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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles-Guyane~\decofourright\\  septembre 2006 }}
\end{center}
\parindent=0cm
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point, L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
%\begin{tabular}{|l|l|} \hline
%\textbf{QUESTIONS} &	\textbf{RÉPONSES}   \\  \hline
%\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{1.}  L'ensemble des solutions de l'équation	 $\ln \left(x^2
%\right) = 2$ est \ldots } & $\Box~\{\text{e}\}$\\
%& $\Box~\{-2~;~2\}$\\
%&$\Box~\{-\text{e}~;~\text{e}\}$\\ \hline
%\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{2.} $\text{exp} (2x - 6)$ est égal à \ldots}	&$\Box~\text{e}^{2x} - \text{e}^6$\\
%&$\Box~\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^6}$ \\
%& $\Box~\left(\text{e}^{x-3}\right)^2 $\\ \hline
%\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{3.}  L'ensemble des solutions de l'inéquation 	$- 1 < \text{e}^x < 9$ est \ldots}&$\Box~]0~;~\ln 9[$\\
%&$\Box~]- \infty~;~2\ln 3[$\\
%&$\Box~]\text{e}^{-1}~;~\text{e}^9[$\\ \hline
%\tabularnewline \multirow{3}{7,5cm}{\textbf{4.} Si $\displaystyle\int_{0}^5  f(x)\:\text{d}x = 1,9$ et $\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = -0,9$,  alors  $\displaystyle\int_{2}^5  f(x)\:\text{d}x = \ldots$}&$\Box~ 1$\\
%&$\Box~- 2,8$\\
%&$\Box~2,8$\\ \hline
%\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{5.} La valeur		moyenne de la fonction  $f : x \mapsto \dfrac{1}{(x + 1)}$ sur [0 ; 4] est égale à \ldots}&$\Box~\dfrac{1}{2}\ln 2$\\
%&$\Box~\dfrac{1}{4}\ln 5$\\
%&$\Box~\ln 4$\\ \hline
%\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{6.} Laquelle de ces limites est exacte ?}&$\Box~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{2}{\text{e}^x}\right) = - \infty$\\
%&$\Box~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^x = - \infty$\\
%&$\Box~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 1$\\ \hline
%\renewcommand{\arraystretch}{1.6}\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{7.} Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total.
%Si le coût marginal est $C_{m}(q) = \dfrac{6 + 6\ln q}{q}$
%exprimé en milliers d'euros pour $q > 0$, alors le coût total exprimé en milliers d'euros est égal à }&$\Box~\text{C}_{\text{T}}(q) = 3 \ln q(2 + \ln q)$\\
%&$\Box~\text{C}_{\text{T}}(q) = \dfrac{- 6\ln q}{q^2}$\\
%&$\Box~\text{C}_{\text{T}}(q) = 6 \ln q + 3\ln \left(q^2\right)$\\ \hline
%\multirow{3}{7,5cm}{\textbf{8.}  Si $f$ est la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par : $f(x) = 2\ln x - 3x + 5$, alors dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse 1 est \ldots} &$\Box~y = -x + 2$\\
%&$\Box~y = -x + 3$\\
%&$\Box~y = -3x - 2$\\ \hline
%\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(x^2 \right) = 2 \iff x^2 = e^2 \iff x = \text{e}$ ou $x = - \text{e}$.
\item exp$(2x - 6) = \text{e}^{2x - 6} = \text{e}^{2(x - 3)} = \left(\text{e}^{x - 3}\right)^2$.
\item On sait que quel que soit $x$, $\text{e}^x > 0$ ; il faut donc résoudre l'inéquation $\text{e}^x < 9 \iff x < \ln 9 \iff x < \ln 3^2 \iff x < 2\ln 3$. $S = ]- \infty~;~2\ln 3[$.
\item  $\displaystyle\int_{0}^5  f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x + \displaystyle\int_{2}^5  f(x)\:\text{d}x\iff \displaystyle\int_{2}^5  f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^5  f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = 1,9 - (- 0,9) = 2,8$.
\item $V_m = \dfrac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_{0}^4  \dfrac{1}{x + 1}\:\text{d}x = \dfrac{1}{4}[\ln (x + 1)]_0^4 = \dfrac{\ln 5 - \ln 1}{4} = \dfrac{\ln 5}{4}$.
\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty$, \:$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\text{e}^x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln \left(\dfrac{2}{\text{e}^x} \right) = - \infty$.
\item On a $\left(3 \ln q(2 + \ln q)\right)' = \dfrac{3}{q}(2 + \ln q) + 3 \ln q \times \dfrac{1}{q} = \dfrac{6 + 3\ln q + 3\ln q}{q} = \dfrac{6 + 6\ln q}{q}$.
\item On a $f'(x) = \dfrac{2}{x} - 3$.

