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% Tapuscrit  : Arié Yallouz
% Relecture et corrigé : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Antilles Guyane},
pdftitle = {18 juin 2019},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Antilles Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL/SPCL - Antilles Guyane ~\decofourright\\[5pt]18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point. } 
% 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie. 
% 
% \medskip
% 
%On rappelle que : 
%
%\begin{itemize}
%\item $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
%\item $\mathrm{i}$ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $a$ strictement positif, $\dfrac{\ln(2a)+\ln(8a)}{2}$ est égal à :

%\begin{enumerate}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\item  $\ln(4a)$ & \item   $\ln(5a)$  & \item  $\ln(16a)$ & \item   $\ln\left(8a^2\right)$ 
%\end{tabularx}
%\end{enumerate}
Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln(2a)+\ln(8a) = \ln 2 + \ln a + \ln 8 + \ln a = 2\ln a + \ln 2 + \ln 2^3 = 2\ln a + \ln 2 + 3\ln 2 = 2\ln a + 4\ln 2$, donc $\dfrac{\ln(2a)+\ln(8a)}{2} = \ln a + 2\ln 2 = \ln a + \ln 2^2 = \ln a + \ln 4 = \ln (4a)$. Réponse \textbf{a.}
\medskip 

\item  %On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ;+\infty[$. On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.
  
%On admet que $\displaystyle{\lim_{x \to 0}}f(x)=-\infty$ et que $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}}f(x)=+\infty$.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ admet : 
%
%\begin{enumerate}
%\item  deux asymptotes parallèles à l'axe des ordonnées 
% \item une  asymptote  parallèle  à  l'axe  des  ordonnées  et  une  asymptote  parallèle  à l'axe des abscisses  
%  \item  une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées et aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses 
%   \item deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses
%\end{enumerate}
Réponse \textbf{c.}
\medskip 

\item %On considère le nombre complexe $z=-2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.

%Soit $\overline{z}$ le nombre complexe conjugué de $z$. Une écriture exponentielle de $\overline{z}$ est : 

%\begin{enumerate}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\item   $2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ & \item $2\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$  & \item  $2\e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$ & \item $2\e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$
%\end{tabularx}
%\end{enumerate}
$z=-2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}} = \text{e}^{\text{i}\pi} \times 2 \times  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$ qui a pour conjugué $\overline{z} = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{4}}$. Réponse \textbf{c.}
\medskip 

\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. Les droites d'équation $y=x$ et $y=-x$ partagent le plan en quatre zones \textcircled{\sf{1}}, \textcircled{\sf{2}}, \textcircled{\sf{3}} et \textcircled{\sf{4}} comme indiqué ci-dessous :  
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{x}
%\def\g{-x}
%\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](\n,-2.2)(\n,2.2)}
%\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-2.2,\n)(2.2,\n)}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.25pt,linecolor=darkgray,ticks=none]{-}(0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
%\psaxes[linewidth=1pt,ticks=none,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
%\uput[d](.5,0){\footnotesize{\prune{$\vec{u}$}}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\prune{$\vec{v}$}}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2.2}{2.2}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2.2}{2.2}{\g}
%\rput(1.5,0){\Large{\textcircled{\sf{1}}}}
%\rput(0,1.5){\Large{\textcircled{\sf{2}}}}
%\rput(-1.5,0){\Large{\textcircled{\sf{3}}}}
%\rput(0,-1.5){\Large{\textcircled{\sf{4}}}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Soit $z$ un nombre complexe non nul. On sait que : 
%\begin{itemize}
%\item la partie réelle de $z$ est strictement inférieure à sa partie imaginaire ; 
%\item un argument de $z$ est strictement compris entre $\dfrac{3\pi}{4}$ et $2\pi$. 
%\end{itemize}
%Le point image de $z$ se situe : 
%\begin{enumerate}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\item  dans la zone \textcircled{\sf{1}} & \item dans la zone \textcircled{\sf{2}} & \item  dans la zone \textcircled{\sf{3}} & \item dans la zone \textcircled{\sf{4}} 
%\end{tabularx}
%\end{enumerate}
Les images des points vérifiant la première condition sont dans les parties 2 et 3.

