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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le conservatoire du littoral créé en 1976 acquiert des  terrains sur le littoral français (métropole, Antilles-Guyane). Voici les superficies  en milliers d'hectares du patrimoine cumulé depuis sa création :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Année 						&1976	&1981	&1986	&1991	&1996	&2001 	\\\hline
%Rang $x_{i}$				&1		&2		&3		&4		&5		&6	\\\hline
%Superficie $y_{i}$ 
%(en milliers d'hectares) 	&2		&16		&28		&38		&50		&65	\\  \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer le pourcentage d'augmentation de la superficie possédée par le conservatoire du  littoral entre 1991 et 2001. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
$\dfrac{65 - 38}{38}\times 100 \approx 71,08$ soit une augmentation de 71\,\% à 1 près.
\item ~%Représenter le nuage  de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Sur l'axe des abscisses, on prendra 2 cm pour unité ;
%\item Sur l'axe des ordonnées, on prendra 1 cm pour 5 milliers d'hectares.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,-8)(30,70)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.20pt,Ox=1976,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(30,70)
\psaxes[linewidth=1.20pt,Ox=1976,Dx=5,Dy=5](0,0)(30,70)
\psdots[dotscale=1.4](0,2)(5,16)(10,28)(15,38)(20,50)(25,65)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,2.7)(25,63.7)
\multido{\n=0+1,\na=0+5}{7}{\uput[d](\na,-3){\n}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %\emph{Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.}

%Le nuage  de points permet  de penser qu'un ajustement affine est justifié.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au dixième)
La calculatrice donne : $y =  12,2x - 9,5$ (coefficients au dixième). 
		\item %Représenter cette droite dans le repère précédent.
Voir ci-dessus.
	\end{enumerate}
\item %Avec cet ajustement, calculer l'estimation de la superficie du patrimoine possédé par le conservatoire du littoral en 2006 (en milliers d'hectares).
2006 correspond au rang $x = 7$, d'où avec l'estimation précédente 

$y \approx 9,9 \times 7 - 9,5 = 85,4 - 9,5 = 75,9$ (en milliers d'hectares).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le conservatoire du littoral a pour objectif de posséder une superficie de 200 milliers d'hectares. En quelle année ce chiffre sera-t-il atteint en utilisant cet ajustement ?
		Il faut trouver un rang $x$ tel que $12,2x - 9,5 = 200$ soit $12,2x = 209,5$ et enfin $x = \dfrac{209,5}{12,2} \approx 17,17$, soit puisque chaque unité correspond à 5 ans $\approx 17,17 \times 5 = 85,85$ soit à peu près 86 ans, donc en 2057.
		\item %Sachant que 200 milliers d'hectares représentent 22\,\% de bande côtière française, quelle est la superficie totale, en hectares de la bande côtière française.
La bande côtière française représente :
		
\[\dfrac{200}{12,2}\times 100 \approx \np{909}~\text{milliers d'hectares}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Tous les résultats seront arrondis au millième si nécessaire}
%
%\medskip
%
%Dans une auto-école, il y a deux filières possibles : l'apprentissage anticipé de la conduite (AAC) et la filière traditionnelle.
%
%Afin d'inciter les candidats à préparer l'examen du permis de conduire avec la filière \og apprentissage anticipé de la conduite \fg{} (AAC), une auto-école fournit les résultats suivants aux futurs  candidats :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Il y a 40\,\% des candidats qui choisissent la formule AAC ;
%\item Un candidat préparant son permis la filière AAC obtient son permis lors de la première présentation dans 79\,\% des cas ;
%\item Un candidat préparant son permis avec la filière traditionnelle obtient son permis lors de la première présentation dans 49\,\% des cas.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On interroge au hasard un candidat \textbf{après l'obtention du résultat} de sa première présentation.
%
%On note A l'évènement : \og le candidat a préparé son examen avec la filière AAC \fg{}.
%
%On note S l'évènement : \og le candidat a obtenu son permis de conduire \fg.

\begin{enumerate}
\item ~Traduire les données par un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,4}}
	{\TR{$S$}\taput{0,79}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}}
	{\TR{$S$}\taput{0,49}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement : \og le candidat a obtenu le permis lors de la première présentation et il l'a préparé avec la filière AAC \fg.
Il faut trouver :

$p(A \cap S) = p(A) \times p_A(S) = 0,4 \times 0,79 = 0,316$.
		\item %Calculer la probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation.
On a $p\left(\overline{A} \right) = 1 - p(A) = 1 - 0,4 = 0,6$.
		
