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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S 
Antilles--Guyane~\decofourright\\juin 2005}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'affixe de $E'$ est $\dfrac{-1}{\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}}$. Mais $-1 = \text{e}^{-\text{i}\pi}$. Donc $E'$ a pour affixe $\text{e}^{-\text{i}\pi}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$. 

On sait que  $\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,donc l'affixe de $E'$ sous  forme algébrique  est $- \dfrac{1}{2} - \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\item $\mathcal{C}_1$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\theta }$, $\theta \in ]-\pi~;~\pi[$. L'image $M'$ de $M$ par $F$ a pour affixe  $\dfrac{-1}{\text{e}^{-\text{i}\theta }} = - \text{e}^{\text{i}\theta }$. Le point $M'$  est donc  le symétrique de $M$ autour de O. Conclusion :  l'image de $\mathcal{C}_1$ est le cercle $\mathcal{C}_1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'affixe de $K'$ est $\dfrac{-1}{2\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}} = - \dfrac{1}{2} \text{e}^{i\frac{5\pi}{6}}$. Comme ci-dessus $-1 = \text{e}^{-\text{i}\pi}$, donc  l'affixe de $K'$ est $\dfrac{1}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		\item K appartient à $\mathcal{C}_2$ qui  est l'ensemble des points $M$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta }$, $\theta \in ]-\pi~;~\pi[$. L'image $M'$ de $M$ par $F$ a pour affixe  $\dfrac{-1}{2\text{e}^{-\text{i}\theta }}$ soit $-\dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\theta }$. Le point $M'$  est donc comme l'image de $M$ dans l'homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{1}{4}$. Conclusion :  l'image de $\mathcal{C}_2$ est le cercle de centre O et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a  $z' + 1 = \dfrac{-1}{\overline{z}} + 1 = \dfrac{\overline{z} -1}{\overline{z}}$.

Ceci entraîne que  $|r' + 1| = \left|\dfrac{\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }} -1}{\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }}}\right|$. Or $\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }} = 1 + \text{e}^{-\text{i}\theta }$,

 \[|r' + 1| = \left|\dfrac{\text{e}^{-\text{i}\theta }} {\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }}}\right| = \dfrac{|\text{e} ^{-\text{i}\theta}|}{|\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }}|} = \dfrac{1}{|\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }}|} = \left|\dfrac{-1}{\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }}}\right|.\]
 
D'après la définition de $F$, $\dfrac{-1}{\overline{1 + \text{e}^{\text{i}\theta }}}$ est l'affixe de l'image du point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta }$. Conclusion :  $|r' + 1| = |r'|$.
		\item $r' + 1$ est l'affixe du vecteur $\vect{\text{B}R'}$ et $r'$ celle du vecteur $\vect{\text{O}R'}$. La relation $|r' + 1| = |r'|$ établie en \textbf{a.} signifie que $\left\|\vect{\text{B}R'}\right\| = \left\|\vect{\text{O}R'}\right\| $ donc que l'image $R'$ de $R$ est équidistante des points d'affixes $-1$ et $0$: $R'$ appartient par conséquent à la médiatrice de [OB].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 
                                      
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
%%% Correction proposée par Olivier Pontini -   
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $7^1 \equiv 7~(9)$ \qquad $7^2 \equiv 4~(9)$ \qquad $7^3 \equiv 1~(9)$.
		
Donc $7^4  \equiv 7~(9)$ \qquad $7^5 \equiv 4~(9)$ ...

Donc si $n \equiv 1~(3)$ alors $7^n \equiv 7~(9)$, si $n \equiv 2~(3)$ alors $7^n \equiv 4~(9)$ et si $n \equiv 0~(3)$ alors $7^n \equiv 1~(9)$. 
		%Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul $n$ le reste dans la division euclidienne par $9$ de $7^n$.
		\item $2005 \equiv 7~(9)$ donc $(2005)^{2005}\equiv 7^{2005}~(9)$.
		
Or $2005 \equiv 1~(3)$ donc $7^{2005}\equiv 7~(9)$ donc $(2005)^{2005}\equiv 7~(9)$.
		%Démontrer alors que $(2005)^{2005}\equiv 7~(9)$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n~$:
		
$(10)^n\equiv 1~(9)$.
		
