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\begin{document}
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\rhead{\small Corrigé du baccalauréat S septembre 2003}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2003}  

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat S 
Antilles--Guyane~\decofourright\\[4pt]septembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le fait de considérer la présence des 12 groupes inscrits peut être assimilée à une loi binomiale de paramètres $n = 12$ et  $p = \dfrac{7}{8}$ (probabilité d'être présent).
		
La probabilité d'avoir 12 groupes présents est donc égale à $\dbinom{12}{0} \left(\dfrac{7}{8}\right)^{12} = \left(\dfrac{7}{8}\right)^{12} \approx 0,201.$

Cette probabilité est donc comprise entre 0,20 et 0,21.
		\item	On a à nouveau une loi binomiale de paramètres $n = 30$ (jours), et de probabilité qu'il	soient tous présents égale à $\left(\dfrac{7}{8}\right)^{12}$.
		
$X = 30$ est l'évènement : \og les 12 groupes étaient présents les 30 jours \fg. Sa probabilité est égale à :
		
		$\dbinom{30}{30}\left[\left(\dfrac{7}{8}\right)^{12}\right]^{30} = \left(\dfrac{7}{8}\right)^{360} \approx 1,3 \times 10^{-21} \approx 0$ (à 0,01 près).
		
$X = 0$ est l'évènement : \og il n'y a jamais eu les 12 groupes  présents les 30 jours \fg{} ou encore \og les 30 jours, il y a eu au moins un groupe absent \fg.Sa probabilité est égale à :

$\dbinom{30}{0}\left[\left(\dfrac{7}{8}\right)^{12}\right]^{0} \times \left[1 - \left(\dfrac{7}{8}\right)^{12}\right]^30 = \left[1 - \left(\dfrac{7}{8}\right)^{12}\right]^30 \approx \nombre{0,0011} \approx 0$ (à 0,01 près).

L'espérance mathématique de $X$ est égale $X = n \times p = 30 \times \left(\dfrac{7}{8}\right)^{12} \approx 6,042 \approx 6,04$ 
(à 0,01 près).
		
		\item	$S = 11$ signifie qu'il y a ce jour 11 groupes présents, donc 1 groupe absent. La probabilité de cet évènement est égale à :
		
		$\dbinom{12}{11}\left(\dfrac{7}{8}\right)^{11}\times \left(\dfrac{1}{8}\right)^{1} = 12 \times \left(\dfrac{7^{11}}{8^{12}}\right) \approx \nombre{0,3452} \approx 0,35$ (à 0,01 près).
		
		La loi suivie par $S$ est la même que celle suivie par le nombre de groupes présents, donc de paramètres $n = 12$ et de probabilité 	$\dfrac{7}{8}$. On sait que 
		\[p(S = k) = \dbinom{12}{k}\left(\dfrac{7}{8}\right)^{k}\times \left(\dfrac{1}{8}\right)^{12 - k}  \]
		L'espérance mathématique  est donc égale à $12 \times \dfrac{7}{8} = 10,5.$
		
		Sur une longue période, l'association récoltera en moyenne 10,5~Crédits.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a toujours une loi binomiale de paramètres $n = 13$ et de probabilité $p = \dfrac{7}{8}$. La probazbilité P$_{13}$ que les treize groupes soient présents est 
		\[\text{P}_{13} = \dbinom{13}{13}\left(\dfrac{7}{8}\right)^{13} \times \left(\dfrac{1}{8}\right)^{0} = \left(\dfrac{7}{8}\right)^{13} \approx 0,176 \approx 0,18.\]
		\item La variable $R$ vaut $0$ s'il y a au moins 1 groupe absent et $2$ s'il y a 13 groupes présents. Dans ce cas :
		
$P(R = 2) = \left(\dfrac{7}{8}\right)^{13} \approx 0,18$ comme vu ci-dessus et par conséquent $P(R = 0) = 1 - P(R = 2) \approx 0,82$. On a donc la loi :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$r$&0&2\\ \hline
$P(R = r)$&0,82&0,18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On en déduit l'espérance mathématique de $R$ :

E$(R) = 0 \times 0,82 + 2 \times 0,18 = 0,36$.

Sur une longue période le coût de l'activité de substitution est environ de 0,36 Crédit.
		\item De $k = 0$ à $k = 12$, l'association re\c{c}oit $k$ Crédits. Par contre s'il y a 13 groupes, l'association ne re\c{c}oit que $11 (13 - 2)$ Crédits.
		