$p\left(\overline{A} \cap S\right) = p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}(S) = 0,6 \times 0,49 = 0,294$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(S) = p(A \cap S) + p\left(\overline{A} \cap S\right) = 0,316 + 0,294 = 0,61$.
	\end{enumerate}
\item %Le candidat interrogé a échoué lors de la première présentation. Quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen avec la filière AAC ?
On a $p\left(\overline{S} \right) = 1 - p(S) = 1 - 0,61 = 0,39$.

Il faut trouver :

$p_{\overline{S}}(A) = \dfrac{(p\left(\overline{S} \cap A \right)}{p\left(\overline{S} \right)} = \dfrac{0,4 \times 0,21}{0,39} \approx 0,2153$ soit $\approx 0,215$ au millième.
\item %On interroge au hasard et de façon indépendante trois candidats après l'obtention du résultat de leur première présentation.

%Calculer la probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué.
On a trois épreuves de Bernoulli. La loi correspondant au nombre de candidats ayant réussi à l'examen est une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0,61$.

La probabilité que les trois candidats interrogés aient réussi est donc $0,61^3$.

Donc la probabilité que parmi les trois au moins un ait échoué est égale $1 - 0,61^3 \approx \np{0,77302}$ soit au millième près 0,773.
\item %Cette auto-école pratique les tarifs suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item \np{1200} \euro{} le forfait $20$~heures avec la filière AAC ;
%\item \np{1050} \euro{} le forfait $20$~heures avec la filière traditionnelle.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Sachant que le nombre d'inscrits est de $200$~candidats pour l'année, quel est le chiffre d'affaires annuel de cette auto-école pour l'année 2006 ?
40\,\% des candidats ont choisi la formule AAC, donc 60\,\% la formule traditionnelle ; le chiffre d'affaires sera donc :

$200 \times 0,40 \times \np{1200} + 200 \times 0,60 \times \np{1050} = \np{96000} + \np{126000} = \np{222000}$~(\euro).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les élèves  ayant  suivi la spécialité mathématique}

