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% Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 
~\decofourright\\
juin 2007}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
\textbf{Question de cours}

\smallskip

La fonction $x\mapsto f(x)-g(x)$ est continue sur $I$ (car $f$ et $g$ le sont), donc $\displaystyle\int_{a}^b[f(x)-g(x)]\:\text{d}x$ existe. Comme de plus on a $f(x)-g(x)\geqslant 0$, la propriété de positivité permet d'écrire que: $\displaystyle\int_{a}^bf(x)-g(x)\:\text{d}x\geqslant 0$. On a alors, par linéarité de l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^bf(x)\text{d}x-\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x\geqslant 0$, d'où le résultat.

%Prérequis: positivité et linéarité de l'intégrale.\\
%Soient $a$ et $b$ deux réels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ tels que $a\leqslant b$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^bf(x)\text{d}x\geqslant\int_{a}^bg(x)\text{d}x$.\\[1ex]
\medskip
\noindent\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel supérieur ou égal à 1. La fonction $t\mapsto 2-t$ est continue sur $[1~;~x]$, et on a :
\[\int_{1}^x(2-t)\:\text{d}t=\left[2t-\frac12t^2\right]_{1}^x=\left(2x-\frac12x^2\right)-\left(2-\frac12\right)=-\frac12x^2+2x-\frac32.\]

%Calculer en fonction de $x$ l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)\text{d}t$.
\item Comme $t\in[1~;~+\infty[$, $t>0$, donc:
\[2-t\leqslant\frac1t \Leftrightarrow 2t-t^2\leqslant 1 \Leftrightarrow 0\leqslant t^2-2t+1\Leftrightarrow 
\leqslant (t-1)^2.\]
La dernière inégalité étant vraie, le raisonnement par équivalences permet de conclure qu'on a bien $2-t\leqslant\dfrac1t$.
%Démontrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[1;+\infty[$, on a: $2-t\leqslant\dfrac1t$.
\item Les fonctions $t\mapsto 2-t$ et $t\mapsto\dfrac1t$ sont continues sur $[1;+\infty[$ et $2-t\leqslant\dfrac1t$, la question de cours permet alors d'écrire que:
$$\int_{1}^x
(2-t)\text{d}t\leqslant \int_{1}^x\dfrac1t\text{d}t$$
c'est-à-dire:
$-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32\leqslant\left[\ln t\right]_{1}^x$, d'où: $-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32\leqslant\ln x.$
%Déduire de ce qui précède que pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 1, on a:
%$$-\frac12x^2+2x-\frac32\leqslant\ln x.$$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent\textbf{Partie B}

\smallskip
%Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32$.\\
%Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un repère orthogonal $\left(O;\vect{i},\vect{j}\right)$ dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions $h$ et logarithme népérien sur l'intervalle $[1;4]$. On a a tracé également la droite $(d)$ d'équation $x=4$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme) et:
\[\int_{1}^4h(x)\text{d}x
=\left[-\dfrac16x^3+x^2-\dfrac32x\right]_{1}^4
=\left(-\dfrac16\times 64+16-6\right)-\left(-\dfrac16+1-\frac32\right)=-\dfrac{4}{6}+\dfrac46=0.\]
%Démontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x)\text{d}x=0$.
\item Sur le graphique, les deux aires coloriées sont égales.
%Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.
\end{enumerate}
\item 
%On note $(D)$ le domaine du plan délimité par la droite $(d)$ et les courbes représentatives des fonction $h$ et logarithme népérien sur l'intervalle $[1;4]$.\\
% En utilisant un intégration par parties, calculer l'aire de $(D)$ en unités d'aire.
Sur $[1;4]$ on a $h(x) \leqslant\ln x$ (question A3), l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $(D)$ est donc donnée par:
$\ \displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^4
(\ln x-h(x))\text{d}x=\int_{1}^4\ln x\text{d}x$  (par linéarité et compte-tenu du fait que $\displaystyle\int_{1}^4h(x)\text{d}x=0$).
Posons $u'(x)=1, v(x)=\ln x$ et $u(x)=t, v'(x)=\dfrac1x$. Les fonctions $u$, $v$ sont dérivables sur [1 ; 4], les fonctions $u'$, $v'$ sont continues sur [1 ; 4], le théorème d'intégration par parties s'applique donc et on a:
\[\mathcal{A}=\left[x\ln x\right]_{1}^4-\int_{1}^41\text{d}x=4\ln 4-1\times(4-1)=8\ln 2 - 4 ~\text{u.a.}\]
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}
%$\left(O;\vect{u},\vect{v}\right)$ est un  repère orthonormal direct du plan complexe.\\
%Soit $A$ le point d'affixe $1+i$.\\
%Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=\dfrac12\left(z+i\overline{z}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	On pose $z=x+\text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.
	\begin{enumerate}
		\item 
		Par définition: $z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right)$, c'est-à-dire:
		
