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\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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%                  
%     \rhead{#3}
%     \chead{\shadowbox{\large \textbf{Corrigé du #1 du #2}}}
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%                  
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}

%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{\textbf{baccalauréat S Antilles-Guyane}}{\textbf{20 juin 2016}}{}{}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles--Guyane 20 juin 2016~\decofourright}}

\end{center}
\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%␣retrait␣à␣gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite
%: EXERCICE 1
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\emph{Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près}.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.9\linewidth}
Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65~\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication:
\begin{itemize}
\item à la sortie de la machine A, 8~\% des ampoules présentent un défaut;
\item à la sortie de la machine B, 5~\% des ampoules présentent un défaut.
\end{itemize}
On définit les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $A$: \og l'ampoule provient de la machine A\fg{};
\item $B$: \og l'ampoule provient de la machine B\fg{};
\item $D$: \og l'ampoule présente un défaut\fg.
\end{itemize}

\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée.

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.

\begin{solution}

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,65$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,08$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,92$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $0,35$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,95$}
}
}
\end{center}

\end{solution}

\item Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \np{0,9305}.

\begin{solution}
$A$ et $B$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a :

\surj{$P\left( \overline{D}\right) $}$=P\left(\overline{D} \cap A \right) +P\left(\overline{D} \cap B \right) =P_{_A}\left(\overline{D} \right)\times P(A) +P_{_B}\left(\overline{D} \right)\times P(B)=0,598+\np{0,3325}$

\surj{$P\left( \overline{D}\right) =\np{0,9305}$}
\end{solution}

\item L'ampoule tirée est sans défaut. \\ Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A.

\begin{solution}
On cherche $P_{_{\overline{D}}}(A)$

\surj{$P_{_{\overline{D}}}(A)$}$=\dfrac{P\left(\overline{D} \cap A\right) }{P\left(\overline{D}\right) }= \dfrac{0,598}{\np{0,9305}}$\surj{$=\dfrac{\np{1178}}{\np{1861}}\approx \np{0,6427}$}
\end{solution}

\end{enumerate}
\item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à tirages avec remise.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.

\begin{solution}
On répète $n=10$ fois de manières indépendante une expérience n'ayant que deux issues : l'ampoule est sans défaut ou elle présente un défaut dont la probabilité de succès est $p=P\left(\overline{D}\right) = \np{0,92}$.

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules sans défaut alors $X \binomiale{10}{\np{0,92}}$

On cherche \surj{$P(X\geqslant 9)=P(X = 9) + P(X = 10) =  10 \times 0,95^9 \times 0,08 + 0,92^{10} \approx \np{0,8121}$}.
\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif $a$, $\displaystyle P(T\leqslant a)=\int\limits_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(T\geqslant a)=\e^{-\lambda a}$.

\begin{solution}

\surj{$P(T\geqslant a)$}$=1-P(T\leqslant a)=1-\displaystyle \int\limits_{0}^{a} \lambda \text{e}^{^{-\lambda x}}~\text{d}x=1-\left[-\text{e}^{^{-\lambda x}} \right]_{_0}^{^{a}}=1-\left[ \left( -\text{e}^{^{-\lambda a}}\right) - \left(-1 \right)\right] =1-\left[ 1-\text{e}^{^{-\lambda a}}\right]$\surj{$= \text{e}^{^{-\lambda a}} $}
\end{solution}

\item Montrer que si $T$ suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs $t$ et $a$ on a
\[
P_{T\geqslant t}(T\geqslant t+a)=P(T\geqslant a).
\]

\begin{solution}

\surj{$P_{_{T \geqslant t}}\left(T \geqslant t+a \right)$}$=\dfrac{P\left(\vphantom{\sqrt{}}(T \geqslant t)\cap (T \geqslant t+a) \right) }{P\left(T \geqslant t \right) }=\dfrac{P\left( T \geqslant t+a\right) }{P\left( T \geqslant t\right)}=\dfrac{\text{e}^{^{-\lambda(t+a) }}}{\text{e}^{^{-\lambda t }}}=\text{e}^{^{-\lambda a}}$

