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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : François Hache
%Merci à l'académie de la Martinique pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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%\renewcommand{\d}{\,\text{d}}	%le d de différentiation
\newcommand{\pg}{\geqslant}		%plus grand ou égal
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\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
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\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Antilles Guyane S - 11 septembre 2014},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\ [4pt]11 septembre 2014\\[10pt]}}
\end{center}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\,\% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.
 
À l'issue des tests, il est noté que

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 96\,\% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; 
\item[$\bullet~~$] 97\,\% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la peluche répond aux normes en vigueur \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la peluche est acceptée à l'issue des tests \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}
 
\begin{enumerate}

\item On construit un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment: 

\bigskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=4cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$N$}\taput{\red $1-0,09=0,91$}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{0,96}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\red $1-0,96=0,04$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{N}$}\tbput{0,09}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{\red $1-0,97=0,03$}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{0,97}	
	  }
}
\end{center}

\bigskip

\item% Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. 
La probabilité qu'une peluche soit acceptée est $P(A)$.

D'après la formule des probabilités totales: $P(A)=P(N \cap A) + P(\overline N \cap A)$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
P(N \cap A) = P(N)\times P_N(A) = 0,91 \times 0,96 = \np{0,8736} \\
P\left(\overline N \cap A\right) = P\left(\overline N\right)\times P_{\overline N}(A) = 0,09 \times 0,03 = \np{0,0027}
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
P(A)= \np{0,8736} + \np{0,0027} = \np{0,8763}$

\item% Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
La probabilité qu'une peluche qui a été acceptée soit aux normes est $P_A(N)$:

$P_A(N)=\dfrac{P(N \cap A)}{P(A)} = \dfrac{\np{0,8736}}{\np{0,8763}} \approx \np{0,9969}$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur. On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$.% Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

%Calculer la valeur exacte de $\lambda$. 

Si $D$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors 
$P(D \pp a) = \ds\int_{-\infty}^{a} \lambda \e^{-\lambda t} \d t =1-\e^{-\lambda a}$.

Donc $P(D \pp 4)=0,5 \iff 1-\e^{-4\lambda}=0,5 \iff 0,5 = \e^{-4\lambda} \iff \ln 0,5 = -4\lambda \iff \lambda = -\dfrac{\ln 0,5}{4}$

\item On prendra ici $\lambda = \np{0,1733}$.
 
Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.
 
La probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires est la probabilité conditionnelle $P_{D \pg 3}(D \pg 3+5)$.

On sait que la loi exponentielle est une loi à \og{}durée de vie sans vieillissement\fg{} donc que, pour tous réels strictement positifs $s$ et $t$:
$P_{D \pg t}(D \pg s+t) = P(D \pg s)$.

Donc $P_{D \pg 3}(D \pg 3+5) = P(D \pg 5) = 1-P(D \pp 5) = 1-\left (1-\e^{-5\lambda}\right ) = \e^{-5\times \np{0,1733}} \approx \np{0,4204} $

% Arrondir le résultat au dix-millième.
\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie C}

Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$~jours.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Soit $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$.% Quelle est la loi suivie par $X$ ? 
D'après le cours, la variable aléatoire $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1.
\item On sait que $P(J  \leqslant 385) = 0,975$.% Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche. 

$J \pp 385 \iff J-358 \pp 27 \iff \dfrac{J-358}{\sigma} \pp \dfrac{27}{\sigma}$ car $\sigma$ est un nombre strictement positif.

On cherche donc $\sigma$ pour que $P\left (X \pp \dfrac{27}{\sigma}\right ) \pp 0,975$ sachant que $X$ suit la loi normale centrée réduite.