\[x'+\text{i}y'=\dfrac12(x+\text{i}y+\text{i}(x-\text{i}y))=\dfrac12(x+\text{i}y+\text{i}x+y)= \dfrac12(x+y)+\dfrac12(x+y)\text{i}.\] 

En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient les égalités annoncées.
		
On en déduit que $y'=x'$ donc que $M'$ appartient à la droite d'équation $y=x$. Or $O$ et $A$ appartiennent aussi à cette droite, d'où $M'\in(OA)$.
%		Démontrer les égalités suivantes: 
%		$x'=\dfrac{1}{2}(x+y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x+y)$.\/
%		En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(OA)$.
		\item $M=M' \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}x&=&\frac12(x+y)\\y&=&\frac12(x+y)\end{array}\right. \Leftrightarrow 
		\left\{\begin{array}{rcl}2x&=&x+y\\2y&=&x+y\end{array}\right. \Leftrightarrow
		\left\{ x=y \right.$. L'ensemble cherché est donc la droite $(OA)$.  
%		Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M=M'$.
		\item Un calcul immédiat montre que $\vect{MM'}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac12(y-x)~;~\dfrac12(x - y)\right)$ et $\vect{OA}(1~;~1)$. Donc
		$\vect{MM'}\cdot\vect{OA} = \dfrac12(y-x)+\dfrac12(x - y) = 0$, et $\vect{MM'}\perp\vect{OA}$.
%		Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{OA}$ sont orthogonaux.
	\end{enumerate}	
\item 
%	Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac\pi2$. $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}$ image de $M$ par $r$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $OM_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure~1.
\begin{figure}[hb]
\label{fig1}
\caption{exercice 2 (non-spécialité)}
\begin{center}
\scriptsize{
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.973,-1.92)(4.637,4.455)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.973,-1.92)(4.637,4.455)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=+,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-1.973,-1.92)(4.637,4.455)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,0)(-1,3)(2,2)(3,-1)(0,0)
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.207,-0.217){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](0.496,0.064){$\vect{u}$}
\rput[bl](0.074,0.361){$\vect{v}$}
\psdots[linecolor=blue](3,1)
\rput[bl](3.059,1.096){\blue{$M$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-1,3)
\rput[bl](-1.254,3.174){\darkgray{$M_1$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3,-1)
\rput[bl](3.059,-0.904){\darkgray{$M_2$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2,2)
\rput[bl](2.059,2.096){\darkgray{$M_3$}}
\end{pspicture*}
}
\end{center}
		\end{figure} 
%		Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+i$, placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$.
		\item L'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\frac\pi2$ est : $z\mapsto\text{e}^{\text{i}\frac\pi2}z=\text{i}z$. Par conséquent $z_{1}=\text{i}z$.\\
		Par définition du point $M_{3}$, $\vect{M_{1}M_{3}}=\vect{OM_{2}}$, donc $z_{3}-z_{1}=z_{2}-0$, ce qui donne:
		$z_{3}-\text{i}z=\overline{z}$, c'est-à-dire $z_{3}=\text{i}z+\overline{z}$.
%		Exprimer $z_{1}$ en fonction de $z$, puis $z_{3}$ en fonction de $z$.
		\item On a :
$OM_{1}=\left\vert z_{1}-0\right\vert=\vert iz\vert=\vert \text{i}\vert\times\vert z\vert=\vert z\vert$;
		
$OM_{2}=\vert \overline{z}\vert =\vert z\vert$.
		
