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% Sujet aimablement fourni par les académies de la Guadeloupe et de la Martinique
%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  S}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S   Antilles--Guyane ~\decofourright\\13 septembre 2012}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

%\medskip
%
%\Oijk{} est un repère orthonormal de l'espace. 
% 
%On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est  
%
%$\left\{\begin{array}{l c r}
%x	&=&t\\
%y 	&=& -t\\   
%z 	&=& 2t 
%\end{array}\right.\quad \text{où} \:\: t \in \R.$
%
%Soit $\mathcal{P}$ le plan défini par l'équation $x + y + 2z - 1 = 0$.
% 
%Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre B$(1~;~- 1~;~0)$ et de rayon $1$.
% 
%\emph{Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse en justifiant soigneusement votre choix.\\ 
%Il est attribué pour chaque question $0,5$ point si la réponse est exacte et $0,5$ point si la justification est correcte.}

\medskip
\setlist{itemindent=\parindent}
\begin{enumerate}[leftmargin=*] 
%\begin{enumerate}
\item %La droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont : 
%	\begin{enumerate}
%		\item parallèles; 
%		\item perpendiculaires; 
%		\item non parallèles et non perpendiculaires.
%	\end{enumerate}
La droite  $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vect{u}(1~;~- 1~;~2)$ ; le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n}(1~;~1~;~2)$.

Ces vecteurs ne sont ni colinéaires, ni orthogonaux, donc la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont non parallèles et non perpendiculaires.
\item %Soit $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}$ et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. $\mathcal{P}'$ admet pour équation cartésienne : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $- 2y + z + 2 = 0$ ;
%		\item $2x - z = 0$ ; 
%		\item $x - y - z = 0$.
%	\end{enumerate}
L'équation a est à rejeter : les points de 	$\mathcal{D}$ ont des coordonnées qui ne vérifient pas cette équation.

Le plan d'équation $2x - z = 0$ a pour vecteur normal $\vect{n'}(2~;~0~;- 1)$.

Or $\vect{n} \cdot \vect{n'} =  2 + 0 - 2 = 0$. Ces deux plans sont bien perpendiculaires.

Comme $2t - 2t = 0$ tout point point de $\mathcal{D}$ appartient au plan $\mathcal{P}'$ d'équation 

$2x - z = 0$.	 
\item %La droite $\Delta$, intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan d'équation $2x - z = 0$, admet pour représentation paramétrique: 
%	\begin{enumerate}
%		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=& t\\ 
%y &=& -3t + 1\\
%z &=& 2t \end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R.$; 
%		\item $\left\{\begin{array}{l c lr}x&=&t\\ 
%y &=& - t\\ z &=& 2t
%\end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R.$; 
%		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=& t\\ 
%y &=& - 5t + 1\\
%z &=& 2t
%\end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R.$.
%	\end{enumerate}

 Soit $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \cap \mathcal{P}'$,  $2x - z = 0$ étant une équation de $\mathcal{P}'$ ; donc ses coordonnées vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y + 2z - 1 &=& 0\\
2x - z &=& 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x + y + 2z - 1 	&=& 0\\
2x - z 			&=& 0\\
x				&=&t
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x				&=&t\\ 
y + 2z			&=& 1 - t\\
z				&=&2t
\end{array}\right. $

$\iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t\\ 
y &=& 1 - 5t\\
z&=&2t
\end{array}\right.$.  Réponse c. 

\item %L'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$ est : 
%	\begin{enumerate}
%		\item un point ; 
%		\item l'ensemble vide ;
%		\item un cercle.
%	\end{enumerate}
Calculons la distance du centre de la sphère au plan :

$d(\text{B}~;~\mathcal{P}) = \dfrac{|1 - 1 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 +2^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,48 < 1$ (rayon du cercle).

L'intersection de la sphère et du plan est donc un cercle. Réponse c.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On considère les points A, B et C d'affixes respectives
% 
%\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;\quad  z_{\text{C}} = - 1 - 3\text{i}.\]
% 
%On note D l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%On note E l'image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$. 