La deuxième condition interdit d'être dans les parties 1 et 2. Il reste donc la partie 3.

Réponse \textbf{c.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  7 points}

\medskip

%L'énergie houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il existe différents dispositifs  pour  produire  de l'électricité  à  partir  de  cette  énergie.  Les  installations houlomotrices doivent être capables de résister à des conditions extrêmes, ce qui explique que le coût actuel de production d'électricité par énergie houlomotrice est élevé. 
% 
%On  estime  qu'en  2018  le  coût  de  production  d'un  kilowattheure  (kWh)  par  énergie houlomotrice  était  de  24  centimes  d'euros.  C'est  nettement  plus  que  le  coût  de  production d'un kilowattheure par énergie nucléaire, qui était de 6 centimes d'euros en 2018. 
% 
%On admet qu'à partir de 2018 les progrès technologiques permettront une baisse de 5\,\% par an du coût de production d'un kilowattheure par énergie houlomotrice.
% 
% 
%Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. 
%
%\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

%Pour  tout  entier  naturel $n$,  on  note $c_n$ le  coût  de  production,  en  centime  d'euro,  d'un kilowattheure d'électricité produite par énergie houlomotrice pour l'année $2018 + n$. 
%Ainsi, $c_0 =24$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $c_1$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Baisser de 5\,\% revient à multiplier par $1 - \dfrac{5}{100}  = \dfrac{95}{100} = 0,95$.
		
Donc $c_1 = c_0 \times 0,95 = 24 \times 0,95 = 22,8$. 
		\item %Déterminer la nature de la suite $\left(c_n \right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
Chaque année le coût  de l'année précédente est multiplié par 0,95 ; on a donc pour tout naturel $n$, \, $c_{n+1} = 0,95c_n$ : la suite $\left(c_n \right)$ est  géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $c_0 = 24$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n$, \, $c_n = c_0 \times 0,95^{n} = c_n = 24 \times 0,95^{n}$.
	\end{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,95^n < 0,25$.
$0,95^n < 0,25$ : par croissance de la fonction logarithme népérien : $n\ln 0,95 < \ln 0,25$ ou (car $\ln 0,95 $ est négatif et son inverse aussi) \,$n > \dfrac{\ln 0,25}{\ln 0,95}$.

Or $\dfrac{\ln 0,25}{\ln 0,95} \approx 27,02$ ; donc $n \geqslant 28$.
\item %Dans  cette  question,  on  admet  que  le  coût  de  production  d'un  kilowattheure  par énergie nucléaire reste constant et égal à 6 centimes d'euros.

%Déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice  deviendra  inférieur  au  coût  d'un  kilowattheure  produit  par  énergie nucléaire.
Il faut résoudre l'inéquation : $24 \times 0,95^{n} < 6$ ou $0,95^{n} < \dfrac{6}{24}$, soit $0,95^{n} < 0,25$ : on retombe sur l'équation précédente.

Avec ces hypothèses la première année où le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice  deviendra  inférieur  au  coût  d'un  kilowattheure  produit  par  énergie nucléaire sera 2046.
\item %Dans  cette  question,  on  estime  que  le  coût  de  production  d'un  kilowattheure  par énergie nucléaire va augmenter tous les ans d'un centime d'euro. On souhaite alors déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice  deviendra  inférieur  au  coût  d'un  kilowattheure  produit  par  énergie nucléaire.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin que la valeur de la variable $N$ en sortie d'algorithme permette de répondre au problème.
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$C \gets 24$

$D \gets 6$

$N \gets 2018$

Tant que $C > D$

\begin{itemize}
\item[] $C \gets  C*0,95$
\item[] $D \gets  D+1$
\item[] $N \gets  N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
		\item %Répondre au problème posé. Aucune justification n'est demandée.
On obtient $c_6 \approx 12,76$ et $d_6 = 12$, puis $c_7 \approx 11,48$ et $d_7 = 13$. l'algorithme donnera $N = 7$.

