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% Tapuscrit Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane }}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat S Antilles--Guyane~\decofourright\\
juin 2003}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La rotation de centre A qui transforme O en A$_{2}$ a pour angle $\dfrac{\pi}{2}$ Son écriture complexe est de la forme : $z' -  (3 + 2\text{i}) = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} [z -  (3 + 2\text{i})]$.
		
Avec  $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = \text{i}$, on obtient $z' = 3 + 2\text{i} + \text{i}z - 3\text{i}  + 2 \iff z' = \text{i}z + 5 - \text{i}$.

En particulier  $z_{\text{A}_{2}} = 5 - \text{i}$.

Le centre I du carré OA$_{1}$A$_{2}$A est le milieu du segment [OA$_{2}$] , donc 

$z_{\text{I}} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.
		\item La rotation de centre B qui transforme O en B$_{1}$ a pour angle $- \dfrac{\pi}{2}$. Son écriture
complexe est de la forme :

$z' - (- 1 + 4\text{i}) = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}
 [z - (-1 + 4\text{i})]$ ; comme $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} = - \text{i}$, l'égalité précédente s'écrit $z' - (- 1 + 4\text{i}) = -\text{i}[z - (-1 + 4\text{i})] \iff z' = - 1 + 4\text{i} - \text{i}z - \text{i} - 4 \iff\\ z' = - \text{i}z - 5 + 3\text{i}$.
 
En particulier $z_{\text{B}_{1}} = - 5 + 3\text{i}$.

Donc le centre   J du carré OBB$_{1}$B$_{2}$ est le milieu du segment [OB$_{1}$], et par conséquent  $z_{\text{J}} = - \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item $z_{\text{K}} = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{B}}}{2} = 1 + 3\text{i}$.\\
KI $= \left|z_{\text{I}} - z_{\text{K}}\right| = \left|\dfrac{3}{2} - \dfrac{7}{2}\text{i}  \right| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\dfrac{58}{4}} = \dfrac{\sqrt{58}}{2}$.

KJ $= \left|z_{\text{J}} - z_{\text{K}}\right| = \left|-\dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}  \right| = \dfrac{\sqrt{58}}{2}$.

$\left(\vect{\text{KI}},~\vect{\text{KJ}}\right) = \text{arg}\left( \dfrac{z_{\text{J}} - z_{\text{K}}}{z_{\text{I}} - z_{\text{K}}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{-\dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}}{\dfrac{3}{2} - \dfrac{7}{2}\text{i}}  \right) = \text{arg}\left(- \text{i}\dfrac{-\dfrac{7}{2}\text{i} + \dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2} - \dfrac{7}{2}\text{i}} \right) = \text{arg}(- \text{i}) = - \dfrac{\pi}{2}$ (à $2\pi$ près).

Conclusion :  le triangle IKJ est isocèle rectangle en K.
\end{enumerate}

\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{unit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.9,-4.12)(5.9,5.3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(-5.9,-4.12)(5.9,5.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.9,-4.12)(5.9,5.3)
%\psline(0,0)(3,2)
\psline(3,2)(5,-1)
\psline(5,-1)(2,-3)
\psline(2,-3)(0,0)
\psline(0,0)(-1,4)
\psline(0,0)(-4,-1)
\psline(-1,4)(-5,3)
\psline(-5,3)(-4,-1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline[linestyle=dotted](-5,3)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](-4,-1)(-1,4)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(5,-1)
\psline[linestyle=dotted](3,2)(2,-3)
\psline(-1,4)(3,2)
\psline(-2.5,1.5)(1,3)
\psline(1,3)(2.5,-0.5)
\psdots[linecolor=blue](3,2)
\rput[bl](3.05,2.09){\blue{A}}
\psdots[linecolor=blue](-1,4)
\rput[bl](-0.94,4.08){\blue{B}}
\psdots[linecolor=blue](5,-1)
\psdots[linecolor=blue](2,-3)
\rput[bl](2.15,-3.11){\blue{A$_1$}}
\psdots[linecolor=blue](5,-1)
\rput[bl](5.06,-0.91){\blue{A$_2$}}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.05,0.08){\blue{O}}
\psdots[linecolor=blue](-4,-1)
\uput[dr](-4,-1){\blue{B$_2$}}
\psdots[linecolor=blue](-5,3)
\rput[bl](-4.94,3.08){\blue{B$_1$}}
\psdots[linecolor=blue](5,-1)
\psdots[linecolor=xdxdff](1,0)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots[linecolor=xdxdff](0,1)
\psdots[linecolor=blue](2.5,-0.5)
\rput[bl](2.55,-0.41){\blue{I}}
\psline(2.5,-0.5)(-2.5,1.5)
\psdots[linecolor=blue](-2.5,1.5)
\uput[u](-2.5,1.5){\blue{J}}
\psdots[linecolor=blue](1,3)
\rput[bl](1.06,3.08){\blue{K}}
\end{pspicture*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats qui n'ont pas suivi l'enseignement de  spécialité}

