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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Guadeloupe
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\
septembre 2008}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}
 
%Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}
  
%On définit :
%\begin{itemize}
%\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
%\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
%Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  

%En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] \emph{Initialisation} : $u_{0} = 1 + \dfrac{12}{5^0} = 1 + 12 = 13$ : vrai ;
\item[$\bullet~$] \emph{Hérédité} : soit un naturel $n$ tel que  $u_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^p}$ ; alors 

$u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\left(1 + \dfrac{12}{5^n} \right) + \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{12}{5^{n+1}} = 1 +   \dfrac{12}{5^{p+1}}$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$ ; on a donc démontré par le principe de récurrence que 
  pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{12}{5^n} = 0,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$.
\end{itemize}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  
%		Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
On a $S_{n+1} - S_{n} = u_{n+1}$. Par une récurrence immédiate, on a $u_{n} > 0$, ce qui entra\^{\i}ne que la suite $\left(S_{n}\right)$ est croissante.
		\item %Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
D'après la question \textbf{1.}, $S_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^0} + \cdots + 1 + \dfrac{12}{5^n} = (n + 1) \times 1 + \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{12}{5^k} =$

$ (n + 1) + 12\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{5^k}.$

Le deuxième terme de la somme précédente est la somme des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$, soit avec $T_{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{5^k},$

$\dfrac{1}{5}T_{n} = \dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{5^n} + \dfrac{1}{5^{n+1}}$ et par différence $\dfrac{4}{5}T_{n} = 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}$ et enfin $T_{n} = \dfrac{5}{4}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} \right)$. D'où $12\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{5^k} = 12 \times \dfrac{5}{4}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} \right) = 15\left(1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}\right) = 15 - \dfrac{3}{5^n}$

On a donc  :

\fbox{$S_{n} = (n + 1) + 15 - \dfrac{3}{5^n} = n + 16 - \dfrac{3}{5^n}.$}		
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$.
		La limite de la suite est celle de $n$, donc égale à $+ \infty.$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : }

\medskip
 
%Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
%définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
% 
%Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

% Justifier dans chaque cas. 
 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: 
% si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
Fausse : la suite $\left(u_{n}\right)$ de l'exercice ci-dessus est convergente, alors que $\left(S_{n}\right)$ diverge.
\item[] Proposition 2 :
% les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
Fausse : la suite $\left(u_{n}\right)$ de l'exercice ci-dessus est décroissante car la suite de terme général $\dfrac{1}{5^n}$ l'est et on a vu que la suite $\left(S_{n}\right)$ est croissante.
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

 \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
 \medskip
 
\textbf{PARTIE A :}

On considère le système de congruences : 

\[(S) \left\{\begin{array}{l c l r}
n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ 
n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5)\\
\end{array}\right. 
,~ \text{où}~ n~ \text{désigne un entier relatif. }\]

\begin{enumerate}
\item 
%Montrer que $11$ est solution de $(S)$. 
On a $11 = 3 \times 3 + 2$ et $1 = 5 \times 1$ ; 11 est donc solution de $(S)$.
\item 
%Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$. 
On a $\left\{\begin{array}{l c l r}
n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ 
11& \equiv & 2&(\text{modulo}~ 3)\\
\end{array}\right. \Rightarrow ~\text{par différence}~n - 11 \equiv 0~~\text{modulo}~3$, qui signifie que $n - 11$ est un multiple de 3.
\item 
%Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$, où $k$ désigne un entier relatif. 
De même $\left\{\begin{array}{l c l r}
n & \equiv & 1 &(\text{modulo}~ 5) \\ 
11& \equiv & 1&(\text{modulo}~ 5)\\
\end{array}\right. \Rightarrow ~\text{par différence}\: n - 11 \equiv 0\:\:\text{modulo}~5$, qui signifie que $n - 11$ est un multiple de 5.

Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, $n - 11$ est multiple de $3 \times 5 = 15$. D'où $n - 11 = 15k$, avec $k \in \N$ et enfin $n = 11 + 15k,~k \in \N$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par : 

%\[z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.\]
\medskip

\begin{enumerate}
\item  
%Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$. 
- Application $f$ : $\dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i} \sin \frac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

On a donc $z' = z \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ : l'application $f$ est donc une rotation de centre O et d'angle  $\frac{\pi}{3}$.

- Application $g$ :  $z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z$, donc $g$ est la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{5}$.
\item   
%On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} =  4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$. 
%Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences : 

%\[A_{n+1} =  f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad  B_{n+1} =  g\left(B_{n}\right).\]

% On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item 
% Quelle est la nature de chacun des triangles O$A_{n}A_{n+1}$ ? 
Comme $A_{n+1} = f\left(A_{n} \right)$,{} O$A_{n+1} = \text{O}A_{n}$ et $\left(\vect{\text{O}A_{n}},~\vect{\text{O}A_{n+1}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$, le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est isocèle avec un angle au sommet de $\dfrac{\pi}{3}$, donc un triangle équilatéral.
		\item 
% En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$.
Les points $A_{0},~A_{1},~A_{2},~A_{3},~A_{4}$ et  $A_{5}$ sont équidistants de O, donc sur un cercle de centre O.

Les triangles O$A_{n}A_{n+1}$ sont équilatéraux, donc $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ est un hexagone régulier de centre O.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
%  Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
De la même fa\c{c}on les points $B_{n}$ sont sur le cercle de centre O et rayon 

O$B_{0} = \left|4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}  \right| = 4$.		
		\item
% Indiquer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}B_{n}},~\vect{\text{O}B_{n+2}}\right)$.
D'après la relation de Chasles : 
 
$\left(\vect{\text{O}B_{n}},~\vect{\text{O}B_{n+2}} \right) = \left(\vect{\text{O}B_{n}},~\vect{\text{O}B_{n+1}} \right)  + \left(\vect{\text{O}B_{n+1}},~\vect{\text{O}B_{n+2}} \right)  = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5}. \quad (2\pi)$
		\item 
% En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$.
Les points $B_{n}$ sont sur le cercle de centre O et de rayon 4 et les triangles O$B_{n}B_{n+2}$ sont isocèles d'angle au sommet $\dfrac{2\pi}{5}.$

Le polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$ est donc un pentagone régulier de centre O.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
% Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$. 
Puisque $a_{n+1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}a_{n},~\left(a_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. On a donc $a_{n} = \left( \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)^n a_{0} = \left( \text{e}^{n\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) \times 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2 \left( \text{e}^{\text{i}\frac{(n-2)\pi}{3}}\right)$.

De même, comme $b_{n+1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}b_{n},~\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}$. On a donc $b_{n} = \left( \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}\right)^n b_{0} = \left( \text{e}^{n\text{i}\frac{\pi}{5}}\right) \times 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = 4 \left( \text{e}^{\text{i}\frac{(n-1)\pi}{5}}\right)$.
		\item  
% Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A.
Les points  sont les deux sur l'axe des réels si leurs arguments sont égaux à 0 à $\pi$ près, c'est-à-dire si 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{(n - 2)\pi}{3}& \equiv& 0 \quad [\pi]\\
\dfrac{(n - 1)\pi}{5}& \equiv& 0 \quad [\pi]\\
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
n - 2 &\equiv &0 \quad [3]\\
n - 1 &\equiv &0 \quad [5]\\
\end{array}\right. \]

Les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels si $n$ est solution du système $(S)$ ci-dessus, donc si $n$ est de la forme $11 + 15k$ avec $k \in \N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} 
 
\textbf{Commun à tous les candidats}
  
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  
%Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = 0.$ La limite de $f(x)$ est celle de $x + 2$ soit $- \infty.$ 
		\item 
%Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
$f(x) - (x + 2) = -\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ et on a vu que la limite de ce quotient est égale à $0$ au voisinage de $- \infty$. Ceci montre que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $- \infty.$
		\item 
%Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$.
Comme $4,~ \text{e}^x,~\text{e}^x + 3$ sont des nombres supérieurs à zéro, $-\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} < 0.$