\emph{Initialisation} : si $n = 1$, alors $10^1 \equiv 1~(9)$. La relation est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N, \: n \geqslant 1$ et supposons que  $(10)^p\equiv 1~(9)$. Alors 

$(10)^p \times 10 \equiv 10~(9)$ donc $(10)^{p+1}\equiv 1~(9)$.

La propriété est vraie pour $n=1$, elle est héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier $n$ non nul.
		\item %On désigne par $N$ un entier naturel écrit en base dix, on appelle $S$ la somme de ses chiffres.\\
%Démontrer la relation suivante : $N\equiv S~(9)$.
Soit $a_n ; a_{n-1} ; \dots ; a_1 ; a_0$ les chiffres de l'entier naturel $N$ écrit en base dix, avec $N = \overline{a_n  a_{n-1}  \dots  a_1  a_0}$.\\
$N = a_n \times 10^{n} + a_{n-1} \times 10^{n-1} +  \dots + a_1 \times 10 +  a_0$.

donc $N \equiv a_n \times 1 + a_{n-1} \times 1 +  \dots + a_1 \times 1 +  a_0 \equiv a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \equiv S ~ (9)$.
		\item %En déduire que $N$ est divisible par $9$ si et seulement si $S$ est divisible par $9$.
$N$ est divisible par $9 \Leftrightarrow N \equiv 0 ~ (9) \Leftrightarrow S \equiv 0 ~ (9) \Leftrightarrow S$ est divisible par $9$.
	\end{enumerate}
\item %On suppose que $A=(2005)^{2005}$ ; on désigne par :
	%\begin{itemize}
	%	\item $B$ la somme des chiffres de $A$ ;
	%	\item $C$ la somme des chiffres de $B$ ;
	%	\item $D$ la somme des chiffres de $C$.
	%\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer la relation suivante : $A\equiv D~(9)$.
D'après la question 2~(b), $A\equiv B~(9)$, $B\equiv C~(9)$, $C\equiv D~(9)$. Par transitivité de la relation d'équivalence, $A\equiv D~(9)$.
		\item  $2 005 < 10\,000$ donc $2 005^{2 005} < 10\,000^{2\,005}$ donc $A < 10^{4 \times 2\,005}$ soit$A < 10^{8\,020}$. Ceci prouve que que $A$ s'écrit en numération décimale avec au plus $8\,020$ chiffres.
		
Si chacun des chiffres de $A$ était 9, $B$ vaudrait $9 \times 8\,020 = 72\,180$. Donc $B\leqslant 72\,180$.
		\item %Démontrer que $C\leqslant 45$.
Comme $B\leqslant 72\,180$, alors $B$ s'écrit en numération décimale avec au plus $5$ chiffres.

Si chacun des chiffres de $B$ était 9, $C$ vaudrait $9 \times 5 = 45$. Donc $C\leqslant 45$.
		\item %En étudiant la liste des entiers inférieurs \`a $45$, déterminer un majorant de $D$ plus petit que $15$.
Parmi tous les entiers inférieurs ou égaux à $45$, celui qui a la plus grande somme de ses chiffres est $39$. Donc $D \leqslant 12$.
		\item %Démontrer que $D = 7$.
Comme $A\equiv D~(9)$ d'après la question 3~(a) et $A\equiv 7~(9)$ d'après la question 1.~b., alors $D\equiv 7~(9)$. Comme $0 < D \leqslant 12$, alors $D=7$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 
                                      
\textbf{\textsc{Exercice 1} (autre corrigé) \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a successivement $7^1 \equiv 7\ (9)$, $7^2 \equiv 4\ (9)$ et $7^3 \equiv 1\ (9)$. Donc :\\[0.3cm]
si $n\equiv 1\, (3)$ alors $7^n \equiv 7\ (9)$ ;

si $n\equiv 2\, (3)$ alors $7^n \equiv 4\ (9)$ ;
 
si $n\equiv 3\, (3)$ alors $7^n \equiv 1\ (9)$.
		\item $2005 \equiv 7\, (9)$ donc $(2005)^{2005} \equiv 7^{2005}\ (9)$.
		
