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%Tapuscrit : Denis Vergès et Arié Yallouz
%Corrigé : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{22 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES -- Asie 22 juin 2017~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 4 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\bigskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\cg 0~;~+\infty\cd$  par : 

\[f(x) = 1 + \ln (x).\]

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$.

%Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

\medskip

\textbf{Affirmation 1}

On note $F$ la primitive sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(1) = 0$.
Pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x) = x\ln (x)$.

\medskip

Si $F(x) = x\ln (x)$, alors $F(1)=1\times \ln(1)=0$.

$F'(x)=1\times \ln(x) +x \times \dfrac{1}{x}= \ln(x) + 1=f(x)$.

\textbf{Affirmation 1 vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation 2}

La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\cg 0~;~+\infty\cd$.

\medskip

La fonction ln est strictement croissante sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ donc la fonction $f$ définie par 

$f(x) = 1 + \ln(x)$ est strictement croissante sur $\cg 0~;~+\infty\cd$.

\textbf{Affirmation 2 vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation 3}

L'équation $f(x) = 2$ possède exactement une solution dans l'intervalle $\cd 1~;~10\cg$.

\medskip

On résout l'équation $f(x) = 2$ dans $\cd 1~;~10\cg$: $1+\ln(x)=2 \iff \ln(x)=1 \iff x=\e$ et $\e\in \cd 1~;~10\cg$.

\textbf{Affirmation 3 vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation 4}

Il existe au moins un point de la courbe $C$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $C$.

\medskip

On étudie la convexité de la courbe: $f(x)=1+\ln(x) \implies f'(x)=\dfrac{1}{x} \implies f''(x)= -\dfrac{1}{x^2}<0$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$. 

On en déduit que la fonction $f$ est concave sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ donc la courbe $C$ est toujours située au dessus des tangentes en tous ses points.

\textbf{Affirmation 4 fausse}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 5 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\bigskip

Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\def\partout{\begin{tabular}{|>{\scriptstyle}c|}\hline
%\text{connexion}\\\text{internet fixe au}\\ \text{domicile et en}\\\text{mobilité :}\: 57\,\%\\ \hline
%\end{tabular}}
%\definecolor{grispartout}{gray}{0.2}
%\def\pas{\begin{tabular}{|>{\scriptstyle}c|}\hline
%\text{pas de}\\\text{connexion}\\\text{internet  :}\: 12\,\%\\ \hline
%\end{tabular}}
%\definecolor{grispas}{gray}{0.4}
%\def\domi{\begin{tabular}{|>{\scriptstyle}c|}\hline
%\text{connexion}\\\text{internet fixe au}\\\text{domicile}\\\text{seulement:} \:28\,\% \\ \hline
%\end{tabular}}
%\definecolor{grisdomi}{gray}{0.6}
%\def\mobil{\begin{tabular}{|>{\scriptstyle}c|}\hline
%\text{connexion inter-}\\\text{net en mobilité}\\
%\text{seulement:} \: 3\,\%\\ \hline
%\end{tabular}}
%\definecolor{grismobil}{gray}{0.8}
%\begin{pspicture}(-5.4,-5.4)(5.4,5.4)
%\pscircle(0,0){3}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){3}{90}{295.2}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=grismobil](0,0){3}{295.2}{306}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=grisdomi](0,0){3}{306}{406.8}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=grispas](0,0){3}{406.8}{450}
%\rput(-4.8,-1){\partout}
%\rput(2.3,4.3){\pas}
%\rput(4.9,0){\domi}
%\rput(3.3,-3.8){\mobil}
%\rput(2.1,-5.4){\footnotesize \emph{Source : CREDOC, Enquêtes sur les \og Conditions de vie et les aspirations \fg, juin 2016.}}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.1)(2,1.1)
\newrgbcolor{c1}{0.756 0.764 .576}
\newrgbcolor{c2}{0.656 0.704 .54}
\newrgbcolor{c3}{0.84 0.86 .84}
\newrgbcolor{c4}{0.645 0.51 .51}
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=darkgray}
\rput[l](1.2,.2){\pnode{b}{\psframebox{\parbox{1.4cm}{\centering \tiny{ connexion internet fixe au domicile seulement : 28 \%}}}}}
\pnode(1,0){a}\ncdiag[lineAngle=60, armA=.1,armB=0,angleA=180,angleB=0]{b}{a}
\rput[l](.5,1.1){\pnode{d}{\psframebox{\parbox{1.4cm}{\centering \tiny{pas de connexion internet : 12 \%}}}}}
\pnode(.33,.98){c}\ncdiag[lineAngle=60, armA=.1,armB=0,angleA=180,angleB=0]{d}{c}
\rput[r](-1.2,-.2){{\psframebox{\parbox{1.4cm}{\centering \tiny{connexion internet fixe au domicile et en mobilité : 57 \%}}}}}
\pnode(-1.2,-.4){f}\pnode(-1,0){e}\ncdiag[lineAngle=60, armA=.1,armB=0,angleA=180]{e}{f}
\rput[l](.8,-1){\pnode{h}{\psframebox{\parbox{1.4cm}{\centering \tiny{connexion internet en mobilité seulement: 3 \%}}}}}
\pnode(.57,-.86){g}\ncdiag[lineAngle=-60, armA=.1,armB=0,angleA=180,angleB=0]{h}{g}
\psset{linecolor=white,linewidth=1.25pt}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c1]{1}{-50.4}{50.4}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c2]{1}{50.4}{93.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c3]{1}{93.6}{298.8}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c4]{1}{298.8}{309.6}
\uput[l](2,-1.4){\scriptsize{\emph{Source : CREDOC, Enquêtes sur les \og Conditions de vie et les aspirations \fg, juin 2016.}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.

