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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%% Tapuscrit : Patrick Baril
% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
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% usage \vect{AB}
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% Repère (O,i,j)
%usage : $\RE$ 
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% un autre repère (O;i,j)
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% un autre repère (O;u,v)
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\newcommand{\repereOij}{
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\newcommand{\repereOuv}{
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}

\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small juin 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~\blue Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\juin 2006 }}
\end{center}
\parindent=0cm

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée des connaissances}

\medskip

Soit $a$ un réel strictement positif et $f$ la fonction définie et dérivable sur 

I = $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x)= \ln (ax)-\ln (x),\: \text{alors}\]

 \[f'(x)=\frac{a}{ax}-\frac{1}{x}= \frac{1}{x} -\frac{1}{x} = 0.\]

Ainsi, $f$ est constante sur $]0~;~+\infty[$, mais:

$f(1)=\ln a -\ln 1=\ln a$, donc cette constante vaut $\ln a$. D'où :

\[\forall x \in I,~ f(x)=\ln a \iff \ln(ax)-\ln x =\ln a\]

c'est à dire :

\[\forall x \in I,~  \ln(ax)=\ln x+\ln a\]

\item Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

\[\ln\left(\frac1b\right)+\ln(b)=\ln\left(\frac1b\times b\right)=\ln(1)=0.\]

Donc $\ln\left(\dfrac1b\right)=-\ln(b)$. De plus,
 
\[\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \frac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\frac{1}{b}\right)=\ln a- \ln b\]

 \item On a $\np{0,69}\leqslant \ln 2\leqslant\np{0,70} \text{ et } \np{1,09}\leqslant\ln 3\leqslant\np{1,10}$,
donc

\[0,69+1,09 \leqslant \ln 2 + \ln 3 \leqslant 0,70+1,10 \iff 1,78 \leqslant \ln 6 \leqslant 1,80 \]
 
Ainsi $-1,80 \leqslant -\ln 6 \leqslant -1,78 \iff  -1,80 \leqslant \ln \left(\frac16\right) \leqslant -1,78$.
 
De plus, $\ln 8= \ln \left(2^3\right) = 3\ln 2$ donc 
$3\times \np{0,69}\leqslant \ln 8\leqslant 3 \times \np{0,70} \iff $

$2,07 \leqslant \ln 8\leqslant 2,1$.

Et $-2,1 \leqslant - \ln 8\leqslant - 2,07$. Ainsi $1,09 - 2,1 \leqslant \ln 3 - \ln 8\leqslant 1,10  -2,07 \iff$

$  -1,01 \leqslant \ln \left(\frac38\right) \leqslant - 0,97$.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $\text{e}^{2x}-3\text{e}^x-4=0$ admet dans $\R$ une solution (réponse b), car:

\[
\begin{array}{lll}
\text{e}^{2x}-3\text{e}^x-4=0 &\iff &
\left\lbrace
\begin{array}{l}
X=\text{e}^x\\
X^2-3X-4=0
\end{array}
\right.\\
&\iff &
\left\lbrace
\begin{array}{l}
X=\text{e}^x\\
X=-1 \text{ ou } X=4
\end{array}
\right.\\
&\iff &
\text{e}^x=-1 \text{ ou } \text{e}^x=4\\
&\iff &
x=\ln 4
\end{array}
\]
\item L'expression $-\text{e}^{-x}$ est toujours négative ( réponse b), car $\text{e}^{-x}$ est toujours positive.
\item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\text{e}^x-1}{\text{e}^x+2}=2$ (réponse c) car:
$$\frac{2\text{e}^x-1}{\text{e}^x+2}=\frac{\text{e}^x\left(2-1\text{e}^{-x}\right)}{\text{e}^x\left(1+2\text{e}^{-x}\right)}=\frac{2-1\text{e}^{-x}}{1+2\text{e}^{-x}} \text{ et } \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x}=0$$
\item L'équation différentielle $y=2y'-1$ a pour ensemble de solutions $x\mapsto k\text{e}^{\frac12x}-1$ avec $k\in \R$ (réponse c), car :
$$y=2y'-1 \iff y'=\frac12y+\frac12$$
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} }

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Alors:  

\[P(X\leqslant a)=\displaystyle\int_{0}^{a}\lambda\text{e}^{-\lambda t}\text{d}t=1-\text{e}^{-\lambda a}.\]

\begin{enumerate}
\item La probabilité $P(X\leqslant 1)$ s'interprète comme étant l'aire sous la courbe de la densité comprise entre les droites $x = 0$, $x = 1$ et $y = 0$.
\item Comme la densité de $X$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$, par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$, alors $f(0) = \lambda$.

