\documentclass[10pt]{article}

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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
%\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent

\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

\usepackage[body={15cm,24cm}]{geometry}
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\DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation


\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Correction Asie ES - 19 juin 2014},
allbordercolors = white,
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}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{19 juin  2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Asie  19 juin  2014~\decofourright}}\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~5]$, croissante sur $[- 2~;~2]$ et décroissante sur [2~;~5]. 
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
%
% 
%La courbe $(\mathcal{C})$ tracée ci-dessous représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé ; elle passe par les points A$(-2~;~0)$ ; B$\left(2~;~\frac{4}{3}\right)$ et C(4~;~0).
% 
%Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses et sa tangente $(T)$ au point C passe par le point D(2~;~3). 
%
%
%
%Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
%\psplot[linewidth=1.25pt]{1}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
%%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](-2,0)(-1.5,0.08)(-1,0.22)(0,0.68)(1,1.2)(2,1.3333)(3,1.04)(3.5,0.65)(4,0)(4.5,-0.9)(5,-2.03)
%\uput[dl](0,0){0}\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
%\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
%\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
%\end{pspicture*}
%\end{center}


\begin{description}
\item[ ] \textbf{Proposition 1: fausse}

$f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C; cette droite passe par les points C et D. Son coefficient directeur est égal à $\dfrac{y_C-y_D\rule{0pt}{9pt}}{x_C-x_D} = \dfrac{0-3}{4-2}= \dfrac{-3}{2} \neq - \dfrac{2}{3}$. 


\item[ ] \textbf{Proposition 2: fausse}% La fonction $f$ est concave sur $[-2~;~2]$. 

Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes; cela se produit lorsque sa dérivée est décroissante sur cet intervalle.

D'après le graphique et le texte, la dérivée de $f$ est nulle en  $x=-2$, puis est positive entre $-2$ et 2 et est à nouveau nulle en $x=2$; donc $f'$ n'est pas décroissante sur $\cd -2\,;\,2\cg$ et donc la fonction $f$ n'est pas concave sur cet intervalle. 

\item[ ] \textbf{Proposition 3: vraie} 

La fonction $f$ est positive sur $\cd 1\,;\, 3\cg$ donc $\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$\rule[-11pt]{0pt}{0pt} est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$ (aire hachurée en rouge sur le dessin du milieu). 

Cette aire est comprise entre 2 (aire du rectangle de gauche) et 3 (aire du rectangle de droite): 

\begin{multicols}{3}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
\psplot[linewidth=1.25pt]{1}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
\def\f{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{\f}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](-2,0)(-1.5,0.08)(-1,0.22)(0,0.68)(1,1.2)(2,1.3333)(3,1.04)(3.5,0.65)(4,0)(4.5,-0.9)(5,-2.03)
\uput[dl](0,0){0}  %\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
%\def\inf{1} \def\sup{3}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-2,0.693)(5,0.693)
%\uput[u](4.5,0.693){\blue $y= \ln 2$}
\psframe[hatchcolor=blue,fillstyle=vlines,hatchangle=-45](1,0)(3,1)
\end{pspicture*}

\begin{center}
\ \\
{\blue Aire égale à 2}
\end{center}

\columnbreak

\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
\psplot[linewidth=1.25pt]{1}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
\def\f{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{\f}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](-2,0)(-1.5,0.08)(-1,0.22)(0,0.68)(1,1.2)(2,1.3333)(3,1.04)(3.5,0.65)(4,0)(4.5,-0.9)(5,-2.03)
\uput[dl](0,0){0}  %\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
\def\inf{1} \def\sup{3}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-2,0.693)(5,0.693)
%\uput[u](4.5,0.693){\blue $y= \ln 2$}
%\psframe[hatchcolor=blue,fillstyle=vlines,hatchangle=-45](1,0)(3,1)
\end{pspicture*}

\begin{center}
$\red \int_1^3 f(x) \d x$
\end{center}


\columnbreak

\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
\psplot[linewidth=1.25pt]{1}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
\def\f{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{\f}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](-2,0)(-1.5,0.08)(-1,0.22)(0,0.68)(1,1.2)(2,1.3333)(3,1.04)(3.5,0.65)(4,0)(4.5,-0.9)(5,-2.03)
\uput[dl](0,0){0}  %\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
%\def\inf{1} \def\sup{3}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-2,0.693)(5,0.693)
%\uput[u](4.5,0.693){\blue $y= \ln 2$}
\psframe[hatchcolor=blue,fillstyle=vlines](1,0)(3,1.5)
\end{pspicture*}

\begin{center}
{\blue Aire égale à 3}
\end{center}
\end{multicols}


\item[ ] \textbf{Proposition 4: fausse}% L'équation $f(x) = \ln 2$ n'admet pas de solution sur $[-2~;~5]$. 

