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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Asie Sujet 2 24 mars 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{24 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Asie 24 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG positionnés comme sur la figure suivante:

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10.2,7.8)
\pspolygon(0.2,2.5)(5.8,0.3)(5.8,4.1)(0.2,6.3)%AKJE
\psline(3,1.4)(3,5.2)(6.8,6.2)%BFG
\psline(5.8,0.3)(9.6,1.3)(9.6,5.1)(5.8,4.1)%KLMJ
\psline(6.8,6.2)(4,7.3)(0.2,6.3)%GHE
\psline(9.6,5.1)(6.8,6.2)%MG
\psline[linestyle=dashed](4,7.3)(4,3.5)(9.6,1.3)%HDL
\pspolygon[linestyle=dashed](3,1.4)(6.8,2.4)(6.8,6.2)%BCG
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.5)(4,3.5)%ADC
%\psline[linestyle=dotted](4,3.5)(6.8,2.4)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,2.5)(3,1.4)%AB
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,2.5)(4,3.5)%AD
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,2.5)(0.2,6.3)%AE
\psline(3,1.4)(1.6,5.75)(6.8,6.2)%BIG
\uput[dl](0.2,2.5){A} \uput[dl](3,1.4){B} \uput[ur](6.8,2.4){C} \uput[ul](4,3.5){D}
\uput[l](0.2,6.3){E} \uput[dl](3,5.2){F} \uput[ur](6.8,6.2){G} \uput[u](4,7.3){H}
\uput[u](5.8,4.1){J} \uput[d](5.8,0.3){K} \uput[r](9.6,1.3){L} \uput[ur](9.6,5.1){M}
\uput[u](1.6,5.75){I}
\end{pspicture}
\end{center}

Le point I est le milieu de [EF].

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.

Ainsi, par exemple, les points F{}, G et J ont pour coordonnées 

\begin{center}F(1~;~0~;~1),\qquad  G(1~;~1~;~1)\quad et\quad  J(2~;~0~;~1).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le volume du tétraèdre FIGB est égal à $\dfrac{1}{12}$ d'unité de volume. 

%On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

%\begin{center}$V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times  \text{hauteur correspondante}$.\end{center}
Puisque ABCDEFGH et BKLCFJMG sont des cubes on a FG = BF = EH = AD $ = 1$ et comme I est le milieu de [EF], on a FI $= \dfrac12 \times $ EF $ = \dfrac12 \times 1 = \dfrac12$.

En prenant comme base le triangle rectangle isocèle BFG et la hauteur [FI], on a donc :

$V_{\text{FIGB}} = \dfrac13 \times \dfrac12 \times 1 \times 1 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{12}$~(unité de volume).
\item %Déterminer les coordonnées du point I.
On a $\vect{\text{AI}} = \vect{\text{AE}} + \vect{\text{EI}} = \vect{\text{AE}} + \dfrac12\vect{\text{EF}} = \vect{\text{AE}} + \dfrac12\vect{\text{AB}} + 0\vect{\text{AD}}$. les coordonnées de I sont donc : $\left(\dfrac12~;~0~;~1\right)$.
\item %Montrer que le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ un vecteur normal au plan (BIG).
Avec J(2~;~0~;~1) et D(0~;~1~;~0), on obtient $\vect{\text{DJ}}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.

D'autre part $\vect{\text{BI}}\begin{pmatrix}- \dfrac12\\0 - 0\\1 - 0 \end{pmatrix}$ soit $\vect{\text{BI}}\begin{pmatrix}- \dfrac12\\0 \\1\end{pmatrix}$.

De G(1~;~1~;~1) on obtient $\vect{\text{BG}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

On a donc $\vect{\text{DJ}}\cdot \vect{\text{BI}} = -1 + 0 + 1 = 0$ et 

$\vect{\text{DJ}}\cdot \vect{\text{BG}} = 0 - 1 + 1 = 0$.

Conclusion $\vect{\text{DJ}}$ est un vecteur normal à deux vecteurs non colin"aires du plan (BIG) : c'est un vecteur normal à ce plan.
\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BIG) est $2x - y + z - 2 = 0$.
On sait donc d'après la question précédente que :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{BIG}) \iff 2x - 1y + 1z + d = 0$ avec $d \in \R$.

