%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10p,leqno]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[upright]{fourier}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx,array}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{multirow}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tkz-tab}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\def\e{\mathrm{e}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand\alert[1]{{\magenta #1}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%% commandes personnelles 
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow} 
\newcommand{\SSI}{{\blue~~\Longleftrightarrow~}}
%\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\ }}
\newcommand{\norme}[1]{\left\|{\vect{#1}}\right\|}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|{#1}\right\|}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1\right\vert}
\newcommand{\Abs}[1]{\\left\vert #1\right\vert}
\newcommand{\limi}[2]{\lim\limits_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limg}[2]{\lim\limits_{\underset{\scriptstyle #1<#2}{\scriptstyle 
#1\rightarrow #2}}}
\newcommand{\limd}[2]{\lim\limits_{\underset{\scriptstyle #1>#2}{\scriptstyle 
#1\rightarrow #2}}}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d}}
\newcommand{\integrale}[4]{\int_{#3}^{#4}#1\,\dx#2} 
\newcommand{\Integrale}[4]{\displaystyle\int_{#3}^{#4}#1\,\dx#2} 

\makeindex
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Baccalauréat S -  2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}


\renewcommand{\labelitemi}{$\blacktriangleright$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemiii}{$\star$}


\begin{document}





\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
%\lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Corrigé S Antilles-Guyane 19 juin 2018 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

%: EXERCICE 1
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Arbre pondéré complet:
	\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
\pstree[nodesep=2.5pt]{\TR{$C$}^{$\np{0,3}$}}
	{\TR{$H$}^{$\np{0,459}$}
	\TR{$\overline{H}$}_{$\np{0,541}$}
	}
\pstree{\TR{$S$}^{$\np{0,5}$}}
	{\TR{$H$}^{$\np{0,8}$}
	\TR{$\overline{H}$}_{$\np{0,2}$}
	}
\pstree[nodesep=2.5pt]{\TR{$E$}_{$\np{0,2}$}}
	{\TR{$H$}^{$\np{0,25}$}
	\TR{$\overline{H}$}_{$\np{0,75}$}
	}
}
\end{center}
\item On a, d'après l'arbre pondéré: $P(C\cap H)=\np{0,3}\times\np{0,459}=\alert{\np{0,1377}}$.
\item Les événements $C$, $S$ et $E$ formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne:
\begin{eqnarray*}
P(H)&=&P(C\cap H)+P(S\cap H)+P(E\cap H)\\
&=&\np{0,1377}+\np{0,5}\times\np{0,8}+\np{0,2}\times\np{0,25}\\
&=&\alert{\np{0,5877}}
\end{eqnarray*}
\item Il s'agit ici de calculer $P_H(S)$. Par définition:
\begin{eqnarray*}
p_H(S)&=&\dfrac{P(S\cap H)}{P(H)}\\
&=&\dfrac{\np{0,5}\times\np{0,8}}{\np{0,5877}}\\
&\approx&\alert{\np{0,681}}~~\text{à $10^{-3}$ près}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item D'après le cours, on sait que lorsque une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on a  $P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)=\np{0,954}$. Ici $\mu=\np{4000}$ et $\sigma=300$ donc
\begin{eqnarray*}
P(\np{3400}\leqslant X\leqslant 4600)&=&P(\np{4000}-2\times 300\leqslant X\leqslant \np{4000}+2\times 300)\\
&=&\alert{\np{0,954}}
\end{eqnarray*}
\emph{Remarque:} on pouvait également calculer directement à la machine.
\item À l'aide de la calculatrice, à $10^{-3}$ près:
\[
P(X\geqslant\np{4500})\approx \alert{\np{0,048}}.
\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\smallskip

En supposant que la parcelle comporte suffisamment d'arbres, on peut assimiler le comptage des sapins à un tirage avec remise. \\
La taille de l'échantillon est $n=200$, la proportion supposée de sapins est $p=\np{0,5}$.\\
On a:
\begin{itemize}
\item $n\geqslant 30$, 
\item $np=100\geqslant 5$,
\item $n(1-p)=100\geqslant 5$.
\end{itemize}
Les conditions sont réunies pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\%. En notant $I$ cet intervalle, et en arrondissant les bornes à $10^{-2}$ près:
\[
I=\left[p-\np{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+\np{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}
\right]=\alert{\left[0,43~;~0,57\right]}.
\]

La fréquence observée de sapins dans l'échantillon est $f=\dfrac{106}{200}=\np{0,53}$.\\
$f\in I$, donc \alert{il n'y a  pas lieu de remettre en cause l'affirmation de l'exploitant}.