Les solutions de l'équation $f(x)=\ln 2$ sont les abscisses des deux points d'intersection de $\mathcal C$ et de la droite d'équation $y=\ln 2$; cette équation a donc deux solutions sur $\cd -2\,;\, 5\cg$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
\psplot[linewidth=1.25pt]{1}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
\def\f{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{\f}
\uput[dl](0,0){0} \uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}
\uput[ur](4,0){C}
\uput[u](2,1.3333){B} %\uput[ul](-2,0){A}
\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-2,0.693)(5,0.693)
\uput[u](4.5,0.693){\red $y= \ln 2$}
\psdots[linecolor=red](3.44,0.693)(0.053,0.693)
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{description} 

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et spécialité L}

\medskip

On s'intéresse aux résultats d'un concours où l'on ne peut pas se présenter plus de deux fois.

%\medskip
% 
%\textbf{Partie A : étude des résultats de mai 2013}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A: étude des résultats de mai 2013}
 
Les statistiques dressées à partir des résultats de la session de mai 2013 ont permis d'établir que :

%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item 60\,\% des personnes qui présentaient le concours le présentaient pour la première fois; 
%\item 10\,\% de ceux qui le présentaient pour la première fois ont été admis ; 
%\item 40\,\% de ceux qui le présentaient pour la seconde fois l'ont réussi.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On interroge au hasard une personne parmi toutes celles ayant passé ce concours en mai 2013.
% 
%On note :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $C_{1}$  l'évènement : \og La personne présentait le concours pour la première fois \fg{} ; 
%\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement: \og La personne a été reçue à ce concours \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer les probabilités suivantes : $P_{C_{1}}(R)\: ;\:P_{\overline{C_{1}}}(R)$ et $P\left(C_{1}\right)$. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 60\,\% des personnes qui présentaient le concours le présentaient pour la première fois donc $P(C_1)=0,6$; 
\item 10\,\% de ceux qui le présentaient pour la première fois ont été admis  donc $P_{C_1}(R)=0,1$;
\item 40\,\% de ceux qui le présentaient pour la seconde fois l'ont réussi donc $P_{\overline{C_1}}(R)=0,4$.

\end{list}

%Aucune justification n'est attendue.
% 
%\emph{Pour traiter la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'un arbre.} 

On peut donc construire un arbre pondéré regroupant les résultats précédents et en déduire d'autres probabilités:

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C_1$}\taput{\red 0,6}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{\red 0,1}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{\red $1-0,1=0,9$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{C_1}$}\tbput{\red $1-0,6=0,4$}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{\red 0,4}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{\red $1-0,4=0,6$}	  
	  }
}
\end{center} 

\bigskip

\item \og{}La personne s'est présentée au concours pour la première fois et a été admise\fg{} est l'événement $C_1 \cap R$:

\hfill $P(C_1 \cap R) = P(C_1)\times P_{C_1}(R) = 0,6 \times 0,1 = 0,06$ \hfill\,

\item% Montrer que la probabilité que cette personne ait été admise à ce concours en mai 2013 est de $0,22$. 

\og{}La personne est admise au concours\fg{} est l'événement $R$.

D'après la formule des probabilités totales:
 
\hfill $P(R)= P(C_1 \cap R) + P(\overline{C_1} \cap R)
= 0,06 + 0,4 \times 0,4 = 0,06 + 0,16 = 0,22$ \hfill\,

\item Sachant que cette personne a réussi le concours, la probabilité qu'elle l'ait présenté pour la première fois est $P_R(C_1)$:

\hfill $P_R(C_1) = \dfrac{P(C_1 \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,06}{0,22} = \dfrac{3}{11} \approx 0,27$\hfill\,

\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B : résultats d'un établissement}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B: résultats des établissements}

 
%Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.
%
%\medskip
% 
%Dans un établissement, parmi les 224 étudiants inscrits à la préparation à ce concours, 26\,\% ont été admis à la session de mai 2013.
% 
%On admet que dans cette population, on a également 60\,\% des personnes qui se présentaient pour la première fois.
% 
%Le directeur de l'établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de 22\,\%, ne peut être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l'enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l'ensemble des candidats.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% du pourcentage d'étudiants admis dans un groupe de $224$~personnes. 