Or $2005 \equiv 1\, (3)$. Donc, d'après le résultat du \textbf{a.} ci-dessus, $2005^{2005} \equiv 7\, (9)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $10 \equiv 1\, (9)$ donc, pour tout entier naturel $n$, $10^n \equiv 1 \, (9)$.
		\item Soit $N = \overline{a_n a_{n-1} \cdots a_1 a_0}$ un entier naturel écrit en base $10$.
		
On sait que $N= a_n\times 10^n + a_{n-1}\times 10^{n-1} + \cdots + a_1\times 10 + a_0$ et par suite que $S = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 + a_0 $.

D'après  \textbf{a.}, $a_p\times 10^p \equiv a_p\ (9)$. On a donc $N \equiv a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 + a_0\ (9)$.

Ou encore  $N \equiv S\, (9)$. 
		\item Il en résulte que, pour que $N$ soit divisible par $9$, il faut et il suffit que son reste dans la division par $9$, à savoir ici $S$, soit divisible par $9$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En appliquant \textbf{c.}  on obtient successivement :
		
$A \equiv B\, (9)$, $B \equiv \, C\ (9)$ et $C \equiv D\, (9)$ donc par transitivité $A \equiv D\, (9)$.
		\item $\np{2005} < 10^4$ donc $(\np{2005})^{\np{2005}} < 10^{4\times \np{2005}}$. Or  $4\times \np{2005} = \np{8020}$ et par suite $(\np{2005})^{\np{2005}} < 10^{\np{8020}}$. Donc  $A$ s'écrit en numération décimale avec au plus \np{8020} chiffres.
		
Le plus grand des nombres à \np{8020} chiffres est $\underbrace{999\cdots99}_{\np{8020}\ \text{fois le chiffre}\ 9}$ ; la somme de ses chiffres est alors égale à \np{8020}$\times 9 = \np{72180}$.

Sachant que $A < 10^{\np{8 020}}$ il en résulte donc que la somme des chiffres de $A$, soit $B$, est au plus égale à la somme des chiffres du plus grand nombre à \np{8020} chiffres. D'où $B \leqslant  \np{72180}$.
		\item De la même façon  $\np{72180} \leqslant \np{99999}$ montre que  la somme $C$ des chiffres de $B$ est inférieure à $9\times 5= 45$.
		\item En examinant les entiers inférieurs à $45$ on remarque que celui dont la somme des chiffres est la plus  grande est $39$, de somme de chiffres $12$. Donc $D \leqslant  12$.
		\item On sait que $A\equiv 7\, (9)$ et que $A \equiv D\, (9)$ d'où il résulte que $D \equiv 7\, (9)$.
		
Or le seul nombre inférieur à $12$ vérifiant cette condition  est $7$. Donc  

$D=7$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$ de $\N^*$ et pour tout $x$ de $[0~;~1]$ on a $x + n \in [n~;~n + 1]$ soit $n \leqslant n + x \leqslant n + 1$.

Inégalité de gauche : on a 

$(n + x)(n - x) = n^2 - x^2 \leqslant n^2$ (puisque $x^2 \geqslant 0$.

Soit $(n + x)(n - x) \leqslant n^2 \iff n - x \leqslant \dfrac{n^2}{n + x}, (\text{car} \: n + x > 0) \iff$

$\dfrac{n - x}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n + x} \iff \dfrac{1}{n} - \dfrac{x}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n + x}$.

Inégalité de  droite : pour tout $n$ de $\N^*$ et pour tout $x$ de $[0~;~1]$ on a 

$x + n \in [n~;~n + 1]$ soit $n \leqslant n + x \leqslant n + 1 \iff \dfrac{1}{n + 1} \leqslant \dfrac{1}{x + n} \leqslant \dfrac{1}{n}$ \:(rangement classique des inverses).