Or B(1~;~0~;~0)$ \in  (\text{BIG}) \iff 2\times 1 - 1 \times 0 + 1 \times 0 + d = 0 \iff 2 + d = 0 \iff d = - 2$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{BIG}) \iff 2x - 1y + 1z - 2 = 0$
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à (BIG) et passant par F.
La droite $d$ orthogonale à (BIG) a un vecteur directeur colinéaire à $\vect{\text{DJ}}$.

On a F(1~;~0~;~1). D'autre part donc $M(x~;~y~;~z) \in d \iff$

$ \vect{\text{F}M}  = t \vect{\text{DJ}}, \: t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&2t\\
y - 0&=&- t\\
z- 1&=&t
\end{array}\right., \:t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + 2t\\
y - 0&=&\phantom{1 + }- t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right., \:t \in \R$

\item
	\begin{enumerate}
		\item %La droite $d$ coupe le plan (BIG) au point L$'$.
Si L$'(x~;~y~;~z)$ est commun à $d$ et au plan (BIG) ses coordonnées vérifient les équations paramétriques de $d$ et l'équation du plan (BIG) soit le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + 2t\\
y - 0&=&\phantom{1 + }- t\\
z&=&1 + \phantom{2}t\\
2x - y + z - 2&=&0
\end{array}\right., \:t \in \R$.

En remplaçant $x, y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans la dernière équation on obtient :

$2(1 + 2t) - (- t) + (1 + t) - 2 = 0 \iff 2 + 4t + t + 1 + t - 2 = 0\iff 6t + 1 = 0\iff t = - \dfrac16$ et en remplaçant dans $x, y$ et $z$, on obtient $x = 1 + \dfrac26 = \dfrac23$,\:$y = -\left(- \dfrac16 \right) = \dfrac16$ et $z = 1 - \dfrac16  = \dfrac56$.

Conclusion avec L$' = d \cap \text{(BIG)},\quad  \text{L}'\left(\dfrac23~;~\dfrac16~;~\dfrac56\right)$.
		
%Montrer que les coordonnées du point L$'$ sont $\left(\dfrac23~;~\dfrac16~;~\dfrac56\right)$.
		\item Calculer la longueur FL.
Avec $\vect{\text{FL}}\begin{pmatrix} -\frac13\\\frac16\\- \frac16 \end{pmatrix}$, 

on a FL$'^2 = \left\|\vect{\text{FL}}\right\|^2 = \left(-\dfrac13\right)^2 + \left(\dfrac16\right)^2  + \left(- \dfrac16 \right)^2  = \dfrac19 + \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} =  \dfrac{4}{36} + \dfrac{2}{36} = \dfrac{6}{36}$,

donc FL$' = \sqrt{\dfrac{6}{36}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
		\item %Déduire des questions précédentes l'aire du triangle IGB.
En prenant comme base le triangle (BIG) le tétraèdre FIGB a pour hauteur [FL$'$] ; on a donc 
		
$V_{\text{FIGB}} = \text{aire (BIG)} \times [\text{FL}'] \times \dfrac13 \iff \dfrac{\dfrac{1}{12} \times 3}{\dfrac{\sqrt{6}}{6}} = \text{aire (BIG)} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$. (unités d'aire)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \ln \left(\e^{2x}  - \e^x  + 1\right).\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{pspicture*}(-3.6,-2)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-1.95)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{2}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp sub 1 add ln} \uput[dr](1.4,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{1.~~}L'équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.\\
\textbf{2.~~}Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[- 0,5~;~+\infty[$.\\
\textbf{3.~~}L'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par 
\[g(x) = \e^{2x} - \e^x + 1.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}2x = X = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^X = 0$ ; d'autre part $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}g(x) = 1$.
\item %Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
On peut écrire $g(x) = \text{e}^x \left(\text{e}^x - 1 + \text{e}^{-x} \right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{-x} = 0$, on a par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x - 1 + \text{e}^{-x}  = + \infty$ et enfin par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}g(x) = + \infty$.
\item %Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x - 1\right)$ pour tout $x \in  \R$.
$g$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet intervalle et 

$g'(x) = 2\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right)$.
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
D'après la question précédente comme $\text{e}^{x} > 0$, quel que soit le réel $x$, le signe de $g'(x)$ est celui de $2\text{e}^{x} - 1$.

