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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2011}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}
 
%On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[f(x) = x \ln x - 1.\]
\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, on conclut que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - 1$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
$f'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x  + 1$.

On a donc $f'(x) > 0 \iff  \ln x  + 1  > 0 \iff \ln x > - 1 \iff x > \text{e}^{- 1}$ \:(par croissance de la fonction exponentielle). On peut donc en déduire que $f$ est croissante sur $\left]\text{e}^{- 1}~;~+ \infty \right[$.

De même $f'(x) < 0 \iff x < \text{e}^{- 1}$ et $f'(x) = 0 \iff x = \text{e}^{- 1}$.

On a $f\left(\text{e}^{- 1} \right) = \text{e}^{- 1}\ln \left(\text{e}^{- 1} \right) - 1 = - \text{e}^{- 1} - 1$.
%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
On a donc le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ suivant :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3.5)
\psframe(7,3.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,3)(7,3)\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,3){$x$}\uput[u](1.2,3){$0$}\uput[u](4,3){$\text{e}^{- 1}$}\uput[u](6.5,3){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f'(x)$}\rput(2.5,2.5){$-$}\rput(4,2.5){$0$}\rput(5.5,2.5){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](1.5,2){$- 1$}\uput[u](4,0){$- \text{e}^{- 1} - 1$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.8,1.75)(3.25,0.5) \psline{->}(4.75,0.5)(6.25,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$.
Sur $\left]0~;~\text{e}^{- 1}\right[, \:f(x) \leqslant - 1 < 0$. l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $\left[\text{e}^{- 1}~;~+ \infty\right[$, la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement monotone croissante : il y a donc une bijection de $\left[\text{e}^{- 1}~;~+ \infty\right[$ sur $\left[- \text{e}^{- 1} - 1~;~+ \infty\right[$.

Conclusion : il existe un réel unique $\alpha$  de l'intervalle $\left[\text{e}^{- 1}~;~+ \infty\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne successivement : $1,7 < \alpha < 1,8$, puis $1,76 < \alpha < 1,77$.
\item %Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$.
La question précédente montre que :

\begin{itemize}
\item sur $\left]0~;~\alpha \right[ , \:\: f(x) < 0$ ;
\item $f(\alpha) = 0$ ;
\item sur $]\alpha~;~+ \infty[,\:\:f(x) > 0$.
\end{itemize}
\item %Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$.
On a $f(\alpha) = 0 \iff \alpha \ln \alpha - 1 = 0 \iff \alpha  \ln \alpha = 1 \iff \ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$ (car $\alpha \neq 0$).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale}

\medskip
 
%On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : 
%
%\[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).
On sait que sur l'intervalle $[\alpha~;~4]$ la fonction $f$ est positive,  que $\alpha < 4$, donc l'intégrale est (en unité d'aire) l'aire de la surface hachurée limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x = 4$.
\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale 

%\[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\]
Posons $\left\{\begin{array}{l c l}
u'(x)&=&x\\
v(x) &=&\ln x
\end{array}\right. \Longrightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
u(x)&=&\dfrac{x^2}{2}\\
v'(x) &=& \dfrac{1}{x}
\end{array}\right.$

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur l'intervalle $[\alpha~;~4]$, on peut donc faire une intégration par parties :

$I = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{\alpha}^4 - \displaystyle\int_{\alpha}^4  \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x \right]_{\alpha}^4 - \displaystyle\int_{\alpha}^4 \dfrac{x}{2}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x  - \dfrac{x^2}{4}\right]_{\alpha}^4 = $

$8\ln 4 - 4- \left(\dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha - \dfrac{\alpha^2} {4}\right) = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha$.
\item %Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$.

%En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. 
$I = \displaystyle\int_{\alpha}^4 (x\ln x - 1)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\alpha}^4 x\ln x\:\text{d}x
 - \displaystyle\int_{\alpha}^4 1\:\text{d}x = J - [x]_{\alpha}^4 = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha - 4 + \alpha$.
 