Une équation de la tangente au point A d'abscisse 1 et d'ordonnée $2\ln 1 - 3 \times 1 + 5 = 2$ est $y- f(1) = f'(1)(x - 1) = 0$, soit $y - 2 = - 1(x - 1) \iff y = - x + 3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A :  UTILISATION D'UN GRAPHIQUE}

\medskip

%La courbe $\mathcal{C}_{g}$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) représente, dans
%un repère du plan, une partie de la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{a}{\text{e}^{bx} + 1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
%
%Soient A et B les points de coordonnées respectives A(0~;~6) et B(4~;~0).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe au point A, déterminer $g(0)$, puis $g'(0)$.
A$(0~;~6)\in \mathcal{C}_g \iff 6 = g(0)\dfrac{a}{\text{e}^{0} + 1} \iff 6 = \dfrac{a}{2}$.

Le nombre dérivé en 0 est le coefficient directeur de la droite (AB) soit $\dfrac{0 - 6}{4 - 0} = - \dfrac{3}{2} = g'(0)$.
\item  %Exprimer en fonction de $a$ et $b$ la dérivée $g'(x)$.
$g'(x) = - \dfrac{ab\text{e}^{bx}}{\left(\text{e}^{bx} + 1 \right)^2}$.

\item  %À l'aide des résultats précédents prouver que $a = 12$ et $b = 0,5$.
 $\bullet~~$$g(0) = 6 \iff \dfrac{a}{\text{e}^{0} + 1} = 6 \iff \dfrac{a}{2} = 6 \iff a  = 12$.
 
 $\bullet~~$$g’(0) = - \dfrac{3}{2} \iff  - \dfrac{12b\text{e}^{0}}{\left(\text{e}^{0} + 1 \right)^2} = - \dfrac{3}{2} \iff b =  \dfrac{1}{2}$.
 
On a donc  $g(x) = \dfrac{12}{\text{e}^{0,5x} + 1}$.
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{PARTIE B : ÉTUDE DE FONCTIONS}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On donne $f(x) = \text{e}^{0,5x}  - 1$ pour tout réel $x$ dans $[0~;~+\infty[$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(0)$, puis étudier la limite de $f$ en  $+ \infty$.
$\bullet~~f(0) = \text{e}^0  - 1 = 1 - 1 = 0$.

$\bullet~~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{0,5x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Étudier le sens de variations de $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f’(x) = 0,5 \text{e}^{0,5x}$.

$f(x) > 0$ car c’est le produit de deux nombres supérieurs à zéro.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur  $[0~;~+\infty[$ de $f(0) = 0$ à plus l’infini.
		\item %Tracer, sur le graphique en annexe, la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$.
Voir ci-dessous. 
	\end{enumerate}
\item  %On rappelle que $g(x) =	\dfrac{12}{\text{e}^{0,5x}  + 1}$ et on admet que l'équation $f(x) = g(x)$ admet une solution unique $p$ sur  $[0~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la valeur exacte de $p$. Contrôler graphiquement ce résultat.
		On a $f(p) = g(p) \iff \text{e}^{0,5p} - 1 =  \dfrac{12}{\text{e}^{0,5b}  + 1} \iff \left(\text{e}^{0,5p} - 1  \right)\left( \text{e}^{0,5b}  + 1\right) = 12 \iff \text{e}^{p}   - 1 = 12 \iff \text{e}^{p} -  \text{e}^{p}   = 13 \iff p = \ln 13 \approx 2,565$.

Voir sur le graphique.
		\item  %En déduire la valeur exacte de $n = f(p)$.
		On a $f(p) = g(p) = \text{e}^{0,5p} - 1 = \text{e}^{0,5\ln 13} - 1 = \left(\text{e}^{\ln 13} \right)^{0,5} - 1 = 13^{0,5} - 1 = \sqrt{13} - 1$.
		\item  %Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\ln 13} f(x)\:\text{d}x$ ; que représente graphiquement cette intégrale ? Le préciser sur le graphique. 
On a vu que pour $x \geqslant 0$, \: $f(x) \geqslant 0$, donc l’intégrale est égale à l’aire, en unité d’aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et le droites d’équations $x = 0$ et $x  = \ln 13$.

Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

$F(x) = \dfrac{1}{0,5}\text{e}^{0,5x} - x$, d’où :

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 13} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^{\ln 13} = F(\ln 13) - F(0) = \dfrac{1}{0,5}\text{e}^{0,5x} - x - \left(\dfrac{1}{0,5}\text{e}^{0,5x} - x \right) = \dfrac{1}{0,5}\text{e}^{0,5 \times \ln 13} - \ln 13 - \left(\dfrac{1}{0,5}\text{e}^{0} - 0 \right) = 2 \times 13^{0,5} - \ln 13 - \dfrac{1}{0,5} = 2\sqrt{13} - 2 - \ln 13 \approx 2,646$
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe}
 
\vspace{1cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.6666cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.3333,-1)(5.6666,12)
\multido{\r=0.0000+0.16665}{35}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,12)}
\multido{\r=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\r)(5.6666,\r)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2,comma=true]{->}(0,0)(0,0)(5.6666,12)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5.13}{2.71828 0.5 x mul exp 1 sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.6666}{12 2.71828 0.5 x mul exp 1 add div}
\uput[ur](0,6){A} \uput[ur](4,0){B} 
\uput[u](5,1){\blue $\mathcal{C}_{g}$} \uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](5,10.2){\red $\mathcal{C}_{f}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,ArrowInside=->](2.565,0)(2.565,2.606)(0,2.606)
\uput[d](2.565,0.1){$\approx 2,565$}\uput[l](0,2.606){$\approx 2,606$}
\end{pspicture}

\end{center}
 
\medskip

\textbf{PARTIE C : INTERPRÉTATION ÉCONOMIQUE}
 
\medskip
 
%Pour un prix de vente unitaire $x$, exprimé en centaines d'euros, $f(x)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, proposés sur le marché et $g(x)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, que les consommateurs sont prêts à acheter. 
%
%La fonction $f$ est appelée fonction d'offre et la fonction $g$ fonction de demande.
%
%À l'aide des calculs réalisés dans la partie B, répondre aux questions suivantes :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le prix d'équilibre arrondi à $1$ euro ?
Le prix d'équilibre est le nombre $p$ trouvé dans la partie B, puisque $f(p) = g(p)$.

On a donc $p \approx 2,565$ centaines d'euros soit à l'euro près $p \approx 257$~\euro.
\item  %On appelle rente du producteur le nombre R $= np - \displaystyle\int_{0}^p f(x)\:\text{d}x$
%($n$ et $p$ étant définis en B 2).

%Calculer la valeur exacte de R, puis son approximation décimale arrondie à la centaine d'euros.
On a R $ = np - \displaystyle\int_{0}^p f(x)\:\text{d}x = \left(\sqrt{3} - 1 \right) \times \ln 13 - 2 \sqrt{13} + 2 + \ln 13$.

R $ = \sqrt{13}\ln 13 - \ln 13 - 2\sqrt{13} + 2 + \ln 13 = (\ln 13 - 2)\sqrt{13} + 2$.

R $ \approx 4,04$ soit environ 4 centaines d'euros à la centaine près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%Une bibliothécaire a constaté que
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  Lorsqu'un étudiant choisit un livre, ce livre est une bande dessinée avec une probabilité égale à $0,3$ ou un roman une fois sur cinq ; sinon c'est un livre de cours. 
%\item  Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux. 
%\item  La probabilité qu'il emprunte à la fois une bande dessinée et un magazine est $0,24$. 
%\item  Lorsqu'il prend un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Un étudiant entre dans la bibliothèque. On notera $B$ l'évènement \og il emprunte une bande dessinée \fg,

%$R$ l'évènement \og il emprunte un roman \fg,
%
%$C$ l'évènement \og il emprunte un livre de cours \fg,
%
%$M$ l'évènement \og il emprunte un magazine \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~}\taput{0,3}}
	{\TR{$M$}\taput{\red 0,8}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\red 0,2}
	}
\pstree{\TR{$R$~}\taput{0,2}}
	{\TR{$M$}\taput{0,5}
	\TR{$\overline{M}$}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{0,5}}
	{\TR{$M$}\taput{0}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{1}
	}
}
\end{center}

\medskip
	 
		\item %Calculer la probabilité qu'il choisisse un livre de cours.
On a $p(C) = 1 - p(B) - p(R) = 1 - 0,3 - 0,2 = 0,5$.
		\item %Calculer la probabilité qu'il emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée.
On sait que $p(B \cap M) = 0,24$.

