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% Sujet aimablement fourni par Vincent Tolleron
%Tapuscrit : Vincent Tolleron tolleron.vincent@mac.com
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\juin 2008}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
%\[
%f(x)=\frac92\text{e}^{-2x}-3\text{e}^{-3x}.
%\]
\textbf{Partie A:}
%\\
%Soit l'équation différentielle~(E): $y'+2y=3\text{e}^{-3x}$.
\begin{enumerate}
\item (E')$\Longleftrightarrow y'=-2y$. D'après le cours, les solutions de (E')  sont les fonctions définies sur $\R$ de la forme $x\mapsto C\text{e}^{-2x}$, où $C$ est une constante réelle.
%Résoudre l'équation différentielle~(E'): $y'+2y=0$.
\item En particulier, avec $C=\dfrac92$, on obtient la fonction $h$.
%En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac92\text{e}^{-2x}$ est solution de (E').
\item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)=9\text{e}^{-3x}$. Par conséquent, pour tout réel $x$:
\[g'(x)+2g(x)=9\text{e}^{-3x}-6\text{e}^{-3x}=3\text{e}^{-3x},\]
ce qui prouve que $g$ est bien solution de (E).
%Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item Comme $f=g+h$, on a $f'=g'+h'$, donc, pour tout réel $x$:
\[f'(x)+2f(x)=\underbrace{g'(x)+2g(x)}_{3\text{e}^{-3x}}+\underbrace{h'(x)+2h(x)}_{0}=3\text{e}^{-3x},\]
et $f$ est alors bien solution de (E).
%En remarquant que $f=g+h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B:}
%\\
%On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij d'unité 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac92\text{e}^{-2x}-3\text{e}^{-3x}=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\dfrac{\text{e}^{-3x}}{\text{e}^{-2x}}\right)=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right)$.
%Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a: $f(x)=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right)$.
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Limite de $f$ en $-\infty$}.

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-2x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to +\infty}e^X=+\infty$, donc par composition $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^{-2x}=+\infty$. De même $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^{-3x}=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right)=-\infty$; on en déduit, par opérations sur les limites dans l'expression de $f(x)$ obtenue à la question B1 que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
\item \textbf{Limite de $f$ en $+\infty$}.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-2x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to -\infty}e^X=0$, donc par composition $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-2x}=0$. De même $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-3x}=0$; on en déduit par opérations sur les limites dans l'expression initiale de $f(x)$ que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. Graphiquement, cela signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $+\infty$.
\end{itemize}

%Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $-\infty$.
\item $f$ est dérivable sur $\R$ (combinaison simple de fonctions qui le sont), et, pour tout réel $x$:

\[f'(x)=\frac92\times(-2)\text{e}^{-2x}-3\times(-3)\text{e}^{-3x}=-9\text{e}^{-2x}+9\text{e}^{-3x}=9\text{e}^{-3x}\left(-\text{e}^{x}+1\right).\]

Comme, pour tout réel $x$, $9\text{e}^{-3x}>0$, $f'(x)$ a le même signe que $-\text{e}^{x}+1$.

Or: $-\text{e}^{x}+1\leqslant 0\Longleftrightarrow 1\leqslant \text{e}^{x}\Longleftrightarrow 0\leqslant x$, donc
$f'(x)\leqslant 0\Longleftrightarrow x\geqslant 0$.

Par ailleurs $f(0)=\dfrac92e^0-3e^0=\dfrac32$.
On en déduit le tableau de variation suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ &&0&&$+\infty$\\
\hline
$f'(x)$&&$+$&0&$-$&\\
\hline
&&&\rnode{b}{3/2}&&\\
$f(x)$&&&&&\\
&\rnode{a}{$-\infty$}&&&&\rnode{c}{$0$}\\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=2pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=2pt]{->}{b}{c}
\end{center}


%Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe $(\text{O}x)$}.

On cherche les points de coordonnées $(x;f(x))$ tels que $f(x)=0$.

D'après l'expression de la question B1, et comme pour tout réel $x$, $\text{e}^{-2x}\neq0$,  on  a:
$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac32=\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow \ln\left(\frac32\right)=-x\Longleftrightarrow
x=\ln\left(\frac23\right)\simeq \np{-0,4}$ (à \np{0,01} près).

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe $(Ox)$ en un seul point $A$ de coordonnées $\left(\ln\left(\frac23\right)~;~0\right)$.
\item \textbf{Intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe $(Oy)$}.