\medskip

%Un jardinier doit décorer un jardin privatif en répartissant $10$~variétés de fleurs notées V$_{1}$ à V$_{10}$ dans différents parterres. Certaines de ces variétés ne peuvent pas être plantées ensemble pour des raisons diverses (tailles, couleurs, conditions climatiques, \ldots) et ces incompatibilités sont résumées dans le tableau ci-dessous (une croix indique qu'il y a incompatibilité entre deux variétés).
%
%\begin{center}\begin{tabular}{|*{11}{c|}}\hline
%Fleur&V$_{1}$ &V$_{2}$ &V$_{3}$ &V$_{4}$ &V$_{5}$ &V$_{6}$ &V$_{7}$ &V$_{8}$ &V$_{9}$ &V$_{10}$ \\ \hline
%V$_{1}$ &		&	&	$\times$&	&	& $\times$&	&	&	&$\times$\\ \hline
%V$_{2}$ &		&	&	$\times$&$\times$&$\times$&	&	& $\times$	&	& \\ \hline
%V$_{3}$ & $\times$ &	$\times$	&	&$\times$&	& $\times$&	&	&	& \\ \hline
%V$_{4}$ &		&$\times$&$\times$	&	& $\times$&	&		& $\times$ &$\times$ & \\ \hline
%V$_{5}$ &		& $\times$&	&$\times$ &	&	& $\times$ &$\times$ &	& \\ \hline
%V$_{6}$ &$\times$&	& $\times$ &	&	&	& $\times$ &	&	& \\  \hline
%V$_{7}$ & 		&	&	&	& $\times$ &$\times$ &	&	&	& \\\hline
%V$_{8}$ & 		& $\times$ &	& $\times$ &$\times$ &	&	&	&	& \\ \hline
%V$_{9}$ & 		&	&	&$\times$&	&	&	&	&	&$\times$ \\ \hline
%V$_{10}$&$\times$&	&	&	&	&	&	&	& $\times$& \\ \hline
%\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
\item  ~%Représenter par son graphe G la situation
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-0.5)(5,4)
\cnodeput(-2.5,3.5){A}{V$_1$}\cnodeput(2,2){B}{V$_2$}
\cnodeput(0,2){C}{V$_3$}\cnodeput(-1,0){D}{V$_4$}
\cnodeput(4,0){E}{V$_5$}\cnodeput(1,3.5){F}{V$_6$}
\cnodeput(4,3.5){G}{V$_7$}\cnodeput(2,1){H}{V$_8$}
\cnodeput(-3.5,0){I}{V$_9$}\cnodeput(-4.5,2){J}{V$_{10}$}
\ncarc{A}{C}\ncarc{A}{F}\ncarc{A}{J}
\ncarc{B}{C}\ncarc{B}{E}\ncarc{B}{D}\ncarc{B}{H}
\ncarc{C}{D}\ncarc{C}{F}
\ncarc{D}{E}\ncarc{D}{H}\ncarc{D}{I}
\ncarc{E}{G}\ncarc{E}{H}
\ncarc{F}{G}
\ncarc{I}{J}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Trouver un sous-graphe complet d'ordre 4 et le dessiner.
Un sous-graphe complet d'ordre 4 est V$_2$, V$_4$, V$_5$, V$_8$. Dessin :

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-0.5)(5,4)
\cnodeput(-2.5,3.5){A}{V$_1$}\cnodeput(2,2){B}{V$_2$}
\cnodeput(0,2){C}{V$_3$}\cnodeput(-1,0){D}{V$_4$}
\cnodeput(4,0){E}{V$_5$}\cnodeput(1,3.5){F}{V$_6$}
\cnodeput(4,3.5){G}{V$_7$}\cnodeput(2,1){H}{V$_8$}
\cnodeput(-3.5,0){I}{V$_9$}\cnodeput(-4.5,2){J}{V$_{10}$}
\ncarc{A}{C}\ncarc{A}{F}\ncarc{A}{J}
\ncarc{B}{C}
\ncarc{C}{D}\ncarc{C}{F}
\ncarc{D}{I}
\ncarc{E}{G}
\ncarc{F}{G}
\ncarc{I}{J}
\psset{linecolor=red}
\ncarc{B}{D}\ncarc{B}{E}\ncarc{B}{H}
\ncarc{D}{E}\ncarc{D}{H}\ncarc{E}{H}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Que peut-on en déduire pour la coloration du graphe G ?
Le graphe ayant un sous-graphe complet d'ordre 4, son nombre chromatique est supérieur ou égal à 4.		
%Quel est le nombre minimum de parterres que le jardinier doit décorer ?
Le jardinier doit donc décorer au moins 4 parterres.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item ~%Classer les sommets de G par ordre de degré décroissant.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
sommets&V$_4$	&V$_2$	&V$_3$	&V$_5$	&V$_1$	&V$_6$	&V$_8$	&V$_7$	&V$_9$	&V$_{10}$\\ \hline
degré	&5		&4		&4		&4		&3		&3		&3		&2		&2		&2\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %En déduire un encadrement de $C$, nombre chromatique de G.
		Le plus grand degré est 5, donc $C \leqslant 6$.
		