En regroupant : $\dfrac{1}{n} - \dfrac{x}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n + x} \leqslant \dfrac{1}{n}$
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x + n} \text{d}x = \Big{[}\ln(x + n)\Big{]}_0^1 = \ln(1 + n) - \ln n = \ln\left(\dfrac{n + 1}{n}\right)$.
		\item D'après \textbf{1.}, les termes \`a intégrer étant tous positifs
		  
\[\displaystyle\int_0^1 \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{x}{n^2} \right) \text{d}x \leqslant  \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x + n} \text{d}x \leqslant  \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{n} \text{d}x.\]

Soit $\left[\dfrac{x}{n}  - \dfrac{x^2}{2n^2}  \right]_{0}^1 \leqslant \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x + n} \text{d}x \leqslant \left[\dfrac{x}{n}  \right]_{0}^1$, soit finalement 

$\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} \leqslant \ln \left(\dfrac{n + 1}{n} \right)\leqslant \dfrac{1}{n}$.
	\end{enumerate}
\item $U(n +1) - U(n) = \dfrac{1}{n+1} + \ln n - \ln (n+1) = \dfrac{1}{n+1} - \left[ \ln (n+1) - \ln n \right]$. \\
Soit $ U(n + 1) - U(n) = \dfrac{1}{n+1} -  \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

En utilisant l'inégalité de gauche du \textbf{2. b.} :

$\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} \leqslant \ln \left(\dfrac{n + 1}{n} \right) \iff - \ln \left(\dfrac{n + 1}{n} \right) \leqslant \dfrac{1}{2n^2} - \dfrac{1}{n}$, donc 

$ U(n + 1) - U(n) \leqslant  \dfrac{1}{n+1}  + \dfrac{1}{2n^2} - \dfrac{1}{n}$.

Or $\dfrac{1}{n+1}  + \dfrac{1}{2n^2} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{2n^2  + n + 1 - 2n(n + 1}{2n(n + 1)} = \dfrac{2n^2  + n + 1 - 2n^2 - 2n}{2n(n + 1)} = \dfrac{1 - n}{2n(n + 1)}$.

Ce quotient est du signe du numérateur, or $n \geqslant 1 \iff 1 - n \leqslant 0$.

On a donc démontré que pour tout $n \geqslant 1,\: U(n + 1) - U(n) \leqslant 0$ : la suite est donc décroissante.
\item $V(n +1) - V(n) = \dfrac{1}{n+1} + \ln (n+1) - \ln (n+2) = \dfrac{1}{n+1} - \left[ \ln (n + 2) - \ln (n + 1) \right]$. 

Soit $ V(n+1) - V(n) = \dfrac{1}{n+1} -  \ln \left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)$.

Or il résulte de \textbf{2. b.} en remplaçant $n$ par $n + 1$   que $\ln \left(\dfrac{n + 2}{n + 1}\right) \leqslant \dfrac{1}{n+1}$.

Donc $V(n+1) - V(n) \geqslant  0$ :  la suite $V$ est  croissante.
\item $U(n) - V(n) = \ln (n+1) - \ln n = \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

Mais  $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow  + \infty } \dfrac{n+1}{n} = 1$ donc $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow   + \infty} \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right) = 0$. Par suite 

$\displaystyle \lim_{ n \rightarrow  + \infty } \left(U(n) - V(n) \right) = 0$.

Les suites $U$ et $V$ sont respectivement décroissante et croissante et
 
$\displaystyle \lim_{ n \rightarrow  + \infty } \left(U(n) - V(n) \right) = 0$ : elles  sont donc adjacentes, par conséquent elles convergent et ont la même limite $\gamma$.

$|U(n) - V(n)| \leqslant  10^{-2}$ si et seulement si $\ln \left(\dfrac{n+1}{n} \right) \leqslant 10^{-2}$, soit si et seulement si $ \dfrac{n+1}{n} \leqslant \text{e}^{0,01}$.

Or $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$. Donc $|U(n) - V(n)| \leqslant 10^{-2}$ si et seulement si $\dfrac{1}{n} \leqslant \text{e}^{0,01} - 1$ et par suite si et seulement si $n \geqslant  \dfrac{1}{\text{e}^{0,01}-1}$.

La calculatrice donne $\dfrac{1}{\text{e}^{0,01} - 1} \approx \np{99,5008}...$.

En prenant  $n \geqslant 100$ on est s\^ur que  $|U(n) - V(n)| \leqslant 10^{-2}$.