On a vu que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$, donc :

$I = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha^2}{2\alpha} - 4 + \alpha = 8\ln 4 - 4 + \dfrac{\alpha^2}{4} - \dfrac{\alpha}{2} - 4 + \alpha = 8\ln 4 - 8 + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} = 8\ln 2^2 - 8 + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} = 16\ln 2 - 8 + \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2}$
 
De l'encadrement trouvé $1,76 < \alpha < 1,77$, on déduit successivement :

$\np{3,0976} < \alpha^2 < \np{3,1329} \Rightarrow 0\np{0,7744}< \dfrac{\alpha^2}{4}< \np{0,783225}$

et $0,88 < \dfrac{\alpha}{2}< 0,885$ et finalement :
$\np{4,7444} < I < \np{4,768225}$.

On a donc $I \approx 4,8$ (u. a.) à 0,1 près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
% 
%On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : 
%
%A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
$\vect{\text{AB}}(2~;~- 8 ~;~- 2), \: \vect{\text{AC}}(3~;~0 ~;~1)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, dont les trois points distincts A, B et C définissent un plan.  
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
On a $\vect{n} \cdot  \vect{\text{AB}} = 2 - 8 + 6 = 0$ et $\vect{n} \cdot  \vect{\text{AC}} = 3 - 3 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  du plan (ABC) est donc un vecteur normal au plan (ABC).
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 1x + 1y - 3z + d = 0$.
En particulier C$(2~;~2~;~2)  \in (\text{ABC}) \iff 1 \times 2  + 1 \times 2 - 3 \times 2 + d = 0 \iff d = 2$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x + y - 3z + 2 = 0$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants.
Le vecteur $\vect{p}(1~;~- 1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (P).

Or $\vect{n}$ et $\vect{p}$ ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les plans  (ABC) et $P$ ne sont pas parallèles donc sécants.
		\item %Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
		
$M(x~;~y~;~z) \in D \iff M(x~;~y~;~z) \in \left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 3z + 2 &=& 0\\
x - y + z - 4 &=& 0
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x + y   &=&3t - 2\\
x - y  &=&- t + 4 \quad (1)\\
z&=&t
\end{array}\right. \Rightarrow 2x = 2t + 2 \iff x = t + 1$.

En remplaçant dans l'équation (1) $y = x + z - 4 = z + 1 + z - 4 = 2t - 3$.

Finalement : $M(x~;~y~;~z) \in D \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y&=&2t - 3\\
z&=&t
\end{array}\right.$

	\end{enumerate} 
\item %On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 1 + t\\ 
%y &=& -3 + 2t\\
%z &=&t,
%\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
Le point de $D$ correspondant à $t = 1$ est le point I.
		\item %Montrer que le point I appartient à la sphère $S$.
Calculons $\Omega\text{I}^2 = (2 - 3)^2 + (- 1 - 1)^2 + (1 - 3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$, donc $\Omega\text{I} = 3$ : le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point.
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à   $S$ si et seulement si $\Omega M^2 = 9 \iff (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$.

Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $D$ et à  $S$ si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations :
$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t\\
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 &=& 9
\end{array}\right. \Rightarrow$

$ (1 + t - 3)^2 + (- 3 + 2t - 1)^2 +  (t - 3)^2 = 9 \iff t^2 + 4 - 4t + 4t^2 + 16 - 16t + t^2 + 9 - 6t = 9 \iff$

$ 6t^2 - 26t + 20 = 0 \iff 3t^2 - 13t + 10 = 0$.

On sait que I appartient à $S$ donc $t = 1$ est une des des solutions de l'équation du second degré.

Or $3t^2 - 13t + 10 = (t - 1)(3t - 10)$ ; donc l'autre solution est donnée par $3t - 10 = 0 \iff t = \dfrac{10}{3}$, valeur du paramètre qui conduit à J$\left(\dfrac{13}{3}~;~\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{10}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
% 
%On considère l'ensemble $P$ des points $M (x~;~y~;~z)$ de l'espace tels que :
%
%\[ z = x^2 + y^2.\]
% 
%Les trois questions sont indépendantes. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $z = 5$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à  $P$ et au plan d'équation $z = 5$ ont leurs cordonnées qui vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^2 + y^2\\
z&=&5
\end{array}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2&=&5\\
z&=&5
\end{array}\right.$