\medskip

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2$.

En factorisant ce module : $z_{\text{A}} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

De même $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = 2$.

En factorisant ce module : $z_{\text{B}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{2\pi}{3} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.   
		\item %Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 2~cm, placer les points A et B et C.
A appartient au cercle centré en O de rayon 2 et à la droite d'équation $y = 1$ ;

B appartient au cercle centré en O de rayon 2 et à la droite d'équation 

$x = - 1$ ;

C se place grâce à son abscisse et son ordonnée. Voir la figure à la fin de l'exercice. 
		\item %Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.
On a vu que $\left|z_{\text{A}} \right| = 2 = \text{OA} = \left|z_{\text{B}} \right| = 2 = \text{OB}$ : le triangle OAB est isocèle en O.

D'autre part on a trouvé les arguments de $z_{\text{A}}$  et $z_{\text{B}}$. Donc :

$\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right) = \arg z_{\text{B}} - \arg z_{\text{A}} = \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.

Le triangle AOB est  rectangle isocèle en O.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Construire les points D et E. Calculer leurs affixes $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$.
On sait que $z_{\text{D}} = z_{\text{C}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = \text{i} z_{\text{C}} = \text{i}(- 1 - 3 \text{i}) = 3 - \text{i}$.
		
D'autre part $\vect{\text{BE}} = \vect{\text{OC}} \iff z_{\text{E}} - z_{\text{B}} = z_{\text{C }}\iff z_{\text{E}} = z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}\left(\sqrt{3} - 3\right)$.		
	\item %Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OE}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux et que OE = AD.
$\vect{\text{OE}}\left(- 2~;~\sqrt{3} - 3\right)$ et $\vect{\text{AD}}\left(3 - \sqrt{3}~;~- 2\right)$.

$\vect{\text{OE}} \cdot \vect{\text{AD}} = - 2\left(3 - \sqrt{3} \right) - 2\left(\sqrt{3} - 3 \right) = - 2\left(3 - \sqrt{3} \right) + 2\left(3 - \sqrt{3} \right) = 0$, ce qui montre que les vecteurs $\vect{\text{OE}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux.

De plus $\left\|\vect{\text{OE}}\right\|^2 = (- 2)^2 + \left(3 - \sqrt{3} \right)^2$ et $\left\|\vect{\text{AD}}\right\|^2 = \left(3 - \sqrt{3} \right)^2 + (- 2)^2$ : ces expressions sont égales, donc $\left\|\vect{\text{OE}}\right\|^2 = \left\|\vect{\text{AD}}\right\|^2 \Rightarrow \left\|\vect{\text{OE}}\right\| = \left\|\vect{\text{AD}}\right\| \iff $
OE = AD.
	\end{enumerate} 
\item %Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général. Il est inutile de refaire une figure.

%\medskip
% 
%Soient A, B, C, D et E les points- d'affixes respectives non nulles $z_{\text{A}},\: z_{\text{B}},\:  z_{\text{C}},\:z_{\text{D}}$   et $z_{\text{E}}$ tels que 
%
%le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ;
% 
%le triangle OCD est rectangle isocèle en O avec $\left(\vect{\text{OC}}~;~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ; 
%
%Le quadrilatère OBEC est un parallélogramme. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier les égalités suivantes :
		 
%\[z_{\text{B}} = \text{i}z_{\text{A}}\quad;\quad  z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{C}}\quad ;\quad z_{\text{E}} = \text{i}z_{\text{A}} +  z_{\text{C}}\]
Par définition du quart-de-tour B est l'image de A dans le quart-de-tour de centre O, on sait que $z_{\text{B}} = \text{i}z_{\text{A}}$ et de même $z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{C}}$.