%: EXERCICE 2
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item
Les plans $(EFG)$ et $(ABC)$ sont parallèles, car s'appuyant sur deux faces opposées du cube.
\item Le plan $(BDL)$ coupe donc les plans $(EFG)$ et $(ABC)$ selon deux droites parallèles:
\begin{itemize}
\item l'intersection du plan $(BDL)$ et du plan $(ABC)$ est la droite $(BD)$;
\item l'intersection du plan $(BDL)$ et du plan $(EFG)$ est la droite $(LM)$; en effet:
\begin{itemize}
\item par définition $M\in(EH)$, or $(EH)\subset(EFG)$ donc $M\in(EFG)$ et, toujours par définition $M\in(BDL)$;
\item $L\in(FE)$ or $(FE)\subset(EFG)$ donc $L\in(EFG)$ et il est évident que $L\in(BDL)$.
\end{itemize}
Les points $L$ et $M$ sont deux points distincts, appartenant chacun à la fois aux plans $(BDL)$ et ($EFG)$. L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(BL)$.
\end{itemize}
Le théorème \og de l'étagère\fg{} permet alors de conclure que \alert{les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles}.
\end{itemize}
\item On a $F(6~;~0~;~6)$ et $E(0~;~0~;~6)$. En notant $L(x~;~y~;~z)$, l'égalité vectorielle $\vect{FL}=\frac23\vect{FE}$ équivaut à:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x-6&=&\frac23(0-6)\\
y&=&\frac23(0-0)\\
z-6&=&\frac23(6-6)
\end{array}
\right.
\SSI
\left\{
\begin{array}{rcl}
x-6&=&-4\\
y&=&0\\
z-6&=&0
\end{array}
\right.
\SSI
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&2\\
y&=&0\\
z&=&6
\end{array}
\right.
\]
ce qu'il fallait démontrer.
\item 
\begin{enumerate}
\item La droite $(BL)$ passe par $B(6~;~0~;~0)$ et a pour vecteur directeur $\vect{BL}(-4~;~0~;~6)$. Une représentation paramétrique de cette droite est donc:
\alert{
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&6-4t\\
y&=&0~~~~~~(t\in\R)\\
z&=&6t
\end{array}
\right.
\]
}
\item Le point $S$ appartient à la droite $(BL)$, il existe donc un réel $t$ tel que $S(6-4t~;~0~;~6t)$. De plus le point $S$ appartient au plan $(AJK)$ qui a pour équation $x=0$, on a donc $6-4t=0\SSI t=\frac32\SSI 6t = 0$. \alert{Les coordonnées du point $S$ sont donc bien égales à $(0~;~0~;~9)$}. 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le plan $(BDL)$ a pour base $(\vect{BD};\vect{BL}$.
\begin{itemize}
\item $\vect{BD}(-6~;~6~;~0)$ donc $\vect{n}\cdot\vect{BD}=3\times(-6)+3\times 6+2\times 0=0$ et $\vect{n}\perp\vect{BD}$;
\item $\vect{BL}(-4~;~0~;~6)$ donc $\vect{n}\cdot\vect{BL}=3\times(-4)+3\times 0+2\times 6=0$ et $\vect{n}\perp\vect{BL}$.
\end{itemize}
\alert{Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs formant une base du plan $(BDL)$, il est donc normal à ce plan}.
\item Le vecteur $\vect{n}(3;3;2)$ est normal au plan $(BDL)$, une équation cartésienne de ce plan est donc $3x+3y+2z+d=0$, où $d$ est un réel à déterminer. $B(6~;~0~;~0)\in(BDL)$ donc:
\[
3\times 6+3\times 9+2\times 0+d=0\SSI 18+d=0\SSI d=-18.