		ON a finalement  : $4 \leqslant C \leqslant 6$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item %Procéder à la coloration du graphe G.
		En utilisant l'algorithme \og glouton \fg{} on obtient la coloration suivante du graphe :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-0.5)(5,4)
\cnodeput*[fillcolor=red](-2.5,3.5){A}{V$_1$}\cnodeput*[fillcolor=blue](2,2){B}{V$_2$}
\cnodeput*[fillcolor=green](0,2){C}{V$_3$}\cnodeput*[fillcolor=red](-1,0){D}{V$_4$}
\cnodeput*[fillcolor=green](4,0){E}{V$_5$}\cnodeput*[fillcolor=blue](1,3.5){F}{V$_6$}
\cnodeput*[fillcolor=red](4,3.5){G}{V$_7$}\cnodeput*[fillcolor=orange](2,1){H}{V$_8$}
\cnodeput*[fillcolor=blue](-3.5,0){I}{V$_9$}\cnodeput*[fillcolor=green](-4.5,2){J}{V$_{10}$}
\ncarc{A}{C}\ncarc{A}{F}\ncarc{A}{J}
\ncarc{B}{C}\ncarc{B}{E}\ncarc{B}{D}\ncarc{B}{H}
\ncarc{C}{D}\ncarc{C}{F}
\ncarc{D}{E}\ncarc{D}{H}\ncarc{D}{I}
\ncarc{E}{G}\ncarc{E}{H}
\ncarc{F}{G}
\ncarc{I}{J}
\end{pspicture}
\end{center}		
		
		\item %Que peut-on en déduire pour le nombre $C$ ? Justifier avec soin.
On a pu utiliser un minimum de quatre couleurs, donc $C = 4$.
		\item %Proposer un ensemble de parterres avec une répartition adaptée des variétés de fleurs.
		D'après la coloriation précédente, on peut proposer les quatre parterres suivants :
		
		V$_1$, V$_4$, V$_7$ ;\: V$_2$, V$_6$, V$_9$ ;\: V$_3$, V$_5$, V$_{10}$ et\: V$_{8}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
%
%\medskip
%
%\textbf{Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix}
%
%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à  $0$}.
%
%\medskip
%
%\begin{tabular}{|*{2}{p{6cm}|}}\hline
%\multicolumn{1}{|c}{\textbf{Question}}& \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Réponse}}\\ \hline
%\textbf{1.} Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle  admet pour asymptote la droite d'équation $y = 0$ ?	& \setlength\parindent{5mm}\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty$
%\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$
%\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}  \\  \hline
%\textbf{2.} Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que l'inéquation $\ln (2x + 1) \geqslant \ln (x + 3)$ admet l'intervalle $[2~;~+\infty[$ comme ensemble de solution ? &\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la fonction ln est positive sur $[1~;~+\infty[$
%\item[$\bullet~$] $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty$
%\item[$\bullet~$] la fonction ln est croissante sur $]0~;~+\infty[$
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
%\textbf{3.} Parmi les propositions suivantes quelle est celle qui permet d'affirmer qu'une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $x \mapsto (x + 1)\text{e}^x$ est la fonction $g~:~x~ \mapsto~ x~ \text{e}^x$~ ? &\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] pour tout réel $x,~f'(x) = g(x)$
%\item[$\bullet~$] pour tout réel $x,~g'(x) = f(x)$
%\item[$\bullet~$] pour tout réel $x,~g(x) = f'(x) + k,~k$ réel quelconque.
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}   \\  \hline
%\textbf{4.} L'équation $2\text{e}^{2x} - 3\text{e}^x + 1 = 0$ admet pour ensemble solution&\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]$\left\{\dfrac{1}{2}~;~1\right\}$
%\item[$\bullet~$]$\left\{0~;~\ln \dfrac{1}{2}\right\}$
%\item[$\bullet~$]$\{0~;~\ln 2\}$
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\  \hline
%\textbf{5.} Pour tout $n \in \N$,&\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = 1$
%\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = + \infty$
%\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = 0$
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
%\textbf{6.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par$f(x) = 2\ln x - 3x + 4$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :&\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]$y = - x + 2$
%\item[$\bullet~$]$y = x + 2$
%\item[$\bullet~$]$y = - x - 2$
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
%\textbf{7.} La valeur moyenne sur [1 ; 3] de la fonction $f$ définie par : $f(x) = x^2 + 2x$ est : &\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]$\dfrac{50}{3}$
%\item[$\bullet~$]$\dfrac{25}{3}$
%\item[$\bullet~$]$6$
%\end{itemize}\setlength\parindent{5mm}\\ \hline
%\textbf{8.} exp$(\ln x) = x$ pour tout $x$ appartenant à &\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $\R$
%\item[$\bullet~$]$]0~;~+ \infty[$
%\item[$\bullet~$]$[0~;~+\infty[$
%\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
%\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$
\item $\ln (2x + 1) \geqslant \ln (x + 3)$. Il faut que $x > - \frac{1}{2}$ et $x > - 3$, soit $x > - \frac{1}{2}$.