On note $D$ l'évènement \og la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile \fg.

On note $M$ l'évènement\og la personne dispose d'une connexion internet en mobilité \fg.

\smallskip

%On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On peut résumer les informations dans un tableau à double entrée:

{
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}                          &   D              & \overline D         &  \text{Total}  \\
\hline
M                      &  57\,\%     & 3\,\%                    & 60\,\%\\
\hline
\overline{M}  & 28\,\%     & 12\,\%                  & 40\,\%\\
\hline
\text{Total}     & 85\,\%     & 15\,\%                  &  100\,\% \\
\cline{1-4}
\end{array}$
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item% Donner sans justification $p(D \cap M)$, puis justifier que $p(D) = 0,85$.
D'après le texte: $p(D \cap M) = 0,57$.

D'après la formule des probabilités totales: $p(D)= p(D\cap M) + p\left(D \cap \overline{M}\right) = 0,57+0,28=0,85$.

\item La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité est: $p_M(D)$.

$p(M)= p(M\cap D) + p\left(M \cap \overline{D}\right) = 0,57 + 0,03 = 0,6$, donc 
$p_M(D) = \dfrac{p(M \cap D)}{p(M)} = \dfrac{0,57}{0,6} = 0,95$

\item Soit $E$  l'évènement \og la personne dispose d'une connexion internet \fg{}; d'après le texte, $p(\overline{E}) = 0,12$ donc $p(E)= 1 - p\left(\overline{E}\right) = 1 - 0,12 = 0,88$.

\item $p_{\overline{M}}(\overline{D}) = \dfrac{p\left(\overline{M} \cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{M}\right)}
= \dfrac{0,12}{1 - 0,6} = \dfrac{0,12}{0,4} = 0,3$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
On est dans le cas d'une répétition de 100 fois une expérience qui n'a que deux issues: la personne a une connexion internet avec une probabilité de $0,85$ ou la personne n'a pas de connexion internet avec une probabilité de $1 - p = 0,15$.

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes ayant une connexion internet dans un échantillon de $100$~personnes suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,85$.

\item $p(X\pp 75) = \ds\sum_{k=0}^{75} \binom{100}{k} 0,85^k \left (1-0,85\right )^{100-k} \approx 0,006$ (à la calculatrice).

%Déterminer $P(X \leqslant 75)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Il y a donc $0,6\,\%$ de risque que moins de 75\,\% de personnes disposent d'une connexion internet fixe.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On cherche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.