Ces points appartiennent donc au cercle situé dans le plan d'équation $z = 5$, cercle de centre (0~;~0~;~5) et de rayon $\sqrt{5}$.
		\item %Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $y = 1$.
De même Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à  $P$ et au plan d'équation $y = 1$ ont leurs cordonnées qui vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^2 + y^2\\
y&=&1
\end{array}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
z &=&x^2 + 1\\
y&=&1
\end{array}\right.$

On reconnaît une parabole (de sommet (0~;~0~;~1) située dans le plan d'équation $y = 1$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la sphère $S$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation de la sphère $S$.
$M(x~;~y~;~z) \in S \iff \text{O}M^2  = R^2 = 6 \iff x^2 + y^2 + z^2 = 6$.

\[M(x~;~y~;~z) \in S \iff  x^2 + y^2 + z^2 = 6  \] 
		\item %Montrer que l'intersection de la sphère $S$ et de l'ensemble $P$ est un cercle.
Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à  $P$ et à la sphère $S$ ont leurs cordonnées qui vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
z&=&x^2 + y^2\\
x^2 + y^2 + z^2 &=& 6
\end{array}\right. \Longrightarrow z + z^2 = 6 \iff z^2 + z - 6 = 0$.

Cette équation du second degré a une solution évidente : 2 ; l'autre est donc $- 3$.

Or $z = - 3 = x^2 + y^2$ ne correspond à aucun point puisque $x^2 + y^2 \geqslant 0$.

Il reste donc la solution : $z = 2 = x^2 + y^2$.

Les points $M(x~;~y~;~z)$ communs à  $P$ et à la sphère $S$ sont donc des points du cercle centré en (0~;~0~;~2) et de rayon $\sqrt{2}$.

	\end{enumerate} 
\item %Le but de cette question est de déterminer les points $M(x~;~y~;~z)$ de l'ensemble $P$, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation $- 3x + 2 y = 1$ et vérifiant $z \leqslant 25$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : $- 3x + 2y = 1$.
Le couple solution $(- 1~;~- 1)$ est évident. 
		\item %Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
De $\left\{\begin{array}{l c l}
- 3x + 2y &=& 1\\
- 3\times ( - 1) + 2 \times (- 1) &=& 1
\end{array}\right. \Longrightarrow \:(\text{par différence})\:$

$ - 3(x + 1) + 2(y + 1) = 0 \iff  2(y + 1) = 3(x + 1) \quad (1)$.

2 divise donc $3(x + 1)$, mais (Gauss) comme il est premier avec 3, il divise $x + 1$.

Il existe donc un entier $k$ tel que $x + 1 = 2k \iff x = 2k - 1$.

En reportant le résultat $x + 1 = 2k$ dans (1), on obtient $2(y + 1) = 3 \times 2k \iff y + 1 = 3k \iff y = 3k - 1$.

Les couples solutions sont donc de la forme $(2k - 1~;~3k - 1), \quad k \in \Z$.
%Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont des entiers relatifs vérifiant :
 
%\[-3x + 2y = 1\quad  \text{et} \quad  z \leqslant 25.\]
D'après le résultat précédent un point de coordonnées entières appartient au plan si ses coordonnées sont de la forme  $(2k - 1~;~3k - 1), \quad k \in \Z$ ; ils appartiennent de plus à $P$ si et seulement si :

$z = x^2 + y^2 = (2k - 1)^2 + (3k - 1)^2 = 4k^2 + 1 - 4k + 9k^2 + 1 - 6k = 13k^2 - 10k + 2$.

Il reste à trouver les points tels que $z \leqslant 25$.

$z \leqslant 25 \iff 13k^2 - 10k + 2 \leqslant 25 \iff 13k^2 - 10k - 23 \leqslant 0$

L'équation $13k^2 - 10k - 23 = 0$ a une solution évidente $- 1$ ; l'autre est donc $\dfrac{23}{13}$.

Le trinôme $13k^2 - 10k - 23$ est négatif entre ses deux racines, donc les valeurs convenables de $k$ vérifient :

\[-1 \leqslant k \leqslant \dfrac{23}{13}< 2\]

Il n'y a donc que trois valeurs possibles :

$k = - 1$, soit le point $(- 3~;~- 4~;~25)$ ;

$k = 0$, soit le point $(- 1~;~- 1~;~2)$ ;

$k = 1$, soit le point $(1~;~2~;~5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
%On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1.
On a $|p|^2 = \left(- \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}  = 1  = \text{OP}^2$, donc $|p| = \text{OP} = 1$.