D'autre part OBEC est un parallélogramme $\iff \vect{\text{OE}} =  \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}} \iff$

$z_{\text{E}} = z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = \text{i}z_{\text{A}} + z_{\text{C}}$.
		\item %Montrer que 

%\[\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} =  \text{i}. \]
En utilisant les deux derniers résultats précédents :

$\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} = \dfrac{\text{i}z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{\text{i}z_{\text{A}} + z_{\text{C}}} = \dfrac{\text{i}\left(z_{\text{C}} + \text{i}z_{\text{A}} \right)}{\text{i}z_{\text{A}} + z_{\text{C}}} = \text{i}$.
		\item %Interpréter géométriquement $\left|\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}}  \right|$ et arg\:$\left(\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} \right)$ puis conclure.
En utilisant module et argument des deux nombres complexes précédents, on obtient :

$\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} =  \text{i} \Rightarrow \left|\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} \right| = |\text{i}| \iff \dfrac{\text{AD}}{\text{OE}} = 1 \iff \text{AD} = \text{OE}$ ;

$\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} =  \text{i} \Rightarrow  \left(\vect{\text{OE}},~\vect{\text{AD}}\right) = \arg(\text{i}) = \dfrac{\pi}{2}$. Donc  $\text{OE} \perp \text{AD}$.

Sans utiliser d'affixes connues, on arrive aux mêmes résultats.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1)\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,-3)(0,-3)
\uput[ur](2;30){A}\uput[ul](2;120){B}\uput[ul](-1,-3){C}\uput[dr](0,0){O}
\psarc(0,0){3.16228}{-108.4}{-18.4}
\pspolygon(2;30)(0;0)(2;120)
\psline(-1,-3)(0,0)(3,-1)(-1,-3)\uput[r](3,-1){D}
\psline(-1,-3)(-2,-1,268)
\psline{->}(-1,1.732)(-2,-1,268)\uput[l](-2,-1,268){E}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On tracera la figure sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\textbf{Partie A : tracé d'une figure}

%\medskip
% 
%Soient A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 2 - 4\text{i} \:;\: z_{\text{B}} = - 6\text{i} \:;\: z_{\text{C}} = 3 - 3\text{i}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %Placer le point D tel que le triangle ABD est isocèle rectangle en D, avec 

%$\left(\vect{\text{DA}}~;~ \vect{\text{DB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
Voir la figure à la fin de l'exercice : on construit le cercle de diamètre [AB], avec la médiatrice de [AB] qui coupe ce cercle en deux points dont l'un est le point D. 
\item %Construire le point E tel que le triangle OEA est isocèle rectangle en E avec 
Même construction : la médiatrice de [OA] coupe le cercle de diamètre [OA] en deux points dont l'un est E.
%$\left(\vect{\text{EA}}~;~ \vect{\text{EO}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. 
\item %Vérifier que l'affixe du point D est $z_{\text{D}} = - 4\text{i}$.
D appartient à l'axe des ordonnées et a même ordonnée que A donc DA $ \perp $ DB.
Le triangle DAB est rectangle en D.

D'autre part DB $ = 2$ et DA $= 2$ de fa\c{c}on évidentes : le triangle est isocèle en D.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Le but de l'exercice est de montrer de deux manières que les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires et que les distances ED et BC sont égales.}
\bigskip
 
\textbf{Partie B : première méthode}

\medskip
 
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %Soit $g$ la similitude directe de centre A qui transforme B en D.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $g$.
L'angle de la similitude est $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ et le rapport est égal à 

$\dfrac{\text{AD}}{\text{AB}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

		\item %En déduire que l'écriture complexe de $g$ est 

%\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z - 3 - \text{i}.\]
Si $z$ a pour image $z'$ par $g$, on sait que : $z' = az + b,\quad a,\: b \in \R$.

En particulier : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{\text{A}} &=& az_{\text{A}} + b\\
z_{\text{D}} &=& az_{\text{B}} + b
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
- 2 - 4\text{i} &=& a(- 2 - 4\text{i}) + b\\
-4\text{i} &=& - 6\text{i}a + b
\end{array}\right. \]

Par différence on obtient :

$- 2 = a(- 2 - 4\text{i} + 6\text{i} \iff - 2 = a(- 2 + 2\text{i}\iff - 1 = a(- 1 + \text{i}) \iff a = \dfrac{- 1}{- 1 + \text{i}} = \dfrac{- (- 1 - \text{i}}{(- 1 + \text{i})(- 1 - \text{i})} = \dfrac{1 + \text{i}}{1 + 1} = $

$a = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$.