La calculatrice donne $U_{100} \approx 0,582$ et $V_{100} \approx 0,583$. De l'encadrement :

\[0,572 \leqslant \gamma \leqslant 0,583 \]
on en déduit que
 
\[\gamma= 0,58 ~\text{à}~10^{-2}~\text{près}\]
\end{enumerate}

\bigskip
                                      
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{b}
\item \textbf{c}
\item \textbf{c}
\item \textbf{c}
\item \textbf{b}
\item \textbf{a}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A.}] Soit $M$ un point quelconque du plan médiateur de [KL].

I est milieu du segment [KL] donc($M$I) est médiane relative au côté [KL] dans le triangle K$M$L.

La droite ($M$I), droite du plan perpendiculaire à la droite (KL) en I est donc perpendiculaire à (KL).  Donc ($M$I) est médiatrice du côté [KL] du triangle K$M$L.

Dans le triangle K$M$L, ($M$I) est médiane et médiatrice : ce triangle est donc isocèle de sommet $M$. Par suite $M$K = $M$L.

Le plan médiateur de [KL] apparaît donc bien comme l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L.

\emph{Autre méthode}

$M\text{K} = M\text{L} \iff M\text{K}^2 = M\text{L}^2 \iff M\text{K}^2 - M\text{L}^2 = 0 \iff $

$\left(\vect{M\text{K}} + \vect{M\text{L}}\right)\left(\vect{M\text{K}} - \vect{M\text{L}}\right) = 0 \iff
2\vect{M\text{I}} \cdot \vect{\text{LK}} = 0$.

Donc $M$ est équidistant de K et de L si et seulement si les vecteurs $\vect{M\text{I}}$  et $\vect{\text{LK}}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire si $M$ appartient au plan médiateur de [KL].

\textbf{B.}
\begin{enumerate}
\item Soit I le milieu de [AB]. Le point $M$ appartient au plan médiateur de [AB] si et seulement si $\vect{\text{I}M} \perp \vect{\text{AB}}$.

Comme  I $\left(3\,;\ 1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$, $\vect{\text{AB}}$ $(-2\,;\,2\,;\,5)$ et M$(x~;~y~;~z)$, une équation cartésienne du plan médiateur de [AB] est donc : $-2(x - 3) + 2(y - 1) + 5\left(z+ \dfrac{1}{2}\right) = 0 \iff -2x + 2y + 5z + \dfrac{13}{2} = 0 \iff 4x - 4y - 10z - 13 = 0$.

\item Les coordonnées du point commun aux trois plans  doivent constituer l'unique solution du système :

\begin{center}
$ (S) 
\begin{cases}
4x - 4 y - 10z -13 	& = 0~(1)\\
2x - 10y - 6z -7 	& = 0~(2)\\
3x - 3y + 2z - 5 	& = 0~(3)
\end{cases}
$
\end{center}
On ajoute à l'équation (1) multipliée par 3 l'équation (3) multipliée par $- 4$, pour obtenir :

\[ 12x - 12y -30z - 39 - 12x + 12y - 8z + 20 = 0 \iff - 19 = 38z \iff z = - \dfrac{1}{2}.\]

En remplaçant $z$ par cette valeur dans les équations (1) et (2), on obtient le système $2 \times 2$ suivant 
\begin{center}
$
\begin{cases}
4x - 4y & = 8\\
2x - 10y  & =4
\end{cases} \iff \begin{cases}
x - y & = 2\\
x - 5y&= 2
\end{cases}
$
\end{center}
qui donne aussitôt $y = 0$ par différence, puis $x = 2$.

Conclusion :  les coordonnées de E sont : $\left(2\,;\,0\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$.
\item D'après la partie A :
\begin{itemize}
\item EA = EB puisque E appartient au plan médiateur de [AB] ;
\item EB = EC puisque E appartient au plan médiateur de [BC] ;
\item EC = ED puisque E appartient au plan médiateur de [CD] ;
\end{itemize}
Donc  EA = EB = EC = ED.\\
Les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère de centre E.\\
Or $\vect{\text{EA}} \left(2~;~0~;~-\dfrac{5}{2}\right)$, donc EA$^2 = 4 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{41}{4}$.\\
 Le rayon de la sphère est donc égal à $\dfrac{\sqrt{41}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{document}