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%Corrigé :Jean-Paul GOUALARD]
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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
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\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\
septembre 2009}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{VRAI OU FAUX}
 
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip 

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (- 1)^n$.
 
\begin{enumerate}
%\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
\item Vrai : la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien bornée, par $- 1$ et $1$. 

%\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
\item Faux : la suite $\left(u_{n}\right)$ n'a pas de limite quand $n$ tend vers $\infty$.

%\item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. 
\item Vrai : la suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge vers 0, d'après le théorème des gendarmes.

%\item  Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$.
\item  Faux : une suite peut être à termes positifs (donc minorée) et décroissante, donc convergente, mais converger vers un autre nombre que 0 : par exemple, la suite de terme général $u_{n}=1 + \dfrac{1}{n+1}$ est à termes positifs, décroissante et tend vers 1.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
%\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors 
%$P( A \cap B) = P_{B}(A)$. 

\item Faux :  $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors $P( A \cap B) = P_{B}(A)\times P(B)\neq P_{B}(A)$. 

%\item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], alors $P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6$. 
\item Faux : $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], donc :\\
$P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6-0,1=0,5$. 

%\item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$, alors $P(X \geqslant 1)= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. 
\item Vrai :  $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$.\\
$P(X \geqslant 1)= 1 -P(X=0)=1-\binom{100}{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^{100}=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points A$(1~;~-1~;~ 4)$, B$(7~;~ -1~;~-2)$ et C$(1~;~ 5~;~ -2)$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. 
		\item On trouve $\vect{\text{AB}}(6~;~0~;~-6),~ \vect{\text{AC}}(0~;~6~;~-6)$ et $\vect{\text{BC}}(-6~;~6~;~0)$. 
		
%		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 
		\item  $\text{AB}=\sqrt{6^2+0^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}$ ; $\text{AC}=\sqrt{0^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}$ et \\
		$\text{BC}=\sqrt{(-6)^2+6^2+0^2}=6\sqrt{2}$.\\
		$\text{AB = AC = BC =}6\sqrt{2}$ donc le triangle ABC est équilatéral.
				
%		\item  Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item  $\vect{n}.\overrightarrow{\text{AB}}=1\times 6+1\times 0+1\times -6=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{\text{AB}}$.\\
		$\vect{n}.\overrightarrow{\text{AC}}=1\times 0+1\times 6+1\times -6=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{\text{AC}}$.\\
		$\overrightarrow{n}$ est un vecteur orthogonal à deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ non colinéaires du plan (ABC), 		donc $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ABC).

%		\item  En déduire que $x + y + z - 4 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC).
		\item  Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et passe par A : il a pour équation cartésienne : \\
		$1.\left(x-x_{A}\right)+1.\left(y-y_{A}\right)+1.\left(z-z_{A}\right)=0$ soit $x-1+x+1+z-4=0$ qui donne : $x+y+z-4=0$
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique
\[\left\{\begin{array}{l c l} 
x&=&-2t\\ 
y&=&-2t-2\\
z&=&-2t-3
\end{array}\right. 
\text{où} \quad  t \in  \R.\] 

	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). 
		\item La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-2~;~-2~;~-2)=-2\overrightarrow{n}$.\\
		$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires, donc $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC)
		
%		\item Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) sont (3~;~ 1~;~0). 
		\item Soit G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC). Les cordonnées de G vérifient l'équation paramétrique de $\mathcal{D}$ et l'équation du plan ABC.\\
		Par conséquent :\\
		$(-2t)+(-2t-2)+(-2t-3)-4=0$ qui donne $-6t-9=0$ et donc : $t=-\dfrac{3}{2}$.\\
		En remplaçant $t$ par $-\dfrac{3}{2}$, on trouve que les coordonnées de G sont : $G\left(3~;~1~;~0\right)$.
		