Donc en 2025 le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice  deviendra  inférieur  au  coût  d'un  kilowattheure  produit  par  énergie nucléaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet que la durée de vie d'un composant électronique d'une installation houlomotrice, exprimée en année, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont le paramètre $\lambda = 0,04$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la durée de vie moyenne de ce composant électronique.
La durée de vie moyenne de ce composant électronique est égale à $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,04} = \dfrac{100}{4} = 25$ (ans).
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ par $f(x)=0,04\e^{-0,04x}$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$.
Sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, une primitive de la la fonction $f$ est la fonction $F$ définie par 

$F(x) = - \e^{-0,04x}$.
\item %On rappelle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$ :\[P\left( X\leqslant t \right)=\displaystyle\int_0^t f(x) \mathrm{d}\, x .\]

%Démontrer que $P\left( X\leqslant t \right)=1-\e^{-0,04t}$.
$P\left(X\leqslant t \right) = \displaystyle\int_0^t f(x) \text{d}\,x  = [F(x)]_0^t = [- \e^{-0,04x}]_0^t = - \e^{-0,04t} + \e^{-0,04\times 0} = 1 - \e^{-0,04t}$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P\left( X > 15\right)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.
On a $P\left( X > 15\right) = 1 - P\left( X \leqslant 15 \right) = 1 - \left(1 - \e^{-0,04\times 15} \right) = \e^{-0,6} \approx 0,549$ (au millième près).
		\item %Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Le résultat précédent signifie que l'on a un peu plus d'une chance sur deux que le composant ait une durée de vie supérieure à 15 ans.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}

\medskip

%En raison des frottements avec l'atmosphère résiduelle terrestre, les satellites en orbite basse perdent progressivement de l'altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus denses de l'atmosphère. Cet évènement est appelé rentrée atmosphérique. 
% 
%Le  temps,  exprimé  en  jour,  avant  la  rentrée  atmosphérique  dépend  des  caractéristiques  du satellite et de l'altitude $h$, exprimée en kilomètre, de son orbite. 
% 
%Pour un satellite donné, ce temps est modélisé par une fonction $T$ de la variable $h$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$. 
%
%\medskip
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante}.
%
%\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a} – Étude d'un premier satellite}}

\medskip

%On admet que la fonction $T$,  associée  à ce premier  satellite,  est  une solution de l'équation différentielle $(E)$ suivante dans laquelle $y$ désigne une fonction  de  la  variable $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty [$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\[(E)\;:\;40y'-y = 0.\]
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle  $(E)$ sur $[0~;~+\infty [$.
On sait que les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $T$ définies sur $[0~;~+\infty [$ par : $T(h) = A \text{e}^{\frac{1}{40}h} = A\text{e}^{0,025h}$, avec $A \in \R$.
\item %Déterminer la  fonction $T$ solution de  l'équation  différentielle $(E)$ qui  vérifie  la condition $T(800)=\np{2000}$.
$T(800)=\np{2000} \Rightarrow A\text{e}^{0,025 \times 800} = \np{2000}$ ou $A\text{e}^{20} = \np{2000}$, soit $A = \np{2000}\text{e}^{-20}$.

Donc $T(h) = \np{2000}\text{e}^{-20}\text{e}^{0,025h} = \np{2000}\text{e}^{0,025h - 20}$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b} – Étude d'un deuxième satellite}}

\medskip

%Dans cette partie, on admet que la fonction $T$, associée à ce deuxième satellite, est définie sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$ par : 
%
%\[T(h) = K\times0,012\e^{0,025(h-150)}.\]
%
%Le nombre réel $K$ est appelé coefficient balistique du satellite.  
% 
%La fonction $T$ associée à ce deuxième satellite est représentée ci-après.