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ du pourcentage d'étudiants admis est:

\hfill $I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \right]$ \hfill\,

Le groupe est de 224 personnes donc $n=224$ et le taux de réussite global est de 22\,\% donc $p=0,22$:

\hfill $I=\left[ 0,22-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,22\times 0,78}}{\ds\sqrt{224}}\,;\, 0,22+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\ds\sqrt{224}} \right]
\approx \cd 0,16\,;\, 0,28 \cg$\hfill\,

\item% Que penser de l'affirmation du directeur de l'établissement ? Justifier.

Le pourcentage de reçus dans l'établissement étudié est de 26\,\% soit $0,26$; ce nombre appartient à l'intervalle de fluctuation $I$ donc on peut considérer que le taux de réussite de 26\,\% est un résultat \og{}normal \fg{}. L'affirmation du directeur de l'établissement est donc erronée.
 
\end{enumerate}
 
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de sp\'ecialit\'e}

%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

 
Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H.
 
Les constats faits les premières semaines conduisent à modéliser l'évolution du choix du fournisseur pour les commandes d'une semaine à l'autre par un graphe probabiliste de sommets A et H où :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A désigne l'état : \og La commande est passée auprès du fournisseur A \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] H désigne l'état : \og La commande est passée auprès du fournisseur H \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
%La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre A et H, 
%  =  
%
%est $M = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On dessine le graphe probabiliste associé à la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}$: 


\hfill
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(4,1.1)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{H}{H}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{A}{H} \Aput{0,05}%                     premier vers second
\ncarc{->}{H}{A} \Aput{0,1}%                    second vers premier
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,95}%   premier sommet
\nccircle[angleA=-90]{->}{H}{.4cm} \Bput{0,9}%  second sommet
\end{pspicture}
\hfill\,

\end{enumerate}


% Donner la signification du nombre $0,95$ dans la matrice $M$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité de l'évènement : \og La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A \fg ; 
\item $h_{n}$ la probabilité de l'évènement : \og La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H \fg ;
\item $P_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}& h_{n}\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste pour la semaine $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
 
\item %Vérifier que la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$  correspond à l'état stable du système. En donner une interprétation.

Comme $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1$, la matrice $P = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ correspond à un état probabiliste.

Pour qu'elle corresponde à l'état stable, il faut de plus que $P\times M=P$.

\smallskip

\hspace*{1cm}$P \times M = 
\begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\times 0,95 + \dfrac{1}{3}\times 0,1 & 
\dfrac{2}{3}\times 0,05 + \dfrac{1}{3}\times 0,9
 \end{pmatrix}$

\hspace*{1cm}$\phantom{P \times M}= \begin{pmatrix} 
 \dfrac{2 \times 0,95 + 0,1}{3} &
 \dfrac{2 \times 0,05 + 0,9}{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}
= P$

\smallskip

Donc la matrice $P = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ correspond à l'état stable du système.

Cela signifie que, si une année les commandes se répartissent en proportion de $\dfrac{2}{3}$ pour le fournisseur A et de $\dfrac{1}{3}$ pour le fournisseur H, il en sera de même l'année suivante et donc toutes les années qui suivront.
 
\item On donne $P_{0} = \begin{pmatrix}0,4 &0,6\end{pmatrix}$ et on rappelle que $P_{k} = P_{0} \times  M^k$, pour $k$ entier naturel. 

On cherche $n$ tel que $a_n>h_n$;
pour cela on calcule, à la calculatrice:

$P_1 = P_0 \times M =
\begin{pmatrix} 0,44 & 0,56 \end{pmatrix} $;
$P_2 = P_0 \times M^2 =
\begin{pmatrix} 0,474 & 0,526 \end{pmatrix} $ et
$P_3 = P_0 \times M^3 =
\begin{pmatrix} \np{0,5029} & \np{0,4971} \end{pmatrix} $

C'est donc à partir de la troisième semaine que, pour la première fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H. 
\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

 
Le directeur de l'entreprise E rend visite à ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomètres possible.
 
