\documentclass[10pt]{article}

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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de Guadeloupe et de Martinique
% Corrigé François Hache

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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%\setlength{\voffset}{-0,5cm}

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%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
%%%%%\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
%%%%%\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%             crochet gauche
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
%%%\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
%%%\renewcommand{\right)}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

\begin{document}%        \section{début}

\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 12 septembre 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.7cm}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles -- Guyane~\decofourright\\[3pt]
12 septembre 2013\\[8pt]
Corrigé}}
 \end{center}


%\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{- 2}$ près.}
%
%\medskip
%
%\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.}
%
%\medskip
% 
%Deux roues sont disposées sur le stand d'un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques. 
%
%La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts. 
%
%La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes. 
%
%Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu'elle s'arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
% 
%Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner \textbf{la première roue} et, lorsqu'elle s'arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.
%
%\medskip
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item Si c'est le rouge, le joueur a perdu et la partie s'arrête. 
%\item Si c'est le bleu, la partie continue; le joueur fait tourner \textbf{la deuxième roue} : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur noir, le joueur a perdu. 
%\item Si c'est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner \textbf{la deuxième roue} : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
\subsubsection*{Partie A}%   \subsection{partie A}
%
%\medskip
% 
%Le joueur fait une partie.
% 
%On note les évènements suivants :
% 
%$R$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur rouge \fg{} ; 
%
%$B$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur bleue \fg{} ; 
%
%$V$ : \og Le repère de la première roue indique la couleur verte \fg{} ; 
%
%$N$ : \og Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire \fg{} ; 
%
%$J$ : \og Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune \fg{} ; 
%
%$G$ : \og Le joueur gagne un lot \fg.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item 
Comme il y a équiprobabilité, pour la première roue, la probabilité que le repère s'arrête sur un secteur rouge est $\dfrac{5}{10}=0,5$, la probabilité qu'il s'arrête sur un secteur bleu est   $\dfrac{3}{10}=0,3$ et la probabilité qu'il s'arrête sur un secteur vert est $\dfrac{2}{10}=0,2$.

De même pour la seconde roue, la probabilité que le repère s'arrête sur un secteur noir est $\dfrac{7}{10}=0,7$ et la probabilité qu'il s'arrête sur un secteur jaune est $\dfrac{3}{10}=0,3$.

On construit un arbre pondéré décrivant la situation: 

\begin{center}
\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=2pt]}
\def\ABleu{\ncline[linecolor=blue,linewidth=2pt]}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=2pt, nodesepB=4pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\taput{$0,5$}}
		{%
		$\phantom{\TR{N}\taput{0,7}}$%
		}
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$B$}\taput{$0,3$}}
		{
		\TR{$N$}\taput{$0,7$}
		\TR[edge=\ARouge]{$J$}\tbput{$0,3$}
 		}
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ABleu]{$V$}\tbput{$0,2$}}
		{
		\TR[edge=\ABleu]{$N$}\taput{$0,7$}
		\TR{$J$}\tbput{$0,3$}
 		} 		
}
\end{center}

\bigskip

\textit{Les chemins correspondant à un gain sont dessinés en couleur.}

\item% Calculer la probabilité $P(B \cap J)$ de l'évènement $B \cap J$. 
D'après les propriétés de l'arbre pondéré:
$P\left(B \cap J\right) = P\left(B\right) \times P_B\left(J\right)= 0,3 \times 0,3 = 0,09$


\item %Démontrer que la probabilité $P(G)$ que le joueur gagne un lot est égale à $0,23$.
On gagne un lot si l'un des événements $B \cap J$ ou $V \cap N$ est réalisé.

Ces deux événements étant incompatibles:

$P\left(G\right)= P\left(B \cap J\right) + P\left(V \cap N\right)= P\left(B \cap J\right) + P\left(V\right) \times P_V\left(N\right)\\
\phantom{P\left(G\right)} = 0,09 + 0,2 \times 0,7 = 0,09 + 0,14 = 0,23$ 

\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}%   \subsection{partie B}

\medskip
 
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes, et sa probabilité de gagner un lot lors d'une partie est 0,23.

Comme les parties sont indépendantes, la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de parties gagnées suit  une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,23$.
 
%Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties.