		\item $\dfrac{1}{3}\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\dfrac{9}{3}=3=x_{G}$ ; $\dfrac{1}{3}\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\dfrac{3}{3}=1=y_{G}$ et \\
		$\dfrac{1}{3}\left(z_{A}+z_{B}+z_{C}\right)=\dfrac{0}{3}=0=z_{G}$.\\
		Les coordonnées de l'isobarycentre de A, B et C sont celles de G donc G est l'isobarycentre de A, B et C.
	\end{enumerate}	 
	
\item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par A.
 
	\begin{enumerate}
%		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. 
		\item Une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ est :\\
		$\left(x-x_{G}\right)^2+\left(y-y_{G}\right)^2+\left(z-z_{G}\right)^2=R^2=\text{GA}^2$ (puisque $\mathcal{S}$ passe par A), c'est-à-dire :\\
		$(x-3)^2+(y-1)^2+z^2=\text{GA}^2$ avec $\text{GA}^2=(1-3)^2+(-1-1)^2+(4-0)^2=24$.\\
		Une équation cartésienne de $\mathcal{S}$ est donc : $(x-3)^2+(y-1)^2+z^2=24$
				
%		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F, de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$.
		\item Les coordonnées des points d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$ vérifient chacune des deux équations, donc sont solutions du système :
		
$\left\{\begin{array}{l} 
x=-2t\\ 
y=-2t-2\\
z=-2t-3\\
(x-3)^2+(y-1)^2+z^2=24
\end{array}\right. $\\
		On en déduit : $(-2t-3)^2+(-2t-2-1)^2+(-2t-3)^2=24$, donc $3(-2t-3)^2=24$ d'où $(-2t-3)^2=8$ qui s'écrit $(2t+3)^2-(2\sqrt{2})^2=0$.\\
		Après factorisation, on trouve : $t_{1}=\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{2}$ et $t_{2}=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{2}$.\\
		On en déduit les coordonnées des deux points :\\
		Pour $t_{1}=\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{2}$ : $\text{E}\left(3+2\sqrt{2}~;~1+2\sqrt{2}~;~2\sqrt{2}\right)$.\\
		Pour $t_{2}=\dfrac{-3+2\sqrt{2}}{2}$ : $\text{F}\left(3-2\sqrt{2}~;~1-2\sqrt{2}~;~-2\sqrt{2}\right)$.\\
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation $z = xy + 2x$.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip 

%On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$.
% 
%En \textbf{annexe}, le plan $\mathcal{P}$ est représenté muni du repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ où A est le point de coordonnées (2~;~0~;~0). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{1}$. 
		\item  $E_{1}$ est l'intersection de $\mathcal{P}$ et de $S_{1}$. les coordonnés d'un point quelconque de $E_{1}$ vérifient donc le système :\\
		$\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2\\x=2\end{array}\right.$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\end{array}\right.$.\\
		Dans le plan $\mathcal{P}$, $z=y^2+4$ est l'équation d'une parabole.
				
%		\item  Déterminer la nature de l'ensemble $E_{2}$.
		\item  $E_{2}$ est l'intersection de $\mathcal{P}$ et de $S_{2}$. les coordonnés d'un point quelconque de $E_{2}$ vérifient donc le système :\\
$\left\{\begin{array}{l}z=xy+2x\\x=2\end{array}\right.$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=2y+4\end{array}\right.$.\\
$E_{2}$	est donc une droite dans le plan $\mathcal{P}$
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
%		\item Représenter les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sur la feuille \textbf{annexe}. 
				\item voir figure à la fin de l'exercice
				
%		\item Dans le repère \Oijk{} donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$.
		\item Les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ vérifient le système :\\
		$\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=x^2+y^2\\z=2y+4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\\y^2+4=2y+4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\z=2y+4\\y(y-2)=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\\y=0\end{array}\right.\text{ ou }$
		
$\left\{\begin{array}{l}x=2\\z=y^2+4\\y=2\end{array}\right.$.\\
		On obtient deux points : B(2~;~0~;~4) et C(2~;~2~;~8)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

%\emph{On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :}
% 
%\og \emph{soient $a,~ b$ et $c$ des entiers avec $a$ premier. Si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.}\fg 

%\medskip

%L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection $M(x~;~y~;~z)$ des surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ où $y$ et $z$ sont des entiers relatifs et $x$ un nombre premier. 