%\medskip
%
%\emph{Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les résultats  seront  donnés  avec la précision permise par le graphique.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2.4mm} 
\begin{pspicture}(-4,-4)(55,25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\h{.221*EXP(.025*(x-150))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(55,25)
\psset{unit=1.2cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,5) 
\psset{xunit=.24mm,yunit=.012mm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,Dx=50,Dy=1000]{->}(0,0)(-.1,-.1)(550,5000)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](550,0){\footnotesize{$h$}}\uput[dl](0,5000){\footnotesize{$T(h)$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{550}{\h}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %À quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxième satellite pour que le temps restant avant sa rentrée atmosphérique soit au moins égal à \np{1000} jours ?
Graphiquement on voit $T(h) = \np{1000}$ pour $h$ valant un peu moins de $490$~km.
\item %Déterminer une valeur approchée du coefficient balistique $K$ de ce deuxième satellite.
%$\bullet~~$Sur le graphique on voit qu'approximativement $T(450) = 400$ soit :
%
%$K\times0,012\e^{0,025\times(450-150)} = 400$ ou $K\times0,012\e^{0,025\times 300} = 400$ ou
%
%$K\times0,012\e^{7,5} = 400$ et enfin $K = \dfrac{400}{0,012}\e^{-7,5} \approx 18,44$.

$\bullet~~$Sur le graphique on voit qu'approximativement $T(500) = \np{1400}$ soit :

$K\times0,012\e^{0,025\times(500-150)} = \np{1400}$ ou $K\times0,012\e^{0,025\times 350} = \np{1400}$ ou

$K\times0,012\e^{8,75} = \np{1400}$ et enfin $K = \dfrac{\np{1400}}{0,012}\e^{-8,75} \approx 18,49$.

Conclusion : on peut prendre $K \approx 18,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c} – Étude d'un troisième satellite : Hubble}}

\medskip

%Le satellite Hubble a un coefficient balistique $K$ égal à 11. 
% 
%La fonction $T$, associée à ce troisième satellite, est donc définie sur l'intervalle  
%$[0~;~ +\infty [$ par :
%
%\[T(h) = 0,132\e^{0,025(h - 150)}.\]

\begin{enumerate}
\item %L'orbite du satellite Hubble est située à l'altitude $h$ de 575 km. Calculer le temps $T(h)$ restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble. Arrondir au jour près.
On a $T(575) = 0,132\e^{0,025\times(575 - 150)} = 0,132\e^{10,625} \approx \np{5431,91}$~(jours).
\item %Déterminer la limite de $T$ en $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{h \to + \infty} \e^{0,025\times(h - 150)} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{h \to + \infty} T(h) = + \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $T'(h)$, où $T'$ désigne la fonction dérivée de $T$.
On a sur l'intervalle $[0~;~ +\infty [$,\,$T'(h) = 0,025 \times 0,0132 \e^{0,025(h - 150)} = \np{0,00033}\e^{0,025(h - 150)}$ 
%
		\item %En déduire le sens de variations de la fonction $T$ sur  $[0~;~ +\infty [$.
		On sait que quel que soit le réel $h$, \, $\e^{0,025(h - 150)} > 0$, donc $T'(h) > 0$ : la fonction $T$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty [$
	\end{enumerate}
\item %On souhaite étudier l'effet d'une augmentation de 10 km de l'altitude $h$ sur le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $T(h + 10)= \e^{0,25}\times T(h)$.
$T(h + 10)= 0,132\e^{0,025(h + 10 - 150)} = 0,132\e^{0,025(h  - 150) + 0,025 \times 10} = 0,132\e^{0,025(h  - 150)} \times \e^{0,25} = \e^{0,25} \times T(h)$.
		\item %En déduire qu'augmenter l'altitude $h$ de 10 km revient à augmenter d'environ 28\,\% le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
Or $\e^{0,25} \approx 1,284$.