La calculatrice donne $\dfrac{27}{\sigma} \approx 1,96$ ce qui équivaut à $\sigma \approx 13,77$. On prendra donc $\sigma = 14$.
\end{enumerate} 

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\subsubsection*{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$\cd 0~;~ + \infty\cd$ par 
$f(x) = x\text{e}^{- x}$.
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
D'après le cours, $\ds\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$; donc $\ds\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\e^{x}} = 0$ ce qui équivaut à $\ds\lim_{x \to +\infty} x\e^{-x} = 0$.

Donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
\item% Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$ et:

$f'(x)= 1\times \e^{-x} + x\left (-1\times \e^{-x}\right ) = \e^{-x} -x\e^{-x} = \left (1-x\right )\e^{-x}$

Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$;
$f(0) = 0$ et $f(1) = \e^{-1} \approx 0,37$

D'où le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{-1}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
\ncline{->}{min1}{max} 
\ncline{->}{max}{min2} 
\\ 
\hline
\end{array}$}	
\end{center}

\end{enumerate}

On donne  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

\subsubsection*{Partie B}

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On place sur le graphique, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$.% Laisser les tracés explicatifs apparents. 

\begin{figure}
\centering \label{fig1}
\psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(2.5,0.6)
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\uput[ul](0.5,0.5){$\Delta$}
\uput[u](1.8,0.35){$\mathcal{C}_{f}$}
\psset{linecolor=red,linestyle=dashed}
\psline(1,0)(1,0.368)(0,0.368)
\psline(0.368,0.368)(0.368,0)
\psline(0.368,0.255)(0,0.255)
\psline(0.255,0.255)(0.255,0)
\uput*[d](1,0){\red $A_0$}
\uput*[d](0.368,0){\red $A_1$}
\uput*[d](0.255,0){\red $A_2$}
\uput[l](0,0.368){\red $u_1$}
\uput[l](0,0.255){\red $u_2$}
\psdots[linecolor=red](1,0)(0.368,0)(0.255,0)
\end{pspicture*}
\end{figure}

\item% Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n>0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_0=1>0$ donc la propriété est vraie au rang 0.
\item On suppose la propriété vraie au rang $p\pg 0$, c'est-à-dire $u_p>0$.

Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc pour tout réel $x>0$, $x\e^{-x}>0$ donc $f(x)>0$.

Or $u_{p+1}=f(u_p)$ et $u_p>0$ (hypothèse de récurrence); donc $f(u_p)>0$ et donc $u_{p+1}>0$.

La propriété est vraie au rang $p + 1$.
\item La propriété est vérifiée au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $p\pg 0$; elle est donc vraie pour tout $n \pg 0$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.

\item% Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
Pour tout réel $x>0$: 

$\begin{array}{l @{\ \iff\ } l l}
-x < 0 & \e^{-x} < \e^{0} & \text{croissance de la fonction exponentielle}\\
 & \e^{-x} < 1\\
 & x\e^{-x} < x & \text{car } x>0\\
 & f(x)<x
\end{array}$

Donc, pour tout $x>0$, $f(x)<x$; or, pour tout $n$, $u_n>0$ donc $f(u_n)<u_n$ ce qui veut dire que $u_{n+1}<u_n$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
La suite $(u_n)$ est décroissante, minorée par 0, donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.
		\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. 

%Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

On résout l'équation $x\e^{-x}=x$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff \ } l @{\ \iff \ } l}
x\e^{-x}=x & x \left (\e^{-x}-1\right ) = 0 & x=0 \text{ ou } \e^{-x}-1 = 0 \\
 & x=0 \text{ ou } \e^{-x} = 1 & x=0 \text{ ou } -x = 0
\end{array}$

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est égale à 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C}
 
On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}$

L'algorithme suivant donne $S_{100}$:

\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\hspace*{0.5cm}} l l @{\hspace*{0.5cm}}|}
\hline
 & \\ 
Déclaration des variables: & $S$ et $u$ sont des nombres réels\\
 & $k$ est un nombre entier\\
Initialisation: & $u$ prend la valeur {\red 1}\\
 & $S$ prend la valeur $\red u$\\
Traitement: & Pour $k$ variant de 1 à $\red 100$ \\
 & \begin{tabular}{@{\hspace*{1cm} }l} 
		$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
		$S$ prend la valeur $\red S+u$\\
	\end{tabular}\\
 & Fin Pour\\ 
 & Afficher $\red S$\\
 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
 
%Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe} afin qu'il calcule $S_{100}$. 