Ceci montre que la droite $\mathcal{D}_{1}$ est sous la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $- \infty.$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : 
%\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
$f$ est une somme de quotients de fonctions dérivables sur $\R$, le dénominateur ne s'annulant pas : elle est donc dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = 1 + \dfrac{-4\text{e}^x\left(\text{e}^x + 3 \right)  + 4\text{e}^x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = 1 - \dfrac{12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2 - 12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} =$

$ \dfrac{\text{e}^{2x} + 9 + 6\text{e}^x - 12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + 9 - 6\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}$

D'où finalement $f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2$, quel que soit $x \in \R$.
		 
		\item %Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a manifestement $f'(x) \geqslant  0$.

La fonction $f$ est donc croissante sur $\R$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = - 4,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.$

D'où le tableau de variations :

\medskip

\begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,3.5)
%\psgrid
\psframe[linecolor=blue](7,3.5)
\psline[linecolor=blue](0,2.5)(7,2.5)
\psline[linecolor=blue](0,3)(7,3)
\psline[linecolor=blue](1.5,0)(1.5,3.5)
\uput[u](0.75,3){$x$} \uput[u](1.8,3){$- \infty$} \uput[u](4.25,3){$\ln 3$} \uput[u](5.6,3){$+ \infty$} \uput[u](0.75,2.4){$f'(x)$} \uput[u](2.85,2.5){$+$} \uput[u](4.25,2.5){$0$}  \uput[u](5.7,2.5){$+$} \rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(1.8,0.2){$- \infty$} \rput(6.6,2.3){$+ \infty$}
\psline{->}(2.3,0.4)(6.1,2)
\rput(4.25,1.25){$\ln 3$}
\end{pspicture}
\end{center} 
Il manque surement deux questions à cet exercice : la limite en plus l’infini et l’existence d’une deuxième asymptote :

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : en factorisant $\text{e}^x$ on a :

$\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x\left(1 + 3\text{e}^{-x}\right)} = \dfrac{4}{1 + 3\text{e}^{-x}}$.

Comme $\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0,$ il en résulte que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = 4$.

Comme $\lim_{x \to + \infty} x + 2 = + \infty$, on conclut que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

$\bullet~~$ Asymptote au voisinage de plus l’infini :

On a $f(x) - (x - 2) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} - x  + 2 =  4 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$.

Or on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = 4$, donc finalement 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (x - 2) = 4 - 4 = 0$, ce qui signifie que la droite $\mathcal{D}_4$ d’équation $y = x - 2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l’infini. Voir la figure.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  
% Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ?
$f'(x) = 0 \iff  \text{e}^x = 3 \iff x = \ln 3.$

$\mathcal{C}$ a donc  une tangente    horizontale au point d'abscisse $x = \ln 3$.

On a $f(\ln 3) = \ln 3 + 2 - \dfrac{4 \times 3}{3 + 3} = \ln 3$.

L'équation de $\mathcal{D}_{2}$ est $y = \ln 3 - 2$.
		\item 
%En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$.

- Si $x < \ln 3$, alors par croissance de $f,~f(x) < f(\ln 3)$. La courbe  $\mathcal{C}$ est sous la droite $\mathcal{D}_{2}$.

- Si $x > \ln 3$, alors par croissance de la fonction $f~f(x) > f(\ln 3)$. La courbe  $\mathcal{C}$ est au-dessus de  la droite $\mathcal{D}_{2}$.

- Si $x = \ln 3$, alors $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}_{2}$ sont tangentes.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
% Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$. 
$M(X~;~Y) \in \mathcal{D}_{3} \iff \dfrac{Y - f(0)}{X - 0} = f'(0) \quad (\text{si}~X \neq 0) \iff Y = f(0) + f'(0)X.$

$f(0) = 2 - \dfrac{4}{4} = 1$ ;

$f'(0) =  \left(\dfrac{-2}{4} \right)^2 = \dfrac{1}{4}$.