L'espérance du gain $G$ est donc :
		
		E$(G) = \displaystyle\sum_{k = 0}^{12}k \times P(G = k) + 11P_{13} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{12}k \times P(G = k) + 13P_{13} - 2P_{13} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{12}k \times \binom{13}{k}\left(\dfrac{7}{8} \right)^k \left( \right)^{13 - k} + 13 \times \left(\dfrac{7}{8} \right)^{13} - 2 \times \left(\dfrac{7}{8} \right)^{13} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{13}k \times \binom{13}{k}\left(\dfrac{7}{8} \right)^k \left( \right)^{13 - k} - 2P_{13}$.
		
Le calcul donne E$(G) \approx 11,02$ Crédits
		\item On constate que cette espérance est supérieure  à celle (10,5) obtenue avec 12 groupes.
		
		Conclusion : la décision du dirigeant est rentable pour l'association.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{\text{IA}}+ \vect{\text{IB}}+\vect{\text{I}M} = \vect{\text{I}D} \iff \vect{\text{AI}} + \vect{\text{I}D} = \vect{\text{IB}}+\vect{\text{I}M}$.
En utilisant l'égalité de Chasles  : $\vect{\text{A}D} \cdot 	\vect{\text{B}M} = \left(\vect{\text{AI}} + \vect{\text{ID}} \right) \cdot \left(\vect{\text{BI}} + \vect{\text{I}M} \right) = \left( \vect{\text{IB}}+\vect{\text{I}M}\right) \cdot \left( \vect{\text{BI}}+\vect{\text{I}M}\right) =$

$ \left(\vect{\text{I}M} +  \vect{\text{BI}}\right) \cdot  \left(\vect{\text{I}M} -  \vect{\text{BI}}\right) = \left\|\vect{\text{I}M}\right\|^2 - \left\|\vect{BI}\right\|^2 = R^2 - R^2 = 0.$

Il en résulte que les droites (A$D$) et (B$M$) sont perpendiculaires.

De même  $\vect{\text{B}D} \cdot 	\vect{\text{A}M} = \left(\vect{\text{BI}} + \vect{\text{I}D} \right) \cdot \left(\vect{\text{AI}} + \vect{\text{I}M} \right) = \left(\vect{\text{IA}} + \vect{\text{I}M} \right) \cdot  \left(\vect{\text{AI}} + \vect{\text{I}M} \right) = 0$ (car $\vect{\text{IA}}+ \vect{\text{IB}}+\vect{\text{I}M} = \vect{\text{I}D} \iff \vect{\text{BI}} + \vect{\text{I}D} = \vect{\text{IA}}+\vect{\text{I}M}$).

Donc les droites (B$D$) et (A$M$) sont perpendiculaires.

Dans le triangle AB$M$, (A$D$) et (B$D$) sont deux hauteurs, donc $D$ est l'orthocentre de ce triangle.
		\item Par définition de l'isobarycentre :
		
$\vect{G\text{A}} +  \vect{G\text{}} +\vect{G\text{}}  = \vect{0} \iff \vect{G\text{I}} + \vect{\text{IA}}  +  \vect{G\text{I}} + \vect{\text{IB}}  + \vect{G\text{I}} + \vect{\text{IM}}  = \vect{0} \iff$

$ 3\vect{G\text{I}} + \vect{\text{I}D}  = \vect{0} \iff \vect{\text{I}D} = 3 \vect{\text{I}G}$.

Cette égalité peut aussi s'écrire : $\vect{\text{I}G} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{I}D} $ ce qui signifie que le point $G$ appartient à la droite (I$D$) et a pour abscisse $\dfrac{1}{3}$ pour le repère (I,$D$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Points invariants : $M = M' \iff z = \dfrac{1}{3}z + 2 +	\dfrac{2}{3}\text{i} \iff 2z = 6 + 2\text{i} \iff z = 3 + \text{i}.$ Il existe donc un point unique $\Omega$ d'affixe $\omega = 3 + \text{i}$ invariant par $f$.
		
\medskip
		
Calculons $Z - \omega = \dfrac{1}{3}z + 2 +	\dfrac{2}{3}\text{i} - 3 - \text{i} = \dfrac{1}{3}z - 1 - \dfrac{1}{3}\text{i} = \dfrac{1}{3}\left(z - 3 - \text{i} \right) = \dfrac{1}{3}\left[z - \left(3 - \text{i} \right)\right]$.