\surj{$P_{_{T \geqslant t}}\left(T \geqslant t+a \right) = P(T\geqslant a)$}
\end{solution}

\end{enumerate}
\item Dans cette partie, la durée de vie en heures d'une ampoule sans défaut est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle d'espérance \np{10000}.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ de cette loi.

\begin{solution}
L'espérance de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $\dfrac{1}{\lambda}$

On a donc $\dfrac{1}{\lambda}=\np{10000} \equi $\surj{$\lambda = 10^{-4}$}
\end{solution}

\item Calculer la probabilité $P(T\geqslant \np{5000})$.

\begin{solution}

\surj{$P(T\geqslant \np{5000})$}$=\text{e}^{^{-\np{5000} \times 10^{-4}}}$\surj{$=\text{e}^{^{-0,5}}=\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\approx \np{0,6065}$}
\end{solution}

\item Sachant qu'une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant \np{7000} heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse \np{12000} heures.

\begin{solution}
On cherche $P_{_{T \geqslant \np{7000}}}\left(T \geqslant \np{12000} \right)=P_{_{T \geqslant \np{7000}}}\left(T \geqslant \np{7000}+\np{5000} \right)$

D'après la question 1. b. on a donc \surj{$P_{_{T \geqslant \np{7000}}}\left(T \geqslant \np{12000} \right)$}$=P\left(T \geqslant \np{5000} \right)$\surj{$\approx \np{0,6065}$} 
\end{solution}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\biskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{minipage}{0.9\linewidth}
L'entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu'il n'y a pas plus de 6~\% d'ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur \np{1000}.
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Dans le cas où il y aurait exactement 6~\% d'ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% de la fréquence d'ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille \np{1000}.

\begin{solution}
La proportion $p=0,06$ et la taille $n=\np{1000}$ de l'échantillon vérifient :

 $n\geqslant 30~,~np=60 \geqslant 5 ~\text{et}~n(1-p)=940\geqslant 5$

On peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% 

$I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~ p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]$

On a ici \surj{$I=\left[\np{0,0452}~;~\np{0,0748} \right]$}
 
\end{solution}

\item A-t-on des raisons de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise~?

\begin{solution}
Ici, la fréquence observée d'ampoules défectueuses est $f = 0,071$ et on a $f\in I$

donc \surj{on n'a pas de raison de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise} 
\end{solution}

\end{enumerate}

%: EXERCICE 2
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On munit  le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $\left\vert z-2\right\vert=1$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

\begin{solution}
Soit $B(2)$ alors $\left\vert z - 2\right\vert = 1 \equi BM = 1$

\surj{$\mathcal{C}$ est donc le cercle de centre $B(2)$ et de rayon 1}.
\end{solution}

\item Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=ax$.

Déterminer le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.

\begin{solution}
Soit $z=x+\text{i}y$

$\begin{cases}
M(z) \in \mathcal{C}\\M(z) \in \mathcal{D}
\end{cases} \equi \begin{cases}
\left\vert z-2\right\vert=1\\z=x+\text{i}ax
\end{cases} \equi \begin{cases}
\left\vert (x-2)+\text{i}ax\right\vert=1\\z=x+iax
\end{cases}$


$\left\vert (x-2)+\text{i}ax\right\vert=1 \equi (x-2)^2+(ax)^2=1 \equi x^2(1+a^2)-4x+3=0$

$\Delta=16-12(1+a^2)=4-12a^2$

$\Delta >0 \equi a^2 <\dfrac{1}{3} \equi -\dfrac{\sqrt{3}}{3} < a < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

On en déduit que :

\begin{itemize}
\item si $a \in \left]-\infty~;~-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right[\cup \left]\dfrac{\sqrt{3}}{3}~;~+\infty \right[$ alors $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ n'ont aucun point commun
\item  si $a =-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou si $a =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ alors $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont un seul point d'intersection. Les deux droites $\mathcal{D}$ sont les tangentes à $\mathcal{C}$ passant par O 
\item  si $a \in \left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3}~;~ \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[$ alors $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont deux points communs distincts
\end{itemize}
\end{solution}
\end{enumerate}