Pour une variable aléatoire $Y$ suivant la loi $\mathcal B\left(n\,,\, p\right)$ on sait que la probabilité d'obtenir $k$ succès est:
 
\hfill $P\left(Y=k\right)=\ds\binom{n}{k}\,p^k \left(1-p\right)^{n-k}$\hfill\,

$P\left(Y=1\right)=\ds\binom{4}{1}\,0,23^1 \left(1-0,23\right)^{3} \approx 0,42$; la probabilité que le joueur gagne un seul lot sur les quatre parties est $0,42$.

\bigskip

\subsubsection*{Partie C}%   \subsection{partie C}

\medskip 

%Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.
 
On note $X$ le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart-type $\sigma = 5$. %Déterminer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item D'après la calculatrice, $P( 40 < X < 50) \approx 0,68$.

\textit{C'est un résultat connu du cours car $40 = \mu - \sigma$, $50 = \mu + \sigma$, et on sait que $P\left( X \in [\mu - \sigma\:; \mu+\sigma]\right) \approx 0,68$.} 
 
\item La probabilité qu'au moins $50$ parties soient gagnées durant le week-end est $P\left(X \pg 50\right)$.

La calculatrice donne $P\left(X \pg 50\right) \approx 0,16$.  

\textit{Là aussi, on pouvait connaître le résultat en appliquant le cours; voir la \og{}courbe en cloche\fg{} ci-dessous :}

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.2} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{4} \def\s{2}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{2} \def\sup{6}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$\mu=45$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma = 40$}
\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma = 50$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

%\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}%   \section{exercice 2 non spé}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

%\medskip 
%  
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
\subsubsection*{Partie A}%   \subsection{partie A}

\textit{Remarque: aucune justification n'était demandée dans cette partie.}
 
\begin{enumerate}

\item% L'équation $f(x) = 1$ admet exactement trois solutions dans l'intervalle $[-2~;~3]$. 
\textbf{Faux}

L'équation $f\left(x\right)=1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle $[-2~;~3]$.

\item %La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\textbf{Vrai}

Sur l'intervalle $[1~;~3]$, la courbe $C$ est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes.


\item %$f'(- 1) = 0$. 
\textbf{Vrai}

La tangente à la courbe au point A d'abscisse $-1$ est horizontale.

\item% $f'(0) = - 1$. 
\textbf{Vrai}

La tangente à la courbe en 0 est (BD) qui a pour coefficient directeur $-1$.

\item% $f'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\textbf{Faux}

La fonction est décroissante sur cet intervalle donc sa dérivée est négative.

\item% Une primitive $F$ de la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\textbf{Vrai}

On peut le démontrer en utilisant le fait que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[1~;~3]$.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}%   \subsection{partie B}

%\medskip  
%
%Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, \textbf{en justifiant}, si elle est vraie ou fausse.
%
%\medskip
% 
%\emph{Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% L'ensemble des solutions de l'inéquation : $0,2\ln x -1 \leqslant 0$ est l'intervalle $[\text{e}~;~ + \infty[$. 
On résout dans $]0\:; +\infty[$ l'inéquation $0,2\ln x -1 \leqslant 0$:

$0,2\ln x - 1 \pp 0 \iff 0,2\ln x \pp 1 \iff \ln x \pp \dfrac{1}{0,2} \iff \ln x \pp 5 \iff x \pp \e^5$

L'ensemble solution de l'inéquation est l'intervalle $\left]0\:; \e^5\right]$.

\textbf{Affirmation fausse}


\item% On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = x^2 - 2\ln x$.
 
%La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
Sur $]0~;~+ \infty[$, $g\left(x\right) = x^2 - 2\ln x \Longrightarrow g'\left(x\right)=2x - \dfrac{2}{x} \Longrightarrow g''\left(x\right)=2+\dfrac{2}{x^2}$ 

Sur $]0~;~+ \infty[$, $g''\left(x\right)>0$ donc la fonction $g$ est convexe sur cet intervalle.

\textbf{Affirmation vraie}


\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

%\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}%   \section{exercice 2 spé}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $P_{1}$. 
La probabilité qu'une cliente achète lors de la première vente promotionnelle est $0,2$ donc $a_1=0,2$. La probabilité qu'elle n'achète pas lors de la première vente promotionnelle est donc $b_1 = 1 - a_1 = 1-0,2 = 0,8$.

Donc $P_1=\begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$.
		