Donc $Z - \omega = \dfrac{1}{3}(z - \omega)$, ce qui traduit que $M'$ d'affixe $Z$ est l'image de $M$ d'affixe $z$ dans l'homothétie $f$ de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{1}{3}.$
		\item Par définition l'isobarycentre des points A, B et $M$ a pour affixe $\dfrac{1}{3}\left(z_{\text{A}}  + z_{\text{B}} + z_{M}\right) = \dfrac{2 + 4 + 2\text{i} + z}{3} = \dfrac{1}{3}z  + 2 + \dfrac{2}{3}\text{i} = z_{f(M)}$.
		\item D'après la question 2. a. l'image du cercle de centre I et de rayon 2 est un cercle homothétique de ce cercle dans l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{1}{3}.$
		\item D'après la question 1. b.  l'ensemble décrit par le point $D$ est le cercle homothétique du cercle de centre I et de rayon 2, dans l'homothétie de centre I et de rapport 3.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\[ 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item$\dfrac{14}{39}$ est solution de  l'équation signifie $78\left( \dfrac{14}{39}\right)^3 + u\left(\dfrac{14}{39} \right)^2 + v\left(\dfrac{14}{39} \right) - 14 = 0 \iff 2 \times \dfrac{14^3}{39^2} + u\dfrac{14^2}{39^2} + v\dfrac{14}{39}  - 14 = 0 \iff 2\dfrac{14^2}{39^2} +u\dfrac{14}{39^2} + v\dfrac{1}{39} - 1 = 0 \iff$

$ 2 \times 14^2 + 14u + 39v - 39^2 = 0 \iff 14u + 39v = 39^2 - 2 \times 14^2\iff 14u + 39v = \np{1129}$.
		\item %Utiliser l'algorithme d'Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul, pour trouver un couple $(x ~;~ y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation $14x + 39y = 1$.
$39 = 3\times 13$ et $14 = 2\times 7$ sont premiers entre eux. On sait qu'il existe un couple $(x~;~y)$ d'entiers vérifiant $14x + 39y = 1.$

L'algorithme d'Euclide donne :
$\begin{array}{l c l}
39&=&2 \times 14 + 11\\
14 &=& 1 \times 11 + 3\\
11&=&3 \times 3 + 2\\
3&=&1 \times 2 + 1
\end{array}$

soit en remontant 

$\begin{array}{l c l}
3 - 2&=&1\\
3 - (11 - 3 \times 3)& =& 1 \iff 4 \times 3 - 11 = 1\\
14 - (1 \times 11)&=&3 \Rightarrow 4[14 - 11] - 11 = 1 \iff 4\times 14  - 5\times 11 = 1\\
39 - 2\times 14 &=& 11 \Rightarrow 4\times 14  - 5(39 - 2 \times 14) = 1 \iff -5\times 39 + 14 \times 14 = 1
\end{array}$

On a donc trouvé $x = 14,~y = -5$.

%Vérifier que le couple $(- 25~;~ 9)$ est solution de cette équation.
On a $-25 \times 14 + 9 \times 39 = -350 + 351 = 1$. Donc le couple $(-25~;~9)$ est aussi solution de l'équation.
	\item %En déduire un couple $\left(u_{0}~ ; ~v_{0}\right)$ solution particulière de l'équation 
	
%$14u + 39v = \np{1129}$.
$-25 \times 14 + 9 \times 39  = 1 \Rightarrow -25 \times \np{1129} \times  14 + 9 \times \np{1129}\times 39  =  \np{1129} \iff$

$ 14 \times \np{-28225}  + 39 \times \np{10161} = \np{1129}.$

Le couple $\left(u_{0~;~v_{0}} \right) = (\np{-28225}~;~\np{10161})$ est donc solution de l'équation $14u + 39v = \np{1129}.$

%Donner la solution générale de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des
%couples $(u~;~ v)$ d'entiers relatifs qui la vérifient.
On a :

$14u + 39v = \np{1129}$

$14 \times \np{-28225}  + 39 \times \np{10161} = \np{1129}$

d'où par différence :

$14(u + \np{28225}) + 39(v - \np{10161}) = 0 \iff 14(u + \np{28225}) = 39(\np{10161} - v).\quad (1)$

Donc 14 divisant $39(\np{10161} - v)$ et étant premier avec 39, divise 

$(\np{10161} - v)$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $\np{10161} - v = 14k \iff$

$ v = \np{10161} - 14k$, puis en reportant dans l'égalité (1) :

$14(u + \np{28225}) = 39(14k) \iff u + \np{28225} = 39k \iff u = 39k - \np{28225}$.