Le parallélogramme $OM_{1}M_{3}M_{2}$ a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un losange.
%		$OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange~? Justifier.
		\item $z'- z = \dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right) - z = \dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}-2z\right)=\dfrac12\left(\text{i}\overline{z} - z\right)$.
		
Par ailleurs, $\dfrac12\text{i}z_{3}=\dfrac12\text{i}\left(iz+\overline{z}\right)=\dfrac12\left(-z+\text{i}\overline{z}\right)$, on a donc bien $z'-z=\dfrac12\text{i}z_{3}$.

On en déduit que $\vert z'-z\vert=\left\vert \dfrac12\text{i}z_{3}\right\vert=\dfrac12\times\vert \text{i}\vert\times \left\vert z_{3}\right\vert$, c'est-à-dire que $MM'=\dfrac12OM$.
%		Vérifier que $z'-z=\dfrac12\text{i}z_{3}$.\\
%		En déduire que $MM'=\dfrac12OM_{3}$.
	\end{enumerate}
\item On a déjà $OM = OM_{1}=OM_{2}=\vert z\vert$, les points $M$, $M_{1}$ et $M_{2}$ sont donc sur un même cercle de centre $O$. $M_{3}$ appartient à ce cercle si et seulement si $OM_{3}=OM$ c'est-à-dire (d'après la question 2d) si et seulement si
	$2MM'=OM$, ce qui équivaut bien à $MM'=\dfrac12 OM$.
	
	Le triangle $OMM'$ est rectangle en $M'$; en effet $M'\in(OA)$ et $(MM')\perp(OA)$ (question 1), on a donc :

\[\sin\widehat{M'OM}=\dfrac{MM'}{OM}=\dfrac{\frac12OM}{OM}=\dfrac12.\]

On en déduit que $\widehat{M'OM}=\dfrac\pi6$.
%	Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ e t$M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre $O$ si et seulement si $MM'=\dfrac12OM$. \\
%	Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'OM}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%$\left(O;\vect{u},\vect{v}\right)$ est un  repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1~cm).\\
%On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+i$.\\
%On note $S_{1}$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $\left(O;\vect{u}\right)$ et $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport 3.\\
%On pose $s=h\circ S_{1}$.\\
%\medskip
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Voir figure~2.
	\begin{figure}[hb]\label{fig2}
		\caption{exercice 2 (spécialité)}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\scriptsize{
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.54,-5.195)(11.061,10.795)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.54,-5.195)(11.061,10.795)
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=+,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=1.75pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-1.54,-5.195)(11.061,10.795)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linecolor=qqtttt](0,0)(3,-3)
\psline[linecolor=qqtttt](3,-3)(6,3)
\psline[linecolor=qqtttt](6,3)(0,0)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-1.54}{11.061}{(-3--2*x)/-1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-1.54}{11.061}{(-0-1*x)/2}
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-1.54}{11.061}{(-54--12*x)/6}
\psdots(0,0)
\rput[bl](-0.381,-0.415){$O$}
\rput[bl](0.836,-0.444){$\vect{u}$}
\rput[bl](-0.352,0.367){$\vect{v}$}
\psdots(0.996,1.018)
\rput[bl](1.125,1.178){$A$}
\psdots(3,-3)
\uput[-10](3,-3){$B$}
\psdots(2,-1)
\rput[bl](2.11,-0.821){$M$}
\psdots(6,3)
\uput[-45](6,3){$P$}
\psdots(9,9)
\uput[-45](9,9){$C$}
\end{pspicture*}
}
\end{center}
\end{figure}
%	Placer le point $A$ et compléter la figure au fur et à mesure.
\item $s$ est la composée d'une similitude indirecte ($S_{1})$ par une similitude directe ($h$), c'est donc une similitude indirecte.
%	Quelle est la nature de la transformation $s$~? Justifier.
\item $S_{1}$ a pour écriture complexe $z\mapsto\overline{z}$ et $h$ a pour écriture complexe $z\mapsto 3z$.