Il s'agit du point de coordonnées $B(0~;~f(0))$ c'est-à-dire $\left(0~;~\frac32\right)$.
\end{itemize}

%Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère.
\item $f(1)=\dfrac92\text{e}^{-2}-3\text{e}^{-3}\simeq \np{0,46}$ (à \np{0,01} près). L'allure de $\mathcal{C}_{f}$ est alors la  suivante:
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\begin{pspicture*}(-1.07,-1.16)(2.76,1.88)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=cyan]{<->}(-0.5,1.5)(0.5,1.5)
\psplot[plotstyle=curve,linecolor=magenta,linewidth=1.25pt]{-1.0651428845781525}{2.7571919345684237}{9/2*2.718281828^(-2*x)-3*2.718281828^(-3*x)}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,0)(1,0.46)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0.46)(1,0.46)
\uput[160](0,0.46){\tiny $f(1)$}
\rput[tl](1.93,0.45){\color{magenta}$\mathcal{C}_f$}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.41,0)
\uput[-135](-0.4,0){\darkgray{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,1.5)
\uput[45](0,1.5){\darkgray{$B$}}
\uput[-90](1,0){\tiny 1}

\psaxes[ticks=none,labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=0pt 0,subticks=2](0,0)(-1.07,-1.16)(2.76,1.88)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.4pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[-90](0.5,0){\tiny\color{red}$\vect{\imath}$}
\uput[-135](0,0.5){\tiny\color{red}$\vect{\jmath}$}
\uput[-135](0,0){\tiny\color{red}$O$}
\end{pspicture*}

\end{center}

%Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $x\mapsto -\dfrac94\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-3x}$. Sur l'intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est positive, l'aire $A$ cherchée est donc égale à :

\[A=\int_{0}^1f(x)\text{d}x=\left[-\dfrac94\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-3x}\right]_{0}^1=\left(-\dfrac94\text{e}^{-2}+\text{e}^{-3}\right)-\left(-\dfrac94+1\right)=-\dfrac94\text{e}^{-2}+\text{e}^{-3}+\dfrac54~\text{cm}^2.\]
%Déterminer l'aire $A$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$. On exprimera cette aire en cm\up{2}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

%On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher.\\[2ex]
%$U_{1}$ contient $k$ boule blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.\\
%$U_{2}$ contient 2 boules blanches et une boule noire.\\[2ex]
%On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$. On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_{2}$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.\\[2ex]
%On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$) l'événement \og~on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{1}$~\fg.\\
%On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$) l'événement \og~on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$~\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans $U_{1}$ il y a $k$ boules blanches et 3 noires, soit $k+3$ boules au total; on a donc:
$p(B_{1})=\frac{k}{k+3}$ et $p(N_{1})=\frac{3}{k+3}$.\\
Si l'on a tiré une boule blanche de $U_{1}$ il y a maintenant 3 boules blanches et une boule noire dans $U_{2}$; en revanche si l'on a tiré une boule noire de $U_{1}$ il y a maintenant 2 boules blanches et 2 boules noires dans $U_{2}$. L'arbre pondéré complété est donc:
%Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabular}{p{3cm}p{3cm}p{3cm}}
&&\rnode{b21}{$B_{2}$}\\
&\rnode{b1}{$B_{1}$}&\\
&&\rnode{n21}{$N_{2}$}\\
\rnode{i}{}&&\\[2ex]
&&\rnode{b22}{$B_{2}$}\\
&\rnode{n1}{$N_{1}$}&\\
&&\rnode{n22}{$N_{2}$}
\end{tabular}
\ncline[nodesepB=4pt]{i}{b1}\naput{$\frac{k}{k+3}$}
\ncline[nodesepB=4pt]{i}{n1}\nbput{$\frac{3}{k+3}$}
\ncline[nodesep=4pt]{b1}{b21}\naput{$\frac34$}
\ncline[nodesep=4pt]{b1}{n21}\nbput{$\frac14$}
\ncline[nodesep=4pt]{n1}{b22}\naput{$\frac12$}
\ncline[nodesep=4pt]{n1}{n22}\nbput{$\frac12$}
\end{center}
		\item Les événements $B_{1}$ et $N_{1}$ étant contraires, on a $B_{2}=(B_{1}\cap B_{2})\cup(N_{1}\cap B_{2})$, et la formule des probabilités totales permet alors d'écrire que:

\[p(B_{2})=\frac34\times\frac{k}{k+3}+\frac12\times\frac{3}{k+3}=\frac{3k+6}{4k+12},\]