$M(x~;~y) \in \mathcal{D}_{3} \iff y = \dfrac{1}{4}x + 1$
		\item 
% Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
		
%On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\R$ par : 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right)$.

$g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = f'(x) - \dfrac{1}{4}$ ;

$g'$ est dérivable sur $\R$ et $g''(x) = f''(x)  = \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}$ ; ce quotient est du signe de $\text{e}^x - 3$ ; le signe de $g''$ dépend donc de la position de $x$ par rapport à $\ln 3$ :

- si $x < \ln 3,~g''(x) < 0$, ce qui signifie que $g'$ est décroissante ;

-  si $x > \ln 3,~g''(x) > 0$, ce qui signifie que $g'$ est croissante.

- $g'$ admet donc un minimum en $\ln 3$ qui vaut $g'(\ln 3) = f'(\ln 3) - \dfrac{1}{4} = 0 - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{4}$.

On remarque que $g'(0) = f'(0) - \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{-2}{4} \right)^2  - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$.

On en déduit que sur $]- \infty~;~0[,~g'(x) > 0$, donc $g$ est croissante, puis que sur $]0~;~\ln 3[,~g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante.

$g$ a donc un maximum en $x = 0$ qui vaut $g(0) = f(0) - 1 = 2 - \dfrac{4}{4} - 1 = 0$.

Conclusion : sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln 3[$, la fonction $g$ est négative soit $f(x) - \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right) < 0 \iff f(x) < \left(\dfrac{1}{4}x + 1 \right)$, ce qui signifie 
 que $\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{D}_{3}$ sur $]- \infty~;~\ln 3[$.
%\[ 
%	f"(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	
	\end{enumerate}
\item 
%On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. 

%Tracer la courbe  $\mathcal{C}$, les tangentes $\mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm.

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-2,-1)(4,4) 
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1pt](0,0)(-2,-1)(4,4) 
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-2}{4}{x 2 add 2.71828 x exp 4 mul 2.71828 x exp 3 add div sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{0.25 x mul 1 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{ x 2 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{1}{4}{ x 2 sub}
\psplot{-2}{4}{1.09861}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}\uput[dr](1.098,0){$\ln 3$} 
\uput[ul](0,1.098){$\ln 3$} 
\psline[linestyle=dashed](1.09861,-1)(1.09861,2) \uput[dr](1.09861,1.09861){I}
\rput{45}(-0.5,1.7){\red$\mathcal{D}_{1}$} \uput[u](-1.8,1.0986){$\mathcal{D}_{2}$}
\rput{45}(3.5,1.35){\red$\mathcal{D}_{4}$}
\rput(-1.2,0.3){\blue $\mathcal{C}$}
\rput{22.5}(2.5,1.8){\green$\mathcal{D}_{3}$}
\end{pspicture}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  
% Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :  $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$.

Posons $u(x) = \text{e}^x + 3$ ; $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = \text{e}^x$.

On a donc $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

On sait qu'une primitive de cette fonction est $\ln |u(x)| = \ln u(x) ~\text{(car}$

$u(x) \geqslant 3 > 0) = \ln \left(\text{e}^x + 3 \right)$.

Une primitive $G$ de $g$ sur $\R$ est donc $G(x) = \ln \left(\text{e}^x + 3 \right)$.
		\item 
% Soit $\lambda$ un réel strictement négatif. 
%On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par  $\mathcal{D}_{1},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \lambda$ et $x = 0$.
%Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right)$. 
%		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$.

On a vu que quel que soit $x$, $\mathcal{C}$ est en dessous de $\mathcal{D}_{1}$, donc l'aire cherchée est :

$\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{\lambda}^0 [(x + 2) - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\lambda}^0 4\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ (d'après la question \textbf{1. b.})

Donc $\mathcal{A}(\lambda)  = G(0) - G(\lambda) = 4\ln \left(\text{e}^0 + 3 \right) - 4\left[\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3 \right)\right] = 4\ln 4 - 4\left[\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3 \right)\right]$.
		\item On a $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \text{e}^{\lambda} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} 4\ln\left(\text{e}^{\lambda} + 3\right) = 4\ln 3$.

