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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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%: commandes à mézigue
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30  mai 2014}
\pagestyle{fancy}
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%\pagestyle{empty}
\parindent=0cm


\begin{center}
{ \textbf{\Large  \decofourleft~Corrigé du baccalauréat S --  Antilles-Guyane juin 2014~\decofourright}
}
\end{center}

%\cfoot{\textsc{19 juin 2014} -- Corrigé du baccalauréat S --  Antilles-Guyane}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré est le suivant:
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=25mm,treesep=8mm}
\pstree[treemode=R]{\Tp}
{
\pstree
{\Tr{$J$}\taput{\small $0,85$}}
{
\Tr{$C$}\taput{\small $0,80$}
\Tr{$\overline{C}$}\tbput{\small $0,20$}
}
\pstree
{\Tr{$\overline{J}$}\tbput{\small $0,15$}}
{
\Tr{$C$}\taput{\small $0,10$}
\Tr{$\overline{C}$}\tbput{\small $0,90$}
}
}
\end{center}
\item D'après l'arbre:
\[
p\left(\overline{J}\cap C\right)=\np{0,15}\times\np{0,10}=\np{0,015}.
\]

\item $J$ et $\overline{J}$ formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne:
\[
p(C)=p\left(\overline{J}\cap C\right)+p(J\cap C)=\np{0,015}+\np{0,85}\times\np{0,80}=\np{0,695}.
\]
\item Il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle:
\[
p_C\left(\overline{J}\right)=\dfrac{p\left(\overline{J}\cap C\right)}{p(C)}=\dfrac{\np{0,015}}{\np{0,695}}\approx\np{0,0216}.
\]
\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice: $p(87\leqslant X\leqslant 89)\approx\np{0,2417}$.
\item De même $p(X\geqslant 91) \approx \np{0,3085}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item L'échantillon est de taille $n=120$. L'hypothèse formulée  est que la probabilité $p$ qu'une huître possède une masse supérieure à 91~g est $p=\np{0,60}$. On a alors:
\begin{itemize}
\item $n\geqslant 30$;
\item $np=72\geqslant 5$;
\item $n(1-p)=48\geqslant 5$.
\end{itemize}
Les trois conditions pour utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% sont réalisées, et cet intervalle $I$ est donné par:
\[
I=\left[
p-\np{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+\np{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}
\right]
=[\np{0,5123}~;~\np{0,6877}]
\]
\item La fréquence observée d'huîtres pesant plus de 91~g est $F=\dfrac{65}{120}\approx\np{0,5417}$. \\On a $F\in I$, l'hypothèse selon laquelle $p=\np{0,60}$ ne peut être rejetée.
\end{enumerate}



\pagebreak


%: Ex 2 6 points, commun
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $g$ est dérivable sur $\R$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et pour tout réel $x$: $g'(x)=-1+\e^{x}$. On a alors $g'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \e^x\geqslant 1\Leftrightarrow x\geqslant 0$. Le tableau de variations de $g$ est donc:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & &0& &$+\infty$ \\
\hline
$g'(x)$&&$-$&0&$+$&\\
\hline
 &\rnode{a}{}& & & &\rnode{c}{}\\
$g$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{2}& &\\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center}
On déduit du tableau précédent que, pour tout réel $x$, $g(x)\geqslant 2>0$.
\item \textbf{Étude en $-\infty$}.\\
 $\limi{x}{-\infty}(x+1)=-\infty$ et $\limi{x}{-\infty}\dfrac{x}{\e^x}=-\infty$ donc, par somme: $\limi{x}{-\infty}f(x)=-\infty$.\\
 \textbf{Étude en $+\infty$}.\\
 $\limi{x}{+\infty}(x+1)=+\infty$ et, par croissances comparées $\limi{x}{+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0$, donc, par somme $\limi{x}{+\infty}f(x)=+\infty$.
 \item Pour tout réel $x$, on a:
 \begin{eqnarray*}
 f'(x)&=&1+\dfrac{1\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2}\\
 &=&1+\dfrac{\e^x(1-x)}{\e^x\times\e^x}\\
 &=&1+\dfrac{1-x}{\e^x}\\
 &=&\dfrac{\e^x+1-x}{\e^x}\\
 &=&\e^{-x}g(x).
 \end{eqnarray*}
\item  On a vu plus haut que, pour tout réel $x$, $g(x)>0$, et comme  par ailleurs $\e^{-x}>0$, on en déduit que $f'(x)>0$. On obtient alors le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $- \infty$ &\qquad\qquad&$+ \infty$\\
\hline
$f'(x)$& &$+$& \\
\hline
& & &\rnode{b}{$+ \infty$}\\
$f$& & & \\
&\rnode{a}{$- \infty$}& &\\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\end{center}
\item La fonction $f$ est continue sur $\R$, strictement croissante. D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'intervalle $\R$ a pour image $\R$, ce dernier intervalle contenant 0, on en déduit que l'équation $f(x) = 0$ possède dans $\R$ une solution $\alpha$ unique.