ce qu'il fallait démontrer.
%Montrer que la probabilité de l'événement $B_{2}$ est égale à $\dfrac{3k+6}{4k+12}$.
	\end{enumerate}
%\textbf{Dans la suite on considère que $k=12$.}\\
%\textbf{Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.}
\item 
%Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.\\
%SI, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.\\
%Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.\\
%Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Si le joueur gagne, il reçoit 12 euros et en a misé 8, son gain est donc de 4 euros: $X=4$; s'il perd, il perd sa mise et alors $X=-8$.
%Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont 4 et $-8$.
		\item $p(X=4)=p(B_{2})=\dfrac{3\times 12+6}{4\times 12+12}=\dfrac{42}{60}=\dfrac{7}{10}$.

$p(X=-8)=p\left(\overline{X=4}\right)=1-p(X=4)=1-\dfrac{7}{10}=\dfrac{3}{10}$.
On peut résumer la loi de $X$ dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_{i}$ & $-8$ & 4 & Total\\
\hline
&&&\\[-2ex]
$p(X=x_{i})$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{7}{10}$ & 1\\[1.5ex]
\hline
\end{tabular}

\end{center}

%Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
		\item  L'espérance mathématique de $X$ est: $E(X)=\dfrac{3}{10}\times(-8)+\dfrac{7}{10}\times 4=\dfrac{4}{10}=\np{0,40}$ euros.
		\item Le jeu est favorable au joueur car $E(X)>0$.
	\end{enumerate}
\item Les épreuves successives étant identiques et indépendantes, on a affaire à un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de fois où l'on a obtenu l'événement $B_{2}$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n;\dfrac{7}{10}\right)$. Ainsi:
\begin{eqnarray*}
p(Y\geqslant 1)\geqslant\np{0,99} &\Longleftrightarrow &p\left(\overline{Y=0}\right)\geqslant\np{0,99}\\
&\Longleftrightarrow & 1-p(Y=0)\geqslant \np{0,99}\\
&\Longleftrightarrow & 1-\binom{n}{0}\left(\dfrac{7}{10}\right)^0\left(\dfrac{3}{10}\right)^{n}\geqslant\np{0,99}\\
&\Longleftrightarrow & 1-\left(\dfrac{3}{10}\right)^n\geqslant\np{0,99}\\
&\Longleftrightarrow & \np{0,01}\geqslant\left(\dfrac{3}{10}\right)^n\\
&\Longleftrightarrow & \ln(\np{0,01})\geqslant n\ln\left(\dfrac{3}{10}\right)\\
&\Longleftrightarrow & \dfrac{\ln(\np{0,01})}{\ln\left(\dfrac{3}{10}\right)}\leqslant n.
\end{eqnarray*}
Et comme $\dfrac{\ln(\np{0,01})}{\ln\left(\dfrac{3}{10}\right)}\simeq\np{3,82}$, le plus petit entier $n$ répondant à la question est $4$.
%Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu.\\
%Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient 12 boules blanches et 3 noires, et l'urne $U_{2}$ contient 2 boules blanches et 1 noire. \\
%Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.\\[2ex]
%Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'événement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à \np{0,99}.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère l'équation (E): $11x-26y=1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item $11\times(-7)-26\times(-3)=-77+78=1$, donc le couple $(~-7~;~-3~)$ est solution de (E).
%Vérifier que le couple $(~-7~;~-3~)$ est solution de (E).
\item 
\begin{itemize}
\item Soit $(x~;~y)$ une solution de (E), on a alors $11x-26y=1$ et  d'après la question précédente $11\times(-7)-26\times(-3)=1$ donc $11x-26y=11\times(-7)-26\times(-3)$. On en déduit que
$11(x+7)=26(y+3)$. Ainsi 26 divise $11(x+7)$, or 26 et 11 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss implique donc que 26 divise $x+7$. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x+7=26k$, c'est-à-dire $x=-7+26k$. On a alors $11\times 26k=26(y+3)$, d'où, en divisant par 26 : $11k=y+3$, d'où $y=-3+11k$.