%: EXERCICE 3
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\e^{1-x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

\emph{Indication: on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de }\:$0$, 

$f(x)=\frac{\e}{x}\times\frac{x^2}{\e^{x^2}}$.

\begin{solution}

$\forall x \neq 0~,~f(x)=\dfrac{\e}{x}\times\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$

or \Lim{x}{+\infty}{\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}}~=~0 car \Lim{x}{+\infty}{\dfrac{\e^{x^2}}{x^2}}~=~$+\infty$. ~~De plus \Lim{x}{+\infty}{\dfrac{\e}{x}}~=0

Donc par produit, \surj{\Lim{x}{+\infty}{f(x)}~=~0}

\end{solution}

\smallskip

\item \begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée.

Démontrer que pour tout réel $x$,

\[
f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}.
\]

\begin{solution}
$f=u\text{e}^v \Longrightarrow f'=u'\text{e}^v+u\left( v'\text{e}^v\right) =(u'+uv')\text{e}^v$ avec $\begin{cases}
u(x)=x\\v(x)=1-x^2
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
u'(x)=1\\v'(x)=-2x
\end{cases}$

\surj{$\forall x \in \R~,~f'(x)=(1-2x^2)\text{e}^{1-x^2}$}
\end{solution}

\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.

\begin{solution}
$\text{e}^{1-x^2}>0$ sur $\R$ donc $f'(x)$ est du signe de $\left( 1-2x^2\right) =\left( 1-x\sqrt{2}\right) \left(1+x\sqrt{2} \right) $

on en déduit le tableau suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,4)
\psframe(9.5,3.5)\psline(0,2)(9.5,2)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$} 
\uput[u](7,2.4){$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput[u](9,2.4){$+ \infty$}
 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$}
\uput[u](7,1.9){$0$} \uput[u](8,1.9){$-$}

\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[d](1.2,2){0}
\uput[d](4,1){$-\frac{\sqrt{2\text
e}}{2}$}
\uput[d](7,2){$\frac{\sqrt{2\text
e}}{2}$}
\uput[d](9.2,0.8){0}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On remarque que $f$ est impaire donc \Lim{x}{-\infty}{f(x)}~=~0
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{minipage}{0.9\linewidth}
On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.
\end{minipage}
\begin{center}

\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2.7,-1.6)(3.2,2.75)
\multips(0,-1)(0,0.5){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.7,0)(3.2,0)}
\multips(-2,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.7)(0,2.7)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2.7,-1.7)(3.2,2.75)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{x*EXP(1.0-x^(2.0))}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{EXP(1.0-x)}

\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.0pt]
{
\psline(0,0)(0,2.718)
\psplot{0}{1}{EXP(1.0-x)}
\psplot{1}{0}{x*EXP(1.0-x^(2.0))}
} 

\begin{scriptsize}
\uput[45](-1,-1){\qqwuqq{$C_f$}}
\uput[45](0.5,1.6487212707){\ccqqqq{$C_g$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier la position relative de ces deux courbes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre~?

\begin{solution}
\surj{Il semblerait que $C_f$ soit toujours en dessous de $C_g$} 
\end{solution}

\item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~0]$, $f(x)<g(x)$.

\begin{solution}
Sur $\R$, $\text{e}^{1-x}>0$ et $\text{e}^{1-x^2}>0$

On en déduit que sur $]-\infty~;~0]~,~f(x)\leqslant 0$ et $g(x)>0$

On a donc bien \surj{$\forall x \in ]-\infty~;~0]~,~f(x)<g(x)$}
\end{solution}

\item Dans cette question, on se place dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\
On pose, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)=\ln x-x^2+x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif,

\[
f(x)\leqslant g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\leqslant 0.
\]

\begin{solution}

$f(x)\leqslant g(x) \equi x\text{e}^{1-x^2}\leqslant \text{e}^{1-x}$ 

si $x>0$ alors cette inéquation est équivalente à $\ln \left( x\text{e}^{1-x^2}\right) \leqslant \ln \left( \text{e}^{1-x}\right)$ car la fonction $\ln$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$

