%Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut? Arrondir le résultat à \np{0,0001} et justifier la réponse.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B}


Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d'une balle de tennis doit être compris entre 56,7~grammes et 58,5~grammes.
 
On suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d'espérance $\mu = 57,6$ et d'écart-type $\sigma = 0,3$.

%On arrondira les résultats au millième.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item La probabilité qu'une balle choisie au hasard soit homologuée est $P(56,7 \pp X \pp 58,5)$. 

\`A la calculatrice on trouve $0,997$.

\emph{C'est un résultat connu du cours car $56,7 = 57,6 -3\times 0,3 = \mu - 3\sigma$ et $58,5 = 57,6 +3\times 0,3 = \mu + 3\sigma$.}

\item La probabilité qu'une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58~grammes est $P(X \pg 58)$. 

\`A la calculatrice on trouve $0,091$.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 
 
\medskip
 
Dans le jeu vidéo \og Save the princess \fg, l'objectif est d'aller délivrer une princesse tout en récoltant des trésors situés dans les couloirs du château. 

Le plan du château est représenté par le graphe pondéré ci-dessous. Les sommets de ce graphe représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs reliant les salles entre elles. 

\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\uput[ul](0.3,3.7){A} \uput[ul](2.5,5){B} \uput[u](4.5,5.4){C}
\uput[dl](2.6,2.5){D} \uput[d](3.2,0.3){E} \uput[ul](3.7,2.8){F}
\uput[ur](7.7,3.8){G}
\psdots(0.3,3.7)(2.5,5)(4.5,5.4)(7.7,3.8)(3.2,0.3)(2.6,2.5)(3.7,2.8)(7.7,3.8)
\pspolygon(0.3,3.7)(2.5,5)(4.5,5.4)(7.7,3.8)(3.2,0.3)(2.6,2.5)%ABCGED
\psline(0.3,3.7)(3.7,2.8)(2.6,2.5)%AFD
\psline(3.2,0.3)(3.7,2.8)(4.5,5.4)%EFC
\psline(3.7,2.8)(7.7,3.8)%FG
\rput(1.4,4.6){5} \rput(3.4,5.4){11} \rput(6,4.8){14} 
\rput(5.4,1.7){8} \rput(2.6,1.5){14} \rput(1.4,2.7){7} 
\rput(2,3.5){3} \rput(3.1,2.4){1} \rput(3.8,4){2} 
\rput(5.5,3.5){19} \rput(3.7,1.6){4} 
\end{pspicture}
\end{figure}

%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur se trouve dans la salle A. Il décide de visiter chacun des couloirs afin de trouver le plus de trésors possibles.
% Peut-il trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois ? Justifier la réponse.

Trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois c'est vouloir parcourir le graphe en passant une fois et une seule par chaque arête, autrement dit c'est déterminer un cycle eulérien (on part d'un sommet et on arrive au même sommet) ou une chaîne eulérienne (on part d'un sommet et on arrive à un autre).

D'après le théorème d'Euler, un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degrés pairs, et un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement si tous ses sommets sont de degrés pairs, sauf deux; la chaîne eulérienne part alors d'un des deux sommets de degré impair pour aboutir à l'autre.

Le graphe proposé a cinq sommets de degré impair: A, C, D, E et G. Il n'admet donc ni cycle ni chemin eulérien; donc le joueur ne peut pas trouver un trajet permettant de passer par tous les couloirs une fois et une seule.
 
\item Dans chaque couloir se trouve un certain nombre de monstres. Les étiquettes du graphe pondéré donnent le nombre de monstres présents dans les couloirs.
 
Le joueur souhaite, en partant de A, rejoindre la princesse enfermée dans la salle G. Le chemin qu'il doit prendre pour délivrer la princesse en combattant le moins de monstres possible correspond au chemin le plus court.