$s=h\circ S_{1}$ a donc pour écriture complexe $z\mapsto 3\overline{z}$.
%	Déterminer l'écriture complexe de la transformation $s$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $z_{B}=3\overline{z_{A}}=3(1-\text{i})=3-3\text{i}$.
%		Déterminer l'affixe $z_{B}$ du point $B$ image de $A$ par $s$.
		\item $-3\text{i}z_{A}=-3\text{i}(1+\text{i})=-3\text{i}-3\text{i}^2=3-3\text{i}=z_{B}$, ce qu'il fallait démontrer.
		
On a alors: $\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{B}-z_{O}}{z_{A}-z_{O}}\right)=
		\arg\left(\dfrac{z_{B}}{z_{A}}\right)
		=\arg(-3\text{i})=-\dfrac\pi2~(2\pi).$
%		Montrer que $z_{B}=-3iz_{A}$. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	$M$ a pour affixe $z_{M}=\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}=\dfrac{1+\text{i}+3-3\text{i}}{2}=2-\text{i}$.
	
$P$ a pour affixe $z_{P}=3\overline{z_{M}}=3(2+\text{i})=6+3\text{i}$.

On a $\vect{OP}(6~;~3)$ et $\vect{AB}(2~;~-4)$, donc
	$\vect{OP}\cdot\vect{AB}=6\times 2+3\times(-4)=12-12=0$, ce qui prouve bien que $(OP)\perp(AB)$.
%	Soient $M$ le milieu de $[AB]$ et $P$ l'image de $M$ par $s$. Montrer que la droite $(OP)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item $M$ est le milieu de $[AB]$, et une similitude conserve les milieux, donc
	$s(M)$ est le milieu de $[s(A)s(B)]$, autrement dit $P$ est le milieu de $[BC]$.
%	On pose $C=s(B)$. Montrer que $P$ est le milieu de $[BC]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $s\circ s$ a pour écriture complexe : $z'\mapsto 3\overline{(3\overline{z})}=9z$. On reconnaît l'écriture complexe de l'homothétie de centre $O$ et de rapport 9.
%		Déterminer l'écriture complexe de $s\circ s$ et en déduire sa nature.
		\item 
		$s(O)=O$ (calcul immédiat).
		
		$s(P)=s\circ s(M)$ or $s\circ s$ est une homothétie de centre $O$, donc les points $O$, $M$ et $s(P)$ sont alignés.
		
		L'image de la droite $(OP)$ par la similitude $s$ est la droite passant par $s(O)$ et $s(P)$; c'est donc la droite $(OM)$.
%		Montrer que l'image de la droite $(OP)$ par $s$ est la droite $(OM)$.
		\item On sait que $(BM)\perp(OP)$ d'après la question A5: $M$ appartient donc à la hauteur issue de $B$ dans le triangle $OBP$.
		
Une similitude  conserve l'orthogonalité donc $s((BM))\perp s((OP))$. Or
$s(B)=C$ et $s(M)=P$, et on a vu que $s((OP))=(OM)$, on a donc montré que $(BP)\perp(OM)$. On en déduit que $M$ appartient à la hauteur issue de $O$  dans le triangle $OBP$.