Ainsi, si $(x~;~y)$ est solution de (E), il existe un entier $k$ tel que 

$(x~;~y)=(-7+26k~;~-3+11k)$.
\item Réciproquement, on vérifie que ces couples sont bien solutions de (E); en effet:
$11\times(-7+26k)-26\times(-3+11k)=-77+286k+78-286k=1$.
\item En conclusion, les solutions de (E) sont les couples de la forme 

$(-7+26k~;~-3+11k)$ où $k\in\Z$.
\end{itemize}
%Résoudre alors l'équation (E).
\item $(u;v)$ est solution de (E) avec $0\leqslant u\leqslant 25$ si et seulement s'il existe un entier relatif $k$ tel que
$u=-7+26k$, $v=-3+11k-$ et $0\leqslant -7+26k\leqslant 25$. Cela conduit à $7\leqslant 26k\leqslant 32$, et $k=1$ est la seule possibilité. L'unique couple répondant à la question est donc $(19;8)$.
%En déduire le couple d'entiers relatifs $(u;v)$ solution de (E) tel que $0\leqslant u\leqslant 25$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
%%%On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous:
%%%\begin{center}
%%%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%%%\hline
%%%A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\
%%%\hline
%%%0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
%%%\hline
%%%
%%%\end{tabular}
%%%\\
%%%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%%\hline
%%N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
%%\hline
%%13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\
%%\hline
%%\end{tabular}
%%\end{center}
%On \og~code~\fg tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la fa\c on suivante:
%\begin{itemize}
%\item on calcule 11x+8
%\item on calcule le reste de la division euclidienne de $11x+8$ par 26, que l'on appelle $y$.
%\end{itemize}
%$x$ est alors \og~codé~\fg par $y$.\\
%Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11; $11\times11+8=129$ or $129\equiv 25$~(modulo~26); 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.\\
%La lettre L est donc codée par la lettre Z.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La lettre W est chiffrée par $x=22$. Or $11\times 22+8\equiv 16$~(modulo~26), donc $y=16$ qui correspond à la lettre Q.
%Coder la lettre W.
\item 
%Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{itemize}
\item Soit $x$ et $j$ deux entiers relatifs tels que $11x\equiv j$~(modulo~26). Alors, en multipliant par 19:
$19\times11x\equiv 19j$~(modulo~26). Or $19\times 11=209$ et $209\equiv1$~(modulo~26), donc $x\equiv 19j$~(modulo~26).
\item Réciproquement, si $ x\equiv 19j$~(modulo~26), alors, en multipliant par 11:
$11x\equiv 11\times19j$~(modulo~26), d'où $11x\equiv j$~(modulo~26). L'équivalence est donc démontrée.
\end{itemize}

%%Montrer que pouts nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a:
%%\[
%%11x\equiv j~\text{ (modulo 26) équivaut à } x\equiv 19j~\text{ (modulo 26)}.
%%\]
		\item Soit $y$ un entier compris entre 0 et 25, il s'agit de trouver un entier $x$ compris entre 0 et 25 tel que: $11x+8\equiv y$~(modulo~26). Nécessairement on doit avoir: $11x\equiv y-8$~(modulo~26), ce qui équivaut, d'après la  question précédente, à $x\equiv 19(y-8)$~(modulo~26). Le procédé de décodage est donc le suivant:
\begin{itemize}
\item on chiffre la lettre à décoder par un nombre entier $y$ compris entre 0 et 25;
\item on calcule le reste $x$ de la division euclidienne de $19(y-8)$ par 26;
\item on déchiffre alors $x$ pour obtenir la lettre décodée.
\end{itemize}