L'algorithme de Dijkstra va donner tous les chemins les plus courts partant de A:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline 
\  \bf A\   & \bf  B  & \bf  C  & \bf  D  & \bf  E   & \bf   F   & \bf   G   &\bf On garde \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & A \\
\hline
\hphantom{15 (E)} & 5 (A) & $\infty$ & 7 (A) & $\infty$ & \sur{3 (A)} & $\infty$ & F \\
\hline
 & 5 (A) & 5 (F) & \sout{7 (A)} & 7 (F) &  & 22 (F) &  \\[-3pt]
 &       &       & \sur{4 (F)}  &       &  &        & D \\
\hline
 & \sur{5 (A)} & 5 (F) &  & 7 (F)         &  & 22 (F) &  \\[-3pt]
 &             &       &  & \sout{18 (D)} &  &        & B \\
\hline
 &  & \sur{5 (F)}    &  & 7 (F)  &  & 22 (F) &  \\[-3pt]
 &  &  \sout{16 (B)} &  &        &  &        & C \\
\hline
 &  &  &  & \sur{7 (F)}  &  & \sout{22 (F)} &  \\[-3pt]
 &  &  &  &              &  &  19 (C]      & E \\
\hline
 &  &  &  &   &  & \sout{19 (C)} &  \\[-3pt]
 &  &  &  &   &  &  \sur{15 (E)} & G \\
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 


Le chemin le plus court est:
A $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ 
F $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
E $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ G

Le joueur aura à affronter $3+4+8=15$ monstres.
 
%Combien de monstres aurait-il alors à affronter ?

\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie B} 
 
Pour un joueur régulier, on estime que :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[\hspace*{0.5cm}\textbullet\hspace*{0.2cm}] s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $0,7$ ;
\item[\hspace*{0.5cm}\textbullet\hspace*{0.2cm}] s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $0,6$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $P_{n} = \begin{pmatrix}u_{n}& v_{n}\end{pmatrix}$ l'état probabiliste lors de la $n$-ième partie où $u_{n}$ désigne la probabilité que la partie soit gagnée et $v_{n}$ celle que la partie soit perdue. 

\medskip

\begin{enumerate}

\item On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste en nommant les sommets $U$ (pour la partie gagnée) et $V$ (pour la partie perdue): 

\hspace*{2cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{U}{$U$} \hskip 4cm \Rnode{V}{$V$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{U}{V} \Aput{0,3}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{V}{U} \Aput{0,4}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{U}{4mm}   \Bput{0,7}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{V}{.4cm} \Bput{0,6}%  boucle autour de V
\end{pspicture}

\item% En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre $U$, $V$.

D'après le texte, 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
 u_{n+1} & 0,7 u_n + 0,4 v_n\\
 v_{n+1} & 0,3 u_n + 0,6 v_n
 \end{array} 
\right.$
donc la matrice de transition est $M=
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$.

\item On suppose la première partie perdue, l'état probabiliste initial est donc $P_{1} = \begin{pmatrix}0& 1\end{pmatrix}$. 

La matrice de transition $M$ vérifie, pour tout $n \pg 1$, $P_{n+1} = P_n\times M$.

Donc $P_2=P_1\times M = 
\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$

$P_3 = P_2\times M =
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0,4\times 0,7+0,6\times 0,4 & 0,4\times 0,3+0,6\times 0,6 
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0,52 &  0,48
\end{pmatrix}$

Donc la probabilité que le joueur gagne la 3\ieme{} partie est $0,52$.

\emph{On peut utiliser la calculatrice pour effectuer ces produits de matrices.}

%Montrer que la probabilité que le joueur gagne la 3\up{e} partie est $0,52$. 

\item% Déterminer la probabilité que le joueur gagne la 15\up{e} partie. 

%Arrondir le résultat au centième. 

D'après le cours, on peut dire que, pour tout $n\pg 1$, $P_n = P_1 \times M^{n-1}$; donc $P_{15}=P_{1}\times M^{14}$.

On trouve à la calculatrice que $P_{15} = \begin{pmatrix}
0,57 & 0,43
\end{pmatrix}$.

Donc la probabilité que le joueur gagne la 15\ieme{} partie est $0,53$.
\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. 

Un producteur de légumes souhaite s'implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés \og bio \fg.
 
\subsubsection*{Partie A} 
 
Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de \np{2500} foyers de la commune; 
80 foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un panier par mois. 

L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d'un panier mensuel est donné par:
$I = \left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$

Or $f=\dfrac{80}{\np{2500}} = 0,032$ et $\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{\np{2500}}} = \dfrac{1}{50} = 0,02$.

\smallskip

Donc $I= \cd 0,032-0,02 \,;\, 0,032+0,02 \cg = \cd 0,012 \,;\, 0,052 \cg$.

%Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,02$ ? 

\medskip

Pour que l'intervalle de confiance ait une amplitude de 0,02, il faut que la taille $n$ de l'échantillon soit telle que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02$ ce qui équivaut à $\dfrac{2}{0,02} = \sqrt{n} \iff 100 = \sqrt{n} \iff n=\np{10000}$.

La taille de l'échantillon doit être de $\np{10000}$ pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,02$.