$M$ est donc l'orthocentre du triangle $OBP$.
%Que représente le point $M$ pour le triangle $OBP$~? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(O;\vect{i},\vect{j},\vect{k}\right)$. On considère les points $A(3,0,6)$ et $I(0,0,6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$.\\
%On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y+z-6=0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y-2z+12=0$.
\begin{enumerate}
\item Les plans $(P)$ et $(Q)$ ont pour vecteurs normaux respectifs $\vect{n}(0;2;1)$ et $\vect{n'}(0~;~1~;~-2)$. On a $\vect{n}\cdot\vect{n'}=0$, donc $\vect{n}\perp\vect{n'}$ et par suite, les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
%Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est une droite (plans perpendiculaires).

$A\in(P)$ car $2\times 0+6-6=0$ et $A\in(Q)$ car $0-12+12=0$, donc $A\in(P)\cap(Q)$ ;

on montre de la même façon que $I\in(P)\cap(Q)$.

Les points $A$ et $I$ étant distincts, la droite d'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est donc la droite $(AI)$, c'est-à-dire la droite $(D)$.
%Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$  est la droite $(D)$.
\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de l'espace. $M$ appartient à l'axe $\left(O~;~\vect{j}\right)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\ z&=&0\end{array}\right.$.

$M$ appartient à l'axe $\left(O~;~\vect{j}\right)$ et au plan $(P)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{ccl}x&=&0\\z&=&0\\2y+z-6&=&0\end{array}\right.$ c'est-à-dire si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\y&=&3\\z&=&0\end{array}\right.$. Le plan $(P)$ coupe donc l'axe $\left(O~;~\vect{j}\right)$ au point $B(0~;~3~;~0)$.

Un raisonnement analogue montre que le plan $(Q)$ coupe l'axe $\left(O~;~\vect{j}\right)$ en un  point $C(0~;~-12~;~0)$.

%Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$ et déterminer les coordonnées des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$.
\item On a $\vect{AC}(-3~;~-12~;~-6)$ donc le plan $(T)$ a une équation cartésienne de la forme :
$-3x-12y-6z+d=0$. Et $B(0~;~3~;~0)\in(T)$, donc $0-12\times 3-0+d=0$, d'où $d = 36$. Le plan $(T)$ a donc pour équation cartésienne $-3x - 12y- 6z+ 36 = 0$, ou encore, en simplifiant par $-3$: $x + 4y + 2z-12 = 0$.
%Démontrer qu'une équation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\vect{AC}$ est
%$$x+4y+2z-12=0.$$
\item La droite $(OA)$ passe par $O(0~;~0~;~0)$ et  a pour vecteur directeur $\vect{OA}(3~;~0~;~6)$. Une représentation paramétrique de $(OA)$ est donc: $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&3t\\y&=&0\qquad(t\in\mathbb{R})\\z&=&6t\end{array}\right.$.

Un point $M$ appartient à la droite $(OA)$ et au plan $(T)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $M(3t~;~0~;~6t)$ et $(3t)+4\times 0+2\times (6t)-12=0$, ce qui donne une unique valeur: $t=\dfrac45$. La droite $(OA)$ et le plan $(T)$ sont donc sécants en un point $H$ qui a pour coordonnées $\left(3\times\dfrac45~;~0~;~6\times\dfrac45\right)$, c'est-à-dire $H\left(\dfrac{12}{5}~;~0~;~\dfrac{24}{5}\right)$.
%Donner une représentation paramétrique de la droite $(OA)$.\\
%Démontrer que la droite $(OA)$ et le plan $(T)$ sont sécants en un point $H$ dont on déterminera les coordonnées.
\item Les points $B$ et $H$ appartiennent au plan $(T)$ qui a pour vecteur normal $\vect{OA}$, donc $(BH)\perp(AC)$: le point $H$ appartient à la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$.

$\vect{AH}\left(-\dfrac35~;~0;-\dfrac65\right)$ et $\vect{BC}(0~;~-15~;~0)$, donc $\vect{AH}\cdot\vect{BC}=0$ et $(AH) \perp (BC)$: le point $H$ 	appartient donc à la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.

Le point $H$ est donc l'orthocentre du triangle $ABC$.
 
%Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier.
\end{enumerate}
%\begin{center}
%\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
%\begin{pspicture}(-13,-2)(9,9)
%	\pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C}
%	\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B}
%	\pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I}
%	\pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K}
%	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I)
%	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I)
%	\pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A}
%	\psline(N)(C)
%	\psline[linestyle= dotted](C)(D)
%	\psline(D)(B)
%	\psline[linestyle= dotted](B)(G)
%	\psline(G)(R)
%	\psline(O)(J)
%	\psline[linestyle= dotted](J)(I)
%	\psline(I)(Q)
%	\psline(S)(T)
%	\psline(O)(P)
%	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X)
%	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y)
%	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z)
%	\psline(C)(A)
%	\psline[linestyle=dotted](A)(K)
%	\psline(K)(B)
%	\uput[-45](E){$(Q)$}
%	\uput[-45](H){$(P)$}
%	\uput[45](T){$(D)$}
%	\uput[45](P){\tiny$x$}
%	\uput[-45](R){\tiny$y$}
%	\uput[-45](Q){\tiny$z$}
%	\uput[180](X){$\tiny\vect{i}$}
%	\uput[135](Y){$\tiny\vect{j}$}
%	\uput[-135](Z){$\tiny\vect{z}$}
%	\psset{HomCoef=0.8}
%	\pstHomO[PosAngle=-45]{O}{A}{H}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
%\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse exacte aux questions 1 et 2 rapporte \nombre{0,5} point et à la question 3 rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève \nombre{0,25} point; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.\\[2ex]
%}
Notons:
\begin{itemize}
\item $S1$ (respectivement $S2$) l'évènement \og la pièce est fabriquée par le sous-traitant S1(resp. S2) \fg;
\item $P1$ (respectivement $P2$) l'évènement \og la pièce est du type P1 (resp. P2) \fg.
\end{itemize}
D'après les indications de l'énoncé on a déjà:
$$p_{P1}(S1)=0,\!8\qquad p_{P1}(S2)=0,\!2\qquad p_{P2}(S1)=0,\!4\qquad p_{P2}(S2)=0,\!6.$$
%On s'intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d'une boîte de vitesses automatique.\\
%Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte.\\
%L'usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2.\\
%Le sous-traitant S1 produit 80~\% des pièces de type P1 et 40~\% de pièces de type P2.\\
%Le sous-traitant S2 produit 20~\% des pièces de type P1 et 60~\% de pièces de type P2.

\begin{enumerate}
\item
%Un employé de l'usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type.\\
%Il tire une pièce au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item Il y a autant de pièces de chaque type donc $p(P1)=0,\!5$.
%La probabilité que ce soit une pièce P1 est
%$$\nombre{0,8}\qquad\qquad\nombre{0,5}\qquad\qquad\nombre{0,2}\qquad\qquad\nombre{0,4}\qquad\qquad\nombre{0,6}$$
		\item La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu'elle vienne de S1 est: $p(P1\cap S1)=p_{P1}(S1)\times p(P1)=0,\!8\times0,\!5=0,\!4.$
%$$\nombre{0,1}\qquad\qquad\nombre{0,2}\qquad\qquad\nombre{0,3}\qquad\qquad\nombre{0,4}\qquad\qquad\nombre{0,5}$$
		\item La probabilité qu'elle vienne de S1 est, d'après la formule des probabilités totales:
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
$$p(S1)=p(S1\cap P1)+p(S2\cap P2)=p_{P1}(S1)\times p(P1)+p_{P2}(S1)\times p(P2)=0,\!8\times0,\!5+0,\!4\times0,\!5=0,\!6.$$
%$$\nombre{0,2}\qquad\qquad\nombre{0,4}\qquad\qquad\nombre{0,5}\qquad\qquad\nombre{0,6}\qquad\qquad\nombre{0,8}$$