Comme $q = \overline{p}$, OQ = OP = 1.

Les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1.
		\item %Faire une figure et construire les points P et Q.
Voir à la fin. Les points P et Q ont tous les deux une partie réelle égale à $- \dfrac{1}{2}$ : ils appartiennent donc à la droite d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ et au cercle $\Gamma$. Voir à la fin de l'exercice.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure.
Soit le point K d'affixe $- 1$. On a :

$|z| = |z + 1| \iff |z - 0| = |z  - (- 1)| \iff \text{O}M =  \text{K}M$, donc les points $M$ sont équidistants de O et de K.

L'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$ est donc la médiatrice du segment [OK]. 
		\item %Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle 
$\Gamma$.
On sait déjà que OP = 1 ; calculons KP$^2 = \left(- \dfrac{1}{2} - ( -1) \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1$, donc 

KP = 1 et P $\in D$.

De même OQ = 1 et KQ$^2 = \left(- \dfrac{1}{2} - ( - 1) \right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$, donc 

KQ = 1 et Q $ \in D$.

Conclusion : les points P et Q sont les deux points communs au cercle $\Gamma$ et à la médiatrice $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$.
 
%On suppose que l'origine O du repère \Ouv est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$.
O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, donc OA = OB = OC ou encore  $|a| = |b| = |c|$.

On a $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \dfrac{|b|}{|a|} = 1$ ; même démonstration pour $\left|\dfrac{b}{a}\right| = 1$.
		\item %Montrer que $a + b + c = 0$.
O est le centre de gravité  du triangle ABC ou encore l'isobarycentre des trois points A, B, C ce qui signifie que $a + b + c = 0$.		 
		\item %Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$.
De la question précédente on déduit : $c = - (a + b)$ d'o\`u pour les modules 

$|c| = |-(a + b)| = |a + b|$.

On a donc $\left|\dfrac{c}{a}  \right| = \dfrac{|- (a + b)|}{|a|} = \dfrac{|(a + b)|}{|a|} = \left|\dfrac{a + b}{a}  \right| = \left|1 + \dfrac{b}{a}  \right|$.

Finalement $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$.
		\item %En utilisant la partie A, en déduire que 
On a vu dans  la partie A que les seuls complexes $z$ tels que $|z| = |z + 1|$ étaient les complexes $p$ et $q$. Donc on a $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$. 
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
 $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{- \frac{1}{2} - \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{ - \frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} - 1} = \dfrac{- \frac{3}{2}- \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} }{- \frac{3}{2} +  \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}= \dfrac{ - 3 - \text{i}\sqrt{3}}{ - 3 + \text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{\left(- 3 - \text{i}\sqrt{3} \right)\left( - 3 - \text{i}\sqrt{3}\right)}{\left(- 3 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left( - 3 + \text{i}\sqrt{3}\right)}  = \dfrac{9 - 3 + 6\text{i}\sqrt{3}}{9 + 3} = \dfrac{ 6 + 6\text{i}\sqrt{3}}{12} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item %Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$.
$\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{\frac{c}{a} - 1}{\frac{b}{a} - 1} = \dfrac{\frac{c - a}{a}}{\frac{b - a}{a}} = \dfrac{c - a}{b - a}$. 
		\item %Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.
Les deux résultats précédents montrent :

- en termes de modules  que  $\left|\dfrac{c - a}{b - a}  \right| =  \left|\dfrac{q - 1}{p - 1}\right| = \left|\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  \right| = 1$.

On a donc $\left|\dfrac{c - a}{b - a}  \right| = 1 \iff \dfrac{|c - a|}{|b - a|} = 1 \iff |c - a| = |b - a| \iff \text{AC} = \text{AB}$, donc le triangle ABC est isocèle en A.

- en termes d'arguments que arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) = \text{arg}\left(\dfrac{q - 1}{p - 1}  \right) = \text{arg}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

On a donc $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

L'angle au sommet du triangle ABC mesure $\dfrac{\pi}{3}$, donc les deux autres angles aussi : le triangle ABC est donc équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(-1,0)(1;120)(1;-120)\uput[ul](-1,0){K}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](1;120){P}\uput[dl](1;-120){Q}
\psline(-0.5,-2)(-0.5,2)\pscircle(0,0){1}
\end{pspicture}
\end{center} 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

%\medskip
%
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip
% 
%Un site internet propose des jeux en ligne.
 