Or  $p(B \cap M) = p(B) \times p_B(M)$, donc 

$0,24 = 0,3 \times  p_B(M) \iff p_B(M) = \dfrac{0,24}{0,3} = 0,8$.
		\item %Calculer la probabilité qu'il reparte avec un magazine.
On sait que $p_R(M) = 0,5$, donc :

$p(M) = p(B \cap M) + p(R \cap M) = 0,3 \times 0,8 + 0,2 \times 0,5 = 0,24 + 0,1 = 0,34$.
		\item %Quelle est la probabilité qu'il emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine ?  Le résultat sera arrondi au millième.
Il faut trouver $pM(R) = \dfrac{p(M \cap R)}{p(M)} = \dfrac{0,1}{0,34} \approx \np{0,2941}$, soit 0,294 au millième près.
	\end{enumerate}
\item  %Trois étudiants sont entrés en même temps et choisissent, de manière indépendante, des ouvrages. On note $X$ le nombre total de magazines qu'ils empruntent. On suppose dans cette question que $p(M) = 0,34$ où $M$ est l'évènement défini dans la question 1.

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun.
$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0,34$. La probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun est donc égale à :

$0,34^3 \approx 0,0393$, soit 0,039 au millième près.
		\item  %Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ?
$X$ peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3. 
		\item  %Déterminer la loi de probabilité de $X$ ; on présentera les résultats sous forme d'un tableau. 

%\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}
 
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline
x_{i}&0&1&2&3 \\ \hline
p\left(X = x_{i}\right)&0,287&0,444&0,229&0,039\\ \hline
\end{array} \]
\item  %Calculer l'espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ? 
On sait que l'espérance de $X$ est  :

$E = n \times p = 3 \times 0,34 = 1,02$.

Cela signifie que sur un grand nombre chaque  triplet d'étudiants interrogés aura emprunté en moyenne un magazine.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Une entreprise a créé un site internet et a noté sa fréquentation chaque mois pendant six mois.
%
%\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$x_{i}$ rang du mois		&1	&2	&3	&4	&5	&6\\  \hline
%$y_{i}$ nombre de visiteurs&15	&32	&60	&125&	&491\\  \hline
%\end{tabularx}\]

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le pourcentage d'augmentation de la fréquence de visite de ce site entre les mois 2 et 3 ?
Pourcentage d'augmentation de la fréquence de visite de ce site entre les mois 2 et 3 :

$\dfrac{60 - 32}{32} \times 100  = \dfrac{28}{32}\times 100 = 87,5$~(\,\%).
\item  %Quel est le nombre de visiteurs le cinquième mois sachant qu'il y a eu une moyenne de $157$ personnes sur les six premiers mois ?
Si $c$ est le nombre de visiteurs le cinquième mois,on a :

$157 = \dfrac{15 + 32 + 60 + 125 + c + 491}{6} \iff 6 \times 157 = 723 + c \iff 942 = 723 + c \iff c = 942 - 723 = 219$.
\item  ~%Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan (unités graphiques : 2~cm pour un mois en abscisse et 2~cm pour 100 personnes en ordonnée).
\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-20)(6.5,500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(6.5,500)
\psdots(1,15)(2,32)(3,60)(4,125)(5,219)(6,491)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  %On veut estimer le nombre de visiteurs au 10\up{e} 	mois d'existence de ce site.
	\begin{enumerate}
		\item  %Un ajustement affine est-il indiqué ? Justifier votre réponse.
Les points dans l'ensemble ne sont pas alignés. L'ajustement affine n'est pas pertinent.
		\item  %On note $z_{i} =  \ln \left(\dfrac{y_{i}}{10}\right)$.
		
%Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

%\emph{ Les résultats seront arrondis au millième.}

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
$z_{i}$	&0,405	&1,163	&1,792	&2,526	&3,086	&3,894 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenu, par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}).
La calculatrice donne $z =  0,684x - 0,251$ les coefficients étant arrondis au millième.
		\item   %En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \times  \text{e}^{px}$.  Les réels $k$ et $p$ seront arrondis au centième.
Pour $y > 0$, on a :
		
$z =  \ln \left(\dfrac{y}{10}\right) \iff \dfrac{y}{10} = \text{e}^{z} \iff y = 10 \times \text{e}^{z} \iff y = 10 \times \text{e}^{0,684x - 0,251} = 10 \times \text{e}^{0,684x} \times \text{e}^{-0,251}$.

Or 	$\text{e}^{-0,251} \approx \np{0,7788}$.

Finalement : $y \approx  10 \times \np{0,7788}\times \text{e}^{0,684x} = 7,788\times \text{e}^{0,684x}$ soit enfin :

$y \approx 7,79\times \text{e}^{0,68x}$.  	
		\item %Combien 	de visiteurs peut-on espérer le 10\up{e} mois en utilisant ce modèle ? Qu'en pensez-vous ?
		Avec ce modèle pour $x = 10$, on obtient :
		
$y \approx 7,79\times \text{e}^{0,68\times 10} = 7,79\times \text{e}^{6,8} \approx \np{6994,23}$, soit environ \np{6994} visiteurs.