%On considère un tel point $M(x~;~y~;~z)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que $y(y - x) = x(2 - x)$. 
		\item $M\in S_{1}\cap S_{2}\Leftrightarrow x^2+y^2=xy+2x$ c'est-à-dire $y^2-xy=2x-x^2$ \\
		d'où $=y(y-x)=x(2-x)$ .
%		\item En déduire que le nombre premier $x$ divise $y$.
		\item $x$ est premier ; il divise $x(2-x)$ donc divise $y(y-x)$.\\
		Soit il divise $y$, soit il divise $y-x$. Mais s'il divise $y-x$, il divise $(y-x)+x$ donc $y$.\\
		On en déduit que $x$ divise $y$.
	\end{enumerate} 
\item On pose $y = kx$ avec $k \in  \Z$. 
	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que $x$ divise 2, puis que $x = 2$. 
		\item $y(y-x)=x(2-x)$ s'écrit alors $kx(kx-x)=x(2-x)$, donc $kx^2(k-1)=x(2-x)$.\\
		$x$ est premier donc non nul ; on peut simplifier par $x$.\\
		On obtient alors : $kx(k-1)=2-x$.\\
		$x$ est premier, divise $kx(k-1)$, donc divise $2-x$. Comme il divise aussi $x$, il divise la somme $(2-x)+x=2$. $x$ divise donc 2.\\
		$x$ est un diviseur de 2 et est premier, donc $x=2$.
%		\item En déduire les valeurs possibles de $k$.
		\item Avec $x=2$, l'égalité $kx(k-1)=x(2-x)$ donne $k(k-1)=0$. On en déduit $k=0$ ou $k=1$.
	\end{enumerate} 
%\item Déterminer les coordonnées possibles de $M$ et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b. 
\item Pour $k=0$, on obtient comme coordonnées $(2~;~0~;~4)$ qui sont les coordonnées du point B.\\
Pour $k=1$, on obtient comme coordonnées $(2~;~2~;~8)$ qui sont les coordonnées du point C.\\
Ainsi retrouve-t-on les résultats de la première partie, question 2.b.
\end{enumerate} 
\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.875cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-7,-5)(8,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(-7,-5)(8,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-7,-5)(8,15)
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\uput[d](8,0){$y$}\uput[r](0,15.1){$z$}\uput[dl](0,0){A}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x^2+4}
\psplot{-4}{5.5}{2*x+4}
\end{pspicture}
\end{center}


\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.


 
\begin{enumerate}
%\item  Placer les points A, B et C d'affixes respectives 
%\[z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i},~ 
%z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.\]
\item  Le figure complète est à la fin de l'exercice.

 
%\item Calculer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}$ et en déduire la nature du triangle ABC. 
\item  $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}=\dfrac{-8+8\mathrm{i}}{8+8\mathrm{i}}=\dfrac{-1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}=\mathrm{i}$.\\
On en déduit : $\dfrac{\text{BA}}{\text{BC}}=\left|\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}\right|=|\mathrm{i}|=1$ donc BA = BC.\\
$\left(\overrightarrow{\text{BC}}~;~\overrightarrow{\text{BA}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}\right)=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}$.\\
On en déduit que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

%\item Soit E l'image du point C par la rotation $\mathcal{R}$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
% 
%Montrer que l'affixe de E vérifie $z_{\text{E}} = -3 + \left(8\sqrt{2} - 4 \right)\text{i}$.

\item L'écrire complexe de la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est : $z'- z_{\text{B}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\left(z-z_{\text{B}}\right)$, c'est-à-dire : $z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 4}\left(z-z_{\text{B}}\right))+z_{\text{B}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 4}\left(z+3+4\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}$.\\
E est l'image de C par cette rotation, donc : \\
$z_{\text{E}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi 4}\left(5+4\mathrm{i}+3+4\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)\left(8+8\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 8(1+\mathrm{i})^2-3-4\mathrm{i}\\
=4\sqrt{2}\times 2\mathrm{i}-3-4\mathrm{i}=-3+\left(8\sqrt{2}-4\right)\mathrm{i}$.
%Placer le point E. 