Donc sur le graphique, le paramètre $\lambda$ est l'ordonnée du point de la courbe de $f$ d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On pose $\lambda=\np{1,5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(X\leqslant 1)=1-\text{e}^{-1,5\times 1}=1-\text{e}^{-1,5}\approx=0,777$
\item $P(X\geqslant 2)=1-P(X\leqslant 2)=\text{e}^{-1,5\times 2}=\text{e}^{-3}$.
\item Comme  $P(1\leqslant X\leqslant 2)=P(X\leqslant 2)-P(X\leqslant 1)$, alors  à $10^{-3}$ près :

\[P(1\leqslant X\leqslant 2)=\text{e}^{-1,5}-\text{e}^{-3}=\np{0,173}.\]

\item Calculons l'intégrale $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\np{1,5}t\text{e}^{-\np{1,5}t}\:\text{d}t$ en utilisant une intégration par parties :

\[\begin{array}{ll}
u'= \np{1,5}\text{e}^{-\np{1,5}t}& u= -\text{e}^{-\np{1,5}t}\\
v= t & v'=1
\end{array}\]

Donc 
\begin{eqnarray*}
F(x)&=&\left[-t\text{e}^{-\np{1,5}t}\right]_0^x-\int_0^x -\text{e}^{-\np{1,5}t}\:\text{d}t\\
&=&\left[-t\text{e}^{-\np{1,5}t}\right]_0^x-\left[\frac1{1,5}\text{e}^{-\np{1,5}t}\right]_0^x\\
&=&-x\text{e}^{-\np{1,5}x}-\frac1{1,5}\text{e}^{-\np{1,5}x}+\frac1{1,5}
\end{eqnarray*}
Mais $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x=0$, donc $$E(X)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac1{1,5}$$

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètre, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.

On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=\np{1,5}$.

\medskip

Si l'écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80~\% des cas. Si l'écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un cylindre dans la production.
	\begin{enumerate} 
		\item La probabilité que le cylindre soit accepté est,  à $10^{-3}$ près: $$p=P(X\leqslant 1)+0,8\times P(1\leqslant X\leqslant 2)=0,777+0,8\times 0,173=\np{0,915}$$
		\item Sachant que le cylindre est accepté, la probabilité qu'il ait subi une rectification est : 

\[\frac{0,8\times P(1\leqslant X\leqslant 2)}{P(X\leqslant 1)+0,8\times P(1\leqslant X\leqslant 2)}.\]

	\end{enumerate}
 \item 
	\begin{enumerate}
		\item Comme on prélève de manière indépendante dix cylindres de la production, supposée suffisamment importante pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise, la probabilité que les dix cylindres soient acceptés, est : $p^{10}$.
		\item La probabilité qu'au moins un cylindre soit refusé, est en utilisant l'évènement contraire : $1-p^{10}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} }

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points
\begin{itemize}
\item $A$ d'affixe $a$, $a\in\R$
\item $B$ d'affixe $b + \text{i}$, $b\in\R$
\item $C$ image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Comme $C$ est l' image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$, alors $C$ a pour affixe :
\begin{eqnarray*}
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(b+\text{i}-a)+a&=&\frac12\left(1+\text{i}\sqrt{3}\right)\left(b-a+\text{i}\right)+a\\
&=&\frac12\left(b-a-\sqrt{3}+2a\right)+\frac12\text{i}\left(\sqrt{3}(b-a)+1\right)\\
&=&\frac12\left(b+a-\sqrt{3}\right)+\frac12\text{i}\left(\sqrt{3}(b-a)+1\right)
\end{eqnarray*}

Pour que le point $C$ appartienne à l'axe $\left(O;\vect{v}\right)$, il faut et il suffit que la partie réelle de l'affixe de$C$ soit nulle, donc:

\[\frac12\left(b+a-\sqrt{3}\right)=0\iff b=\sqrt{3}-a\]