\medskip
	
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  S l'évènement \og  la pièce présente un défaut de soudure \fg
\item  C l'évènement \og la pièce présente un défaut de composant électronique \fg
\item  D l'évènement \og la pièce est défectueuse \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Les évènements S et C sont indépendants, donc :

\[p(\text{S} \cap  \text{C})  = p(\text{S}) \times p(\text{C}) \]

et comme D = S $\cup$ C,~$p(\text{D}) = p(\text{S}) + p(\text{C} - p(\text{S}\cap\text{C}) = 0,03 + 0,02 - 0,03 \times 0,02 =  \np{0,0494}$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La loi de X est une loi binomiale de paramètres $n = 800$ et $p = \np{0,0494}$.
		
On a pour tout entier $k \in [0~;~800],\\p(X = k) = \binom{800}{k}(\np{0,0494})^k(1 - \np{0,0494})^{800 - k}$. 
		\item E(X) $= n \times p = 800 \times \np{0,0494} = 39,52$. Ceci représente  la moyenne  d'articles défectueux dans un  lot de 800.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note Y la variable aléatoire qui associe le nombre d'articles défectueux parmi les 25 commandés. Y suit une loi binomiale de paramètres $n = 25$ et $p = \np{0,0494}$.D'où :
		
$p(Y > 2) = 1 - p(Y = 0)-p(Y = 1) - p(Y = 2)$

$= 1 - \np{0,0494}^0(1 - \np{0,0494})^25 - 25 \times \np{0,0494}^1 \times (1 - \np{0,0494})^24 - 300 \times \np{0,0494}^2 \times (1 - \np{0,0494})^{23}\approx \np{0,1237}$, soit :

$p(Y > 2) \approx 0,124$ à $10^{-3}$ près.
		\item On note Y$_{n}$ la variable aléatoire  associée au nombre d'articles défectueux parmi les $n$ commandés.

Y$_{n}$ suit  une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = \np{0,0494}$.
La probabilité d'avoir au moins un article défectueux est $1 - [1 - \np{0,0494}]^n = 1 - \np{0,9506}^n$. Le petit commerçant veut donc que :

$1 - \np{0,9506}^n \leqslant 0,5 \iff \np{0,9506}^n \geqslant 0,5 \iff n\ln \np{0,9506} \geqslant \ln 0,5 \iff$

$n \leqslant \dfrac{\ln 0,5}{\ln \np{0,9506}}\approx 13,6$ (car $\ln (0,5) < 0$).

Il devra donc commander au plus 13 articles.
	\end{enumerate}
\item  La variable aléatoire qui à tout article associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre $\np{0,0007}$. La densité de probabilité de cette variable est la fonction $f$ définie par :
 
\[f(x) = \np{0,0007}\text{e}^{- \np{0,0007}x}.\]

Donc : $p([700~;~\np{1000}]) = \displaystyle\int_{700}^{1000} \np{0,0007}\text{e}^{- \np{0,0007}x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{- \np{0,0007}x}\right]_{700}^{1000} \approx \np{0,11604}$.

La probabilité est donc d'environ $0,116$ à $10^{-3}$  près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats qui ont  suivi l'enseignement de  spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $(1 + \sqrt{6})^2 = 7 + 2\sqrt{6}~ ;$
		
$(1 + \sqrt{6})^4 = \left(7 + 2\sqrt{6} \right)^2 = 73 + 28\sqrt{6}~ ;$

$(1 + \sqrt{6})^6 = (1 + \sqrt{6})^2(1 + \sqrt{6})^4 = \left( 7 + 2\sqrt{6}\right) \left( 73 + 28\sqrt{6}\right) = 847 + 342\sqrt{6}$.
		\item  On a les divisions suivantes  :
		
\begin{equation*}
847 =2 \times 342 + 163\\
342 =2 \times 163 + 16\\
163 =10 \times 16 + 3\\
16 	=5 \times 3+ 1\\
\end{equation*}

L'avant dernier reste est égal à  1 ; donc   pgcd(847; 342) = 1 ou encore 847
et 342 sont premiers entre eux.