$\bullet~~$$2\text{e}^{x} - 1 = 0 \iff 2\text{e}^{x} = 1 \iff \text{e}^{x} = \dfrac12 \iff x = \ln \dfrac12 = - \ln 2$  (par croissance de la fonction logarithme népérien);

$\bullet~~$$2\text{e}^{x} - 1 > 0 \iff 2\text{e}^{x} > 1 \iff \text{e}^{x} >\dfrac12 \iff x > \ln \dfrac12 =- \ln 2$ ;

$\bullet~~$$2\text{e}^{x} - 1 < 0 \iff 2\text{e}^{x} < 1 \iff \text{e}^{x} < \dfrac12 \iff x < \ln \dfrac12 = - \ln 2$.

La fonction $g$ est donc décroissante sur $]- \infty~;~- \ln 2[$ et croissante sur $]- \ln 2~;~+\infty[$.

Donc $g(- \ln 2) = \text{e}^{-2\ln 2} - \text{e}^{- \ln 2} + 1 1 = \dfrac{1}{\text{e}^{2\ln 2}} - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} + 1 = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 4}} - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} + 1 = \dfrac14 - \dfrac12 + 1 = \dfrac34$ est le minimum de la fonction $g$ sur $\R$.

%Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3) \psline(0,2)(9,2) \psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$- \ln 2$} \uput[u](8.5,2.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$}\uput[u](2.5,1.9){$-$}\uput[u](5,1.9){0}\uput[u](7,1.9){$+$}
\rput(0.5,1){$g(x)$}
\uput[d](1.1,2){1}\uput[u](5,0){$\frac34$}\uput[d](8.6,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(8.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
Le minimum de la fonction $g$ est supérieur à zéro, donc quel que soit $x \in \R$, \, $g(x) > 0.$
\item %Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat
%de la question 5 en posant 

En posant $X = \e^x$, $g(x) = g(X) = X^2 - X +1 = \left(X - \dfrac12 \right)^2 - \dfrac14 + 1 = \left(X - \dfrac12 \right)^2 + \dfrac34$.

Sous cette écriture on voit que $g(X)$ est un trinôme somme de deux carrés dont l'un est supérieur à zéro, donc $g(X) > 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.

Quel que soit $x \in \R$, \: $f(x) = \ln g(x)$.

Or on a vu dans la partie précédente que $g(x) > 0$, donc $f$ est définie sur $\R$.
\item %La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$.

%Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
$f(x) = \ln g(x)$ entraîne 

$f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)} = \dfrac{2\text{e}^{2x} - \text{e}^x}{\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1}$.
\item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.
Soit $\mathcal{T}_0$ la tangente au point d'abscisse $0$ :

On a $M(x~;~y) \in \mathcal{T}_0 \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

$\bullet ~~$ $f(0) = \ln(1 - 1 + 1) = \ln 1 = 0$ ;

$\bullet ~~$ $f'(0) = \dfrac{2 - 1}{1 - 1 + 1} = 1$, donc :

$M(x~;~y) \in \mathcal{T}_0 \iff y - 0 = 1(x - 0) \iff y = x$.
\item %Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\ln (2)~;~ +\infty[$.
On a vu que $f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} - \text{e}^x}{\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1} = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ et dans la partie que le dénominateur $g(x) > 0$ ; le signe de $f'(x)$ est donc celui de $g'(x)$ étudié dans la partie A.

Donc $f'(x) < 0$ sur $]- \infty~;~- \ln 2[$, d'où la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle et $f'(x) > 0$ sur $]- \ln 2~;~+ \infty[$, d'où la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle.
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-\ln (2)~;~ +\infty[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\bullet~~$$f(-\ln 2) = \ln g(- \ln 2) =\ln \dfrac34 \approx- 0,29$ ;

$\bullet~~$On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$, donc par composition 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln g(x) = + \infty$.

La fonction $f$ est continue car dérivable sur $]- \ln 2~;~+ \infty[$, strictement croissante de $f(- \ln 2) < 2$ à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique 

$\alpha \in ]- \ln 2~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne :

$f(1) \approx 1,7$ et $f(2) \approx 3,8$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$f(1,1) \approx 1,9$ et $f(1,2) \approx 2,2$, donc $1,1 < \alpha < 1,2$ ;

$f(1,12) \approx 1,99$ et $f(1,13) \approx 2,01$, donc $1,12 < \alpha < 1,13$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%À l'aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l'élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.
\textbf{Conjecture 1} : d'après le résultat précédent elle est vraie ;

\textbf{Conjecture 2} : elle est fausse $f$ est croissante sur $]- \ln 2~;~+ \infty[$ ;

\textbf{Conjecture 3} : on a vu que l'équation de cette tangente est $y = x$ : la conjecture est fausse.