\medskip

La commune compte \np{15000}~foyers. La condition pour démarrer l'entreprise est de réaliser une recette minimale de \np{3500}~euros par mois et les paniers seront vendus 20~euros l'un.

D'après l'intervalle de confiance, la proportion de foyers susceptibles de passer commande est au minimum de $0,012$ (au seuil d'erreur de 5\,\%).
Sur \np{15000} foyers, on peut espérer que $\np{15000} \times 0,012 = 180$ sont susceptibles de passer commande.

Chacun achetant un panier de 20~euros, cela fait espérer une recette de $180\times 20=\np{3600}$ euros.

Le producteur peut donc envisager de se lancer. 


%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie B} 
 
La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum \np{1000}~paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle \cd 0\,; 10\cg par 

\smallskip

\hfill $C(x) = - \dfrac{1}{48}x^4 + \dfrac{5}{16}x^3 + 5x + 10$ \hfill\null
 
Lorsque $x$ est exprimé en centaines de paniers, $C(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
 
On admet que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle \cd 0~;~10\cg, le coût marginal est donné par la fonction $C_{m} = C'$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer $C_{m}(6)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus. 
$C(x) = - \dfrac{1}{48}x^4 + \dfrac{5}{16}x^3 + 5x + 10$
donc $C'(x)= -\dfrac{4}{48}x^3 +\dfrac{15}{16}x^2 +5 = -\dfrac{1}{12}x^3 +\dfrac{15}{16}x^2 +5$

Donc $C_m(6)=C'(6)= -\dfrac{1}{12}6^3 + \dfrac{15}{16}6^2 +5 = \dfrac{83}{4}= 20,75$

Le coût marginal pour 600 paniers vendus est donc $C_m(6)=20,75$.

\item On note $C''$ la fonction dérivée seconde de $C$ et on a $C"(x) = - \dfrac{1}{4}x^2  + \dfrac{15}{8}x$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer le plus grand intervalle de la forme $\cd 0~;~a\cg$ inclus dans \cd 0~;~10\cg sur lequel la fonction $C$ est convexe. 

La fonction $C$ est convexe sur un intervalle si et seulement si $C''$ est positive sur cet intervalle.

On résout dans \cg 0\,;\,10\cg{} l'inéquation $C''(x) \pg 0$:

$- \dfrac{1}{4}x^2  + \dfrac{15}{8}x \pg 0
\iff
\dfrac{1}{8}x(15-2x) \pg 0
\iff
15-2x \pg 0 \ (\text{ car } x>0)
\iff
x \pp 7,5$

Le plus grand intervalle de la forme $\cd 0\,;\, a\cg$ dans lequel la fonction $C$ est convexe est $\cd 0\,;\, 7,5\cg$.

		\item% Que peut-on dire du point d'abscisse $a$ de la courbe de la fonction $C$ ? Interpréter cette valeur de $a$ en termes de coût.
En $x=7,5$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point d'abscisse $7,5$ de la courbe représentant $C$  est un point d'inflexion.

Pour $x>7,5$, $C''(x)<0$ donc le coût marginal $C'$ diminue.



	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie C}

On admet que l'entreprise produit entre 0 et \np{1000}~paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20~euros le panier.
 
La recette mensuelle $R$, exprimée en centaines d'euros, ainsi que la fonction $C$ sont représentées par les courbes $\mathcal C_{R}$ et $\mathcal C_{C}$ sur le graphique donné en annexe page \pageref{annexe}.
 
%Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.
%
%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. 
Le producteur réalise un bénéfice quand la recette est supérieure au coût, autrement dit quand la courbe $\mathcal C_R$ est au-dessus de la courbe $\mathcal C_C$; cela se produit à partir de 70 paniers. 

\item% Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s'il produit et vend $500$ paniers dans le mois. 
Le bénéfice réalisé pour la vente de 500 paniers est de $R(5)-C(5)$ centaines d'euros soit à peu près $40\times 100 = \np{4000}$~euros. 

%Donner une valeur approchée à la centaine d'euros. 

\item% Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de \np{5000}~euros dans un mois ? Argumenter la réponse. 
Pour réaliser un bénéfice d'au moins \np{5000} euros, il faut que l'écart entre $R$ et $C$ soit au moins de 50.
En traçant la droite $d$, parallèle à la droite $\mathcal C_R$, il faudrait que la courbe $\mathcal C_C$ passe en-dessous de la droite $d$.

Ce n'est pas le cas donc le producteur ne peut pas espérer un bénéfice supérieur à \np{5000} euros.