Autre méthode : en utilisant pgcd$(a~;~b) = \text{pgcd}(a - b)~;~b)$ ;

pgcd(847~;~342) = pgcd(505~;~342) = pgcd(163~;~302) = pgcd(163~;~139) = pgcd(24~;~139) = pgcd(24~;~19) = pgcd(5~;~19) = pgcd(5~;~4) = 1.
	\end{enumerate}
\item  Avec $n \in \N$ et avec $a_{n}$ et $b_{n}$ tels que :

\[\left(1 + \sqrt{6} \right)^n = a_{n} + b_{n}\sqrt{6} \]

on sait déjà (d'après la question 1. a.) que $a_{1} = 1~;~ b_{1} = 1~;~ a_{2} = 7 ~; ~b_{2} = 2~;~ a_{4} = 73 ~; ~b_{4} = 28 ~; ~ a_{6} = 847 ~;~ b_{6} = 342$.
	\begin{enumerate}
		\item On a d'une part $\left(1 + \sqrt{6} \right)^{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1}\sqrt{6}$ et également :
		
$\left(1 + \sqrt{6} \right)^{n+1} = \left(1 + \sqrt{6} \right)^{n}\left(1 + \sqrt{6}\right) = \left(a_{n} + b_{n}\sqrt{6}  \right)\left(1 + \sqrt{6}\right) =$

$ a_{n} + 6b_{n} + \left( a_{n} + b_{n} \right)\sqrt{6}$. Comme $a_{n} + 6b_{n} \in \N$ et $a_{n} + b_{n} \in \N$, on en déduit par identification que :

\[ \left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&a_{n}+ 6b_{n}\\
b_{n+1}&=&a_{n} + b_{n}\\
\end{array}\right. \]
		
		\item On a $a_{n+1} + b_{n+1} = 2a_{n} + 7b_{n} = 2\left( a_{n} + b_{n}\right) + 5b_{n}$.
		
Par contraposition, si  $5$  divise  $a_{n+1} + b_{n+1}$, alors 5 divise $a_{n+1} + b_{n+1} - 5b_{n}$ c'est-à-dire $2\left( a_{n} + b_{n}\right)$. Comme 5 est premier avec 2, 5 divise $a_{n} + b_{n}$.

Par contraposition : si 5 ne divise pas $a_{n} + b_{n}$, alors 5 ne divise pas $a_{n+1} + b_{n+1}$.

\emph{Démonstration par récurrence :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Initialisation : 5 ne divise pas $a_{1} + b_{1} = 2$  ; 
\item[$\bullet~$] Hérédité : on l'a démontrée juste au-dessus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Conclusion : quel que soit $n \in \N,~5$ ne divise pas $a_{n} + b_{n}$.
		\item Si pour $n \in \N$, $d$ est un diviseur premier de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$, alors $d$ divise $a_{n+1} - b_{n+1} = 5b_{n}.$
		
Or on vient de voir que $d \neq 5$, donc $d$ divise $b_{n}$. Mais il divise aussi $b_{n+1} - b_{n} = a_{n}$.
		
Mais d'après la question précédente, $a_{n}$ et $b_{n}$ sont premiers entre eux, donc $d = 1$, et $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont aussi premiers entre eux.
		
Comme au départ $a_{1}$ et $b_{1}$ sont premiers entre eux, on a démontré par récurrence que $a_{n}$ et $b_{n}$ sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $h$  somme et produit de fonctions dérivables est dérivable et $h'(x) - 2h(x) = 2\text{e}^{2x} + 4x\text{e}^{2x} - 4x\text{e}^{2x} - 2 = 2\text{e}^{2x} - 2 = 2 \left(\text{e}^{2x} - 1\right)$.