Par ailleurs, $f(- 1) = - \e^{-1}< 0$ et $f(0) = 1 > 0$, donc: $- 1 <\alpha < 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La tangente $T$ a pour équation réduite:

\[y = f'(0)(x - 0) + f(0) \Leftrightarrow y = 2x+1.\]

		\item Posons, pour tout réel $x$, $k(x) = f(x) - (2x + 1)$, alors :

\begin{eqnarray*}
k(x)&=&x+1+\dfrac{x}{\e^x}-(2x+1)\\
&=&\dfrac{x}{\e^x}-x\\
&=&\dfrac{x}{\e^x}\left(1-\e^x\right).
\end{eqnarray*}

Dressons alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ 	& $-\infty$ &\qquad	&0	&\qquad	&$+ \infty$\\\hline
$x$ 	&			&$-$	&0	&$+$	&\\\hline
$1-\e^x$&			&$+$	&0	&$-$	&\\\hline
$k(x)$	&			&$-$	&0	&$-$	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On en déduit que $\mathcal{C}$ est située en dessous de $T$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$:
\[
H'(x)=-\e^{-x}+(-x-1)\left(-\e^{-x}\right)=\e^{-x}(x+1-1)=x\e^{-x}=h(x),
\]
la fonction $H$ est donc une primitive de $h$ sur $\R$.
\item Sur $[1~;~3]$, $\mathcal{C}$ est en dessous de $T$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ est donc:
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}&=&\int_3^4\left((2x+1)-f(x)\right)\text{d}x\\
&=&\int_1^3x-h(x)\text{d}x\\
&=&\left[\dfrac{x^2}{2}-H(x)\right]_1^3\\
&=&4+4\e^{-3}-2\e^{-1}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La proposition est \textbf{fausse}; en effet, on a:
$\vect{AB}(-2~;~4~;~-1)$ et $\vect{AC}(6~;~-12~;~3)$, ces deux vecteurs sont colinéaires (car $\vect{AC}=-3\vect{AB}$), donc les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et ne définissent pas un plan.
 \item La proposition est \textbf{vraie} car on vérifie aisément que les coordonnées de chacun des points $A$, $B$ et $D$ vérifient l'équation $x-2z+9=0$.
\item La proposition est \textbf{fausse}: la droite dont la représentation paramétrique est donnée dans l'énoncé est dirigée par le vecteur $\vect{u}\left(\frac32~;~-3~;~-\frac32\right)$, ce vecteur n'étant pas colinéaire à $\vect{AC}$, il ne peut diriger $(AC)$.
\item  La proposition est \textbf{fausse}: le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n}(2~;~-1~;~5)$, le plan $\mathcal{P}'$ a pour vecteur normal $\vect{n}'(-3~;~-1~;~1)$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les deux plans ne sont pas parallèles.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, on obtient les valeurs suivantes:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
$u_n$ & 2 & \np{3,4} & \np{2,18} & \np{1,19} & \np{0,61} & \np{0,31} & \np{0,16} & \np{0,08} & \np{0,04} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Au vu du tableau précédent, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété: \og $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n$\fg{}. Montrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.} On a $u_1=\np{3,4}$ et $\frac{15}{4}\times\np{0,5}=\np{1,875}$, donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité.} Soit $n$ entier naturel  non nul, et  $\mathcal{P}(n)$  vraie, c'est-à-dire que:
\begin{equation}
\tag{HR}
u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^k
\end{equation}
on doit alors démontrer que la propriété $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire que