$\ln \left( x\text{e}^{1-x^2}\right) \leqslant \ln \left( \text{e}^{1-x}\right) \equi \ln (x)+\ln \left(\text{e}^{1-x^2} \right)\leqslant \ln \left( \text{e}^{1-x}\right) \equi \ln (x)+1-x^2 \leqslant 1-x \equi \ln (x) -x^2+x \leqslant 0$

Finalement \surj{si $x>0$, $f(x)\leqslant g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\leqslant 0$}
\end{solution}

On admet pour la suite que $f(x)=g(x)$ équivaut à $\Phi(x)=0$.
\item On admet que la fonction $\Phi$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variation de la fonction $\Phi$. (Les limites en $0$ et $+\infty$ ne sont pas attendues.)

\begin{solution}

$\forall x \in ]0~;~+\infty[~, ~\Phi'(x)=\dfrac{1}{x}-2x+1=\dfrac{-2x^2+x+1}{x}=\dfrac{(x-1)(-2x-1)}{x}=\dfrac{(1-x)(2x+1)}{x}$

or sur $]0~;~+\infty[~,~\dfrac{2x+1}{x}>0$ donc $\Phi'(x)$ est du signe de $(1-x)$

on en déduit le tableau

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.22,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$\Phi'(t)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$\Phi(t)$} %\uput[u](1.1,0){0}
 \uput[d](4,2){0}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\psline(1.15,2.5)(1.15,0)
\psline(1.30,2.5)(1.30,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{solution}

\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)\leqslant 0$.

\begin{solution}

Sur $]0~;~+\infty[$, $\Phi$ admet 0 pour maximum donc \surj{$\forall x \in ]0~;~+\infty[~,~\Phi(x)\leqslant0$}

\end{solution}

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide~?

\begin{solution}

La conjecture est validée puisque l'on vient de montrer que $\Phi(x) \leqslant 0$ donc $f(x)\leqslant g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$ or on avait montré que $f(x)<g(x)$ sur $]-\infty~;~0]$

Finalement \surj{$C_f$ est bien toujours en dessous de $C_g$ sur $\R$}
\end{solution}
		\item Montrer que $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un unique point commun, noté $A$.

\begin{solution}
$f(x)=g(x) \equi \Phi(x)=0 \equi x=1$

\surj{$A(1~;~1)$ est donc l'unique point commun de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$}
\end{solution}

		\item Montrer qu'en ce point $A$, ces deux courbes ont la même tangente.

\begin{solution}
$g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme composée de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$.

$\forall x \in ]0~;~+\infty[~,~g'(x)=-\text{e}^{1-x}$

alors $g'(1)=-1$ or $f'(1)=-1$

Donc \surj{$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ admettent la même tangente en $A$}
\end{solution}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{solution}
$\forall x \in \R~,~f(x)=-\dfrac{1}{2}\left( -2x\text{e}^{1-x^2} \right)$

donc $f=-\dfrac{1}{2}\left(u'\text{e}^u \right)$ de plus $f$ est continue sur $\R$ comme composée de fonctions continues sur $\R$, elle y admet donc des primitives

$\forall x \in \R~,~F(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{1-x^2}$ est une primitive de $f$ 
\end{solution}

\item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x$.

\begin{solution}
Comme précédemment, on montre que $G(x)=-\e^{1-x}$ est un primitive de $g$ sur $\R$

$\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x=\displaystyle\int_0^1\left(g(x)-f(x)\right)\text{d}x=\left[\vphantom{\sqrt{}}G(x)-F(x) \right]_{_0}^{^1}=\left(G(1)-F(1) \right) -\left(G(0)-F(0) \right)=\left(-\dfrac{1}{2} \right) -\left(-\dfrac{1}{2}\text{e} \right) $