		\item 
En notant $V$ (achat) et $\overline V$ (pas d'achat) les deux sommets, le graphe probabiliste associé à la situation décrite dans le texte est: 

\hspace*{3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{V}{$V$} \hskip 4cm \Rnode{nonV}{$\overline V$}%               définition des sommets
\psset{nodesep=4pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%   paramètres
\ncarc{->}{V}{nonV} \Aput{0,2}%                    arc
\ncarc{->}{nonV}{V} \Aput{0,3}%                    arc
\nccircle[angleA=90]{->}{V}{4mm}   \Bput{0,8}%     boucle
\nccircle[angleA=-90]{<-}{nonV}{.4cm} \Bput{0,7}%  boucle 
\end{pspicture}

	\end{enumerate} 


\item
	\begin{enumerate}
	
		\item% Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe. 
D'après les données du texte
$\left\lbrace 
\begin{array}{ l @{\ =\ } l}
a_{n+1} &  0,8\,a_n + 0,3\,b_n\\
b_{n+1} &  0,2\,a_n + 0,7\,b_n
\end{array}
\right. $

Donc la matrice de transition qui fait passer de l'état $n$ à l'état $n+1$ est
$M=
\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7
\end{pmatrix}$

		\item% Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$. D'après ces résultats, quel est l'effet de ces trois premières ventes promotionnelles ?

$P_2 = P_1\times M = 
\begin{pmatrix} 0,2 & 0,8 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} 0,2 \times 0,8 + 0,8 \times 0,3 & 0,2 \times 0,2 + 0,8 \times 0,7 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$

$P_3 = P_2\times M = 
\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} 0,4 \times 0,8 + 0,6 \times 0,3 & 0,4 \times 0,2 + 0,6 \times 0,7 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}$

\textit{On peut aussi effectuer ces calculs à la calculatrice.}

Il semble, au vu de ces trois premières ventes promotionnelles, que la probabilité qu'a une cliente d'acheter une crème hydratante augmente.

	\end{enumerate} 

\item %Justifier qu'il existe un état stable $P = (a \quad  b)$ pour cette situation. Le déterminer. 
Un état stable $(a \quad  b)$ est tel que 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
(a \quad  b) \times M = (a \quad  b)\\
a+b=1
\end{array}
\right.$ 

$(a \quad  b) \times M = (a \quad  b)
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
0,8\,a+0,3\,b & a\\
0,2\,a+0,7\,b & b
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
-0,2\,a+0,3\,b & 0\\
0,2\,a- 0,3\,b & 0
\end{array}
\right.
\iff
0,2\,a- 0,3\,b = 0
\iff
2a-3b = 0
$

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
2a - 3b & 0\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
2a - 3b & 0\\
3a+3b & 3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
5a & 3\\
b & 1-a
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
a  & 0,6\\
b & 0,4
\end{array}
\right.
$

L'état stable est $P=\left( 0,4 \quad 0,6\right)$.


\item 
La problème posé est un problème de coloration du graphe, deux sommets reliés entre eux devant être colorés par des couleurs différentes.

On établit un tableau dans lequel on range les sommets dans l’ordre décroissant de leurs degrés.
On colorie ces sommets dans l’ordre précédemment défini avec pour règle de donner à chaque sommet la couleur la plus petite, en fonction des sommets voisins qui sont déjà colorés: le sommet G est relié au sommet E donc il lui faut une autre couleur que celle de E; le sommet A est relié à E donc il ne peut avoir la couleur 1, il est relié à G donc il ne peut pas avoir la couleur 2, il lui faut donc une troisième couleur; etc.

% 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9.5,7)
%\pspolygon(0.5,2.8)(2.5,5.2)(6.2,6)(8.8,2.8)(5.2,0.3)(1.8,0.3)%HABDEF
%\psline(2.5,5.2)(5.4,4.3)(7,3.2)(5.2,0.3)(0.5,2.8)(5.4,4.3)(1.8,0.3)(2.5,5.2)%AGCEHGFA
%\psline(6.2,6)(5.4,4.3)(5.2,0.3)(2.5,5.2)%BGEA
%\uput[u](2.5,5.2){A} \uput[ur](6.2,6){B} \uput[ur](7,3.2){C} \uput[r](8.8,2.8){D} 
%\uput[d](5.2,0.3){E} \uput[dl](1.8,0.3){F} \uput[r](5.4,4.4){G} \uput[l](0.5,2.8){H} 
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Degrés & 6 & 6 & 5 & 4 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ 
\hline 
Sommets & E & G & A & F & H & B & C & D \\ 
\hline 
Couleurs & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 3 & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

Il faut donc 5 couleurs, donc 5 lots différents qui sont:
\{E\,, B\}, \{G\,, D\}, \{A\,, C\}, \{F\} et \{H\}.