Ce nombre paraît légèrement exagéré...
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Sur une population donnée, abonnée à deux opérateurs téléphoniques A et B, on considère que, chaque année, 40\,\% des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10\,\% des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. On néglige les nouveaux abonnés.
%
%On suppose de plus qu'en 2005, 25\,\% 
%de cette population est abonnée à l'opérateur A.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
%En déduire la matrice de transition, notée $M$.
Graphe probabiliste correspondant à cette situation :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.1)
\cnodeput(1,1){A}{A}
\cnodeput(6,1){B}{B}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,6}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,9}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,4}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,1}
\end{pspicture}
\end{center}

La matrice de transition est $M = \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix}$. 
\item  %On note :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  $a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur A l'année $2005 + n$
%\item[$\bullet~$]  $b_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur B l'année $2005 + n$
%\item[$\bullet~$]  $E_{n}$ la matrice $\left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$, correspondant à l'état probabiliste l'année 
%
%$2005 +n$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item %Préciser $E_{0}$.
En 2005, 25\,\% de la population est abonnée à l'opérateur A, donc $a_0 = 0,25$ et $b_0 = 0,75$.

$E_0 = \begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}$. 
		\item %Calculer $E_{1}$ en faisant apparaître vos calculs.
		On sait que $E_1 = E_0 \times M  = \begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}0,225&0,775\end{pmatrix}$.
		
		\item %Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2013.
		
%\emph{On pourra utiliser la  calculatrice et on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.}
On a $E_8 = E_0 \times M^8 = \begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix}^8$. En arrondissant les coefficients au centième, la calculatrice ddonne : $E_8 = \begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
		\item  %Soit $E$ la matrice $(a \quad  b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels positifs tels que $a + b = 1$.

%Déterminer $a$ et $b$ tels que $E =  E~\times~ M$. Interpréter ce résultat.
On doit avoir $E = E \times M$ ou $\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix}$, ce qui donne le système :

$\left\{\begin{array}{l c r}
a&=&0,6a + 0,1b\\b&=&0,4a + 0,9b\\
a + b&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
0,4a - 0,1b&=&0\\
- 0,4a + 0,1b&=&0\\
a + b&=&1
\end{array}\right.\iff  $

$\left\{\begin{array}{l c r}
4a - b&=&0\\
a + b&=&1
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par somme) $5a = 1 \iff a = \dfrac{1}{5} = 0,2$. D'où $b = 0,8$.

L'état stable du système est $E = \begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.

Au bout d'un certain nombre d'années 20\,\% de la population sera abonné chez l'opérateur A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que $a_{n+1} = 0,5a_{n} + 0,1$.
Pour tout naturel $n$, 

$E_{n+1} = E_n \times M$ soit $\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix} \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c r}
a_{n+1}&=&0,6a_n + 0,1b_n\\
b_{n+1}&=&0,4a_n + 0,9b_n\\
a_n + b_n&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
a_{n+1}&=&0,6a_n + 0,1\left(1 - a_n\right)\\
b_{n+1}&=&0,4\left(1 - b_n\right) + 0,9b_n\\
a_n + b_n&=&1
\end{array}\right.$

$ \iff \left\{\begin{array}{l c r}
a_{n+1}&=&0,5a_n + 0,1\\
b{n+1}&=&0,5b_n + 0,4\\
a_n + b_n&=&1
\end{array}\right.$

\item  %On pose, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = a_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Avec $u_{n} = a_{n} - 0,2$, on peut écrire :
		
$u_{n+1} = a_{n+1} - 0,2\iff u_{n+1} = 0,5a_n + 0,1 - 0,2 \iff $

$u_{n+1} = 0,5a_n - 0,1 \iff u_{n+1} =
0,5\left(a_n - 0,2\right)$, soit $u_{n+1} = 0,5u_n$, relation qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 de premier terme $u_0 = a_0 - 0,2 = 0,25 - 0,2 = 0,05$.
		\item %En déduire l'expression  de $u_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction  de $n$.
On sait que $u_n = u_0 \times q^n = 0,05 \times 0,5^n$.

\[u_n = 0,05\times 0,5^n.\]
 
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que retrouve-t-on ?
		On sait que $0 < 0,5 < 1$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
		
		Or $u_n = a_n - 0,2 \iff a_n = u_n + 0,2$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}a_n = 0,2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}