		\item Dans ce cas, l'affixe du point $C$ est, en fonction de $a$ :

\[\frac12\text{i}\left(\sqrt{3}(\sqrt{3}-a-a)+1\right)=\left(2-\sqrt{3} a\right)\text{i}.\]

\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on pose $a=\sqrt{3}$ et $b=0$. On considère les points $C$ d'affixe $c= - \text{i}$ et $D$ d'affixe $d = 2 + \sqrt{3} - 2\text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'étude précédente, le triangle $ABC$ est équilatéral car $b=\sqrt{3}-a=0$ et $c=\left(2-\sqrt{3} a\right)\text{i}=-\text{i}$
		\item \begin{eqnarray*}
\frac{d-a}{c-a}&=&\frac{2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-\text{i}-\sqrt{3}}\\
&=&\frac{2(1-\text{i}\sqrt{3})}{-\sqrt{3}-\text{i}}\\
&=&\frac{2(1-\text{i}\sqrt{3})(-\sqrt{3}+\text{i})}{3+1}\\
&=&2\text{i}
      \end{eqnarray*}
Donc $\left(\vect{AC};\vect{AD}\right)= \text{arg}\left(\frac{d-a}{c-a}\right)= \text{arg}(2\text{i})=\frac{\pi}2$. Ainsi le triangle $ACD$~est rectangle en A.
		\item Comme $E$ est l'image de $D$ dans la rotation de centre  $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$, alors son affixe est :
\begin{eqnarray*}
e&=&\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(d-a)+a\\
&=&\frac12\left(1+\text{i}\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}\\
&=&\frac12\left(1+\text{i}\sqrt{3}\right)\left(2-2\text{i}\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}\\
&=&\left(1+\text{i}\sqrt{3}\right)\left(1-\text{i}\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}\\
&=&1+3+\sqrt{3}=4+\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
		\item Comme $F$ est l'image de $D$ dans la translation de vecteur $\vect{AC}$, alors son affixe est:
$$f=2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}+(-\text{i}-\sqrt{3})=2-\text{i}\left(1+2\sqrt{3}\right)$$
		\item Le triangle $BEF$ est équilatéral, car:
\begin{eqnarray*}
BE^2&=&|\text{i}-(4+\sqrt{3})|^2=1+\left(4+\sqrt{3}\right)^2=1+16+8\sqrt{3}+3=20+8\sqrt{3}\\
BF^2&=&|\text{i}-\left(2-\text{i}\left(1+2\sqrt{3}\right)\right)|^2=|-2+2\text{i}\left(1+\sqrt{3}\right)|^2\\
&=&4+4\left(1+\sqrt{3}\right)^2=20+8\sqrt{3}\\
EF^2&=&|4+\sqrt{3}-2+\text{i}\left(1+2\sqrt{3}\right)|^2=|2+\sqrt{3}+\text{i}\left(1+2\sqrt{3}\right)|^2\\
&=&\left(2+\sqrt{3}\right)^2+\left(1+2\sqrt{3}\right)^2=20+8\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-5)(5,5)
\repereOuv
\psaxes{->}(0,0)(-1,-5)(7,2)
\pstGeonode[PointNameSep={0.8,0.8,0.8,0.4},PointSymbol=*,PosAngle={-25,45,-145,-90}](1.732,0){A}(0,1){B}(0,-1){C}(3.732,-3.464){D}
\pstSegmentMark{A}{B}
\pstSegmentMark{A}{C}
\pstSegmentMark{C}{B}
\pstLineAB{A}{D}
\pstLineAB{C}{D}
\pstRightAngle{C}{A}{D}
\pstRotation[PosAngle=90]{A}{D}[E]
\pstTranslation{A}{C}{D}[F]
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkCros]{B}{E}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkCros]{B}{F}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkCros]{F}{E}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A \neq D$ et $I \neq E$ : il existe donc une unique  similitude directe $s$ transformant $A$ en $D$ et $I$ en $E$.
\item Le rapport de la similitude $s$ est  $\dfrac{IE}{AD}$.