Finalement,\surj{$\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x =\dfrac{1}{2}\left( \text{e}-1\right)   $}
\end{solution}

\item Interpréter graphiquement ce résultat.

\begin{solution}
\surj{Il s'agit de l'aire, en unité d'aire, de la partie de plan définie par $\begin{cases}
0 \leqslant x \leqslant 1\\f(x) \leqslant y \leqslant g(x)
\end{cases}$}

Cette aire est hachurée sur le graphique
\end{solution}

\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête égale à~1.

L'espace est muni du repère orthonormé $(D~;~\vect{DC},~\vect{DA},~\vect{DH})$.

\smallskip

Dans ce repère, on a : $D(0~;~0~;~0)$, $C(1~;~0~;~0)$, $A(0~;~1~;~0)$,
 $H(0~;~0~;~1)$ et $E(0~;~1~;~1)$.

\smallskip

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5.1,5.1)
\psset{PointSymbol=*}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](3,3){F}
\pstGeonode[PosAngle=180](1.2,1){D}
\pstTranslation[PosAngle=10]{C}{D}{B}[A]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{F}[E]
\pstMiddleAB[PosAngle=-100]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=10]{A}{E}{N}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{E}{H}{M}
\pstMiddleAB[PosAngle=135]{H}{G}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{G}{C}{K}
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray](L)(M)(N)(I)(J)(K)(L)
\psline(C)(B)(A)(E)(H)(G)(C)
\psline(G)(F)(E)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](C)(D)(A)(D)(H)
\psline(K)(J)
\psline(I)(N)
\psline(L)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(K)
\psline[linestyle=dashed](M)(N)
\psline[linestyle=dashed](J)(I)
\end{pspicture*}
\end{center}}

\medskip

Soit $\mathcal{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

\smallskip

On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.

\begin{solution}
$B(1~;~1~;~0)~~,~~F(1~;~1~;~1)~\text{et}~G(1~;~0~;~1)$

$\vect{BG}\begin{pmatrix}
0\\-1\\1
\end{pmatrix}~~~,~~~\vect{BE}\begin{pmatrix}
-1\\0\\1
\end{pmatrix}~~~\text{et}~~~\vect{DF}\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$

On a alors $\vect{BG} \cdot \vect{DF}=0$ et $\vect{BE} \cdot \vect{DF}=0$

Donc \surj{$\vect{DF}$ est normal au plan $(BGE)$}
\end{solution}

\item En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.

\begin{solution}
$\mathcal{P}$ est parallèle à $(BGE)$ donc ils ont même vecteur normal $\vect{DF}$

on a alors $\mathcal{P} : x+y+z+d=0$~~~ or ~~~ $I\left(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0 \right) \in \mathcal{P}$ ~~~
d'où $d=-\dfrac{3}{2}$

Finalement  \surj{$\mathcal{P} : 2x+2y+2z-3=0$}
\end{solution}

\end{enumerate}
\item Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.

\begin{solution}
$\mathcal{P}$ est parallèle à $(BGE)$ donc le plan $(ABE)$ coupe ces deux plans suivant deux droites parallèles

or $\mathcal{P} \cap (ABE) = (IN)$~~et~~$(BGE) \cap (ABE) = (BE)$

On en déduit que $(BE)$ et $(IN)$ sont parallèles or $I$ est  le milieu de $[AB]$ donc d'après le théorème de la droite des milieux, \surj{$N$ est le milieu de $[AE]$}
\end{solution}

\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.

\begin{solution}
$\vect{HB}\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}$ et $H(0~;~0~;~1)$
donc \surj{$(HB)~:~\begin{cases}
x=t\\y=t\\z=1-t
\end{cases}~~(t\in \R)$}
\end{solution}

\item En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.

\begin{solution}

Chercher les cordonnées de l'éventuel point d'intersection entre $(HB)$ et $\mathcal{P}$ revient à résoudre ce système:

$\begin{cases}
x=t\\y=t\\z=1-t\\2x+2y+2z-3=0
\end{cases} \equi \begin{cases}
x=t\\y=t\\z=1-t\\2t=1
\end{cases} \equi \begin{cases}
x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{2}
\end{cases}$

\surj{$(HB)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants en  $T\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right) $}

\emph{Remarque} : ce point est le centre du cube
\end{solution}
\end{enumerate}
\item Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.

\begin{solution}
$FBGE$ est une pyramide de base $FBG$ et de hauteur $EF$

\surj{$\mathcal{V}_{_{FBGE}}$}$=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{_{FBG}}\times EF=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times FB \times FG \times EF~ $\surj{$= \dfrac{1}{6}$}
\end{solution}
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

On considère l'équation suivante d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs:
\begin{equation}
\tag{E}
7x-3y=1.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Un  algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières $(x~;~y)$ de l'équation (E) vérifiant 

$-5\leqslant x\leqslant 10$~~ et ~~
$-5\leqslant y\leqslant 10$.

\newpage
\begin{solution}

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{ll}
Variables: & X est un nombre entier\\
& Y est un nombre entier\\
Début: & Pour X variant de $-5$ à 10\\
&\phantom{XXXX} {\red Pour Y variant de $-5$ à 10}\\
&\phantom{XXXXXXXX} {\red Si 7X-3Y=1}\\
&\phantom{XXXXXXXX} Alors Afficher X et Y\\
&\phantom{XXXXXXXX} Fin Si\\
&\phantom{XXXX}Fin Pour\\
&Fin Pour\\
Fin&
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}

\end{solution}

\item \begin{enumerate}
\item
 Donner une solution particulière de l'équation (E).
 
\begin{solution}
\surj{$(x~;~y)=(1~;~2)$ est une solution particulière de l'équation (E)}
\end{solution}
 
\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
 
\begin{solution}
 
$\begin{cases}
 (x~;~y) \text{~solution de (E)}\\$(1~;~2)$ \text{~solution de (E)}
 \end{cases} \equi \begin{cases}
  7x-3y=1\\7\times 1-3\times 2=1
  \end{cases} \equi \begin{cases}
    7(x-1)-3(y-2)=0\\$(1~;~2)$\text{~solution de (E)}
    \end{cases}$ 
    
Donc $(x~;~y)$ solution de (E) si et seulement si $7(x-1)=3(y-2)$
    
On en déduit que 7 divise $3(y-2)$ or 7 et 3 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise $y-2$
    
Alors il existe un entier relatif $k$ tel que $y-2=7k$, on en déduit $7(x-1)=21k$ soit $x-1=3k$
    
Finalement \surj{les solutions de (E) sont les couples $(x~;~y)$ de la forme }

\surj{$(1+3k~;~2+7k)~~~(k\in\Z)$}
\end{solution}
 
 \item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que
 
  $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$.
 
\begin{solution}
Pour $k<-2$ et $k>3$ les valeurs trouvées pour $x$ n'appartiennent pas à $[-5~;~10]$
 
Pour $k<-1$ et $k>1$ les valeurs trouvées pour $y$ n'appartiennent pas à $[-5~;~10]$
 
Finalement, il faut $k\in \{-1~;~0~;~1\}$ et on obtient donc trois couples solution:
 
\surj{$(-2~;~-5)~~,~~(1~;~2)~~\text{et}~~(4~;~9)$}
 \end{solution}
 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

\smallskip

On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation 
\[
7x-3y-1=0
\]
On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $(x_n~:~y_n)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_0&=&1\\
y_0&=&2
\end{array}
\right.\qquad\text{et}\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_{n+1}&=&-\frac{13}{2}x_n+3y_n\\[1.5ex]
y_{n+1}&=&-\frac{35}{2}x_n+8yn
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item
 On note $M$ la matrice \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}
 \frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8
 \end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1}. Pour tout entier naturel $n$, on pose 
 