\]
\alert{Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est donc bien $3x+3y+2z-18 = 0$}.
\item $M\in(EH)$, il existe donc un réel $s$ tel que $M(0;s;6)$. De plus $M\in(BDL)$ donc:
\[
3\times 0+3\times s+2\times 6-18 = 0\SSI
3s-6=0\SSI s=2.
\]
\alert{
Les coordonnées du point $M$ sont donc $(0~;~2~;~6)$}.
\end{enumerate}
\item Prenons comme base du tétraèdre le triangle rectangle $ELM$ et comme hauteur le segment $[SE]$. On a:
\begin{itemize}
\item $EL=2$ et $EM=2$ donc le triangle rectangle $ELM$ a pour aire $\frac12\times 2\times 2=2$;
\item $ES=3$.
\end{itemize}
Le tétraèdre $SELM$ a donc pour volume (en mètres cubes):
\[
\alert{V=\frac13\times 2\times 3=2}.
\]
\item Le triangle $SEL$ est rectangle en $E$ donc:
$\tan\left(\widehat{SLE}\right)=\dfrac{ES}{EL}=\dfrac{3}{2}$. À l'aide de la calculatrice on obtient que $\widehat{SLE}\approx \np{56,31}^{o}$. \alert{La contrainte est donc respectée}.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 3
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ on a $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$ donc $-1\leqslant -\cos x\leqslant 1$. On a également $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$, par conséquent:
\[
-1-1+1\leqslant -\cos x+\sin x+1\leqslant 1+1+1\SSI
-1\leqslant -\cos x+\sin x+1\leqslant 3.
\]
En multipliant membre à membre le dernier encadrement par $\e^{-x}$ (qui est strictement positif) on obtient alors:
\[
\alert{
-\e^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\e^{-x}
}.
\]
\item On a $\limi{x}{+\infty}\e^{-x}=0$. Comme $-\e^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\e^{-x}$, le théorème \og des gendarmes\fg{} permet alors de conclure que \alert{$\limi{x}{+\infty}f(x)=0$}.
\item Par dérivation d'un produit:
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\e^{-x}(-(-\sin x)+\cos x)+\left(-\e^{-x}\right)(-\cos x+\sin x+1)\\
&=&\e^{-x}(\sin x+\cos x)+\e^{-x}(\cos x-\sin x-1)\\
&=&\e^{-x}(\sin x+\cos x+\cos x-\sin x-1)\\
&=&\e^{-x}(2\cos x-1).
\end{eqnarray*}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $2\cos x-1$. Sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$, et en s'aidant d'un cercle trigonométrique:
\begin{eqnarray*}
2\cos x-1\geqslant 0&\SSI& \cos x\geqslant \frac12\\
&\SSI& -\frac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{3}.
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,runit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,labels=none,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=0.6pt]{->}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.3,1.3)
\pscircle[linewidth=1pt](0.,0.){1.}
\parametricplot[linewidth=2.2pt,linecolor=cyan]{-1.0471975511965974}{1.0471975511965976}{cos(t) | sin(t)}
\parametricplot[linewidth=2.2pt,linecolor=magenta]{1.0471975511965974}{5.23598775598}{cos(t) | sin(t)}