\textbf{Partie A :}

%\medskip
% 
%Pour un premier jeu : 
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. 
%\item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$.
% 
%L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$. 
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepB=2.5pt]{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{$\frac{2}{5}$}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{$\frac{3}{5}$}	   
	  }
	\pstree[nodesepB=2.5pt]{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{5}$}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{$\frac{4}{5}$}	  
	  }
}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\item %Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p_{n+1} = p\left(G_{n+1} \right) =  p\left(G_{n} \cap G_{n+1} \right) +  p\left(\overline{G_{n}} \cap G_{n+1} \right) = \dfrac{2}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}\left(1  - p_{n}\right) = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$.
\item %Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser.
Pour tout $n$ entier naturel non nul, $u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{1}{4} = (\text{d'après la question précédente}) $

$\dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5} -  \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{5}p_{n} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{5}\left(p_{n} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{5}u_{n}$.

L'égalité  $u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n}$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1} = p_{1} - \dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
		\item %Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}$.
On sait que pour tout naturel supérieur ou égal à 1 : $u_{n} = u_{1}\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n - 1} =$

$u_{n} =   \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n - 1}$.

Comme $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4} \iff p_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{4}$, on a finalement :

\[p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}.\]

		\item %Déterminer la limite de $p_{n}$.
Comme $\left|\dfrac{1}{5}  \right| < 1$, \:$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{3}{4} \times\left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} = 0$. Il en résulte que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} p_{n} = \dfrac{1}{4}$.

Au bout d'un très grand nombre de parties, la probabilité de gagner sera proche d'une chance sur quatre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. 
%
%On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
% 
%La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. 
%
%Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 
%
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
		Les épreuves étant identiques et indépendantes, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X est une loi binomiale avec $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{4}$.  
		\item %Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près.
On a $p (\text{X} \geqslant 1) = 1 - p(\text{X} = 0) = 1 - \displaystyle\binom{10}{0}\times \left(\dfrac{1}{4} \right)^{0}\left(\dfrac{3}{4} \right)^{10} = 1 - \dfrac{3^{10}}{4^{10}} \approx 0,943 \approx 0,94$, à 	$10^{-2}$ près.	
		\item %Déterminer l'espérance de X.
On a E(X) $ = n \times p = 10 \times \dfrac{1}{4} = 2,5$.
	\end{enumerate} 
\item %Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. 
%Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
Le joueur doit payer 30~\euro{} pour les 10 parties et récupérera en moyenne $2,5 \times 8 = 20$~\euro. (espérance de gagner 2,5 parties sur 10).

En moyenne les 10 parties coûteront $30 - 20 = 10$~\euro, soit 1~\euro{} par partie. Le jeu est donc désavantageux. 
		\item %Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro ? Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro, vu la mise de 30~\euro{}, il faut gagner plus de 70~\euro{}. Comme $8 \times 8 = 64$, il faut donc gagner 9 parties au moins  sur 10 ($9 \times 8 = 72$).

On a  $p(\text{X} = 9) + p(\text{X} = 10) = \displaystyle\binom{10}{9}\left(\dfrac{1}{4} \right)^{9}\left(\dfrac{3}{4} \right)^{} + \displaystyle\binom{10}{10}\left(\dfrac{1}{4}  \right)^{10}\left(\dfrac{3}{4} \right)^{0} = 10 \times \dfrac{3}{4^{10}} + \dfrac{1}{4^{10}} = $

$\dfrac{31}{4^{10}} \approx\np{0,00002956} \approx \np{0,00003}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
%
%\begin{center}
%
%\textbf{ANNEXE}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{À rendre avec la copie}
%
%\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}
%
%\vspace{1,5cm}
%
%\end{flushleft}
%
%\psset{unit=1.4cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6.5,5.75)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(6.5,5.75)
%\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5.75){$y$}\uput[dl](0,0){O}
%\uput[r](4,4.5){$\mathcal{C}$}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.4}{x ln x mul 1 sub}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}