La proprotion est $p=0,85$; $n=100 \pg 30$, $np=85 \pg 5$ et $n(1-p) = 15 \pg 5$ donc les conditions sont vérifiées pour déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%:

$I=\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~~p + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right ]
\approx \cd 0,780~;~0,920 \cg$

\item Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les $100$ habitants de plus de 12 ans de ce village, $76$ d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.

La fréquence de personnes ayant internet fixe dans le village est $f=\dfrac{76}{100}=0,76$; or $0,76 \not\in I$ donc on peut penser que le village est sous-équipé en connexion internet fixe.

%Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun  à tous les candidats \hfill 6 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction définie et dérivable sur
l'intervalle $[-3~;~2]$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le point A de coordonnées $(0~;~3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

B est le point d'abscisse 1 appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

%\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-3.1)(3.1,5.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-7,-3)(3,5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{2}{2.5 x mul 2 sub x dup mul sub 2.71828 x exp mul 5 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-7}{3}{0.5 x mul 3 add}
\uput[u](-5.5,0.4){$\Delta$}
\psdots(0,3)(1,3.6409)\uput[ul](0,3){A}\uput[ur](1,3.6409){B}
\psline(-7,3.6409)(3,3.6409)\uput[u](-5.5,3.6409){$\Delta'$}
\uput[r](2,-2){\red $\mathcal{C}_f$ }
\uput[u](2.9,0){$x$}
\uput[r](0,4.9){$y$}
\psdots[linecolor=red](-3,4.08)(2,-2.39)
\psframe[hatchcolor=red,fillstyle=vlines,linecolor=red](0,0)(1,3)
\psframe[hatchcolor=blue,fillstyle=hlines,linecolor=blue](0,0)(1,4)
\end{pspicture*}
%\end{figure}

On dispose des informations suivantes :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $\cd -3~;~-0,5\cg$ et $\cd 1~;~2\cg$
et elle est strictement croissante sur $\cd -0,5~;~1\cg$ ;
\item[$\bullet~~$] la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,5x + 3$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A;
\item[$\bullet~~$] la tangente $\Delta'$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

%Chaque réponse devra être justifiée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Donner la valeur de $f'(1)$.
On sait que la tangente $\Delta'$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B est parallèle à l'axe des abscisses donc $f'(x_B)=0$ ce qui équivaut à $f'(1)=0$.

\item%  Quel est le signe de $f'(- 2)$ ?
Le nombre $f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $x=-2$; d'après le graphique, $f'(-2)<0$.

\item % Donner la valeur de $f'(0)$.
Le nombre $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ d'équation $y=0,5x +3$ donc $f'(0)=0,5$.

\item % Le point A est-il un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
Au point A, la courbe ne traverse pas sa tangente donc le point A n'est pas un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

\item  La fonction $f$ est positive sur $\cd 0~;~1\cg$ donc  $\displaystyle\int_0^1 f(x)\: \text{d}x$ est l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

D'après le graphique, $3 \pp \displaystyle\int_0^1 f(x)\: \d x  \pp 4$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ pour lesquels la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie, pour tout réel $x$ de $\cd -3~;~2\cg$, par: $f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\e^x + 5$.

\begin{enumerate}
\item% En utilisant l'un des points du graphique, justifier que $c = - 2$.
On sait que $f(0=3$ donc $c \times \e^{0}+5 = 3 \iff c=-2$.

\item On admet que la fonction dérivée $f'$ est donnée, pour tout réel $x$ de $\cd -3~;~2\cg$, par : \\
$f'(x) = \left(ax^2 + (2a + b)x - 2 + b\right)\e^x$.