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $(E_1)$ l'équation: $\text{e}^x - x^n = 0$
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$:  $\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0$

$\begin{array}[t]{@{} l @{\ \iff\ } l}
\e^{x} - x^n=0 & \e^{x} = x^n\\
 & \ln\left (\e^x\right ) = \ln\left (x^n\right )\\
 & x = n \ln(x)\\
 & \dfrac{x}{n} = \ln(x)\\
 & \ln(x)-\dfrac{x}{n}=0\\
\end{array}$

Donc les équations $(E_1)$ et $(E_2)$ sont équivalentes.
\item% Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$  admet-elle deux solutions ? 
L'équation $(E_1)$ admet deux solutions si et seulement si l'équation $(E_2)$ admet deux solutions.

Soit $f$ la fonction définie sur $I = \cg 0\,;\, +\infty\cd$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{x}{n}$; résoudre l'équation $(E_2)$ revient donc à résoudre l'équation $f(x)=0$.

\medskip

Cherchons les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition:

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{x \to 0 \atop x>0} \ln(x)=-\infty\\
\ds\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{n}=0
\end{array}
\right\rbrace
\stackrel{\text{par somme}}{\ds\lim_{x \to 0 \atop x>0} f(x)=-\infty}
$

$f(x)= \ln(x) - \dfrac{x}{n}$ peut s'écrire $x\left (\dfrac{\ln(x)}{x} - \dfrac{1}{n}\right )$ pour tout $x$ de $\cg 0\,;\, +\infty\cd$.

$\left.
\begin{array}{@{} r}
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0 \Longrightarrow
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} -\dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n}<0\\[8pt]
\ds\lim_{x \to +\infty} x = +\infty 
\end{array}
\right\rbrace
\stackrel{\text{par produit}}{\ds\lim_{x \to +\infty} x\left (\dfrac{\ln(x)}{x} - \dfrac{1}{n}\right ) = -\infty}
\iff \ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$

\medskip

La fonction $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n-x}{nx}$.

$f'(x)$ s'annule et change de signe pour $x=n$ et $f(n)=\ln(n)-\dfrac{n}{n}= \ln(n)-1$.

\medskip

D'où le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & n & \hspace*{\esp} & +\infty \\ 
\hline
n-x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\
\hline
f'(x) & \vline\,\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & \vline\,\vline &  &   \Rnode{max}{\ln(n)-1}  &  &   \\  
f(x) & \vline\,\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\,\vline \ \Rnode{min1}{-\infty} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $}
\end{center}

D'après ce tableau de variation, l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions dans $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ si et seulement si le maximum de la fonction $f$ est strictement positif, c'est-à-dire quand $\ln(n)-1>0$:

$\ln(n)-1>0 \iff \ln(n)>1 \iff n>\e \iff n \pg 3$

Donc on peut dire que l'équation $(E_1)$ admet deux solutions si et seulement si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 3.

\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.% On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. 

%Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 
$f(z) = z^2 + 2z + 9$.
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. 
$f\left (-1+\i\sqrt{3}\right ) =
\left (-1+\i\sqrt{3}\right )^2 +2\left (-1+\i\sqrt{3}\right )+9 =
1 - 2\i\sqrt{3} - 3 -2 +2\i\sqrt{3} +9 =
5$
\item On résout dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$:

$f(z) = 5 \iff z^2+2z+9=5 \iff z^2+2z+4 = 0$; $\Delta = 4-16 = -12 = -\left (2\sqrt{3}\right )^2$