%En déduire un procédé de décodage.
		\item W est chiffré par $y=22$. Or $19\times(22-8)\equiv 6$~(modulo~26), donc $x=6$, ce qui correspond à la lettre G.
%Décoder la lettre W.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\[2ex]
%\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point;\\
%une réponse inexacte enlève \np{0,25} point;\\
%l'absence de réponse est comptée 0 point.\\
%Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.}\\[2ex]
%L'espace est rapporté à  un repère orthonormal \Oijk.
%\begin{enumerate}
%\item L'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que: $\left\{\begin{array}{r@{=0}}2x-6y+2z-7\\-x+3y-z+5\end{array}\right.$ est:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{lp{4cm}lp{4cm}}
%\textbf{Réponse A:} & l'ensemble vide
%&
%\textbf{Réponse B:} & une droite
%\\
%\textbf{Réponse C:} & un plan
%&
%\textbf{Réponse C:} & réduit à un point
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item Les droites de représentations paramétriques respectives:\\
%$\left\{\begin{array}{rcl}
%x&=&1-t\\
%y&=&-1+t~(t\in\R)\\
%z&=&2-3t
%\end{array}\right.$
%et 
%$\left\{\begin{array}{rcl}
%x&=&2+t'\\
%y&=&-2-t'~(t'\in\R)\\
%z&=&4+2t'
%\end{array}\right.$
%sont:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{lp{4cm}lp{4cm}}
%\textbf{Réponse A:} &  parallèles et distinctes
%&
%\textbf{Réponse B:} &  confondues
%\\
%\textbf{Réponse C:} &  sécantes
%&
%\textbf{Réponse C:} &  non coplanaires
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item La distance du point $A(1;-2;1)$ au plan d'équation $-x+3y-z+5=0$ est égale à:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{lp{4cm}lp{4cm}}
%\textbf{Réponse A:} &  $\dfrac{3}{11}$
%&
%\textbf{Réponse B:} &  $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$
%\\[2ex]
%\textbf{Réponse C:} &  $\dfrac12$
%&
%\textbf{Réponse C:} &  $\dfrac{8}{\sqrt{11}}$
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item Le projeté orthogonal du point $B(1;6;0)$ sur le plan d'équation $-x+3y-z+5=0$ a pour coordonnées:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{lp{4cm}lp{4cm}}
%\textbf{Réponse A:} &  $(~3~;~1~;~5~)$
%&
%\textbf{Réponse B:} &  $(~2~;~3~;~1~)$
%\\
%\textbf{Réponse C:} &  $(~3~;~0~;~2~)$
%&
%\textbf{Réponse C:} &  $(~-2~;~3~;~-6~)$
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item A;
\item C;
\item B;
\item C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%La feuille \textbf{annexe} donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice.\\
%\textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie}.\\
%Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point $A$ a pour affixe $i$.\\
%On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq i$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que:
%$$z'=\dfrac{-z^2}{z-i}.$$
%Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Un exemple.}
%On considère l point $K$ d'affixe $1+i$.
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure.
%Placer le point $K$.
		\item 
Le point $K'$ a pour affixe $z_{K'}=\dfrac{-(1+i)^2}{1+i-i}=-2i$.
%Déterminer l'affixe du point $K'$ image de $K$ par $f$.
		\item Voir figure.
%Placer le point $K'$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.}
	\begin{enumerate}
		\item $L'$ a pour affixe $z_{L'}=\dfrac{-\left(\frac{\text{i}}{2}\right)^2}{\frac{\text{i}}{2}-\text{i}}=\dfrac{-\left(\frac{\text{i}}{2}\right)^2}{-\frac{\text{i}}{2}}=\dfrac{\text{i}}{2}$. On remarque ainsi que $L'=L$.
%On considère le point $L$ d'affixe $\dfrac{i}{2}$. Déterminer son image $L'$ par $f$. Que remarque-t-on~?
		\item Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z\neq i$. Alors:
\[
\Big(f(M)=M\Big) \Longleftrightarrow \Big(z=\dfrac{-z^2}{z - \text{i}} \Big)\Longleftrightarrow \Big(z(z-\text{i})= - z^2 \Big)\Longleftrightarrow \Big(z(2z-i)=0 \Big)\Longleftrightarrow \Big(z = 0~\text{ ou }~z = \dfrac{\text{i}}{2}\Big).
\]
Il n'y a donc que deux points invariants par $f$: O et $L$.
%Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.\\
%Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Un procédé de construction.}
%On nomme $G$ l'isobarycentre des points $A$, $M$, et $M'$, et $g$ l'affixe de $G$.
	\begin{enumerate}
		\item On  a: $g=\dfrac{\text{i}+z+z'}{3}=\dfrac{\text{i}+z-\frac{z^2}{z-\text{i}}}{3}=\dfrac{(z-\text{i})(z+\text{i})-z^2}{3(z-\text{i})}=\dfrac{z^2 + 1 - z^2}{3(z - \text{i})}=\dfrac{1}{3(z-\text{i})}$. L'égalité est vérifiée.
%Vérifier l'égalité $g=\dfrac{1}{3(z-i)}$.
		\item Soit $M$ est un point du cercle de centre $A$ de rayon $r$, alors $AM=r$, donc $\left\vert z- \text{i}\right\vert=r$. D'après la relation précédente, cela implique que $\vert g\vert=\dfrac{1}{3r}$, donc que $G$ appartient au cercle de centre $O$ de rayon $\dfrac{1}{3r}$.
%En déduire que: si $M$ est un point du cercle de centre $A$ de rayon $r$, alors $G$ est un point du cercle de centre $O$ de rayon $\dfrac{1}{3r}$.
		\item D'après la relation de la question 3. a. : 

\[\arg g=\arg\left(\dfrac{1}{3(z-\text{i})}\right)=-\arg(3(z-\text{i}))=-\arg 3-\arg(z-\text{i})=-\arg(z-\text{i}) = -\left(\vect{u};\vect{AM}\right).\]