En prenant l’exponentielle de chaque membre (fonction croissante sur $\R$), on obtient :

$2x + 1 \geqslant x + 3 \iff x \geqslant 2$.
\item $g'(x) = f(x)$.
\item En posant $\text{e}^x = X$, l’équation s’écrit :

$2X^2 - 3X + 1 = 0$ ; cette équation a pour solution évidente 1 et aussi $\frac{1}{2}$.

On a donc $X = \text{e}^x = 1$, d’où $x = 0$, ou $X =  \text{e}^x = \frac{1}{2}$, d’où $x = \ln \frac{1}{2}$.

Réponse : $\left\{0~;~\ln \dfrac{1}{2}\right\}$.
\item $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = 0$.
\item On a pour $x > 0$, \: $f'(x) = \dfrac{2}{x} - 3$, donc $f'(1) = 2 - 3 = - 1$.

L’équation de la tangente au point d’abscisse 1 est :

$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$ soit $y - (- 3 + 4) = - 1(x - 1)$ ou $y - 1 - x + 1$ et enfin $y = - x + 2$.
\item Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur [1~;~3] par $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x^2$.

La valeur moyenne de $f$ sur [1~;~3] est égale à :

$\dfrac{1}{3 - 1}\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}[F(x)]_1^3 = \dfrac{1}{2}(F(3) - F(1)) = \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{3^3}{3} + 3^2\right) - \left(\dfrac{1^3}{3} + 1^2 \right)  \right] = $

$\dfrac{1}{2}\left( \frac{27}{3} + 9 - \frac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{1}{2}\left(\frac{26}{3}+ 8\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{26}{3} +  \dfrac{24}{3}\right) = \dfrac{25}{3}$.
\item exp$(\ln x) = x$ pour tout $x $ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit $x$ le prix unitaire en centaines d'euros de cette console. La fonction d'offre des fournisseurs (en milliers de console) est la fonction $f$  définie sur ]0~;~6] par 
%
%\[f(x) = 0,7 \text{e}^{0,5x + 2}\]
%
%où $f(x)$ est  la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix unitaire de $x$.
%
%La fonction de demande des consommateurs (en milliers de console) est la fonction $g$ définie sur ]0 ; 6] par 
%
%\[g(x) = 10 \ln \left(\dfrac{20}{x}\right) \]
%
%où $g(x)$ est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de $x$.

\begin{enumerate}
\item %Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère \Oij{} orthogonal fourni en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item %Identifier les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sur la feuille annexe. Expliquez votre choix.
		L’une des courbes représente une fonction croissante : c’est donc celle de $f$. Par contre la fonction $x \longmapsto \dfrac{20}{x}$ est décroissante et la fonction ln étant étant croissante la fonction $g$ est décroissante sur [0~;~8].
		\item %Que représente le point A d'un point de vue économique ? Lire ses coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ sur le graphique.
		Le point A est commun aux deux courbes  ; il correspond donc au fait que la demande est égale à l’offre. On lit approximativement $x_0 = 2,75$ et $y_0 = 20$.
	\end{enumerate}
\item %Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.