$u_{n+1}\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^{n+1}$.

D'après (HR):
\begin{eqnarray*}
u_n&\geqslant&\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n\qquad\text{donc, en multipliant par }\frac15:\\
\frac15u_n&\geqslant&\frac34\times\np{0,5}^n\qquad\text{ puis, en ajoutant membre à membre }3\times\np{0,5}^n:\\
\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n&\geqslant&\frac34\times\np{0,5}^n+3\times\np{0,5}^n\qquad\text{ c'est-à-dire:}\\
u_{n+1}&\geqslant&\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n
\end{eqnarray*}
Or, pour tout entier naturel $n$, $\np{0,5}^n\geqslant\np{0,5}^{n+1}$, on en déduit donc que:

\[u_{n+1}\geqslant \dfrac{15}{4}\times\np{0,5}^{n+1}\]

et la propriété $\mathcal{P}(n)$ est donc héréditaire.

La propriété est vraie 1 et si elle est vraie à un rang non nul, $n$ elle est vraie au range suivant $n + 1$.

On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel non nul $u_{n}\geqslant \dfrac{15}{4}\times\np{0,5}^{n}$.
\item \textbf{Conclusion.} La propriété $\mathcal{P}(n)$ est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{itemize}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul:
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n&=&\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n-u_n\\
&=&3\times\np{0,5}^n-\frac45u_n\\
&=&\frac45\left(\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n-u_n \right)\\
\end{eqnarray*}
D'après la question 1a, cela entraîne que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.
\item D'après la question précédente la suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. D'après 2a, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geqslant\frac{15}{4}\times\np{0,5}^n>0$, la suite est donc minorée. On en déduit, d'après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\in\N$, alors:
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}&=&u_{n+1}-10\times\np{0,5}^{n+1}\\
&=&\frac15u_n+3\times\np{0,5}^n-10\times\np{0,5}\times\np{0,5}^n\\
&=&\frac15u_n-2\times\np{0,5}^n\\
&=&\frac15\left(u_n-10\times\np{0,5}^n\right)\\
&=&\frac15v_n.
\end{eqnarray*}
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\frac15$.\\
Son premier terme vaut $v_0=u_0-10\times\np{0,5}^0=2-10=-8$.
\item La suite $\left(v_n\right)$ étant géométrique, on a, pour tout entier naturel $n$: $v_n=-8\left(\frac15\right)^n$.\\
On en déduit que $-8\times\left(\frac15\right)^n=u_n-10\times\np{0,5}^n$ et donc que: $u_n=-8\times\left(\frac15\right)^n+10\times\np{0,5}^n$.
		\item $-1 < \frac15 < 1$, donc $\limi{n}{+\infty}\left(\frac15\right)^n = 0$, de même: $- 1 < \np{0,5} < 1$, donc $\limi{n}{+\infty}\np{0,5}^n = 0$.