L'ensemble des couples solutions est donc 

$S = \{(39k - \np{28225}~;~\np{10161} - 14k),~k \in \Z\}$.
		\item %Déterminer, parmi les couples $(u~;~ v)$ précédents, celui pour lequel le nombre $u$ est l'entier naturel le plus petit possible.
On a $39k - \np{28225} = 0 \iff k = \dfrac{\np{28225}}{39} \approx 724$.

Vérification : $39 \times 724 - \np{28225} = 11$ et $39 \times 723 - \np{28225} = - 28.$

On en déduit $v = \np{10161} - 14\times 724 = 25$.

Le couple solution avec le plus petit premier terme naturel est $(11~;~25)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.
$78 = 2 \times 3 \times 13$ et $14  = 2 \times 7$
%En déduire, dans $\N$, l'ensemble des diviseurs de 78 et l'ensemble des diviseurs de 14.
On a $\mathcal{D}_{78} = \left\{1~;~2~;~3~;~6~;~13~;~26~;~39~;~78\right\}$ et 
$\mathcal{D}_{14} = \left\{1~;~2~;~7~;~14\right\}$.
		\item %Soit $\dfrac{P}{Q}$ une solution rationnelle de l'équation (1) d'inconnue $x$ :

%\[78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0 \quad \text{où} \quad  u \quad\text{et}\quad v\quad \text{sont des entiers relatifs.}\]

%Montrer que si $P$ et $Q$ sont des entiers relatifs premiers entre 
%eux, alors $P$ divise 14 et $Q$ divise 78.
$\dfrac{P}{Q}$ une solution rationnelle de l'équation (1) signifie

 $78\dfrac{P^3}{Q^3} + u\dfrac{P^2}{Q^2} + v\dfrac{P}{Q} - 14 = 0 \iff 78P^3 + uP^2Q + vPQ^2 - 14Q^3 = 0 \iff P\left(78P^2 + uPQ + vQ^2 \right) = 14Q^3.$

Comme $P$ divise $14Q^3$ et est premier avec $Q$, il divise 14.

De même on peut écrire $14Q^3 - vPQ^2 -uP^2Q   = 78P^3 \iff$

$ Q\left(14Q^2 - vPQ - uP^2 \right) = 78P^3.$

$Q$ divise $78P^3$, est premier avec  $P$ donc avec  $P^3$ :  il divise 78.
		\item %En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant 
%être solutions de l'équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble 
%de ceux qui sont positifs.
On a donc $P \in \mathcal{D}_{14}$ et aussi leurs opposés et $Q \in \mathcal{D}_{78}$  et leurs opposés.

En théorie il y a $4 \times 8 = 32$ possibilités avec des termes positifs, mais comme $P$ et $Q$ doivent être premiers entre eux, si $P$ est pair $Q$ ne peut l'être et inversement. Il faut donc enlever $2 \times 4 = 8$ couples. Il faut également enlever les 4 couples avec $Q=1$ qui donnent une solution entière. 

Il reste donc 20 couples  positifs et autant de négatifs, soit 40 couples possibles.

Les 20 rationnels positifs non entiers possibles sont :

$\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{6}~;~\dfrac{1}{13}~;~\dfrac{1}{26}~;~\dfrac{1}{39}~;~\dfrac{1}{78}~;~
\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{13}~;~\dfrac{2}{39}~;~\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{7}{3}~;~\dfrac{7}{6}~;~\dfrac{7}{13}~;~
\dfrac{7}{26}~;~\dfrac{7}{39}~;~\dfrac{7}{78}$ ;

$\dfrac{14}{3}~;~\dfrac{14}{13}~;~\dfrac{14}{39}.$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A - étude préliminaire d'une fonction \boldmath 
$\varphi$ \unboldmath  définie sur $\R$ par \boldmath $\varphi(x) = (2 - 
x)\text{e}^x - 1$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ 
%\infty$.
$\bullet~$ En $- \infty$ : $f(x) = 2\text{e}^{x} - x\text{e}^{x} - 1$.

En posant $y = -x,~-x\text{e}^{x} = y\text{e}^{-y} = \dfrac{y}{\text{e}^{y}}$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} -x\text{e}^{x}  = \displaystyle\lim_{y \to + \infty}\dfrac{y}{\text{e}^{y}} = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} = -1$.