%En utilisant les résultats de la partie A, justifier que $b = 2,5$ puis que $a = - 1$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f'(0)=0,5 \iff (-2+b)\e^{0}=0,5 \iff -2+b = 0,5 \iff b=2,5$
\item $f'(1)=0  \iff (a+2a +2,5 - 2 + 2,5)\e^{1} = 0 \iff 3a+3=0 \iff a=-1$
\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $\cd -3~;~2\cg$ par: $f(x) = \left(- x^2 + 2,5x - 2\right)\text{e}^x + 5$.

\begin{enumerate}
\item% Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2]$ \[f'(x) = \left(-x^2 + 0,5x + 0,5\right)\text{e}^x.\]
$f$ est dérivable sur $\R$ et
$f'(x) = (-2x+2,5)\e^{x} + \left(-x^2+2,5x -2\right)\e^{x} = \left(-x^2+0,5x+0,5\right)\e^{x}$

\item % Étudier le signe de $f'$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3~;~2]$.
Pour tout réel, $\e^{x} > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $- x^2 + 2,5x - 2$.

$\Delta = 2,25 = 1,5^2$ donc les racines du polynôme sont $x' = \dfrac{- 0,5+1,5}{-2}=-0,5$ et $x'' = \dfrac{-0,5-1,5}{-2}=1$ 

$f(-3)= 5 - 18,5\e^{-3}\approx 4,08$ ;

$f(-0,5)=5 - 3,5\e^{-0,5} \approx 2,88$;

$f(1)= 5 - 0,5\e \approx 3,64$ et

$f(2) = 5-\e^{2} \approx -2,39$

On construit le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd -3~;~2\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.36cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -3 & \esp & -0,5 & \esp & 1 & \esp & 2 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{5 - 18,5\e^{-3}} & &  & & \Rnode{max2}{5 - 0,5\e} & & \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{5 - 3,5\e^{-0,5}} & & & & \Rnode{min2}{5-\e^{2} }  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} 
% \rput*(-6.1,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
%\rput(-6.1,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,2.4){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~2]$.
On complète le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{0.65cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -3 & \esp & -0,5 & \esp & 1 & \esp & 2 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{5 - 18,5\e^{-3} {\red >0}} & &  & & \Rnode{max2}{5 - 0,5\e {\red >0}} & & \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{5 - 3,5\e^{-0,5} {\red >0}} & & & & \Rnode{min2}{5-\e^{2} {\red <0}}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} 
% \rput*(-6.1,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
%\rput(-6.1,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\rput*(-1.9,0.78){\Rnode{zero2}{\red 0}}
\rput(-1.9,2.4){\Rnode{beta}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\cd 1~;~2 \cg$.

		\item% Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
On a:

$\left.
\begin{array}{@{} l}
f(1,8) \approx 0,52 >0\\
f(1,9)\approx -0,75 <0
\end{array}
\right\rbrace$
donc
$\alpha \in \cd 1,8~;~1,9\cg$ et
$\left.
\begin{array}{l}
f(1,84) \approx 0,05 >0\\
f(1,85)\approx -0,07 <0
\end{array}
\right\rbrace$
donc
$\alpha \in \cd 1,84~;~1,85\cg$

$f(1,845)\approx -0,09<0$ donc $\alpha$ a pour valeur arrondie au centième le nombre $1,84$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill {\small Candidats de  ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}
%
%\bigskip

Pour l'année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement : \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg.

Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg, On admet que

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante ;
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Ouverture culturelle\fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\smallskip

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l'évènement \og l'élève a choisi \og Approfondissement\fg{} la $n$-ième semaine \fg{} et $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$. On a alors $p_1 = 0,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
On complète l'arbre:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A_n$} \naput{$p_n$}}
	{\TR{$A_{n+1}$}\naput{\red 0,7}
	\TR{$\overline{A_{n+1}}$}\nbput{\red 0,3}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A_n}$} \nbput{$1 - p_n$}}
	{\TR{$A_{n+1}$}\naput{\red 0,2}
	\TR{$\overline{A_{n+1}}$}\nbput{\red 0,8}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item%  Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,2$.
D'après la formule des probabilités totales:

$p_{n+1}=p\left(A_{n+1}\right) = p\left(A_{n+1} \cap A_n\right) + p\left(A_{n+1} \cap \overline{A_n}\right)
= 0,7 p_n + 0,2\left(1 - p_n\right) = 0,5 p_n + 0,2$

\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par: $u_n = p_n - 0,4$ ; donc $p_n = u_n + 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n+1} = p_{n+1} - 0,4 = 0,5 p_n + 0,2-0,4 = 0,5\left(u_n + 0,4\right) - 0,2 = 0,5 u_n + 0,2 - 0,2 = 0,5u_n$
\item $u_1=p_1-0,4 = 0,2 - 0,4 = - 0,2$
\end{list}		

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0,5$ et de premier terme $u_1 = - 0,2$.