\psline[linecolor=cyan,linewidth=2.5pt,linestyle=dashed](0.5,0)(1,0)
\psline[linecolor=magenta,linewidth=2.5pt,linestyle=dashed](-1,0)(0.5,0)
\uput[-90](-0.5,0){\tiny\magenta$\cos x<\frac12$}
\uput[-90](0.75,0){\tiny\cyan$\cos x\geqslant\frac12$}

\psline[linecolor=red,linestyle=dotted,linewidth=0.7pt](1;60)(1;-60)
\uput[60](1;60){\red$\frac{\pi}{3}$}
\uput[-60](1;-60){\red$-\frac{\pi}{3}$}
\uput[-135](1;180){$-\pi$}
\uput[135](1;180){$\pi$}

\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Par conséquent:
\begin{itemize}
\item \alert{sur $\left[-\pi~;~-\frac{\pi}{3}\right[$, $f'(x)<0$};
\item \alert{sur $\left]-\frac{\pi}{3}~;~-\frac{\pi}{3}\right]$, $f'(x)>0$};
\item \alert{sur $\left]\frac{\pi}{3}~;~\pi\right]$, $f'(x)<0$};
\item \alert{en $-\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$, $f'(x)=0$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item On déduit de la question précédente que:
\begin{itemize}
\item \alert{sur $\left[-\pi~;~-\frac{\pi}{3}\right[$, $f$ est décroissante};
\item \alert{sur $\left]-\frac{\pi}{3}~;~-\frac{\pi}{3}\right]$, $f$ est croissante};
\item \alert{sur $\left]\frac{\pi}{3}~;~\pi\right]$, $f$ est décroissante}.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$:
\begin{eqnarray*}
f(x)-g(x)&=&\e^{-x}(-\cos x+\sin x+1)-\left(-\e^{-x}\right)\cos x\\
&=&\e^{-x}(-\cos x+\sin x+1+\cos x)\\
&=&\e^{-x}(\sin x+1).
\end{eqnarray*}
Or, pour tout réel $x$:
\begin{itemize}
\item $\e^{-x}>0$,
\item $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ donc $\sin x+1\geqslant 0$.
\end{itemize}
On a donc, pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)\geqslant 0$, ce qui signifie que \alert{la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$}.
\item \begin{enumerate}
\item Domaine $\mathcal{D}$ hachuré:
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(5.,2.)
\multips(0,-2)(0,1.0){5}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.,0)(5.,0)}
\multips(-2,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,2.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-2.)(5.,2.)
\pscustom[linewidth=0.8pt,linecolor=magenta,hatchcolor=magenta,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.07907375134484962]{\psplot{-1.5707963267948966}{4.71238898038469}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}\lineto(4.71238898038469,0.)\psplot{4.71238898038469}{-1.5707963267948966}{-2.718281828459045^(-x)*COS(x)}\lineto(-1.5707963267948966,0.)\closepath}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-2.0}{5.0}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2.0}{5.0}{-2.718281828459045^(-x)*COS(x)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-1.885980044800942,4.0593746578500225){\blue{$f$}}
\rput[bl](-1.965053796145792,4.0593746578500225){\red{$g$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Sur $\R$, a fortiori sur $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ est donc donnée, en unités d'aire, par:
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}&=&\integrale{f(x)-g(x)}{x}{-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}\\
&=&\integrale{\e^{-x}(\sin x+1)}{x}{-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}\\
&=&\Big[H(x)\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\\
&=&H\left(\frac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\
&=&
\left(-\frac{\cos \left(\frac{3\pi}{2}\right)}{2}-\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)}{2}-1\right)\e^{-\frac{3\pi}{2}}
-\left(-\frac{\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)}{2}-\frac{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{2}-1\right)\e^{-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\\
&=&\alert{-\frac12\e^{-\frac{3\pi}{2}}+\frac12\e^{\frac{\pi}{2}}}
\end{eqnarray*}
L'unité graphique est de 2~cm, l'unité d'aire est donc de 4 cm\up{2}. Par conséquent, une valeur approchée de l'aire du logo est, à $10^{-2}$ près:
\[
4\times\left(-\frac12\e^{-\frac{3\pi}{2}}+\frac12\e^{\frac{\pi}{2}}\right)\alert{\approx \np{9,6}~\text{cm}^2}.
\]
\end{enumerate}