$\bullet~$ En $+ \infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (2 - x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, donc par produit de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \varphi(x) = - \infty$.
\item %Montrer que la fonction $\varphi$ est continue et dérivable sur $\R$ et étudier le signe de sa dérivée.
$\varphi$ est une somme de produits de fonctions continuez et dérivables sur $\R$, elle est donc continue et dérivable sur $\R$ et :

$\varphi'(x) = - \text{e}^ + (2 - x)\text{e}^x = (1 - x)\text{e}^x$ qui est du signe de $(1 - x)$ car quel que soit $x \in\R,~\text{e}^x > 0.$

On a donc $\varphi'(x) > 0 \iff x < 1, ~\varphi'(x) < 0 \iff x > 1$. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
%\psgrid
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2)  \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.25,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){1} \uput[u](7.7,3){$+ \infty$}\rput(5,2.5){0}\rput(5,1.7){$\text{e} - 1$}
\rput(1,2.5){$\varphi'(x)$} \rput(3.5,2.5){$+$} \rput(6.5,2.5){-}
\uput[u](2.2,0){$-1$} \uput[u](7.7,0){$-\infty$}\rput(1,1){$\varphi$}
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(2.4,0.3)(4.7,1.7) \psline[arrowsize=3pt 2]{->}(5.3,1.7)(7.4,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}
%En déduire les variations de la fonction $\varphi$ et préciser les valeurs 
%de $\varphi(-2),\varphi(0),$ $\varphi(1)$ et $\varphi(2)$.
On a $\varphi(-2) = 4\text{e}^{-2} - 1 \approx -0,45$.

$\varphi(0) = 2 - 1 = 1,~\varphi(1) = \text{e} - 1$ et enfin $\varphi(2) = 0 - 1 = -1$
\item %Prouver que la fonction $\varphi$ s'annule uniquement en deux valeurs que l'on nommera $\alpha$ et $\beta$. On prendra $\alpha < \beta$. Étudier alors le signe de la fonction $\varphi$ sur l'ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.
On a $\varphi(-2) < 0$ et $\varphi(0) > 0$ ; la fonction $\varphi$ étant continue et croissante sur $]-2~;~0[$ elle s'annule une seule fois en $\alpha \in ]-2~;~0[$.

De la même façon elle s'annule en $\beta \in [1~;~2]$.
\item %À l'aide de la calculatrice, fournir un encadrement d'amplitude 
%$10^{-2}$ des valeurs $\alpha$ et $\beta$.
La calculatrice donne $-1,15 < \alpha < -1,14$ et $1,84 < \beta < 1,85$.
\item %Montrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{2 - \alpha}$.
On sait que $\varphi(\alpha) = 0 \iff (2 - \alpha)\text{e}^{\alpha} -1 = 0 \iff (2 - \alpha)\text{e}^{\alpha}  = 1 \iff \text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{2 - \alpha}$ (car $\alpha \neq 2$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath
définie par  \boldmath $f(x) = \dfrac{\text{e}^x- 1}{\text{e}^x - x}$ \unboldmath et calcul intégral}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $\text{e}^x - x$ ne s'annule pas sur $\R$ . En déduire que $f$ est définie sur $\R$.
Soit $e$ la fonction définie sur $\R$ par $e(x) = \text{e}^x - x$. Cette fonction est dérivable et pour tout $x,~e'(x) = \text{e}^x -1$ qui s'annule pour $x = 0$.

Donc sur $\R_{-},~e'(x) < 0$, donc $e$ est décroissante de $+ \infty$ 
à 1, et sur $\R_{+}, ~e'(x) > 0$, donc $e$ est croissante de 1 à $+ \infty$.

Le minimum de la fonction est égal à 1, donc pour tout $x$ réel $\text{e}^x - x \geqslant 1 > 0.$

Conclusion : $f$ est définie pour tout réel.		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x- 1 = -1$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x- x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)  = 0.$

On peut écrire en factorisant puis en simplifiant par le facteur non nul $\text{e}^x$ :

$f(x) = \dfrac{1 - \text{e}^{-x}}{1 - x\text{e}^{-x}}$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \text{e}^{-x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - x\text{e}^{-x} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.
		\item %Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ puis, à l'aide des résultats de la \textbf{partie A}, construire le tableau des variations de $f$.
$f$ quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s'annulant pas sut $\R$ est dérivable et pour tout $x \in \R,~f'(x) = \dfrac{\text{e}^x\left(\text{e}^x - x \right) - \left(\text{e}^x - 1 \right)\left(\text{e}^x - x\right)}{\left(\text{e}^x - x\right)^2} =$

$ \dfrac{\text{e}^{2x}  - x \text{e}^x - \text{e}^{2x} - x\text{e}^{2x} + x\text{e}^{x} + x\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x - x\right)^2} = \dfrac{2\text{e}^x   - x\text{e}^{x} -1 }{\left(\text{e}^x - x\right)^2} = \dfrac{\varphi(x)}{\left(\text{e}^x - x\right)^2}$.