		\item% En déduire pour tout entier naturel $n$ l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que pour tout entier $n\pg 1$, $u_n= u_1\times q^{n-1} = -0,2\times 0,5^{n-1}$.

Comme $p_n=u_n+0,4$, alors $p_n=0,4-0,2\times 0,5^{n-1}$ pour tout entier $n\pg 1$.

		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$ et $-1<q<1$ donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0.

On en déduit que la suite $(p_n)$ a pour limite $0,4$ et donc que le nombre d'élèves choisissant \og Approfondissement\fg{} tend vers 40\,\%.

 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables} & $I$ et $N$ sont des entiers naturels strictement supérieurs à~1\\
&$P$ est un nombre réel\\ \hline
\textbf{Entrée} &Saisir $N$\\ \hline
\textbf{Initialisation}& $P$ prend la valeur $0,2$\\ \hline
\textbf{Traitement} &Pour $I$ allant de 2 à $N$ :\\
&\hspace{1cm} $P$ prend la valeur $0,5P + 0,2$\\
&Fin Pour\\ \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $P$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N = 5$.
On fait tourner l'algorithme pour $N=5$; on obtient:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$N$ 	& 2 	& 3 	& 4 	& 5\\\hline
$P$ 	& 0,3 	& 0,35 	& 0,375 &\np{0,3875}\\\hline
\end{tabularx}		
\end{center}

Il s'affiche donc $\np{0,3875}$ à la fin de l'exécution de l'algorithme.
		
		\item On modifie l'algorithme afin qu'il affiche le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse $39,9$:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables} & $I$ et $N$ sont des entiers naturels strictement supérieurs à~1\\
&$P$ est un nombre réel\\ \hline
\textbf{Entrée} &Saisir $N$\\ \hline
\textbf{Initialisation}& $P$ prend la valeur $0,2$\\ \hline
\textbf{Traitement} &\textcolor{red}{Tant que $P \pp 39,9$}\\
&\hspace{1cm} \textcolor{red}{$P$ prend la valeur $0,5P + 0,2$}\\
&\hspace{1cm} \textcolor{red}{$N$ prend la valeur $N+1$}\\
& \textcolor{red}{Fin Tant que} \\ \hline
\textbf{Sortie}& \textcolor{red}{Afficher $N$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill {\normalsize Candidats de  ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats de  ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\bigskip

Pour l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement: \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg.
Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.
La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et
tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg. On admet que, chaque semaine,

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine
s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante;
\item[$\bullet~~$]30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement \fg{} une certaine semaine
s'inscrivent en \og Ouverture culturelle \fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\smallskip

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.

On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'état \og L'élève a choisi Approfondissement\fg{} et $B$ l'état \og L'élève a choisi Ouverture culturelle \fg.
	\begin{enumerate}
		\item On représente la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$:
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$A$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$B$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,3}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,2}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,7}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,8}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}		
		
		\item D'après le cours, la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique est 
		$M =
		\begin{pmatrix}		0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8		\end{pmatrix}$.

	\end{enumerate}
	
\item On note $P_1$ la matrice traduisant l'état probabiliste de la première semaine. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}0,2& 0,8\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Donner la matrice $M^2$ puis déterminer la probabilité que l'élève ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la troisième semaine.
$M^2 =
\begin{pmatrix}	0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8	\end{pmatrix} 
\times
\begin{pmatrix}	0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8	\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}	0,7\times 0,7 + 0,3\times 0,2 &  0,7\times 0,3 + 0,3\times 0,8 \\ 
                                    0,2\times 0,7 + 0,8\times 0,2 & 0,2\times 0,3 + 0,8\times 0,8 		\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}	0,55 & 0,45 \\ 0,30 & 0,70\end{pmatrix}$

$P_3=P_2\times M = P_1 \times M \times M = P_1 \times M^2 =
\begin{pmatrix}
0,2 & 0,8
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,55 & 0,45 \\ 0,30 & 0,70
\end{pmatrix}$

$\phantom{P_3}
=
\begin{pmatrix}0,2 \times 0,55 + 0,8\times 0,30 & 0,2\times 0,45 + 0,8 \times 0,70\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,35 & 0,65
\end{pmatrix}$.