\end{enumerate}
 
%\vspace{0,25cm}

%\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}%   \section{exercice 3}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip 
%
%En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait $80$~adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item 10\,\% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
%\item $20$ nouvelles personnes s'inscrivaient au club.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

%\medskip
 
\subsubsection*{Partie A}%   \subsection{partie A}

\medskip 

On donne l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} 
Entrée :	& Saisir $n$ entier positif\\ \cline{2-2} 
Traitement :&$X$ prend la valeur $80$ \{Initialisation\}\\  
			&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
			&\hspace{1cm}Affecter à $X$ la valeur $0,9X + 20$\\  
			&Fin Pour\\  
			&$X$ prend la valeur de $X$ arrondie à l'entier inférieur\\ \cline{2-2} 
Sortie:		&Afficher $X$\\ \cline{2-2}  
\end{tabular}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}

\item% Pour la valeur $n = 2$ saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?
Si on donne à $n$ la valeur 2, la variable de boucle $i$ prend successivement les deux valeurs $i=1$ puis $i=2$.
 
Avant d'entrer dans la boucle, on affecte à $X$ la valeur 80. 
 
Quand $i=1$, on entre une fois dans la boucle et $X$ prend la valeur $0,9\,X+20$ soit $0,9\times 80+20 = 92$.

Quand $i=2$, on entre une deuxième fois dans la boucle et $X$ prend la valeur $0,9\,X+20$ soit $0,9\times 92+20 = 102,8$.

On sort de la boucle et $X$ prend la valeur de $X$ arrondie à l'entier inférieur, soit $102$.

Pour la valeur $n=2$ saisie, la valeur affichée par l'algorithme est donc 102.

\item% Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.
L'année $n=2$ correspond à $2005+2=2007$. \\
Donc on peut supposer qu'en 2007 il y a 102 adhérents au club de randonnée.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}%   \subsection{partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{0} = 80$ et, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 0,9a_{n} + 20$. \\
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $b_{n} = a_{n} - 200$ donc $a_n=b_n+200$. 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
Pour tout $n$, $b_{n+1}=a_{n+1}-200 = 0,9\,a_n+20-200 = 0,9\left(b_n+200\right) -180 = 0,9\,b_n +180 - 180 = 0,9\,b_n$

$b_0 = a_0-200=80-200=-120$

Donc la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $b_0=-120$.

		\item %Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
D'après le cours, on peut dire que pour tout entier naturel $n$, $b_n= b_0 \times q^n = -120 \times 0,9^n$.

	\end{enumerate} 

\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n} = 200 - 120  \times 0,9^n$. 
Pour tout $n$, $b_n=-120 \times 0,9^n$; or $a_n=b_n+200$. Donc pour tout entier naturel $n$,  $a_n=200 -120\times 0,9^n$.


\item %Quelle est la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ ?
La suite $\left(b_n\right)$ est géométrique de raison 0,9; or $0 <0,9<1$ donc la suite $\left(b_n\right)$ est convergente et a pour limite 0.

D'après les théorèmes sur les limites de suites, comme pour tout $n$, $a_n=b_n+200$, on peut dire que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et a pour limite 200.



\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item
On va résoudre l'inéquation $a_n \pg 180$:

$a_n \pg 180 \iff 200-120 \times 0,9^n \pg 180 \iff 20 \pg 120\times 0,9^n
\iff \dfrac{20}{120} \pg 0,9^n \\
\phantom{a_n \pg 180} \iff \dfrac{1}{6} \pg 0,9^n \iff
\ln\left(\dfrac{1}{6}\right) \pg \ln\left( 0,9^n\right) \iff
\ln\left(\dfrac{1}{6}\right) \pg n\times \ln\left( 0,9\right) \iff
\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{6}\right)}{\ln\left( 0,9\right)} \pp n \text{ car } \ln 0,9<0$

$\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{6}\right)}{\ln\left( 0,9\right)} \approx 17,01$ donc à partir de $n=18$, $a_n$ est supérieur à 180; l'objectif est donc réalisable.