Son assistant dresse un graphe qui schématise les trajets, en kilomètres, entre les six villes de la région, notées B ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H. 

\medskip

L'algorithme de Dijkstra va donner tous les trajets les plus courts partant du sommet A:


%Déterminer l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H et indiquer le nombre de kilomètres à effectuer. Justifier la réponse. 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{9}{c|}}
\hline 
A  &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   & G &   H   & {On garde} \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
$\phantom{325 (A)}$ & \sur{100 (A)} & 175 (A) & 158 (A) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  $\infty$ & B (A)\\
\hline
 &  & {175 (A)} & \sur{158 (A)} &  & $\infty$ & $\infty$ &  $\infty$ & \\[-3pt]
 &  & \sout{214 (B)} &  & 250 (B) &  &  &   & D (A)\\
\hline
 &  & \sur{175 (A)} &  & 250 (B) &  & $\infty$ &  $\infty$ &  \\
 &  & \sout{253 (D)} &  &  & 265 (D) &  &   & C (A) \\
\hline
 &  &  &  & \sout{250 (B}) & \sout{265 (D)} & $\infty$ &  $\infty$ &  \\[-3pt]
 &  &  &  & \sur{240 (C)} & 245 (C) &  &   & E (C) \\ 
\hline
 &  &  &  & & \sur{245 (C)} & 322 (E) &  353 (E) & F (C)  \\
\hline
 &  &  &  & &  & \sout{322 (E)} &  353 (E) &   \\[-3pt]
 &  &  &  & &  & \sur{276 (F)} &  \sout{357 (F)} & G (F)  \\
\hline
 &  &  &  & &  &  &  \sout{353 (E)} &   \\[-3pt]
 &  &  &  & &  &  &  \sur{325 (G)} & H (G)  \\
 \hline
\end{tabular} }
\end{center} 

L'itinéraire le plus court pour aller de A à H est:
A $\stackrel{175}{\longrightarrow}$ 
C $\stackrel{70}{\longrightarrow}$ 
F $\stackrel{31}{\longrightarrow}$ 
G $\stackrel{49}{\longrightarrow}$ H

Il a une longueur de $175+70+31+49=325$ kilomètres.


\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(18,6.5)
\cnodeput(0.3,3.3){A}{A}
\cnodeput(4,5.5){B}{B}
\cnodeput(9.5,3.5){C}{C}
\cnodeput(6,0.5){D}{D}
\cnodeput(11.5,5.7){E}{E}
\cnodeput(12.5,1.3){F}{F}
\cnodeput(14,3.3){G}{G}
\cnodeput(17.5,3){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{\bf \sf 100}
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{A}{C}\ncput*{\bf \sf \red 175}
\ncline{A}{D}\ncput*{\bf \sf 158}
\ncline{B}{C}\ncput*{\bf \sf 114}
\ncline{B}{E}\ncput*{\bf \sf 150}
\ncline{C}{D}\ncput*{\bf \sf 95}
\ncline{C}{E}\ncput*{\bf \sf 65}
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{C}{F}\ncput*{\bf \sf \red 70}
\ncline{D}{F}\ncput*{\bf \sf 107}
\ncline{E}{G}\ncput*{\bf \sf 82}
\ncline{E}{H}\ncput*{\bf \sf 113}
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{F}{G}\ncput*{\bf \sf \red 31}
\ncline{F}{H}\ncput*{\bf \sf 112}
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{G}{H}\ncput*{\bf \sf \red 49}
\end{pspicture}
\end{center}


%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.
 
%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

 
%Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction $f$, le nombre de malades durant l'épidémie.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\cd 1~;~26\cg$ par : 
$f(t) = 24t \ln (t) - 3t^2 + 10$

 où $t$ est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et $f(t)$ est le nombre de milliers de malades comptabilisés après $t$ semaines.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}

\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
%Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [1~;~26], $f'(t) = 24 \ln (t) - 6t + 24$. 

$f'(t)= 24 \times 1 \times \ln(t) + 24 \times t \times \dfrac{1}{t} - 6t +0 =  24 \ln(t) - 6t +24$


\item %Les variations de la fonction $f'$ sont données dans un tableau.



	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'équation $f'(t) = 0$ admet, dans l'intervalle [1~;~26], une solution et une seule qu'on notera $\alpha$ et donner l'encadrement de $\alpha$ par deux entiers naturels consécutifs. 