Prenons $OA = 1$.

\begin{itemize}
\item Dans le triangle $EDI$ rectangle  en $D$, le théorème de Pythagore s'écrit : 
$IE^2 = 1^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{4} \Longrightarrow  IE = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
\item  Dans le triangle rectangle $ABD$, le théorème de Pythagore s'écrit : 
$AD^2 = 2^2 + 1^2  = 5  \Longrightarrow  AD = \sqrt{5}$.
\end{itemize}

Finalement $\dfrac{IE}{AD} = \dfrac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}.$

$s$ est donc une similitude directe de rapport $\dfrac{1}{2}$  et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$
\item Soit $B' = s(B)$. On a $\left(\vect{AB},~\vect{IB'}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$, donc $B'$ appartient à la perpendiculaire à la droite $(AB)$ contenant $I$, donc appartient à la demi-droite $[ID)$.

De même en prenant les deux points $D$ et $B$ et leurs images par $s$ : 

$\left(\vect{DB},~\vect{EB'}  \right) = + \dfrac{\pi}{2}$, donc $B'$ appartient  à la la perpendiculaire à $ (BD)$ contenant $E$.

Finalement $B'$appartient aux droites $(BD)$ et $(DE)$ et donc $B' = D$.
\item Par hypothèse $C$ est le milieu de $[BD]$, donc son image par $s$ est le milieu du segment image $[DE]$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $\Omega$ le centre de $s$ ; on a par définition $\left(\vect{\Omega A},~\vect{\Omega I}\right) = \dfrac{\pi}{2}$, donc le triangle $AI\Omega$  rectangle en $\Omega$ est inscrit dans le cercle de diamètre $[AI]$ ;
		
De même $\left(\vect{\Omega D},~\vect{\Omega E}\right) = \dfrac{\pi}{2}$, donc le triangle $DE\Omega$ rectangle en $\Omega$ est inscrit dans le cercle de diamètre $[DE]$.
		\item $J$ est le milieu de $[OC]$, $C$ le milieu de $[BD]$ et $(OC)$ est parallèle à $(AB)$, donc $J$ est aussi le milieu de $[AD]$. Son image$J'$ est le milieu du segment image $[IE]$ et   $\left(\vect{\Omega J},~\vect{\Omega J'}\right) = \dfrac{\pi}{2}$, or  $\left(\vect{H J},~\vect{H J'}\right) =  - \dfrac{\pi}{2}$. Conclusion : H n'est pas le centre de la similitude $s$.
		\item D'après la question a. $\Omega$ appartient aux cercles de diamètres $[AI]$ et $[DE]$ ; ce n'est pas le point H, c'est donc l'autre point commun aux deux cercles.
		\item On sait que l'écriture d'une similitude directe est de la forme $z' = az + b$ avec  $(a~;~b) \in \C^2$. En prenant les points   $A$ et $D$ et leurs images $I$ et $E$, on obtient le système :
		
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l cl}
-\dfrac{1}{2}&=&a + b\\
- 1&=&a'-1 + \text{i}) + b \\
\end{array}\right. \Longrightarrow a(2 - \text{i}) = \dfrac{1}{2} + \text{i} \iff a = \dfrac{\frac{1}{2} + \text{i}}{2 - \text{i}} = \dfrac{\text{i}}{2}$
\end{center}

Puis par différence $b = - \dfrac{1}{2}  + \text{i} - \dfrac{\text{i}}{2} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{i}}{2}$.

L'écriture complexe de $s$ est donc :

\[z' =  \dfrac{1}{2}\text{i}z - \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2}\text{i}.\]
	h\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-12,-4)(11,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]
\psset{linewidth=1.5pt}
\psframe(-8,0)(8,8)
\psline(0,0)(0,8) \psline(8,0)(-8,8) \psline(-4,8)(-8,0)
\pscircle(-8,4){4} \pscircle(2,4){7.211}
\uput[ul](-8,8){D} \uput[ul](-4,8){I} \uput[u](0,8){C} 
\uput[ur](8,8){B} \uput[l](-8,4){C$'$} \uput[ul](-6,4){J$'$} 
\uput[ur](-4.8,6.2){H} \uput[ur](0,4){J} \uput[dl](-8,0){E} 
\uput[l](-4.8,1.6){$\Omega$} \uput[d](0,0){O} \uput[dr](8,0){A} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} }