Le signe de $f'(x)$ est celui de $\varphi(x)$ vu à la partie A.

On obtient donc le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,4)
%\psgrid
\psframe(11,4) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,3)(11,3) \psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.25,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$\alpha$} \uput[u](8,3){$\beta$} \uput[u](10.7,3){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(3.5,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$+$} \rput(8,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$-$}
\rput(1,1){$f$} \uput[d](2.15,2){$0$} \uput[u](5,0){$f(\alpha)$} \uput[d](8,2){$f(\beta)$}\uput[u](10.8,0){$1$}
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(2.3,1.7)(4.6,0.3) 
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(5.4,0.3)(7.6,1.7)
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(8.4,1.7)(10.6,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, 	le nombre $\alpha$ étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction $\varphi$ de la partie A s'annule.
On a $f(\alpha) = \dfrac{\text{e}^{\alpha} - 1}{\text{e}^{\alpha} - \alpha}$.

On a vu dans la partie précédente que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{2 - \alpha}$, donc en remplaçant les exponentielles :

$f(\alpha) = \dfrac{\dfrac{1}{2 - \alpha} - 1}{\dfrac{1}{2 - \alpha} - \alpha} = \dfrac{1 - 2 + \alpha}{1 - 2\alpha + \alpha^2} = \dfrac{\alpha - 1}{(\alpha - 1)^2} = \dfrac{1}{\alpha - 1}.$
		\item %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l'intégrale :
On a vu que si $e(x) = \text{e}^x - x, ~e'(x) = \text{e}^x - 1$, donc $f(x) = \dfrac{e'(x)}{e(x)}$.

Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \ln |e(x)| = \ln e(x) = \ln \left(\text{e}^x - x \right)$ (car on a vu que $e(x) > 0$ sur $\R$).
 
\[\displaystyle\int_0^1  \dfrac{\text{e}^x- 1}{\text{e}^x - x}\:\text{d}x.\]
On a donc $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_{0}^1 = \left[\ln \left(\text{e}^x - x \right) \right]_{0}^1 = \ln \left(\text{e} - 1\right) - \ln 1  = \left(\text{e} - 1\right) \approx \np{0,5413} \approx 0,54$. (au centième près)
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude de deux suites}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Préciser l'ensemble de définition D$_g$ de la fonction $g$ définie sur cet ensemble par $g(x) = \ln \left(\dfrac{1}{2 - x}\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
La fonction est définie si $\dfrac{1}{2 - x} > 0 \iff 2 - x > 0 \iff x < 2$.

On a donc D$_g = ]- \infty~;~2[.$
%Prouver que la fonction $g$ est croissante sur son ensemble de définition 
%
La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{2 - x}$ est croissante sur $]- \infty~;~2[$ et la fonction $\ln$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$, donc par composition, la fonction $g$ est croissante sur $]- \infty~;~2[$.

De même les deux fonctions étant continues, la fonction $g$ est continue sur $]- \infty~;~2[.$

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{1}{2 - x} = 0,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - \infty.$

Comme $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{2 - x} = + \infty,~\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x) = + \infty.$
\item On admet que que l'image par $g$ de l'intervalle I = $[-2 ~;~ 0]$ est incluse dans cet intervalle.
	\begin{enumerate} 
		\item %Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour
%tout entier naturel $n$ par :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_0 & = & -2\\
%u_{n+1}&  =& g\left(u_n\right)\\
%\end{array}\right.\]

%Montrer que $u_1$ appartient à l'intervalle I = $[-2 ~;~ 0]$. Prouver par
%récurrence, à l'aide des variations de la fonction $g$, que la suite $\left(u_n\right)$ a tous
%ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
$u_{1} = g\left(u_0\right) = g(-2) = \ln \left[\dfrac{1}{2 - (-2)}\right] = \ln \left[\dfrac{1}{4}\right] = - 2 \ln 2 \in [-2 ~;~ 0]$.