%: EXERCICE 4
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item L'effectif de cétacés au 31 octobre 2017 est de 3000+80, c'est-à-dire 3080. Entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, une baisse de 5~\% a lieu, l'effectif au 1\up{er} juin 2018 est donc:
\[
u_1=\np{3080}\times\np{0,95}=\alert{\np{2926}}.
\]
\item En généralisant, on a, pour tout entier naturel $n$:
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}&=&\left(u_n+80\right)\times\np{0,95}\\
&=&\np{0,95}u_n+80\times\np{0,95}\\
&=&\np{0,95}u_n+76.
\end{eqnarray*}
\item Formule à entrer dans la cellule C2: \fbox{\alert{= 0.95*B2 + 76}}.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\np{1520}$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}. On a $u_0=\np{3000}\geqslant\np{1520}$, la propriété est donc vraie pour $n=0$.
\item \textbf{Hérédité.} Supposons qu'il existe $n\in\N$ tel que $u_n\geqslant\np{1520}$. Démontrons alors que $u_{n+1}\geqslant\np{1520}$.\\
Par hypothèse de récurrence, $u_n\geqslant\np{1520}$, donc, en multipliant membre à membre par \np{0,95}:
\[
\np{0,95}u_n\geqslant\np{0,95}\times \np{1520}
\]
puis, en ajoutant membre à membre 76:
\[
\np{0,95}u_n+76\geqslant\np{0,95}\times\np{1520}+76
\]
ce qui équivaut à: 
\[
u_{n+1}\geqslant 1520
\]
ce qu'il fallait démontrer. La propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{Conclusion.} \alert{Pour tout $n\in\N$: $u_n\geqslant \np{1520}$}.
\end{itemize}
\item Soit $n\in\N$, alors:
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n&=&\np{0,95}u_n+76-u_n\\
&=&-\np{0,05}u_n+76.
\end{eqnarray*}
D'après la question précédente, $u_n\geqslant \np{1520}$, donc $-\np{0,05}u_n\leqslant -\np{0,05}\times \np{1520}$, c'est-à-dire $-\np{0,05}u_n\leqslant -76$, par conséquent, $-\np{0,05}u_n+76\leqslant 0$, c'est-à-dire $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$, ce qui prouve que \alert{la suite $(u_n)$ est décroissante}.
\item \alert{La suite $(u_n)$ est décroissante, minorée, elle est donc convergente}.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N$, alors:
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}&=&u_{n+1}-\np{1520}\\
&=&\np{0,95}u_n+76-\np{1520}\\
&=&\np{0,95}u_n-\np{1444}\\
&=&\np{0,95}\left(u_n-\frac{\np{1444}}{\np{0,95}}\right)\\
&=&\np{0,95}\left(u_n-\np{1520}\right)\\
&=&\np{0,95}v_n.
\end{eqnarray*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\np{0,95}$.\\
Son premier terme est $v_0=u_0-\np{1520}=\np{1480}$.
\item Pour tout $n\in\N$, on a $v_n=\np{1480}\times \np{0,95}^n$. Et comme $v_n=u_n-\np{1520}$, on en déduit que $u_n=v_n+\np{1520}$, ce qui donne bien 
\[
u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}.
\]
\item $-1<\np{0,95}<1$, donc $\limi{n}{+\infty}\np{0,95}^n=0$, on en déduit, par opérations sur les limites que $\limi{n}{+\infty}u_n=\np{1520}$.
\end{enumerate}
\item Algorithme complété:
\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow \np{3000}$\\
Tant que $u\geqslant \np{2000}$:\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow n+1$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow \np{0,95}*u+76$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
\item La limite de la suite $(u_n)$ est \np{1520} qui est inférieur à 2000, donc la réserve fermera un jour. Pour déterminer l'année de fermeture, on peut programmer l'algorithme précédent, ou résoudre l'inéquation:
\begin{eqnarray*}
u_n\leqslant \np{2000} &\SSI& \np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}\leqslant \np{2000}\\
&\SSI&\np{1480}\times\np{0,95}^n\leqslant \np{480}\\
&\SSI&\np{0,95}^n\leqslant \dfrac{\np{480}}{\np{1480}}\\
&\SSI& n\ln(\np{0,95})\leqslant \ln\left(\dfrac{\np{480}}{\np{1480}}\right)\\
&\SSI& n\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac{\np{480}}{\np{1480}}\right)}{\ln(\np{0,95})} 
\end{eqnarray*} 
À la calculatrice, $\dfrac{\ln\left(\frac{\np{480}}{\np{1480}}\right)}{\ln(\np{0,95})} \approx \np{21,95}$. \alert{C'est donc la 22\up{e} année que la réserve fermera, soit en 2039}. 
\end{enumerate}