$h$ est bien une solution de (E).
\item  $y$ solution de (E)$\iff (z + h)' - 2 (z + h) = 2\left(\text{e}^{2x} - 1\right) \iff  z' -2z + h' - 2h =2\left(\text{e}^{2x} - 1\right) \iff z' -2z  = 0$ car $h$ est solution de (E).
 
Conclusion : $y$ solution de (E) si et seulement si  $z' - 2z = 0$.

On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions $x \longmapsto z(x) =  C\text{e}^{2x}$ avec $C \in \R$.

Finalement  $y = z + h$ est solution de (E) si et seulement si
$y = C\text{e}^{2x} + 2x\text{e}^{2x} + 1 =   y(x) = (C + 2x)\text{e}^{2x} + 1$.
\item  La solution $y$ de (E) telle que $y(0) = 0 \iff 0 = C + 1 \iff C = -1$.\\
Cette solution $g$ est donc définie par :
\[g(x) = (2x - 1)\text{e}^{2x}.  \]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = 2\text{e}^{2x} + 2(2x - 1)\text{e}^{2x} = 4x\text{e}^{2x}$ dont le signe est celui de $x$ puisque $\text{e}^{2x} > 0$, quel que soit le réel $x$. On en déduit le tableau de variations de $g$ :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)
\psline(2,0)(2,4)
\rput(1,3.5){$x$}  \rput(2.4,3.5){$- \infty$}  \rput(5,3.5){$0$}  \rput(7.5,3.5){$+ \infty$}  
\rput(1,2.5){$g'(x)$}  \rput(3.5,2.5){$-$}  \rput(5,2.5){$0$}  \rput(6.5,2.5){$+$}  
\rput(1,1){$g$}  \rput(5,0.2){$0$}
\psline{->}(2.3,1.8)(4.7,0.3) \psline{->}(5.3,0.3)(7.6,1.8)  
\end{pspicture}
\end{center}

D'après le tableau de variations de $g$ puisque $g(0) = 0$, cette dernière valeur est le minimum de la fonction et donc 
 pour tout $x \in \R,~g(x) \geqslant 0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $1 - g(x) \geqslant  0 \iff  g(x) \leqslant  1 \iff  (2x - 1)\text{e}^{2x} \leqslant 0$.

Or $\text{e}^{2x} > 0$ donc $1 - g(x) \geqslant  0 \iff  2x - 1 \leqslant  0 \iff x \leqslant  \dfrac{1}{2}$.

\[S = \left]- \infty~;~ \dfrac{1}{2}\right]\]

		\item  Calcul de I $ = \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - g(x))\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2x)\text{e}^{2x}\:\text{d}x$. On utilise  une intégration par parties en posant :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
u(x)	&=&1 - 2x\\
v'(x) 	&=& \text{e}^{2x}\\
\end{array}\right. \quad 
\begin{array}{l c l}
u'(x) &=& - 2\\
v(x) &=&\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\\
\end{array}$

Toutes ces fonctions étant continues sur l'intervalle d'intégration, 

I $ = \left[ \dfrac{1}{2}(1 - 2x)\text{e}^{2x} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 \times \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\:\text{d}x = 
\left[ \dfrac{1}{2}(1 - 2x)\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = $

$\left[ (1 - x)\text{e}^{2x}  \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$.
		\item La question a. montre  que la courbe représentative de $g$ est au
dessous de la droite d'équation $y = 1$ sur l'intervalle
$\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$. L'intégrale I est donc égale à l'aire , en unité d'aire de la surface comprise entre le graphe de $g$ la droite $y = 1$ et les droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = \frac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0_{(+)}$.
\item[$\bullet~$] On peut écrire $f(x) = 2 \dfrac{\text{e}^{2x} - \text{e}^{2\times 0}}{2x - 2\times 0}$. La limite de ce quotient lorsque $x $ tend vers $0$ est $2$. (car $\displaystyle\lim_{X \to 0} \dfrac{\text{e}^X - 1}{X} = 1$.)\\
\item[$\bullet~$] On écrit $f(x) = 2\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x} - \dfrac{1}{x}$. Or  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x}}{2x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$.\\
Finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\item La deuxième limite montre que l'axe des abscisses est asymptote au voisinage de moins l'infini de la courbe  représentative de $f$.
\item La fonction $f$ est dérivable (sauf en $0$) et $f'(x) = 
\dfrac{2x\text{e}^{2x} - \text{e}^{2x} + 1}{x^2} = \dfrac{(2x - 1)\text{e}^{2x} + 1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2} + \dfrac{1}{x^2}$. Or on a démontré que $g(x) \geqslant 0$, donc $\dfrac{g(x)}{x^2} > 0$ et $\dfrac{1}{x^2} > 0$, donc $f'(x) > 0$. Donc pour tout $x$ non nul, la dérivée $f'(x)$ est supérieure à zéro.