Une augmentation de hauteur de 10 km conduit à multiplier le temps restant par environ 1,28 soit une augmentation de 28\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  3 points}

\medskip

%Un  atelier de  mécanique  de  précision  est  équipé de machines  à  commande numérique permettant la production de pièces métalliques en aluminium. 
%
%Un client  passe une  commande  de pièces dont la longueur souhaitée est de  75 millimètres (mm). 
% 
%Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
% 
%Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$.
%
%\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

%Le  réglage  des  machines  permet  de  produire  des  pièces  dont  la  longueur,  exprimée  en millimètre,  est  modélisée  par  une  variable  aléatoire $X$ qui  suit  la  loi  normale  d'espérance $\mu =75$ et d'écart-type $\sigma=0,03$. 
% 
%Afin  de  garantir  au  client  une  précision  optimale,  seules  les  pièces  dont  la  longueur  est comprise entre 74,95~mm et 75,05~mm sont jugées commercialisables.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P(X > 74,97)$. 
On a $P(X > 74,97) = P(74,97 < X < 75) + P(X > 75)$.

Or $74,97 = 75 - 0,03 = \mu - \sigma$, donc :

$P(74,97 < X < 75,03 = P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma)$ et l'on sait que :

$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma)\approx 0,683$, donc 

$P(74,97 < X < 75) = \dfrac{1}{2}P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx \dfrac{0,683}{2} \approx \np{0,3415}$. 

Comme $P(X > 75) = P(X > \mu) = 0,5$, on a finalement :
$P(X > 74,97) \approx 0,842$ soit 0,84 au centième près.
\item %Déterminer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit commercialisable.
La calculatrice donne :

$P(74,95 < X < 75,05) \approx 0,904$, soit 0,90 au centième près (9 pièces sur 10).
 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

%On souhaite améliorer la précision de la production. Pour cela, les machines sont réglées et reprogrammées. Après réglage, la longueur des pièces, en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant  une  loi  normale.  Son  espérance  est  inchangée  et  vaut $\mu=75$. La valeur de l'écart-type a été modifiée. On note $\sigma'$ la nouvelle valeur de l'écart-type. 
%
%Ces nouveaux réglages permettent de limiter la proportion de pièces non commercialisables. On a $P\left(74,95 \leqslant Y \leqslant 75,05\right)\approx 0,95$
%
%Déterminer $\sigma'$. Justifier.
On sait que $P(75 - 2\sigma' \leqslant X \leqslant 75 + 2\sigma') \approx 0,95$, donc

$75 - 2\sigma' = 74,95$ ou $75 - 74,95 = 2\sigma' = 0,05$, soit finalement : $\sigma'= 0,025$
\medskip


\textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

%On procède à de nouveaux réglages. 
%
%Le responsable de l'atelier affirme alors être en mesure de commercialiser 97\,\% des pièces. 
%
%On  procède  à  un  contrôle  de  qualité  en  prélevant  au  hasard  300  pièces  métalliques.  On constate que $14$ d'entre elles ne sont pas commercialisables. 
% 
%Au seuil de 95\,\%, faut-il mettre en doute l'affirmation du responsable de l'atelier ? Justifier la réponse.
%
%\begin{center}
%\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
%\begin{minipage}{\linewidth}
%\emph{On  rappelle  que  lorsque  la  proportion $p$ dans  la  population  est  connue,  l'intervalle  de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille  $n$ est donné par : \[\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right].\]}
%\end{minipage}
%}
%\end{center}
Avec $p = 0,97$ et $n = 300$, on obtient l'intervalle de fluctuation asymptotique suivant à 95\,\% :

$\left[0,97 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,97 \times 0,03}{300}}~;~0,97 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,97 \times 0,03}{300}}  \right] \approx [0,950~;~0,990]$.

La fréquence dans l'échantillon est égale à $\dfrac{300 -14}{300} = \dfrac{286}{300} \approx 0,953$.

Donc comme $0,953 \in [0,950~;~0,990]$, on ne peut pas remettre en cause l'affirmation du responsable de l'atelier ; on est cependant très près de la borne inférieure et il serait judicieux de faire un autre contrôle de qualité.
\end{document}