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Figure associée :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(13.5,0.5)
%\psline(-0.5,0)(13,0)
\psaxes[labels=none,ticksize=2pt](0,0)(-0.5,-0.5)(13.5,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\pstGeonode[PosAngle=135](0,0){A_0}
\pstGeonode[PosAngle=90](4,0){A_1}
\pstGeonode[PosAngle=90](5.6666,0){A_2}
\pstGeonode[PosAngle=90](12,0){B_0}
\pstGeonode[PosAngle=90](9,0){B_1}
\pstGeonode[PosAngle=90](7.75,0){B_2}
\uput[90](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[-135](0,0){\small 0}
\uput[-90](2,0){\small 2}
\uput[-90](4,0){\small 4}
\uput[-90](6,0){\small 6}
\uput[-90](8,0){\small 8}
\uput[-90](10,0){\small 10}
\uput[-90](12,0){\small 12}
\end{pspicture}
\end{center}
\item On définit les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ des abscisses respectives des points $A_{n}$ et $B_{n}$.

Or  $A_{n+1}$, d'abscisse $a_{n+1}$, est le barycentre des points pondérés $\left(A_{n},2\right)$, avec $A_n$ d'abscisse $a_n$, et $(B_{n},1)$, , avec $B_n$ d'abscisse $b_n$, donc, grâce à la formule $$x_{A_{n+1}}=\frac{2\times x_{A_n}+1\times x_{B_n}}{2+1}$$, on a:
$$a_{n+1}=\frac{2a_{n}+b_{n}}{3}$$
Et de même que $b_{n+1} = \frac{a_{n}+3b_{n}}{4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n} = b_{n} - a_{n}$. Alors :
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{eqnarray*}
	u_{n+1}&=&b_{n+1}-a_{n+1}\\
	&=&\frac{a_{n}+3b_{n}}{4}-\frac{2a_{n}+b_{n}}{3}\\
	&=&\frac{3a_n+ 9b_n - 8a_n - 4b_n}{12}\\
	&=&\frac{5b_n-5a_n}{12}\\
	&=&\frac5{12}(b_n-a_n)\\
	&=&\frac5{12}u_n
      	\end{eqnarray*}
Donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $\frac5{12}$.
		\item Ainsi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n}=\left(\frac5{12}\right)^n\times u_0=\left(\frac5{12}\right)^n\times (12-0)=12\left(\frac5{12}\right)^n$.
		\item Comme $-1<\frac5{12}<1$, alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac5{12}\right)^n=0$, ainsi $(u_{n})$ converge vers 0.
		
Donc lorsque $n$ tend vers $+\infty$, les points $A_n$ et $B_n$ sont très proches.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
$a_{n+1}-a_n =\frac{2a_{n}+b_{n}}{3}-a_n=\frac{2a_{n}+b_{n}-3a_n}{3}=\frac{b_{n}-a_n}{3}=\frac{u_n}3>0$. Ainsi  la suite $\left(a_{n}\right)$ est croissante.
		\item 
$b_{n+1}-b_n = \frac{a_{n}+3b_{n}}{4}-b_n=\frac{a_{n}+3b_{n}-4b_n}{3}=\frac{a_{n}-b_n}{4}=-\frac{u_n}4<0$.
Ainsi la suite $\left(b_{n}\right)$ est décroissante.
	\end{enumerate}
\item D'après les trois points démontrés ($\left(a_{n}\right)$ croissante, $\left(b_{n}\right)$ décroissante, 

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}b_n - a_n = 0$), alors les suites  $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ sont adjacentes et donc convergent vers le même réel $\ell$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $v_{n+1}=3a_{n+1}+4b_{n+1}=3\frac{2a_{n}+b_{n}}{3}+4\frac{a_{n}+3b_{n}}{4}=2a_n+b_n+a_n+3b_n=3a_n+4b_n= $

$v_{n+1} = v_n$.

Ainsi la suite $\left(v_{n}\right)$ est constante égale à $v_0=3a_0+4b_0=48$.
\item Comme on a pour tout entier naturel $n$, $3a_n+4b_n=48$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}a_n = \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell$, alors :

\[3\ell+4\ell=48 \iff 7\ell=48.\]

Donc la limite des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ est $\dfrac{48}7$.
\end{enumerate}
\end{document} 