%On pose, pour tout $x$ appartenant à ]0~;~6],\:$h(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $h'(x) = 0,35\text{e}^{0,5x + 2} + \dfrac{10}{x}$.
La fonction $h$ est dérivable sur ]0~;~6] et sur cet intervalle :

$h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0,5 \times 0,7 \text{e}^{0,5x + 2} - 10\left(- \dfrac{20}{x^2} \times \dfrac{x}{20}\right) = 0,35 \text{e}^{0,5x + 2} + \dfrac{10}{x}$.
		\item %Étudier le signe de la dérivée $h'$ et en déduire le sens de variations de $h$.
		Tous les termes de la dérivée sont supérieurs à zéro, donc sur [0~;~6],  $h'(x) > 0$ et par conséquent la fonction $h$ est croissante.
		\item %Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle $[2~;~3]$.
On a $h(2) = 	0,7 \text{e}^{0,5\times 2 + 2}- 10\ln \left(\dfrac{10}{2}\right) = 0,7 \text{e}^{3} - 10\ln 5 \approx - 2,03$ ;

De même $h(3) = 0,7 \text{e}^{0,5\times 3 + 2} - 10\ln \left(\dfrac{10}{3}\right) = 0,7 \text{e}^{3,5} - 10\ln \left(\dfrac{10}{3}\right) \approx 11,1$.

La fonction $h$ continue et dérivable sur l’intervalle [2~;~3] est négative en 2, positive en 3 : il existe donc un réel unique $x_0$ de [2~;~3]	 tel que $h\left(x_0 \right) = 0$.

%Déterminer alors la valeur arrondie au dixième de $x_{0}$ à l'aide de la calculatrice.
La calculatrice donne :

$h(2,7) \approx - 0,07$ et $h(2,8) \approx 1,3$, donc $2,7 < x_0 < 2,8$ et au dixième près $x_0 \approx 2,7$. 
		\item %En déduire le prix unitaire d'équilibre de cette console  en euros et le nombre de consoles disponibles à ce prix (arrondir à la centaine).
Il y a donc équilibre pour des  consoles proposées et vendues au prix de 270~\euro.

Le nombre de consoles disponibles est $f(2,7) = 0,7\text{e}^{0,5 \times 2,7 + 2} = 0,7\text{e}^{3,35} \approx 19,952$ milliers soit environ \np{19952}. 
	\end{enumerate}
%\emph{La question $3$ est indépendante de la question $2$.}
\item Surplus des fournisseurs

%On prendra dans cette question $x_{0} = 2,7$ et $y_{0} = 20$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle ]0~;~6].
		Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle ]0~;~6] est :
		
$F(x) = 0,7 \times \dfrac{1}{0,5}\text{e}^{0,5x + 2} = 1,4\text{e}^{0,5x + 2}$.
		\item %On appelle surplus des fournisseurs le nombre $S =  x_{0}y_{0} - \displaystyle\int_{0}^{x_{0}} f(x) \:\text{d}x$.
		
%Ce nombre représente une aire.

%Représenter cette aire sur le graphique de la feuille annexe.
Voir sur l’annexe : $x_{0}y_{0}$ est l’aire du rectangle dont une diagonale est [OA] et $\displaystyle\int_{0}^{x_{0}} f(x) \:\text{d}x$ est l’aire en unité d’aire de la surface limitée par la représentation graphique de $f$, l’axe des abscisses, et les droites d’équations $x = 0$ et $x = x_0$.
%Calculer $S$.
On a $S = 2,7 \times 20 - \displaystyle\int_{0}^{x_{0}} f(x) \:\text{d}x = $

$54 - [F(x)]_0^{2,7} = 54 - F(2,7) + F(0) = 54 - 1,4\text{e}^{0,5 \times 2,7 + 2} + 1,4\text{e}^{0,5\times 0 + 2} = 54 - 1,4\text{e}^{3,35} + 1,4\text{e}^{2} \approx 24,44$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à agrafer avec la copie}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 4}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(6,110)
\multido{\r=0+0.25}{25}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\r,0)(\r,110)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(6,110)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{6}{2.71828 0.5 x mul 2 add exp 0.7 mul}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{0.01}{6}{20 x div ln 10 mul}
\uput[u](2.7,20){{A}} \uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,105){$y$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psline(0,20)(2.7,20)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{2.7}{0
}{2.71828 0.5 x mul 2 add exp 0.7 mul}
}
\psframe(2.7,20)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 