%: EXERCICE 4
\vspace{1cm}\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
Soit $n\in\N$.
\begin{itemize}
\item Chaque année, 65~\% des possesseurs de la carte de pêche libre achètent de nouveau une carte de pêche libre, et 45~\% de possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l'année suivante. En supposant qu'il n'y a ni départ ni arrivée de nouveaux pêcheurs, on a donc:
\[
\ell_{n+1}=\np{0,65}\ell_n+\np{0,45}q_n.
\]
\item Le nombre de pêcheurs étant constant d'année en année: $\ell_{n+1}+q_{n+1}=\ell_n+q_n$, donc:
\[
q_{n+1}=\ell_n+q_n-\ell_{n+1}=\ell_n+q_n-\np{0,65}\ell_n-\np{0,45}q_n=\np{0,35}\ell_n+\np{0,55}q_n.
\]
\item On a donc:
\begin{eqnarray*}
P_{n+1}&=&
\begin{pmatrix}
\ell_{n+1}\\q_{n+1}
\end{pmatrix}
\\
&=& \begin{pmatrix}
\np{0,65}\ell_n+\np{0,45}q_n\\
\np{0,35}\ell_n+\np{0,55}q_n
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\np{0,65}&\np{0,45}\\
\np{0,35}&\np{0,55}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\ell_n\\q_n
\end{pmatrix}
\\
&=&MP_n
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\item 2019=2017+2, il s'agit donc de calculer $P_2$:
\[
P_2=MP1=MMP_0=M^2P_0.
\]
À l'aide de la calculatrice:
\[
P_2= \begin{pmatrix}
\np{0,56}\\\np{0,44}
\end{pmatrix}
\]
En 2019, la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota est donc de \np{0,44}.
\item Notons $I$ la matrice $ \begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$.
\begin{itemize}
\item $TQ=I$ et $QT=I$, la matrice $Q$ est donc inversible et son inverse est la matrice $T$.
\item $D=TMQ$ donc, en multipliant à gauche par $Q$ et à droite par $Q^{-1}$:
\[
QDQ^{-1}=QTMQQ^{-1}=(QT)M(QQ^{-1})=IMI=M.
\]
\item Montrons maintenant par récurrence que, pour tout $n\in\N^*$: $M^n=QD^nQ^{-1}$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} $M^1=M=QDQ^{-1}=QD^1Q^{-1}$.
La propriété est donc vraie pour $n=1$.
\item \textbf{Hérédité.} Supposons qu'il existe $n\in\N^*$ tel que $M^n=QD^nQ^{-1}$. Montrons alors que $
M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.\\
On a 
\[
M^{n+1}=M^nM=QD^nQ^{-1}\times QDQ^{-1}=QD^n\left(Q^{-1}Q\right)DQ^{-1}=Q(D^nD)Q^{-1}=QD^{n+1}Q^{-1}.
\]
La propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{Conclusion.} Pour tout $n\in\N^*$, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=MP_n$, la suite de matrices $(P_n)$ est donc géométrique de raison $M$. Une récurrence immédiate prouve alors que $P_n=M^nP_0$.
\item Soit $n\in\N$, alors:
\begin{eqnarray*}
P_n&=&M^nP_0\\
&=&\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
9+7\times\np{0,2}^n&9-9\times\np{0,2}^n\\
7-7\times\np{0,2}^n&7+9\times\np{0,2}^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\np{0,4}\\\np{0,6}
\end{pmatrix}\\
&=&\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
\np{3,6}+\np{2,8}\times\np{0,2}^n+\np{5,4}-\np{5,4}\times\np{0,2}^n\\
\np{2,8}-\np{2,8}\times\np{0,2}^n+\np{4,2}+\np{5,4}\times\np{0,2}^n
\end{pmatrix}\\
&=&\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
9-\np{2,6}\times\np{0,2}^n\\
7+\np{2,6}\times\np{0,2}^n
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Comme $P_n=\begin{pmatrix}
\ell_n\\q_n
\end{pmatrix}$, on en déduit que:
\begin{eqnarray*}
\ell_n&=&\frac{1}{16}\left(9-\np{2,6}\times\np{0,2}^n\right)\\
&=&\frac{9}{16}-\frac{1}{16}\times\np{2,6}\times\np{0,2}^n\\
&=&\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times\np{0,2}^n
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item
La suite $(\ell_n)$ est croissante, en effet, pour tout $n\in\N$:
\begin{eqnarray*}
\ell_{n+1}-\ell_{n}&=&\left(\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times\np{0,2}^{n+1}\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times\np{0,2}^n\right)\\
&=&\frac{13}{80}\left(-\np{0,2}^{n+1}+\np{0,2}^n\right)\\
&=&\frac{13}{80}\times\np{0,2}^n\left(-\np{0,2}+1\right)\\
&=&\frac{13}{80}\times\np{0,2}^n\times\np{0,8}\\
&>&0
\end{eqnarray*}
\item $-1<\np{0,2}<1$ donc $\limi{n}{+\infty}\np{0,2}^n=0$. On en déduit, par opérations sur les limites, que $\limi{n}{+\infty}\ell_n=\dfrac{9}{16}$.
\item La suite $(\ell_n)$ est croissante, de limite $\dfrac{9}{16}$, donc, pour tout $n\in\N$, $u_n\leqslant\frac{9}{16}$. Or $\frac{9}{16}<\np{0,6}$, on peut donc conclure que la proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais 60~\%.
\end{itemize}

\end{enumerate}










\end{document}