Donc l'équation admet deux racines complexes conjuguées:
$\dfrac{-2+ 2\i\sqrt{3}}{2}=-1+\i \sqrt{3}$ et $-1 - \i \sqrt{3}$ 
 
%Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

On appelle $A$ le point d'affixe $z_{A} = -1+\i \sqrt{3}$ et $B$ le point d'affixe $z_{B} = -1 - \i \sqrt{3}$

$\left| z_{A}\right| = \ds\sqrt{1+3}=2$

Soit $\theta_A$ un argument de $z_A$:
$\left.
\begin{array}{@{} l}
\cos \theta_A = -\dfrac{1}{2}\\[8pt]
\sin \theta_A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
\theta_A = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \text{ où } k\in \Z$

Donc $z_A = 2\e^{\frac{2\i\pi}{3}}$

Les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donc $z_B = 2\e^{-\frac{2\i\pi}{3}}$


$\left| z_{A}\right| = 2$ donc le point $A$ se trouve sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2. De plus la partie réelle de $A$ vaut $-1$ donc $A$ se trouve sur la droite d'équation $x=-1$.
Idem pour $B$.

Voir graphique page \pageref{fig2}.

%Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 
%
%On laissera les traits de construction apparents. 
\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
%Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 

$f(z)=\lambda \iff z^2+2z+9=\lambda \iff z^2+2z+9-\lambda=0$

Pour que l'équation $f(z) = \lambda$ admette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que le discriminant du polynôme $z^2+2z+9-\lambda$ soit strictement négatif.

$\Delta = 4 - 4(9-\lambda) = 4 - 36 + 4\lambda = 4\lambda-32$; $\Delta<0 \iff 4\lambda-32<0 \iff \lambda < 8$

L'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z)=\lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées est l'intervalle $\cg -\infty\,;\, 8\cd$. 
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 
$\left |f(z) - 8\right | = 3$
 
$f(z)-8 = z^2+2z+9-8 = z^2+2z+1 = (z+1)^2$; donc $\left|f(z)-8\right |=\left |(z+1)^2\right| = \left |z+1\right |^2$ car le module d'un carré est égal au carré du module.

Donc $\left |f(z)-8\right |=3 \iff  \left |z+1\right |^2=3 \iff \left |z+1\right | = \sqrt{3}$
 
Soit $\Omega$ le point d'affixe $-1$, donc de coordonnées $(-1\,;\, 0)$; si on appelle $M$ le point d'affixe $z$,  alors $\left |z+1\right | = \sqrt{3} \iff \left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$.

L'ensemble des points $M$ vérifiant $\left | z_M - z_{\Omega}\right |=\sqrt{3}$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{3}$.
 
%Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

On trace (F) sur le graphique (voir page \pageref{fig2}). 

\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y)$
$f(z)=z^2+2z+9 = (x+\i y)^2 +2(x+\i y) +9 = x^2 +2\i xy -y^2 +2x +2\i y +9 \\
\phantom{f(z)} = x^2 - y^2 +2x+9 +\i(2xy + 2y)$  
		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
		 
%Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
% 
%Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.

$f(z) \text{ réel} \iff 2xy+2y=0 \iff 2y(x+1)=0 \iff y=0 \text{ ou }x=-1$

Donc (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) et $D_{2}$ d'équation $x=-1$.
	\end{enumerate} 	
\item% Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 

Le cercle (F) est de centre $\Omega$ d'affixe $-1$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Donc les points d'intersection du cercle (F) avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées $\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$ et $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$.

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$ dont les parties réelles sont égales à $-1$; donc $A$ et $B$ sont situés sur la droite $D_2$.

$\Omega A = \left | z_A - z_{\Omega}\right | = \left |-1+\i\sqrt{3}+1\right | = \left | \i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $A$ appartient au cercle (F).

$\Omega B = \left | z_B - z_{\Omega}\right | = \left |-1-\i\sqrt{3}+1\right | = \left | -\i\sqrt{3}\right | = \sqrt{3}$ donc le point $B$ appartient au cercle (F).