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Il y a 200 pièces au total, soit 100 P1 et 100 P2. Cette fois l'employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables. Il y a donc $\binom{200}{2}$ tirages possibles.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que ce soit deux pièces P1 est: 

\[\dfrac{\binom{100}{2}}{\binom{200}{2}}=\dfrac{\frac{200\times 199}{2\times 1}}{\frac{100\times 99}{2\times 1}}\simeq \np{0,2487}.\]

%$${0,\!1588}\qquad\qquad {0,\!2487}\qquad\qquad {0,\!1683}\qquad\qquad {0,\!0095}$$
		\item La probabilité que ce soit deux pièces, l'une P1  et l'autre P2, est:

\[\dfrac{\binom{100}{1}\times\binom{100}{1}}{\binom{200}{2}}=\dfrac{100\times 100}{\frac{200\times 199}{2\times 1}}\simeq \np{0,5025}.\]

%$$ {0,\!5000}\qquad\qquad {0,\!2513}\qquad\qquad {0,\!5025}$$
		\item Il y a $0,\!6\times 200 = 120$ pièces fabriquées par le sous-traitant S1 et donc $200 - 120 = 80$ pièces fabriquées par S2.
La probabilité que les deux pièces choisies soient fabriquées par le même fournisseur est :

\[\dfrac{\binom{120}{2}}{\binom{200}{2}}+\dfrac{\binom{80}{2}}{\binom{200}{2}}=\dfrac{120\times 119}{200\times 199}+\dfrac{80\times 79}{200\times 199}=\dfrac{103}{199}.\]
 
%$$\frac{357}{995}\qquad\qquad \dfrac{103}{199}\qquad\qquad \dfrac{158}{995}$$
	\end{enumerate}
\item D'après le tableau la durée de vie d'une pièce P1 fabriquée par S1 est $0,\!2$. La probabilité que cette durée de vie soit inférieure à 5 ans est donc:

\[p(X\leqslant 5) = \int_{0}^50,\!2\text{e}^{-0,\!2t}\text{d}t=\left[-\text{e}^{-0,\!2t}\right]_{0}^5 = 1 - \text{e}^{-0,\!2\times 5} = 1 - \text{e}^{-1}\simeq \np{0,6321}.\]

%La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre $\lambda$ est donné dans le tableau suivant:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|}
%\hline
%$\lambda$ & P1 & P2 \\
%\hline
%S1 & \nombre{0,2} & \nombre{0,25}\\
%\hline
%S2 & \nombre{0,1} & \nombre{0,125}\\
%\hline
%\end{tabular}
%%\end{center}
%On rappelle que si $X$, durée de vie d'une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^t\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{d}x$.\\
%Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est:
%$$ 0,\!3679\qquad\qquad 0,\!6321$$
\end{enumerate}

\begin{figure}[hb]
\caption{Annexe (à rendre avec la copie)}
\footnotesize{
\psset{xunit=2.5cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.7)(4.56,1.93)
\pscustom[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,fillcolor= lightgray,fillstyle=transp,transpalpha=0.1]{\psplot{1}{3}{-x^2/2+2*x-3/2}\lineto(3,0)\lineto(1,0)\closepath}
\pscustom[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,fillcolor= lightgray,fillstyle=transp,transpalpha=0.1]{\psplot{3}{4}{-x^2/2+2*x-3/2}\lineto(4,0)\lineto(3,0)\closepath}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,]{1.0}{4.0}{ln(x)}
\psplot[linecolor=darkgray,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,]{1.0}{4.0}{-x^2/2+2*x-3/2}
\psline(4,-1.75)(4,1.93)
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-0.5,-1.8)(4.56,1.93)
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(1,1)
\rput[tl](4.36,-0.02){$x$}
\rput[tl](-0.19,1.87){$y$}
\rput[bl](0.48,-0.19){$\vect{i}$}
\rput[bl](0.04,0.56){$\vect{j}$}
\uput[-135](0,0){$O$}
\end{pspicture*}}
\end{figure}
\end{document}