On complète le tableau de variations de la fonction $f'$:

$f'(1)=18>0$; $f'(4)=24 \ln 4 \approx 33,3 >0$ et $f'(26)=24\ln(26)-132 \approx -53,8 <0$

\begin{center}
\psset{unit=1cm, arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(11,3)
%\psgrid
\psframe(10.2,3)\psline(0,2.5)(10.2,2.5) \psline(2,0)(2,3) 
\uput[u](1,2.45){$t$} \uput[u](2.2,2.45){$1$}
\uput[u](6,2.45){$4$} \uput[u](9.8,2.45){$26$}
\rput(1,1.25){$f'(t)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,2) 
\psline{->}(6.5,2)(9.5,0.5)
%%% 
\psline[linestyle=dashed, linecolor=red](8,1.2)(8,2.5)
\rput*(8,1.2){\red 0} \uput[u](8,2.45){\red $\alpha$}
\rput*(2.3,0.3){\red 18} \rput*(9.6,0.3){\red $-53,8$}
\uput[u](6,1.8){\red $33,3$}
\end{pspicture} 
\end{center}

D'après ce tableau de variations, l'équation $f'(t)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd 1\,;\, 26 \cg$ et cette solution, appelée $\alpha$, est dans l'intervalle $\cd 4\,;\, 26 \cg$.

Plus précisément:
$f'(14) \approx 3,34 >0$ et $f'(15)\approx -1,01 <0$ donc 
$ 14 < \alpha < 15$.


		\item% En déduire le signe de $f'(t)$ sur [1~;~26] et les variations de $f$ sur [1~;~26].
Du tableau de variations, on peut déduire que $f'(t) >0$ sur $\cd 1\,;\, \alpha\cd$ et que $f'(t)<0$ sur $\cg \alpha\,;\, 26\cg$.

%\begin{list}{\textbullet}{Donc la fonction $f$}
%\item est strictement croissante sur $\cd 1\,;\, \alpha \cg$;
%\item est strictement décroissante sur $\cd \alpha\,;\, 26 \cg$;
%\item atteint un maximum pour $x=\alpha$.
%\end{list}

\begin{tabular}{@{} l @{\textbullet\hspace*{4mm}} l} 
Donc la fonction $f$ \hspace*{1cm} & est strictement croissante sur $\cd 1\,;\, \alpha \cg$;\\
 & est strictement décroissante sur $\cd \alpha\,;\, 26 \cg$;\\
 & atteint un maximum pour $x=\alpha$.
\end{tabular} 


	\end{enumerate} 
	
\item Le réel $f'(t)$ représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de $t$ semaines.

	\begin{enumerate}

		\item L'expression mathématique suivante : \og sur $\cd 4~;~26\cg$, $f'$ est décroissante\fg{} signifie que sur cet intervalle, la vitesse de propagation de la maladie diminue.  

		\item% À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.
Le nombre de malades par semaine commence à diminuer quand la vitesse de propagation devient négative, donc quand $f'(t)$ devient négatif, c'est-à-dire pour $t>\alpha$; donc il s'est écoulé 14 semaines avant que le nombre de malades par semaine commence à diminuer.

	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

 
On admet que la fonction $G$ définie par
$G(t) = 12t^2 \ln (t) - 6t^2$

 est une primitive sur $\cd 1~;~26\cg$ de la fonction $g$ définie par $g(t) = 24t \ln (t)$. 
 
% \medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer, sur [1~;~26], une primitive $F$ de la fonction $f$. 

$f(t)= 24t \ln(t) - 3t^2+10 = g(t) -3t^2+10$; la fonction $g$ a pour primitive la fonction $G$ et la fonction $t \longmapsto -3t^2+10$ a pour primitive $t \longmapsto -t^3 +10t$ (primitive d'une fonction polynôme).

Donc la fonction $f$ a pour primitive sur l'intervalle $\cd 1\,;\, 26\cg$ la fonction $F$ définie par

\hfill $F(x)=12 t^2 \ln(t) - t^3 -6t^2 + 10t$. \hfill\,

\item  On a trouvé que l'arrondi à l'entier de $\frac{1}{26 - 1\rule[-3pt]{0pt}{8pt}}[F(26) -F(1)]$ est $202$. %Donner une  interprétation de ce résultat dans le contexte du problème. 