La deuxième équation du système donne :

$- 4\text{i} = - 6\text{i} \times \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})  + b \iff - 4\text{i} = - 3\text{i} + 3  + b \iff b = -3 - \text{i}$.

L'écriture complexe de $g$ est bien : 

\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z - 3 - \text{i}.\] 
		\item %Justifier que le point E est l'image du point O par la similitude $g$. 
		On a la même configuration que pour le triangle rectangle isocèle DAB : le triangle rectangle isocèle EAD : $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{AE}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\text{AO}}{\text{AE}} =  \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
		\item %En déduire l'affixe du point E.
En utilisant la similitude :
	
$z_{\text{E}} = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\times 0 - 3 - \text{i} = - 3 - \text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}}$ et conclure pour le problème posé.
$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}} = \dfrac{- 6\text{i} - 3 + 3\text{i}}{- 3 - \text{i} + 4\text{i} } = \dfrac{- 3 - 3\text{i}}{- 3 +3 \text{i}} = \dfrac{- 1 + \text{i}}{- 1 - \text{i}} = \dfrac{(- 1 + \text{i})(- 1 + \text{i})}{(- 1 - \text{i})(- 1 + \text{i})} = \dfrac{1 - 1 - 2\text{i}}{1 + 1} = - \text{i}$.

Pour les modules :  $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}} =  - \text{i} \Rightarrow \left|\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}}  \right| = |- \text{i}| \iff \dfrac{\text{CB}}{\text{DE}} = 1 \iff $ CB = DE.

Pour les arguments : $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}} =  - \text{i} \Rightarrow \arg \left(\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}}\right)   = \arg{- \text{i}} \iff \left(\vect{\text{DE}},~\vect{\text{CB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Conclusion DE\:$\perp$\:CB.


\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : deuxième méthode}

\medskip
 
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %On considère la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Quelle est l'image du point O par cette  rotation ? Justifier la réponse. 
Par définition de la rotation on a :

$z_{\text{O}'} - z_{\text{C}} = \text{i}\left(z_{\text{O}} - z_{\text{C}}  \right) \iff z_{\text{O}'} - (3 - 3\text{i}) = \text{i}\left(0  - 3 + 3\text{i}  \right) \iff z_{\text{O}'} = 3 - 3\text{i} - 3\text{i} - 3 =$

$ z_{\text{O}'} = - 6\text{i} = z_{\text{B}}$.

Par définition de la rotation CO = CB et $\left(\vect{\text{CO}},~\vect{\text{CB}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ : le triangle OBC est rectangle isocèle  en C.
%En déduire la nature du triangle OBC. 
\item %Soit $f$ la similitude directe de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$.
 
%Soit $h$ la similitude directe de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'angle et le rapport de la similitude $h \circ f$.
L'angle de la similitude composée est égale à la somme des angles des deux similitudes soit 

$\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.

Le rapport de la similitude composée est égale au  produit des rapports des deux similitudes soit $\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$.
		\item %Quelle est l'image de la droite (BC) par $h \circ f$ ? Justifier.
$h \circ f$ est donc une rotation d'angle  $\dfrac{\pi}{2}$ soit un quart-de-tour.

L'image de la droite (BC) est une droite perpendiculaire à (BC).

Or B a pour image par $f$, B, puis B a pour image par $h$ : D.

C a pour image par $f$, O, puis O a pour image par $h$ : E.