Les coordonnées des quatre points d'intersection des ensembles (E) et (F) sont:

$\left ( -1-\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1+\sqrt{3}\,;\, 0\right )$, $\left ( -1\,;\, \sqrt{3}\right )$ et  $\left ( -1\,;\, -\sqrt{3}\right )$

\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
\centering \label{fig2}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\def\xmin{-2.9} \def\xmax{2.9} \def\ymin{-2.3} \def\ymax{2.9}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec u$,d][$\vec v$,l]
\uput[dl](0,0){$O$}
\psset{linecolor=red}
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
\psline(-1,\ymin)(-1,\ymax)
\psdots(2;120)(2;-120)
\uput[ul](2;120){\red $A$} \uput[dl](2;-120){\red $B$}
\psset{linecolor=blue}
\pscircle(-1,0){1.732}
\uput[ul](-1,0){\blue $\Omega$}
\psdots(-1,0)
\uput[ul](-2,1.4){\blue (F)}
\uput[d](2.5,0){$D_1$}
\uput[l](-1,2.5){\red $D_2$}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité}

\medskip 
 
Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.
 
D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence. 

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. 

On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I  = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. 

On suppose que le 1\up{er} janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50~millions d'euros et l'agence Y possède 10~millions d'euros. 

L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation 
$U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: 
A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ 
B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}

\item% Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$. 
$U_{n+1} = AU_{n} + B \iff 
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\y_{n+1} \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix} x_{n} \\y_{n} \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
x_{n+1} & 0,6x_n + 0,15y_n +1\\
y_{n+1} & 0,2x_n + 0,4 y_n +3
\end{array}
\right.$

Le coefficient $0,6$ de la matrice $A$ correspond au pourcentage de la somme qui reste d'une année sur l'autre à l'agence X.

Le coefficient 3 de la matrice B correspond à la somme (en millions d'euros) qui est rajoutée chaque année à l'agence Y.

\item% Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros. 
D'après le texte, 
$U_0= \begin{pmatrix} 50\\10 \end{pmatrix}$

La quantité de fonds dans chaque agence en 2015 est donnée par la matrice $U_1= AU_{0} + B$:

$\begin{pmatrix} x_{1} \\y_{1} \end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
0,6\times 50 + 0,15 \times 10 +1\\
0,2\times 50 + 0,4 \times 10 +3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
32,5 \\ 17
\end{pmatrix}$

En 2015, il y a donc $32,5$ millions d'euros dans l'agence X et 17 millions d'euros dans l'agence Y.

\item On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$. 
\`A la calculatrice, on trouve que $PDQ = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\ 0,2&0,4\end{pmatrix}$ donc que $PDQ=A$.
		\item% Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. 
$QP = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$

Le coefficient situé sur la première ligne et la deuxième colonne de la matrice $QP$ est donc :

$0,25 \times 3 + (-0,375) \times 2 = 0,75 - 0,75 = 0$  

Dans la suite, on admettra que $QP = I$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n$, 
$A^n = P D^nQ$.

\emph{Ce résultat est assez facile à démontrer par récurrence en considérant les résultats des questions précédentes; l'hérédité se démontre ainsi:
$A^{p+1}=A\times A^{p} = PDQ\times PD^{p}Q = PDD^pQ = PD^{p+1}Q$ car $Q\times P=I$.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
 
\item On pose pour tout entier naturel $n$, $V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}$ ; donc $U_{n} = V_{n} + \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}$ 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$. 
$V_{n+1} = U_{n+1} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix} =
AU_n+B - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix} =
A \left (V_n + \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix}\right )
+ \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix}\\
\phantom{V_{n+1}}
=
AV_n + \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix}\times 
\begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3}\end{pmatrix}
= AV_n +
\begin{pmatrix}
0,6\times 5+0,15 \times \frac{20}{3} +1-5\\[4pt]
0,2\times 5 + 0,4 \times \frac{20}{3} + 3 - \frac{20}{3}
\end{pmatrix}
= AV_n +
\begin{pmatrix}
0\\0
\end{pmatrix}\\
\phantom{V_{n+1}}
= AV_n
$
		\item% Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$.
$V_{0} = U_{0} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}45\\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}$

On peut dire que, pour tout $n$, $V_n = A^n\times V_0$.