% accolades inutiles dans la ligne suivante

%\item Soit D l'image du point E par l'homothétie $\mathcal{H}$ de centre B et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}{}}{2}$.
\item L'écriture complexe de l'homothétie $\mathcal{H}$ est : \\
$z'- z_{\text{B}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(z-z_{\text{B}}\right)$ donc $z'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(z-z_{B}\right)+z_{B}$.\\
On en déduit : $z_{\text{D}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-3+(8\sqrt{2}-4)\mathrm{i}+3+4\mathrm{i}\right)-3-4\mathrm{i}=\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times (8\sqrt{2}\mathrm{i})-3-4\mathrm{i}\\
=8\mathrm{i}-3-4\mathrm{i}=-3+4\mathrm{i}$ donc $z_{D}=-3 + 4\mathrm{i}$.

%Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
$z_{\text{D}}=\dfrac{1}{2}\left(z_{\text{A}}+z_{\text{C}}\right)$ donc D est le milieu de [AC] ; or, ABC est un triangle rectangle en B. Par conséquent, D est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle ABC, donc le centre de son cercle circonscrit.
 
%Placer le point D . 
%\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

% Soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].
 
%Montrer que B, I et J sont alignés. 

\item Les droites (EC) et (DF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles BDF et BEC, $\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{BF}}$ donc F est l'image de C par l'homothétie $\mathcal{H}$.\\
On a alors : $\overrightarrow{\text{BD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BE}}$ et $\overrightarrow{\text{BF}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BC}}$.\\
Par définition, J est le milieu de [DF].\\
On en déduit : \\
$\overrightarrow{\text{BJ}}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\text{BD}}+\overrightarrow{\text{BF}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BE}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\overrightarrow{\text{BE}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\text{BE}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right)\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BI}}$.\\
On a donc : $\overrightarrow{\text{BJ}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{BI}}$ : J est l'image de I par l'homothétie $\mathcal{H}$ donc B, I et J sont alignés.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12,-5)(6,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-5)(6,8)
\psline(-11,4)(-3,-4)
\psline(-3,-4)(5,4)
\psline(-11,4)(5,4)
\psline(-3,7.31)(5,4)
\psline(-3,-4)(-3,7.31)
\psplot{-12}{6}{(--22.06-3.31*x)/8}
\psdots[linecolor=blue](-11,4)
\rput[bl](-10.92,4.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](-3,-4)
\rput[bl](-2.92,-3.88){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](5,4)
\rput[bl](5.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-3,7.31)
\rput[bl](-2.92,7.44){\darkgray{$E$}}
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\psdots[linecolor=darkgray](2.66,1.66)
\rput[bl](2.74,1.78){\darkgray{$F$}}
\psdots[linecolor=darkgray](1,5.66)
\rput[bl](1.08,5.78){\darkgray{$I$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.17,2.83)
\rput[bl](-0.1,2.94){\darkgray{$J$}}
\uput[u](-6,5.2){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~ ;~1] par :

\[f(x) = 1 + x\ln x.\]

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~ ;~1].

%$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

%$T$ est la droite d'équation $y = x$.

%La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $T$ sont représentées sur le schéma ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item  Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f( x) = 1$. 

\item D'après les formules de croissances comparées, $\lim_{x\rightarrow 0}x\ln x=0$ donc \\
$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$.

%		\item  En utilisant le signe de $x \ln x$ sur ]0~;~ 1], montrer que, pour tout nombre réel $x \in  ]0~;~1]$ , on a $f(x) \leqslant 1$.

\item Pour tout $x\in]0~;~1]$, $\ln x\leqslant 0$ donc $x\ln x\leqslant 0$ et $f(x)=1+x\ln x\leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
%		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x \in  ]0~;~1]$. 

\item $f$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur $]0~;~1]$.\\
Pour tout $x\in]0~;~1]$, $f'(x)=0+1\times \ln x+x\times \dfrac{1}{x}=1+\ln x$ ; $f'(x)=1+\ln x$.