Conclusion : la droite (BC) a pour image par $h \circ f$ la droite perpendiculaire (DE).		 
		\item %Conclure pour le problème posé.
		On a (DE) $ \perp $ (BC) et comme la composée est une rotation il y a conservation des longueurs, donc DE = BC.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(4,1)
\psdots(-2,-4)(0,-6)(3,-3)(0,-4)
\uput[ul](-2,-4){A}\uput[l](0,-6){B}\uput[dr](3,-3){C}\uput[r](0,-4){D}
\uput[ur](0,0){O}
\pscircle(-1,-5){1.414}\pspolygon(-2,-4)(0,-6)(0,-4)
\psline[linestyle=dashed](-2,-6)(2,-2)
\pscircle(-1,-2){2.236}
\psline[linestyle=dashed](-3,-1)(1,-3)
\psline(-2,-4)\uput[ul](-3,-1){E}
\pspolygon(0,0)(-3,-1)(-2,-4)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip
 
%Les rues d'une ville nouvelle sont structurées de telle sorte que les pâtés de maisons sont des carrés superposables et les rues sont toutes parallèles ou perpendiculaires. 
%On identifie le plan de la ville au quadrillage d'un carré de 10 unités sur 10 dans lequel on se repère avec des points à coordonnées entières qui correspondent aux carrefours : 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(11,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](10,10)
\uput[u](5,10){Nord} 
\uput[r](10,5){Est}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=blue](0,0)(1,0)(1,1)(4,1)
\uput[ur](4,1){A}
\end{pspicture}
\end{center}
 
%Le point O a pour coordonnées (0~;~0), le point A a pour coordonnées (4~;~1).
% 
%On s'intéresse aux chemins partant de O et arrivant à un autre point $M$ de coordonnées $(p~;~q)$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $p \leqslant 10$ et $q \leqslant 10$. 
%
%\medskip
%
%\textbf{À chaque intersection, on ne peut aller que vers le nord (N) ou vers l'est (E).}
%
%\medskip
% 
%Dans tout l'exercice, on décrit un chemin à l'aide d'un mot composé successivement des lettres N ou E qui indiquent dans l'ordre la direction à suivre à chaque intersection.
% 
%On appelle \emph{longueur} d'un chemin le nombre de lettres employées pour le décrire.
%
%Par exemple :
% 
%Pour se rendre en A, on peut suivre par exemple les chemins NEEEE ou ENEEE (marqué en gras sur la figure) ; ces deux chemins ont une longueur égale à 5.
%
%\medskip
% 
%Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Dénombrement}

\medskip

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %Donner la liste de tous les chemins permettant de se rendre en A.
Le mot comporte 4 E et 1 N. Le nombre de chemins est égal au nombre de positions de la lettre N parmi les quatre lettres E ; on peut mettre cette lettre N en position 1, 2, 3, 4 ou 5. Il y a donc 5 chemins pour aller de O à A.

NEEE, \quad ENEEE, \quad EENEE, \quad EEENE, \quad EEEEN.
\item %Soit $M$ un point de coordonnées $(p ; q)$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $p \leqslant 10$ et $q \leqslant 10$.
 
%Exprimer, en fonction de $p$ et $q$, la longueur des chemins qui permettent d'arriver en $M$.
Un  mot  décrivant un chemin comporte $p$ E et $q$ N : sa longueur est donc égale à $ p + q$.
\item %Montrer qu'il y a $\binom{p + q}{p}$ chemins différents qui permettent d'arriver en $M$.
En généralisant le cas particulier précédent, le nombre de chemins permettant d'arriver au point $(p~;~q)$ est égal au nombre de positions des déplacements $p$ parmi les $p + q$ déplacements qui constituent le chemin. Il y a donc $\binom{p + q}{p}$ (ou $\binom{p + q}{p}$ d'ailleurs) chemins différents.
\item %Dénombrer les chemins pour arriver au point C de coordonnées (7~;~5).
Exemple : pour arriver au point  (7~;~5) il y a $\binom{7 + 5}{7} = \binom{7 + 5}{5} = \dfrac{12!}{7! 5!} = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 }{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times1} = 11 \times 9 \times 8 = 11 \times 72 = 792$~chemins

\item %Dénombrer les chemins pour arriver en C en passant par A.
Le nombre de chemins amenant à A est égal à 5 (question 1).