%Démontrer que $\arg g=-\left(\vect{u};\vect{AM}\right)$.
		\item \textbf{Construction du point $D'$}:
\begin{itemize}
\item on construit le point $G$, point d'intersection du cercle de centre $O$ et de rayon $\dfrac23$ et de la demi-droite d'origine $O$ faisant un angle de $-(\vect{u};\vect{AD})$ avec l'horizontale;
\item $G$ est le centre de gravité du triangle $ADD'$, en notant $J$ le milieu de $[AD]$ on a donc: $\vect{JD'}=3\vect{JG}$.
\end{itemize}

%Sur la feuille annexe, on a marqué un point $D$ sur le cercle de centre $A$ et de rayon $\dfrac12$.\\
%On nomme $D'$ l'image de $D$ par $f$. Déduire des questions précédentes la construction du point $D'$ et la réaliser sur la \textbf{figure annexe à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}

\begin{figure}[hc]
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqtt}{0.8 0 0.2}
\newrgbcolor{qqzztt}{0 0.6 0.2}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=2.5cm,runit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=+,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.85,-3.87)(3.27,1.88)
\pscircle[linewidth=0.4pt,linecolor=qqqqcc](0,1){.5}
\pscircle[linewidth=0.4pt,linecolor=qqzztt](0,0){0.6667}
\psarc[linecolor=cyan]{->}(0,1){0.35}{0}{30.613}
\psarc[linecolor=cyan]{<-}(0,0){0.35}{-30.613}{0}

\psplot{0}{3.27}{(-0-0.51*x)/0.86}
\psline{->}(0,1)(0.43,1.25)
\psline{->}(0,1)(1,1)
\psline[linecolor=magenta]{->}(0.22,1.13)(1.3,-3.27)
\psline[linecolor=cyan]{->}(0.22,1.13)(0.58,-0.34)
\psdots(0,1)
\uput[135](0,1){$A$}
\psdots(1,1)
\uput[45](1,1){$K$}
\psdots(0,-2)
\rput[bl](0.03,-1.95){$K'$}
%\rput[bl](-0.45,1.36){\qqqqcc{$c$}}
\psdots(0.43,1.25)
\rput[bl](0.46,1.3){$D$}
\psdots[linecolor=ccqqtt](0,0)
\uput[-135](0,0){\ccqqtt{$O$}}
\uput[45](1,0){\ccqqtt{$\vect{u}$}}
\uput[-135](0,1){\ccqqtt{$\vect{v}$}}
\psdots(1,0)
\uput[-45](1,0){$I$}
\psdots(0.58,-0.34)
\rput[bl](0.65,-0.34){$G$}
\psdots(0.22,1.13)
\rput[bl](0.16,1.18){$J$}
\psdots(1.3,-3.27)
\rput[bl](1.32,-3.22){$D'$}
\psaxes[ticks=none,labels=none,xAxis=true,yAxis=true](0,0)(-0.85,-3.87)(3.27,1.88)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqtt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqtt]{->}(0,0)(0,1)
\end{pspicture*}
%\psset{xunit=3cm,yunit=3cm,runit=3cm}
%\begin{pspicture}(-1.5,-3.5)(3.5,2.4)
%\uput[0](-1.5,2.3){
%Sur la figure ci-dessous le segment $[OI]$ tel que $\vect{u}=\vect{OI}$ est partagé en six segments d'égale longueur.
%}
%\psaxes[ticks=none,labels=none](0,0)(-1.5,-3.5)(3.5,2)
%\psaxes[ticks=none,labels=none,linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psdots[dotstyle=+,dotsize=6pt](0.166666666667,0)(0.333333333333,0)(0.5,0)(0.666666666667,0)(0,1)(0.833333333333,0)
%\uput[-135](0,0){$O$}
%\uput[45](1,0){$I$}
%\uput[135](0,1){$A$}
%\psdots[dotstyle=x](0.404508497187,1.29389262615)
%\uput[45](0.404508497187,1.29389262615){$D$}
%\pscircle(0,1){0.5}
%\end{pspicture}
%\caption{Annexe à rendre avec la copie}
\end{figure}
\end{center}
\end{document}