$\frac{1}{26 - 1\rule[-3pt]{0pt}{8pt}}[F(26) -F(1)] = \dfrac{1}{26-1}\int_1^{26} f(t) \d t$ est la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 1 et 26; donc le nombre moyen de malades comptabilisés entre les semaines 1 et 26 est de 202 milliers.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On étudie l'évolution de la population d'une ville, depuis le 1\up{er} janvier 2008.

%\medskip 
%
%\textbf{Partie A : un premier modèle}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A: un premier modèle}

 
Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5\,\% par an depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1\up{er} janvier 2008 et le 1\up{er} janvier 2014. Donner une réponse à 0,1\,\% près.
Une augmentation annuelle de 3,5\,\% correspond à une multiplication par $1+\dfrac{3,5}{100}$ soit $1,035$.

Si cette augmentation se produit pendant 6 ans, il faut multiplier par $1,035^6 \approx 1,229$, ce qui correspond à une augmentation de $22,9\,\%$.

\item À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1\up{er} janvier à l'aide d'une suite :
 
pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants, exprimé en centaines de milliers d'habitants, au 1\up{er} janvier de l'année $2008 + n$.
 
%Au 1\up{er} janvier 2008, cette ville comptait \np{100000}~habitants. 

	\begin{enumerate}
		\item% Que vaut $u_{0}$ ? 
Au 1\ier{} janvier 2008, donc pour $n=0$, la population de la ville était de $\np{100000}$ habitants donc une centaine de milliers d'habitants: $u_0=1$.


		\item% Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:\:u_{n} = 1,035^n$. 

La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=1,035$; donc pour tout $n$, $u_n=u_0 \times q^n = 1\times 1,035^n = 1,035^n$.

		\item% Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.
La population aura doublé quand elle aura atteint 2 centaines de milliers d'habitants, autrement dit quand $u_n$ sera supérieur ou égal à 2. On résout l'inéquation $1,035^n \pg 2$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff \ }l l}
1,035^n \pg 2 & \ln\left (1,035^n\right ) \pg \ln 2 & \text{croissance de la fonction ln}\\
 & n \times \ln 1,035 \pg \ln 2 & \text{propriété de la fonction ln} \\[3pt]
 & n \pg \dfrac{\ln 2}{\ln 1,035} & \text{car } \ln 1,035 >0
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,035 \rule[-4pt]{0pt}{0pt}} \approx 20,15$ donc on peut dire que le population aura doublé la 21\up{e} année, soit en $2008 + 21 = 2029$.

\textit{\`A la calculatrice, on trouve que $1,035^{20}\approx 1,99 < 2$ et que $1,03^{21}\approx 2,06>2$.}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B : un second modèle.}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B: un second modèle}

 
On modélise la population de cette ville à partir du 1\up{er} janvier 2008 par la fonction $f$ définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par 
$f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\e^{- 0,05x}}$
%
% où $x$ désigne le nombre d'années écoulées 
%depuis le 1\up{er} janvier 2008 et $f(x)$ le nombre d'habitants en centaines de milliers.
%On admet que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. 
%
%\medskip
%
% On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
% & \\[-5pt]
% \textbf{Initialisation :}& 	$X$ prend la valeur $0$\\ 
%\textbf{Traitement :}& 	Tant que $f(X) \leqslant 2$\\ 
%&$X$ prend la valeur $X + 1$\\
%& Fin Tant que\\ 
%\textbf{Sortie :}& 	Afficher $X$ \\
% & \\[-5pt] \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%On fait fonctionner cet algorithme, et le résultat affiché en sortie est $28$.

\begin{list}{\textbullet}{Dans l'algorithme proposé dans le texte}
\item $X$ désigne une variable entière qui représente le nombre d'années écoulées depuis le 1\ier{} janvier 2008;

\item $f(X)$ représente le nombre d'habitants en centaines de milliers.
\end{list}

L'algorithme tourne tant que $f(X) \pp 2$, donc il s'arrête dès que $f(X)>2$; la valeur 28 affichée en sortie de l'algorithme représente donc la première année pour laquelle $f(X)$ est plus grand que 2, autrement dit la première année pour laquelle la population dépasse $\np{200000}$ habitants.

Ce sera en $2008+28$ donc en 2036 avec ce modèle de développement de population.

\end{document}