\emph{On peut considérer ce résultat comme \og{}classique\fg{}; en cas de doute, on peut le démontrer par récurrence en se rappelant que $A^0 = I$.}
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel. On admet que 
$A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(-  0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}$ 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs. 
D'après les questions précédentes, $V_n = A^n\times V_0$ donc le coefficient de la première ligne de $V_n$ est:

$\left(0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n \right)\times 45 +
\left (0,375\left(-  0,3^n + 0,7^n\right )\right) \times \dfrac{10}{3}\\[5pt]
\hspace*{1cm} =
11,25 \times 0,3^n + 33,75 \times 0,7^n +
1,25\left(-  0,3^n + 0,7^n\right ) \\
\hspace*{1cm} = 
11,25 \times 0,3^n + 33,75 \times 0,7^n 
-1,25\times  0,3^n + 1,25\times 0,7^n\\
\hspace*{1cm} = 
10\times 0,3^n +35 \times 0,7^n
$
		\item% En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. 
$U_n=  V_{n} + \begin{pmatrix}5\\ \frac{20}{3} \end{pmatrix}$ et 
$U_n=\begin{pmatrix}
x_n \\y_n
\end{pmatrix}$
Donc
$x_n = 10\times 0,3^n +35 \times 0,7^n +5$
		\item% Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
La suite $(0,3^n)$ est une suite géométrique de raison $0,3$; or $-1<0,3<1$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} 0,3^n=0$.

Pour la même raison, on peut dire que $\ds\lim_{x \to +\infty} 0,7^n=0$.

D'après les théorèmes sur les limites de suites, on peut déduire que $\ds\lim_{x \to +\infty} x_n=5$.

Cela signifie que la quantité de fonds disponibles dans l'agence X va tendre vers 5 millions d'euros.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}

autrement dit si la courbe $\mathcal C$ représentant la fonction ln et la droite $d_n$ d'équation $y=\dfrac{x}{n}$ se coupent en deux points; les solutions sont alors les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $d_n$.

Toutes les droites $d_n$, pour $n\in \N^*$, passent par l'origine $O$ du repère.

On va chercher la droite $d$ qui passe par l'origine et qui est tangente à la courbe $\mathcal C$.

Une tangente à la courbe $\mathcal C$ au point de la courbe d'abscisse $a>0$ a pour équation:

$y = f'(a)(x-a)+f(a)$ c'est-à-dire $y = \dfrac{1}{a}\left (x-a\right )+\ln a$ ou encore $y = \dfrac{x}{a}-1+ \ln a$.

Cette tangente passe par l'origine si et seulement si $- 1 + \ln a = 0$ c'est-à-dire pour $a=\e$.

L'équation de la tangente $d$ à $\mathcal C$ passant par $O$ est donc $y=\dfrac{x}{\e}$.

Donc une droite $d_n$ coupera la courbe $\mathcal C$ en deux points si son coefficient directeur est plus petit que $\dfrac{1}{\e}$ donc pour $n>\e$.


\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-2.9)(8,3)
%\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0.05}{8}{x ln}
\uput[dr](6,1.8){\red $\mathcal C$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{6}{x 2.718 div}
\uput[ul](5,1.84){\blue $d$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](2.718,0)(2.718,1)(0,1)
\uput[d](2.718,0){\blue e}
\end{pspicture*}
\end{center}

Donc l'équation $(E_1)$ a deux solutions si et seulement si $n >\e$.
\end{document}