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget \og déplacement des cadres \fg. 

Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visio-conférence fait le compte rendu suivant : on a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20\,\% tous les ans.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On s'intéresse au nombre d'utilisations de la visio-conférence lors de l'année $2008 + n$. On modélise la situation par une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ où le terme $u_{n}$ est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année $2008 + n$. 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Donner la raison q et le premier terme $u_{0}$ de cette suite. 
Augmenter de 20\,\%, c'est multiplier par 1,2 donc la raison de la suite $(u_n)$ est $q=1,2$.

Le nombre de visio-conférences était de 30 en 2008 donc $u_0=30$.

		\item% Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
D'après le cours, on sait que, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n=30\times 1,2^n$.

		\item% Vérifier qu'en 2013 on a atteint 74~utilisations de la visio-conférence.
$2013 = 2008+5$ ; donc $u_5 = 30\times 1,2^5 \approx 74,65 > 74$

Donc en 2013, on a atteint 74 utilisations de la visio-conférence.		
		
	\end{enumerate} 

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline 
& \\
\textbf{\hspace*{0.5cm} Variables:}& $n$ est un nombre entier naturel\\
					& $U$ et $A$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{\hspace*{0.5cm} Entrée:}	& Saisir $A$\\ 
\textbf{\hspace*{0.5cm} Traitement:}&Affecter à $U$ la valeur 30\\
					& Affecter à $n$ la valeur 0\\
					& Tant que $U < A$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						$U$ prend la valeur $U + U \times 0,2$\\
						$n$ prend la valeur $n + 1$
 					\end{tabular}\\ 
					&Fin Tant que\\ 
\textbf{\hspace*{0.5cm} Sortie :}	&Afficher $n$\\ 
& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item On donne la valeur $100$ à $A$ et on fait tourner l'algorithme. 
		
%Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
		 
%Les valeurs de $U$ seront données approchées par défaut à l'entier près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.9cm}|}\hline 
\textbf{Test }\boldmath$U < A$ 		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}	& vrai	& vrai	& vrai  & vrai & vrai & vrai & faux \\ \hline 
\textbf{Valeur de } \boldmath $U$		& 30& 36 & 43 & 52 & 62 & 74 & 89 & 107 \\ \hline  
\textbf{Valeur de } \boldmath $n$		& 0	& 1	& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item% Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme? 
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la dernière valeur de $n$, soit 7.
		\item% Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.
$n=7$ correspond à $2008+7=2015$; donc 2015 est l'année à partir de laquelle le nombre annuel de vidéo-conférences dépassera 100. 

	\end{enumerate} 
	
\item Le coût de l'installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400.
 
%À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. 

Le tableau ci-dessous donne le nombre total de vidéo-conférences:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.9cm}|}\hline 
%\textbf{Test }\boldmath$U < A$ 		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}	& vrai	& vrai	& vrai  & vrai & vrai & vrai & faux \\ \hline 
\textbf{Nombre annuel}		& 30& 36 & 43 & 52 & 62 & 74 & 89 & 107 \\ \hline  
\textbf{Nombre total}		& 30& 66 & 109 & 161 & 223 & 297 & 386 & 493 \\ \hline  
\textbf{Valeur de } \boldmath $n$		& 0	& 1	& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
 \textbf{Année} & 2008	& 2009	& 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

L'installation sera donc amortie à partir de l'année 2015.

\end{enumerate}

\newpage 


\subsection*{\centering \textsc{Annexe}}
\label{annexe}

\begin{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 Partie C}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(11.5,210)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.2pt](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+10}{22}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.2pt](0,\n)(11.5,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(11.5,210)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(11.5,210)
\psline(10,200)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 5 mul 16 div 5 x mul add 10 add x 4 exp 48 div sub}
\uput[u](10,0){En centaines de paniers}
\uput[u](0.9,210){En centaines d'euros}
\uput[ul](8,160){$\mathcal C_R$}
\uput[ul](9,146){\blue $\mathcal C_C$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0.68,13.6)(0.68,0)
\uput[d](0.68,0){\red $0,7$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,arrowsize=3pt 2]{<->}(5,100)(5,61)
\uput[l](5,80){\red $40$}
\uput*{9pt}[d](5,0){\red $5$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](3,10)(10,150)
\uput[dr](8,110){\red $d$}
\psline[linecolor=red,arrowsize=3pt 2]{<->}(6.5,130)(6.5,80)
\uput[l](6.5,105){\red $50$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}