Donc la probabilité que l'élève ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la 3\ieme{} semaine est $0,35$.


		\item  On détermine la probabilité qu'un élève choisisse à long terme \og Approfondissement\fg{}  en cherchant l'état stable du système, c'est-à-dire la matrice $P=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ telle que $a+b=1$ et $P\times M = P$.

$P\times M = P
\iff
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}		0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8		\end{pmatrix} 
=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}		0,7 a + 0,2 b & 0,3 a + 0,8 b	\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}		a & b	\end{pmatrix} \\
\phantom{P\times M = P}
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,7a + 0,2 b & a\\
0,3 a + 0,8 b & b
\end{array}
\right.
\iff
0,3 a - 0,2 b = 0$
		
On résout le système:

$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a + b & 1\\
0,3 a - 0,2 b & 0
\end{array}
\right.	
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
3a + 3b & 3\\
3 a & 2 b 
\end{array}
\right.	
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
2b + 3b & 3\\
a & \dfrac{2}{3} b 
\end{array}
\right.	
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
b & \dfrac{3}{5}\\[8pt]
a & \dfrac{2}{5}  
\end{array}
\right.	$

L'état stable est donc 
$P=\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$ donc, à long terme, il y aura 40\,\% des élèves qui choisiront l'approfondissement.

 	\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel non nul $n$ on note:
	
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la $n$-ième semaine,
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi \og Ouverture culturelle\fg{} lors de la $n$-ième semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On a: 
$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix} \times M
=
\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}		0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8		\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,7 a_n + 0,2 b_n & 0,3 a_n + 0,8 b_n \end{pmatrix}$

Donc $a_{n+1} = 0,7 a_n + 0,2 b_n$; or, pour tout $n\pg 1$, $a_n+b_n=1$.

Donc $a_{n+1} = 0,7 a_n + 0,2 (1-a_n) = 0,7 a_n + 0,2 - 0,2 a_n = 0,5 a_n + 0,2$.

%Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :  \[a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2.\]

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $a_n = 0,4 - 0,4 \times  0,5^n$.

On résout l'inéquation $0,4 - 0,4 \times 0,5^n > 0,399$:

$0,4 - 0,4 \times 0,5^n > 0,399 \iff 0,001 > 0,4 \times 0,5^n \iff \np{0,0025} > 0,5^n
\iff \ln(\np{0,0025}) > \ln(0,5^n)$

$\phantom{$0,4 - 0,4 \times 0,5^n > 0,399$} $\iff \ln(\np{0,0025}) > n\times \ln(0,5) \iff \dfrac{\ln(\np{0,0025})}{\ln(0,5)} < n$.

Or $\dfrac{\ln(\np{0,0025})}{\ln(0,5)} \approx 8,64$ donc $n \pg 9$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline		
\textbf{Variables} &$N$ est un entier naturel\\
&$A$ est un nombre réel\\ \hline
\textbf{Initialisation}& Affecter à $N$ la valeur 1\\
&Affecter à $A$ la valeur 0,2\\ \hline
\textbf{Traitement} &\textcolor{red}{Tant que $A \pp 0,399$}\\	
&\hspace{0,8cm}
\begin{tabular}{|l}
Affecter à $A$ la valeur $0,5 \times  A + 0,2$\\
\textcolor{red}{Affecter à $N$ la valeur $N+1$}
\end{tabular}\\
&\textcolor{red}{Fin Tant que}\\ \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item La valeur affichée par l'algorithme en sortie est donc $9$.

Ce qui veut dire qu'à partir de la 9\ieme{} semaine, il y aura plus de $39,9$\,\% d'élèves qui choisiront \og Approfondissement\fg.				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}