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

%\medskip

%\emph{Marie Sklodowska-Curie ($1867-1934$) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.\\
%Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en $1903$ et un en Chimie en $1911$ pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium}.

\medskip

On décide d'étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l'expérience, on dispose d'un morceau de $2$~g de polonium.

On sait que $1$~g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.

On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\,\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l'expérience. 

Pour $n \geqslant 1,\: v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
$v_0 = 2 \times 3 \times 10^{21} = 6 \times 10^{21}$noyaux atomiques.
		\item %Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a 
Si $v_n$ est le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours, le lendemain 0,5\,\% ont disparu, il reste donc $v_n \left( 1 -\dfrac{0,5}{100}\right)  = v_n \times (1 - 0,005) = 0,995v_n$ que l'on augmente de 0,005. Donc $v_{n+1} = 0,995v_n + 0,005 \times 3 \times 10^{21} = 0,995v_n + 0,015 \times 10^{21}$ ou encore 

\[v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \leqslant v_{n+1}  \leqslant v_n$.
\emph{Initialisation} :

Pour $n = 0,\:u_0 = 6\times 10^{21}$ ;

Pour $n = 1$, la relation de récurrence donne :

$u_1 = 0,995\times 6\times 10^{21}v + 1,5 \times 10^{19} = 5,97 \times 10^{21} + 1,5 \times 10^{19} = 597 \times 10^{19} + 1,5 \times 10^{19} = 598,5 \times 10^{19} = 5,985 \times 10^{21}$.

On a donc $0\leqslant v_{1}  \leqslant v_0$. la proposition est vraie au rang $n = 0$.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ tel que $0 \leqslant v_{n+1}  \leqslant v_n$. On peut écrire successivement :	

$0 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \iff 0,995\times 0 \leqslant 0,995v_{n+1} \leqslant 0995v_n \iff 0 + 1,5 \times 10^{19} \leqslant v_{n+1} \times 0,995 + 1,5 \times 10^{19} \leqslant 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$ soit $1,5 \times 10^{19} \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$. La proposition est donc vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion }: la proposition est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \N$ :
\[0 \leqslant v_{n+1}  \leqslant v_n.\]

		\item %En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
		
La partie gauche de la proposition montre que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est minorée par $0$ et la partie de droite montre que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante, donc la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente vers un réel $\ell \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: \[u_n = v_n - 3 \times 10^{21}.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
D'après la définition on a :

$u_{n+1} = v_{n+1} - 3 \times 10^{21} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19} - 3 \times 10^{21} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19} - 300 \times 10^{19}$, soit $u_{n+1} = 0,995v_n - 298,5 \times 10^{19} = 0,995v_n - 2,985 \times 10^{21} = 0,995v_n - 3 \times 0,995\times 10^{21} = 0,995\left(v_n - 3\times 10^{21} \right) = 0,995 u_n$.

L'égalité $u_{n+} = 0,995u_n$, vraie pour tout $n \in \N$ montre que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$, de premier terme $u_0 = v_0 - 3 \times 10^{21} = 6 \times 10^{21} - 3 \times 10^{21} = 3 \times 10^{21}$.
		\item %
On sait que le terme général de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est $u_n = u_0 \times 0,995^n = 3 \times 10^{21} \times 0,995^n$.

Or $u_n = v_n - 3 \times 10^{21} \iff v_n = u_n + 3 \times 10^{21} = 3 \times 10^{21} \times 0,995^n + 3 \times 10^{21} = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.

%En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		Comme $- 1 < 0,995 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,995^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}0,995^n + 1 = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 3 \times 10^{21}$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
Il faut résoudre l'inéquation :

$v_n < 4,5 \times 10^{21} \iff 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right) < 4,5 \times 10^{21} \iff 3\left(0,995^n + 1\right) < 4,5 \iff 0,995^n + 1 < 1,5 \iff 0,995^n < 0,5 \iff n \ln 0,995 < \ln 0,5 \iff n > \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,995}$ (car $\ln 0,995 < 0$).

La calculatrice donne $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,995} \approx 138,3$.

Le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$ au bout de 139 jours.
\item %On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.

%Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2}
%1 &def noyaux (n) :\\
%2 &\qquad V =6*10**21\\
%3&\qquad L=[V]\\
%4&\qquad for k in range (n):\\
%5&\qquad \qquad V= ...\\
%6&\qquad \qquad L.append(V)\\
%7&\qquad return L\\ \cline{2-2}
%\end{tabular}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu'elle réponde au problème.
Pour définir V on peut utiliser la définition ou la formule explicite, soit 

V = 0.995*V + 1.5*10**19 ou

V= 3*10**21*(0.995**(k+1)+1)
		\item %Pour quelle valeur de l'entier n la commande noyaux(n) renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l'échantillon de polonium pendant 52 semaines d'étude ?
52 semaines à 7 jours représentent 364 jours. Il faut donc écrire noyaux(364).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

%On considère L une liste de nombres constituée de termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3, le dernier nombre de la liste est \np{2023} soit: 
%
%\begin{center}L = [7, 10, \ldots , \np{2023}].\end{center}

\textbf{Question 1 :} Le nombre de termes de cette liste est : 673 : en effet,

le $n$-ième terme de la liste est $7 + 3(n - 1)$ ; il faut donc résoudre l'équation :

$\np{2023} = 7 + 3(n - 1) \iff \np{2016} = 3(n - 1) \iff 3 \times 672 = 3(n - 1) \iff 672 = n - 1 \iff n = 673$.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponse A &Réponse B & Réponse C&Réponse D\\ 
%\np{2023}& 673& 672&\np{2016}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\medskip

\textbf{Question 2 :} On choisit au hasard un nombre dans cette liste. La probabilité de tirer un nombre pair est:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
%$\dfrac12$&$\dfrac{34}{673}$&$\dfrac{336}{673}$&$\dfrac{337}{673}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Il faut trouver $n$ tel que $7 + 3(n - 1) = 2k$, avec $k \in \N$,soit $7 + 3n - 3 = 2k \iff 4 + 3n = 2k$.

Il faut que la somme $4 + 3n$ soit paire ; comme 4 est pair il faut donc que $3n$ soit pair et comme 3 est impair il faut que $n$ soit pair.

Sur les 673 nombres de la liste le premier et le dernier nombre de la liste sont impairs ; il y a donc 336 nombres pairs. Réponse C
\medskip

On rappelle qu'on choisit au hasard un nombre dans cette liste. 

On s'intéresse aux évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Évènement $A$ : \og obtenir un multiple de 4 \fg
\item[$\bullet~~$]Évènement $B$ : \og obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 6 \fg
\end{itemize}

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l'arbre pondéré ci-dessous et on donne
$p(A \cap B) = \dfrac{34}{673}$.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{\footnotesize$\dfrac{168}{673}$}}
{\TR{$B$~~}\taput{\footnotesize $\dfrac{17}{84}$}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{67}{84}$}
}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{\footnotesize$\dfrac{505}{673}$}}
{\TR{$B$~~}\taput{\footnotesize $\dfrac{33}{505}$}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{\footnotesize $\dfrac{472}{505}$}
}
}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

La probabilité d'obtenir un multiple de 4 ayant 6 comme chiffre des unités est donnée par 

$p(A \cap B) = \dfrac{34}{673}$ ! Réponse B
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
%$\dfrac{168}{673} \times \dfrac{34}{673}$&$\dfrac{34}{673}$&$\dfrac{17}{84}$&$\dfrac{168}{34}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4 :} $P_B(A)$ est égale à :

$P_B(A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(B)}$.

Or $P(B) = P(A \cap B) + P\left(\overline{A} \cap B \right) = \dfrac{34}{673} + \dfrac{505}{673} \times
\dfrac{33}{505} = \dfrac{34}{673} + \dfrac{33}{673}  = \dfrac{67}{673}$.

Donc $P_B(A) = \dfrac{\dfrac{34}{673}}{\dfrac{67}{673}} = \dfrac{34}{67}$. Réponse D

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
%$\dfrac{36}{168}$&$\dfrac12$&$\dfrac{33}{168}$&$\dfrac{34}{67}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5:} On choisit, au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. 

Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu'aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de 4 est:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponse A &Réponse B& Réponse C&Réponse D\\
%$\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$&$1 - \left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$&$\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$&
%$1 - \left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\end{tabularx}

La probabilité de ne pas tirer un multiple de 4 est égale à $\dfrac{505}{673}$.

La probabilité qu'aucun des 10 nombres tirés ne soit un multiple de 4 est égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10} \approx 0,057$.
Réponse A
%\end{center}
\end{document}