\textit{\`A la calculatrice, on trouve $a_{17}\approx 179,99$ et $a_{18} \approx 181,99$.}

\item 
Pour tout $n$, $a_n=200-120\times 0,9^n$ donc $a_n$ est toujours inférieur à 200. 

Donc l'objectif d'atteindre 300 adhérents est  impossible.


\end{enumerate} 

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\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}%   \section{exercice 4}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0~;~10]$ par 
$B(x) = x + 4\text{e}^{-x} - 5$,
où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $B'(x)$, où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. 
$B'\left(x\right)=1-4\e^{-x}$		
		
		\item% Démontrer que $B'(x)$ s'annule uniquement pour $x = \ln (4)$. 
$B'\left(x\right)= 0 \iff 1-4\e^{-x}=0 \iff \dfrac{1}{4} = \e^{-x} \iff \ln\left(\dfrac{1}{4}\right) = -x \iff -\ln 4 = -x \iff \ln 4 = x$


		\item% Calculer les valeurs exactes de $B(0) ; B(10)$ et $B(\ln(4))$. 
$B\left(0\right)=0+4\e^0 -5 = -1$; $B\left(10\right)=10 + 4\e^{-10}-5 = 5+4\e^{-10}$;\\ 
$B\left(\ln 4\right)=\ln 4 + 4 \e^{-\ln 4}-5 = \ln 4 + \dfrac{4}{\e^{\ln 4}}-5 = \ln 4 + \dfrac{4}{4}-5 = \ln 4 - 4$

		\item %Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0~;~10]$.
$B'\left(x\right)> 0 \iff 1-4\e^{-x}>0 \iff \dfrac{1}{4} > \e^{-x} \iff \ln\left(\dfrac{1}{4}\right) > -x \iff -\ln 4 > -x \iff \ln 4 < x$;

d'où le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0\:;10]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{1cm} & \ln 4 & \hspace*{2cm} & 10 \\
 \hline
B'\left(x\right) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{-1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{4 \e^{-10} + 5}   \\
B \left(x\right) & &  & & &  \\
 &  & &   \Rnode{min}{\ln 4 - 4} & & 
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\end{enumerate} 
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $B(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ sur $[\ln(4)~;~10]$. 

$B\left(0\right)=-1 < 0$; $B\left(\ln 4\right) = \ln 4-4 \approx -2,6<0$ et $B\left(10\right)=4\e^{-10}+5 \approx 5 >0$.

On complète le tableau de variation de la fonction $B$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{1cm} & \ln 4 & \hspace*{2cm} & 10 \\
 \hline
%B'\left(x\right) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
%\hline
  & \Rnode{max1}{-1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{4 \e^{-10} + 5}   \\
B \left(x\right) & &  & & &  \\
 &  & &   \Rnode{min}{\ln 4 - 4} & & 
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\rput(-2,0.65){\Rnode{zero}{\fcolorbox{white}{white}{\red 0}}}
\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\fcolorbox{white}{white}{\red $\alpha$}}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après le tableau de variation, l'équation $B\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[\ln 4\:; 10]$. 


		\item %Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l }
B\left(4\right) \approx -0,93 <0\\
B\left(5\right) \approx 0,03 >0
\end{array}
\right. 
\Longrightarrow
\alpha \in [4\:; 5]
$;
$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l }
B\left(4,9\right) \approx -0,07 <0\\
B\left(5,0\right) \approx 0,03 >0
\end{array}
\right. 
\Longrightarrow
\alpha \in [4,9\:; 5,0]
$;

$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l }
B\left(4,97\right) \approx -0,002 <0\\
B\left(4,98\right) \approx 0,007 >0
\end{array}
\right. 
\Longrightarrow
\alpha \in [4,97\:; 4,98]
$

	\end{enumerate}		 

\item% À partir de combien d'unités produites et vendues l'entreprise sera-t-elle bénéficiaire? 
L'entreprise sera bénéficiaire quand $x$ sera tel que $B\left(x\right)$ est positif, donc quand $x>\alpha$.

Le plus petit entier supérieur à $\alpha$ est 5 donc l'entreprise est bénéficiaire à partir de 5 unités produites et vendues. 


\end{enumerate}

\end{document}