$\bullet~~$Initialisation : on a donc $u_{0}  \in [-2~;~0]$. La relation est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$Hérédité : supposons que pour  $n \in\N$ on ait  $u_{n} \in [-2~;~0]$.

On a donc $- 2 \leqslant u_{n} \leqslant 0.$ Par croissance de la fonction $g$, on a donc :

$g(- 2) \leqslant g\left(u_{n}\right) \leqslant g(0) \iff \ln \left[\dfrac{1}{4}\right] \leqslant g\left(u_{n}\right) \leqslant \ln \left[\dfrac{1}{2}\right] \iff -2\ln 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant - \ln 2 \Rightarrow -2 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0$.

On a donc démontré que si pour  $n \in \N$ , \:  $u_{n} \in [- 2~;~0]$, alors $u_{n+1} \in  [-2~;~0]$.

La relation est vraie au rang 0, et si elle est vraie pour $n \in \N$, alors elle est vraie pour $n + 1$. On a donc démontré par le principe de la récurrence que  quel que soit $n \in \N, \: u_{n} \in [- 2~;~0]$.

$\star~~$ Croissance de la suite :

$\bullet~~$Initialisation : $u_{0} \leqslant u_{1}$ : vraie
  
$\bullet~~$Hérédité : supposons que pour  $n \in \N$ on ait  $u_{n} \leqslant u_{n+1}$ ; par croissance de la fonction $g$,{}$g\left(u_{n} \right) \leqslant g\left( u_{n+1}\right) \iff u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$.

La relation est vraie au rang 0, et si elle est vraie pour $n \in \N$, alors elle est vraie pour $n + 1$. On a donc démontré par le principe de la récurrence que  la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
		\item %On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%v_0 & = & 0\\
%v_{n+1}&  =& g\left(v_n\right)\\
%\end{array}\right.\]

%Calculer le terme $v_1$ et montrer que $-2 \leqslant  u_1 \leqslant	v_1 
%\leqslant v_0 \leqslant  	0$.

%Établir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction $g$ sur 
%l'intervalle $[-2 ~;~ 0]$, que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a :

%\[-2 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_{n-1} \leqslant 0.\]

%Préciser le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
$v_{0} = 0 \Rightarrow u_{1} = g\left(v_{0} \right) = g(0) = \ln \dfrac{1}{2} = - \ln 2$.

On a donc $- 2 \leqslant u_{1} \leqslant  v_{1} \leqslant v_{0} \leqslant 0.$

Démonstration par récurrence : 

$\bullet~~$Initialisation : on vient d'initialiser la propriété.

$\bullet~~$Hérédité : supposons que pour  $n \in \N$ on ait  

$-2 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_{n-1} \leqslant 0$. Par application de la fonction $g$ qui est croissante sur $[-1~;~0]$, on obtient :

\[g(-2) \leqslant g\left(u_{n} \right) \leqslant g\left(v_{n} \right) \leqslant g\left(v_{n-1} \right) \leqslant g(0)\]

soit $- 2 \ln 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n} \leqslant - \ln 2 \Rightarrow - 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n} \leqslant 0.$

La relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 0, et si elle est vraie pour $n \in \N$, alors elle est vraie pour $n + 1$. On a donc démontré par le principe de la récurrence que quel que soit $n \in \N$, \: $- 2 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_{n-1} \leqslant 0$.

La récurrence est établie.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Soit $m$ la fonction définie sur $[0~;  + \infty[$
par : 

%\[m(x) = x - \ln (1 + x).\]

%Montrer que $m$ est croissante et calculer $m(0)$ . En déduire que, pour tout $x$ positif, on a $\ln (1 + x) \leqslant x$.
$m$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0~;  + \infty[$ ; elle est donc dérivable et sur $[0~;  + \infty[,~m'(x) = 1 - \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{x}{1 + x} > 0$ puisque c'est un quotient de termes positifs.

Donc $m$ est croissante sur $[0~;  + \infty[$ et $m(0) = 0 - \ln 1 = 0$.