%		\item Vérifier que la droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

\item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ en 1 est : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ ; $f'(1)=1$ et $f(1)=1$.\\
Cette équation est donc : $y=(x-1)+1$ soit : $y=x$.\\
Cette tangente est donc $T$.
	\end{enumerate} 
\item On note $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x \in  ]0~;~1]$ par 
\[g(x) = 1 + x \ln x - x.\] 
	\begin{enumerate}
%		\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle ]0~;~1] et dresser le tableau de variation de $g$.

\item $g$ est dérivable sur $]0~;~1]$ comme somme de fonctions dérivables.\\
Pour tout $x\in]0~;~1]$, $g(x)=f(x)-x$ donc $g'(x)=f'(x)-1=\ln x$.
		 
%On ne cherchera pas la limite de $g$ en $0$.
 
%		\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.

\item Pour tout $x\in]0~;~1]$, $\ln x\leqslant 0$ donc $g'(x)\leqslant 0$. On en déduit que $g$ est décroissante sur $]0~;~1]$. Or $g(1)=0$.\\
Par conséquent, $g(x)\geqslant 0$ sur $]0~;~1]$.\\
On en déduit que $\mathcal{C}$ est au-dessus de $T$ sur $]0~;~1]$.
	\end{enumerate} 
	
\item Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $0 < \alpha < 1$.

 On pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^1 \left[1 - f(x)\right]\:\text{d}x.$ 

	\begin{enumerate}
%		\item  À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I(\alpha) = \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}$. 

\item On a donc $I(\alpha)=\int_{\alpha}^1-x\ln x\text{ d}x=-\int_{\alpha}^1u'(x)v(x)\text{ d}x$ en posant $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=x\\v(x)=\ln x\end{array}\right.$.\\
$v$ est dérivable sur $[\alpha~;~1]$ et $u'$ et $v'$ sont continues sur l'intervalle $[\alpha~;~1]$.\\
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties.\\
$\int_{\alpha}^1u'(x)v(x)\text{ d}x=\left[u(x)v(x)\right]-\int_{\alpha}^1u(x)v'(x)\text{ d}x$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=\dfrac{x^2}{2}\\v'(x)=\dfrac{1}{x}\end{array}\right.$.\\
Par conséquent : $\int_{\alpha}^1u'(x)v(x)\text{ d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_{\alpha}^1-\int_{\alpha}^1\dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}\text{ d}x\\
=-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\int_{\alpha}^1\dfrac{x}{2}\text{ d}x=-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_{\alpha}^1=-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{\alpha^2}{4}\right)$.\\
Finalement : $I(\alpha)=-\left[-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{\alpha^2}{4}\right)\right]=\dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\alpha^2}{4}$.

%		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$.

\item D'après les formules des croissances comparées, $\lim_{\alpha\rightarrow 0}\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha=0$ ; $\lim_{\alpha\rightarrow 0}\dfrac{\alpha^2}{4}=0$ donc $\lim_{\alpha\rightarrow 0}I(\alpha)=\dfrac{1}{4}$.

%		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent. 

\item On en déduit que l'aire de la partie du plan comprise entre  la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $y=1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$ unité d'aire (hachurée sur le dessin ci-dessous).
%		\item À l'aide des résultats précédents, déterminer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et l'axe des ordonnées. 

\item Pour calculer l'aire demandée, il faut calculer l'aire du triangle formé par la droite $T$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $y=1$ ; elle vaut $\dfrac{1}{2}$.\\
On lui soustrait l'aire calculée précédemment : $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$.\\
L'aire du domaine (en gris sur le dessin ci-dessous) compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et l'axe des ordonnées vaut $\dfrac{1}{4}$ unité d'aire. 

\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.5,1.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,0)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000]{0.0}{1.0}{x}
\psplot[plotpoints=2000]{0.0}{1.0}{1}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot{0}{1}{1}\psplot{1}{1E-6}{1+x*ln(x)}}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray!50]{\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.0E-6}{1}{1+x*ln(x)}\psplot{1}{0}{x}}
\uput[d](0.5,0.5){$T$}
\uput[u](0.46,0.64){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{1.0E-6}{1.0}{1+x*ln(x)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}