Le nombre de chemins de A à C est le même que le nombre de chemins de l'origine au point de coordonnées (7 - 4~;~5 - 1) = (3~;~4) soit $\binom{7}{3} = 35.

Il y a donc $5 \times 35 = 175$ chemins  allant en C en passant par A.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une variable aléatoire}

\medskip
 
%Tous les chemins considérés dans la suite de l'exercice vérifient les deux propriétés suivantes :
% 
%ils sont de longueur 5 ;
% 
%un promeneur part de O et à chaque intersection la probabilité qu'il aille vers le Nord est de $\frac{2}{3}$ (et donc de $\frac{1}{3}$ vers l'Est), indépendamment de son choix précédent. 
%
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui à tout chemin suivi par le promeneur associe le nombre de fois où il va vers le Nord.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %Énumérer, en donnant la liste de leurs coordonnées, tous les points sur lesquels peut aboutir un chemin.
Il faut trouver les points dont la somme des coordonnées est égale à 5, soit :

(5~;~0),\: (4~;~1),\:(3~;~2),\:(2~;~3),\:(1~;~4),\:(0~;~5)

\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
À chaque n{\oe}ud la probabilité d'aller vers le Nord est égale à $\frac{2}{3}$ et les choix sont indépendants les uns des autres ; la variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = \frac{2}{3}$
\item %Calculer la probabilité que le promeneur arrive en A.
La	 probabilité qu'il arrive en A est égale à $p(X = 1) = \binom{5}{1}\left(\frac{2}{3} \right)^1 \times \left(\frac{1}{3} \right)^4 = 5 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3^4} = \frac{10}{3^5} = \frac{10}{243} \approx 0,041$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]
%
%Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\ln x} = + \infty$ car  $\dfrac{x}{\ln x}$  est l'inverse de $\dfrac{\ln x }{x}$.

Quand $x$ tend vers $1$, avec $x > 1$, $\ln x$ tend vers $0$ avec \ln x > 0$. Comme le numérateur tend vers $1$, on a $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x}{\ln x} = + \infty$.
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
$f$ quotient de fonctions dérivables sur  $]1~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = \dfrac{\ln x - \frac{1}{x}\times x}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.

Donc le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de la différence $\ln x - 1$.

On a $\ln x - 1 > 0 \iff \ln x > 1 \iff \ln x > \ln \text{e} \iff x > \text{e}$ (par croissance de la fonction exponentielle.

De même $\ln x - 1 < 0 \iff x < \text{e}$.

Enfin $\ln x - 1 = 0 \iff x = \text{e}$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur $]1~;~\text{e}[$ et croissante sur $]\text{e}~;~+ \infty[$, 

$f(\text{e}) = \dfrac{\text{e}}{\ln \text{e}} = \text{e}$ étant le minimum de $f$ sur $]1~;~+ \infty[$. 
\item %En déduire que si $x \geqslant \text{e}$ alors $f(x) \geqslant \text{e}$.
On vient de voir que $f$ est croissante sur $]\text{e}~;~+ \infty[$ et que $f(\text{e}) =  \text{e}$ est le minimum, donc si $x \geqslant \text{e}, \:f(x) \geqslant \text{e}$.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente}

\medskip
 
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
%
%\[\left\{\begin{array}{r c r}
%u_{0}& =& 5\\
%\text{pour tout entier naturel}\: n, \:u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)
%\end{array}\right.\]  

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item %Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
On a $u_{0} = 5, \:u_{1} = f\left(u_{0}\right) = \dfrac{5}{\ln 5} \approx 3,11, \:u_{2} = f\left(u_{1}\right) \approx 2,74$.