On en déduit par opérations sur les limites que $\limi{n}{+\infty}u_n = 0$.
	\end{enumerate}
\item L'algorithme complet est:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{10cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Entrée:} & $n$ et $u$ sont des nombres\\
\textbf{Initialisation:} & $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\
\textbf{Traitement:} & Tant que $u > \np{0,01}$\hfill~~\qquad(1)\\
&\phantom{XXX} $n$ prend la valeur $n+1$\hfill~~\qquad(2)\\
&\phantom{XXX} $u$ prend la valeur $\frac15u+3\times\np{0,5}^{n-1}$\hfill~~\qquad(3)\\
&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie:} & Afficher $n$
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}

\end{enumerate}



\vspace{2cm}



%: Ex 4 5 points, spécialité
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
$x$ et $y$ sont des entiers naturels tels que $24x+45y=438$, par conséquent:
\begin{itemize}
\item $24x\leqslant 438$ d'où $x\leqslant\dfrac{438}{24}=\np{18,25}$, donc $x\leqslant 18$ ;
\item $45y\leqslant 438$ d'où $y\leqslant\dfrac{438}{45}\approx\np{9,73}$, donc $y\leqslant 9$.
\end{itemize}
\item Voici l'algorithme complété:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Entrée:} & $x$ et $y$ sont des nombres\\
\textbf{Traitement:} & Pour $x$ variant de $0$ à 18\hfill~~(1)\\
&\phantom{XXX} Pour $y$ variant de 0 à  9\hfill~~(2)\\
&\phantom{XXXXXX} Si $24x + 45y = 438$\hfill~~(3)\\
&\phantom{XXXXXXXXX}Afficher $x$ et $y$\\
&\phantom{XXXXXX}Fin Si\\
&\phantom{XXX}Fin Pour\\
&Fin Pour\\
\textbf{Fin traitement}
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}
\item Le coût total de réservation étant de 438~\texteuro{}, et 438 étant égal à $146\times 3$, ce montant est multiple de 3~!
\item
\begin{enumerate}
\item Les entiers 8 et 15 étant premiers entre eux, le théorème de Bézout entraîne l'existence d'un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs tels que $8x + 15y = 1$.
\item On a de façon évidente $8 \times 2 + 15\times (- 1) = 1$, le couple $(2~;~-1)$ est donc une solution particulière.
\item On a $8 \times 2 + 15 \times (- 1) = 1$, donc, en multipliant par $146$ :

\[8\times 292 + 15\times(- 146) = 146.\]

Soit $(x~;~y)$ un autre couple solution de (E), alors:
\begin{equation}
\tag{1}
8x + 15y = 8\times 292 + 15\times(- 146) \Longleftrightarrow 8(x - 292) = 15(-y - 146).
\end{equation}
15 et 8 sont premiers entre eux et 15 divise $8(x - 292)$, donc, d'après le théorème de Gauss, 15 divise $x - 292$.

Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x - 292 =  15k \iff x = 292 + 15k$. La relation (1) entraîne alors que $8\times 15k = 15(- y - 146)$, d'où $y = - 146 - 8k$.
 
Les couples solutions sont donc de la forme $(292 + 15k~;~- 146 - 8k)$.
 
Réciproquement, de tels couples sont bien solutions de (E) car:

 \[ 8(292 + 15k) + 15(- 146 - 8k) =146. \]
 
L'ensemble des solutions de (E) est donc $\big\{(292+15k~;~-146-8k)\text{ où }k\in\Z\big\}$. 
 \end{enumerate}
 \item Soit $x$ et $y$ le nombre de nuitées passées respectivement dans les hébergements A et B, alors 
$24x + 45y = 438\Leftrightarrow 8x + 15y = 146$. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x = 292+15k$, et par ailleurs $x\geqslant 0$ et $x\leqslant 13$, d'où :

\[0\leqslant 292 + 15k\leqslant 13 \Longleftrightarrow - \dfrac{292}{15}\leqslant k\leqslant-\dfrac{279}{15}.\]

Comme  $- \dfrac{292}{15}\approx\np{- 19,47}$ et $-\dfrac{279}{15}=\np{- 18,6}$,  la seule possibilité est que $k = - 19$.

On en déduit que $x=292+15\times(-19)=7$ et que $y= - 146 - 8\times(- 19) = 6$.\\
Ce randonneur a donc passé 7 nuits en hébergement A et 6 nuits en hébergement B.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}