La fonction $f$ est donc (strictement) croissante sur les intervalles $]- \infty~;~0[$ et $]0~;~+ \infty[$.

On en déduit le tableau de variations suivant de $f$ :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)
\psline(2,0)(2,4) \psline(4.95,0)(4.95,3) \psline(5.05,0)(5.05,3) 
\rput(1,3.5){$x$}  \rput(2.4,3.5){$- \infty$}  \rput(5,3.5){$0$}  \rput(7.5,3.5){$+ \infty$}  
\rput(1,2.5){$f'(x)$}  \rput(3.5,2.5){$+$}    \rput(6.5,2.5){$+$}  
\rput(1,1){$f$}  \rput(2.15,0.2){$0$} \rput(4.8,1.8){$2$}
\rput(5.2,0.2){$2$}
\psline{->}(2.3,0.3)(4.7,1.8) \psline{->}(5.3,0.3)(7.6,1.8)  
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Tableau de valeurs :

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-2$& $-1,5$& $-1$& $-0,5$& $-0,2$& $-0,1$& $-0,05$& 0,05& 0,1& 0,2& 0,5& 1\\ \hline
$f(x)$& 0,49& 0,63& 0,86& 1,26& 1,65& 1,81& 1,90& 2,10& 2,21& 2,46& 3,44& 6,39\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

Courbe représentative de $f$ : attention, $f(0)$ n'existe pas.
\begin{center}
\psset{xunit=3.6cm,yunit=0.9cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.4)(1.01,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,0)(1.1,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,0)(1.1,6)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline(-1,0)(1,4) \uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{-0.1}{(2.718^(2*x)-1)/x}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=green,linewidth=1.25pt]{0.1}{0.99}{(2.718^(2*x)-1)/x}
\rput{30}(-0.025,1.95){]} \rput{30}(0.025,2.05){[} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}
\item  La fonction $f_{1}$ est définie sur $\R$ et continue car $\displaystyle\lim_{x \to 0}f_{1}(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = 2 = f_{1}(0)$. ($f_{1}$ est le prolongement par continuité de $f$ sur $\R$.)

Le graphe de $f_{1}$ est le même que celui de $f$ complété par le point (0~;~2). Donc la tangente en ce point aux deux graphes est la même. Graphiquement il semble que le coefficient directeur de cette tangente en (0~;~2) soit égal à $2$.

On peut donc supposer que $f'_{1}(0) = 2 = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f_{1}(x) - f_{1}(0)}{x - 0}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

En partant de  $-2 \leqslant  x \leqslant -1 \iff$ 

$-4 \leqslant  2x \leqslant -2 \iff$

$\text{e}^{-4} \leqslant \text{e}^{2x} \leqslant \text{e}^{-2}\quad (\text{la fonction exponentielle est croissante})$

$\text{e}^{-4} - 1 \leqslant \text{e}^{2x} - 1 \leqslant \text{e}^{-2} - 1 \iff$

$-\dfrac{\text{e}^{-2} - 1}{x} \leqslant \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{x} \leqslant \dfrac{\text{e}^{-4} - 1}{x}\quad (\text{car}~x~\text{est négatif})$

D'où avec la calculatrice :

$- \dfrac{0,86}{x} < \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{x} < - \dfrac{0,99}{x}$.

Les trois fonctions précédentes sont continues sur l'intervalle d'intégration ; les intégrales existent et :

\[\int_{-2}^{-1} - \dfrac{0,86}{x}\:\text{d}x < \text{J} < \int_{-2}^{-1} - \dfrac{0,99}{x}\:\text{d}x\]

soit \[ [-0,86\ln |x|]_{-2}^{-1} < \text{J} < [-0,99\ln |x|]_{-2}^{-1}. \]

Finalement :

\[0,59 < \text{J} <  0,69 \]

qui est bien un encadrement d'amplitude $0,1$.
\end{document}