Puis $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda) = 4\ln 4 - 4\ln 3 = \ln 4^4 - \ln 3^4 = \ln \left(\dfrac{4}{3} \right)^4 = \ln \dfrac{256}{81} \approx 1,15$ u. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. 

%L'urne $U_{1}$ contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

% L'urne $U_{2}$ contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher. 

%\medskip

%Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne $U_{1}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{1}$ puis de tirer au hasard une bille de l'urne $U_{2}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{2}$. 

%À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
% 
%On note 
%\begin{itemize}
%\item[] $V_{1}$ l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans $U_{1}$ » 
%\item[]  $V_{2}$ l'évènement: « le joueur tire une boule verte dans $U_{2}$ ». 
%\end{itemize}

%Les évènements $V_{1}$ et $V_{2}$ sont indépendants.
 
\begin{enumerate}
\item {~ } 
% Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est $p = 0,06$. 

 \begin{center}
 \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V_{1}$}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$V_{2}$}\taput{0,3}
		  \TR{$\overline{V_{2}}$}\tbput{0,7}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{V_{1}}$}\tbput{0,8}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{0,3}
		  \TR{$\overline{V_{2}}$}\tbput{0,7}	
	  }	
}
\end{center}

On a de suite $p\left(V_{1}\right) = \dfrac{2}{10} = 0,2,~p\left(\overline{V_{1}}\right) = \dfrac{8}{10} = 0,8$.

$p\left(V_{2}\right) = \dfrac{3}{10} = 0,3$,\: $p\left(\overline{V_{2}}\right) = \dfrac{7}{10} = 0,7$.

En suivant la première branche, on obtient $p\left(V_{1} \cap V_{2}\right) = 0,2 \times 0,3 = 0,06$.
\item  
%Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ? 
On gagne un ours en peluche si on tire une seule bille verte ; donc avec une probabilité de 

$p\left(\text{V}_{1}\cap \overline{\text{V}_{2}}\right) + p\left(\overline{\text{V}_{1}} \cap \text{V}_{2} \right) = 0,2 \times 0,7 + 0,8 \times 0,3 = 0,14 + 0,24 = 0,38$.


\item 
% Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de gagnants.

On a une épreuve de Bernoulli puisque les parties sont indépendantes avec $n = 20$ et $p = 0,06$.

La probabilité que 2 parmi les 20 gagnent un lecteur MP3 est :

\[ p(X = 2) = \binom{20}{2} \times 0,06^2 \times (1 - 0,06)^{20 - 2} \approx \nombre{0,2246}~\text{à}~10^{-4}~\text{près}. \]
% On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-4}$ près. 
\item 
%On appelle $n$ le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois. 
%On note $p_{n}$ la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

% Déterminer la plus petite valeur de $n$ vérifiant $p_{n}  \geqslant  0,99$. 
Calculons la probabilité qu'aucune de ces $n$ ne gagnent un lecteur MP3 ; elle est égale à $\binom{n}{0} \times 0,06^0 \times 0,94^n = 0,94^n$.

La probabilité qu'au moins une personne gagne est donc égale à : $p_{n} = 1 - 0,94^n$.

Or $p_{n}  \geqslant  0,99 \iff 1 - 0,94^n \geqslant  0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,94^n$ soit par croissance de la fonction logarithme népérien $\ln 0,01 \geqslant \ln \left( 0,94^n\right) \iff \ln \left(\dfrac{1}{100} \right) \geqslant n \ln 0,94 \iff - \ln 100 \geqslant n \ln(0,94) \iff n \geqslant \dfrac{- \ln 100}{\ln 0,94}$ car $\ln 0,94 < 0.$

La calculatrice donne $n \geqslant 74,5$.

Il faut au moins 75 joueurs pour qu'il y ait au moins un gagnant du lecteur MP3 avec une probabilité de 99\:\%.
\end{enumerate}
\end{document}