Conclusion : la fonction est positive, soit $x - \ln (1 + x) \geqslant 0 \iff \ln (1 + x) \leqslant x$.
		\item %Vérifier que, pour tout entier $n,~v_{n+1} - u_{n+1} = \ln \left(1 + \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}\right)$.
Pour tout entier $n,~v_{n+1} - u_{n+1} = g\left(v_{n}\right) - g\left(u_{n}\right) = \ln \left(\dfrac{1}{2 - v_{n}}\right) - \ln \left(\dfrac{1}{2 - u_{n}}\right) = - \ln \left(2 - v_{n}  \right) + \ln \left(2 - u_{n}\right) = \ln \dfrac{2 - u_{n}}{2 - v_{n}} = \ln \dfrac{2 - v_{n} + v_{n} - u_{n}}{2 - v_{n}} = \ln \left[1 + \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}\right]$.
%En déduire que $v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant  \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}$.
On a montré que tout entier $n,~ u_{n} \leqslant v_{n}$, donc $v_{n} - u_{n} \geqslant 0$ et $-2 \leqslant v_{n} \leqslant 0  \iff 0 \leqslant  - v_{n} \leqslant 2 \iff 2 \leqslant 2 - v_{n}  \leqslant 4$, donc $2 - v_{n} \geqslant 0$.

Il en résulte que  $\dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n} \geqslant 0$.

Or on a montré que pour $x \in \R, x \geqslant 0,~\ln (1 + x) \leqslant x$, en appliquant ce résultat à $x = \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}$, on en déduit que 
%Sachant que, pour tout entier $n$, les termes de la suite $\left(v_n\right)$ appartiennent à l'intervalle $[-2~ ;~ 0]$, donner un encadrement de  $\dfrac{1}{2 - v_n}$ et établir que :
$\ln\left[1 + \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}\right] \leqslant \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}$.

Donc finalement 

\[v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(v_n - u_n\right).\]
%\[v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(v_n - u_n\right).\]

%Prouver alors que, pour tout entier naturel $n$,

%\[ v_n -  u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n} \left(v_0 - u_0\right).\]
On sait que :

$-2 \leqslant v_{n} \leqslant 0 \iff 0 \leqslant -v_{n} \leqslant 2 \iff$

$2 \leqslant 2 - v_{n} \leqslant 4 \iff \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{1}{2 - v_{n}} \leqslant \dfrac{1}{2}\iff$

$\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2} \leqslant  \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2 - v_{n}} \leqslant\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2} \iff \ln \left[1 + \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2 - v_{n}} \right] \leqslant \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2 - v_{n}} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(v_{n} - u_{n} \right).$

Montrons par récurrence que pour tout naturel $n,~v_n -  u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n} \left(v_0 - u_0\right)$.

- Initialisation : pour $n = 0$, on a $v_{0} - u_{0} \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \left(v_{0} - u_{0}\right)$ qui est vraie.

- Hérédité : supposons que pour  $n \in \N$ on ait  $v_n -  u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n} \left(v_0 - u_0\right)$.

On a montré que $v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(v_{n} - u_{n} \right)$ soit en utilisant l'hypothèse de récurrence :

$v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n\left(v_{0} - u_{0} \right)$ soit 

$v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}\left(v_{0} - u_{0} \right).$

La relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$.

On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n,\:v_n -  u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n} \left(v_0 - u_0\right)$.
%Que peut-on en déduire pour la suite de terme général $v_n - u_n$ et pour les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
On a vu que pour tout $n$,~$v_{n} - u_{n} \geqslant 0$, donc finalement

\[0 \leqslant v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(v_{0} - u_{0}\right)\]

Comme $v_{0} - u_{0} \geqslant 0$ et que $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ est une suite positive, la suite $\left(v_{n} - u_{n}\right)$ est une suite à termes positifs.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = 0$, le théorème des \og gendarmes \fg{} montre que 
\[\lim_{n \to + \infty} \left(v_{n} - u_{n}\right) = 0.\]

Finalement la suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante, la suite $\left(v_{n} \right)$ est décroissante et la limite de leurs différences est nulle : elles sont donc adjacentes, sont convergentes et ont donc  la même limite. 
	\end{enumerate}
\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 
%$10^{-4}$ de $u_{10}$ et $v_{10}$.
La calculatrice donne $u_{10} \approx \np{-1,14622}$, donc à $10^{-4}$ près 

\[\np{-1,1463} \leqslant u_{10} \leqslant \np{-1,1462}.  \]

De m\^eme on obtient $v_{10} \approx \np{-1,14618}$, donc à $10^{-4}$ près 

\[\np{-1,1462} \leqslant v_{10} \leqslant \np{-1,1461}.  \]
\end{enumerate}
\end{document}