De $A_{0}$ on trace la verticale jusqu'à $\mathcal{C}$ ; de ce point l'horizontale jusqu'à la courbe d'équation $y = x$ ; de ce nouveau point la verticale jusqu'à l'axe des abscisses rencontré en $A_{1}$ et l'on recommence.  
%Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la suite est décroissante vers l'abscisse (ou l'ordonnée) du point commun à $\mathcal{C}$ et à $\mathcal{D}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$.
\emph{Initialisation} On a $u_{0} = 5 > \text{e}$. La propriété est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} Soit $n$ entier, tel que  $u_{n} \geqslant \text{e}$, comme $u_{n+1} = f\left(u_{n} \right)$ on a vu lors de l'étude de la fonction $f$ que si $x \geqslant \text{e}$, alors $f(x) \geqslant \text{e}$, donc  $u_{n+1} \geqslant \text{e}$.

La propriété est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$, donc par le principe de récurrence on a  démontré  que quel que soit le naturel $n,\: u_{n} \geqslant \text{e}$.
		\item %Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Soit $u_{n+1} - u_{n} = f\left(u_{n} \right) - u_{n} = \dfrac{u_{n}}{\ln u_{n}} - u_{n} = \dfrac{u_{n} - u_{n}\ln u_{n}}{\ln u_{n}} = \dfrac{u_{n}\left(1 - \ln u_{n}\right)}{\ln u_{n}}$.
		
Comme $u_{n}\geqslant \text{e}, \: \ln u_{n} > \ln \text{e}$ soit  $\ln u_{n} > 1 > 0$ et comme $u_{n} > 0$, le signe de la différence $u_{n+1} - u_{n}$ est celui de la différence $1 - \ln u_{n}$.
		
Or on vient de voir que $\ln u_{n} > 1 \iff 1 - \ln u_{n}< 0$.

Conclusion $u_{n+1} - u_{n} < 0$, ce qui signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
La suite est décroissante et minorée par e : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant \text{e}$. 
		\item %Déterminer sa limite $\ell$.
Comme $u_{n+1} = f\left(u_{n} \right)$ et la fonction $f$ étant continue car dérivable on a par limite au voisinage de l'infini : $\ell = f(\ell) \iff \ell = \dfrac{\ell}{\ln \ell} \iff 1 = \dfrac{1}{\ln \ell} \iff \ln \ell = 1 \iff \ell =  \text{e}$ par croissance de la fonction exponentielle et car $\ell > 0$.

La suite converge donc vers e. 
	\end{enumerate} 
\item %On donne l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline 
%$X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\
%Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\
%Tant que $X > 2,72$ \\
%\hspace{0,5cm}Faire\\
%\hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ 
%\hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ 
%Fin de Tant que\\
% Afficher $Y$\\ \hline
%\end{tabular}
%
%\end{center}
 
%À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize} X|}}\hline 
%$n$ &0& 1 &2 &3 &4  &5\\ \hline 
%$u_{n}$&$5$&\np{3,1066746728} &\np{2,7406525323} &\np{2,7183726346}& \np{2,71828183001} &\np{2,7182818285}\\ \hline
%\end{tabularx}
L'algorithme affichera la valeur 3 : la croissance de la suite est très rapide : les trois premières décimales de e sont déjà trouvées. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{\Large ANNEXE}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,11)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-0.99)(8,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.1}{8}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[u](8,0){$x$}\uput[r](0,11){$y$}
\psline[ArrowInside=->,arrowsize=2pt 4](5,0)(5,3.11)(3.11,3.11)
\psline[ArrowInside=->,arrowsize=2pt 4](3.11,3.11)(3.11,0)
\psline[ArrowInside=->,arrowsize=2pt 4](3.11,0)(3.11,2.74)(2.74,2.74)
\psline[ArrowInside=->,arrowsize=2pt 4](2.74,2.74)(2.74,0)
\uput[ur](5,0){$A_{0}$}\uput[ur](3.11,0){$A_{1}$}\uput[ur](2.74,0){$A_{2}$}
\rput(3.11,-0.17){$u_{1}$}\rput(2.74,-0.17){$u_{2}$}
\rput(4.62,-0.37){$u_{0} =$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}