 $X_n=\begin{pmatrix}
 x_n\\y_n
 \end{pmatrix}$.
 \begin{enumerate}
 \item
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
  
\begin{solution}
$\left\{
\begin{array}{rcl}
x_{n+1}&=&-\frac{13}{2}x_n+3y_n\\[1.5ex]
y_{n+1}&=&-\frac{35}{2}x_n+8yn
\end{array}
\right. \equi \begin{pmatrix}
x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
x_n\\y_n
\end{pmatrix}$
     
On a donc bien \surj{$\forall n \in \N~,~X_{n+1}=MX_n$}
    
\end{solution}
  
\item Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
  
\begin{solution}
\surj{$\forall n \in \N~,~X_n=M^nX_0$}
\end{solution}
  
\end{enumerate}
\item On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}
 -2&-3\\-5&-7
\end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix}
7&-3\\-5&2
\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
  
  \begin{solution}
  $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}
  7&-3\\-5&2
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
\frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
     -2&-3\\-5&-7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
         7&-3\\\frac{-5}{2}&1
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
          -2&-3\\-5&-7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
                    1&0\\0&\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$
                    
Donc \surj{$P^{-1}MP=D=\begin{pmatrix}
                        1&0\\0&\dfrac{1}{2}
                        \end{pmatrix}$ qui est une matrice diagonale}.
\end{solution}
  
\item Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
  
\begin{solution}
\surj{$\forall n \in \N~,~D^n=\begin{pmatrix}
                          1&0\\0&\left( \dfrac{1}{2}\right) ^n
\end{pmatrix}$}
\end{solution}
  
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=PD^nP^{-1}$.
  
\begin{solution}
Soit $I_2$ la matrice identité d'ordre 2
  
$M^n=PD^nP^{-1} \equi P^{-1}\left( M^n\right) P=P^{-1}\left( PD^nP^{-1}\right) P \equi P^{-1}M^nP=I_2D^nI_2=D^n$.
  
\vspace{0.5cm}
Alors $M^n=PD^nP^{-1} \equi D^n=P^{-1}M^nP$ 
  
Montrons donc que $\forall n \in \N~,~D^n=P^{-1}M^nP$
  
\vspace{0.5cm}
\emph{Initialisation} : pour $n=0$ $D^0=I_2$ et $P^{-1}M^0P=P^{-1}I_2P=P^{-1}P=I_2$
  
\vspace{0.5cm}
\emph{Hérédité} : Supposons que pour $n$  entier naturel, \: $D^n = P^{-1}M^nP$
  
alors $D^{n+1}=D^n\times D=P^{-1}M^nP\times D=P^{-1}M^nP\times P^{-1}MP=P^{-1}M^{n+1}P$.
 
Conclusion : la propriété est  vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$,  donc d'après le principe de récurrence on a bien 
  
$\forall n \in \N,~D^n=P^{-1}M^nP$ donc \surj{$\forall n \in \N~,~M^n=PD^nP^{-1}$}
\end{solution}
  
\end{enumerate}
\newpage
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix}
 -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex]
 -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n}
\end{pmatrix}$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
 
\begin{solution}
 $\forall n \in \N~,~\begin{pmatrix}
  x_n\\y_n
  \end{pmatrix}=X_n=M^nX_0=\begin{pmatrix}
  -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex]
  -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n}
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
   1\\2
\end{pmatrix} $
   
On a donc \surj{$\forall n \in \N~,~\left\{
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{array}{rcl}
   x_n&=&-2+\dfrac{3}{2^n}\\
   y_n&=&-5+\dfrac{7}{2^n}
   \end{array}
\right.$}
 \end{solution}
 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
 
\begin{solution}
$\forall n \in \N~,~7x_n-3y_n-1=-14+\dfrac{21}{2^n}+15-\dfrac{21}{2^n}-1=0$
 
Donc \surj{$\forall n \in \N~,~A_n \in \mathcal{D}$}
\end{solution}
\end{enumerate}

\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}