%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !  
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Sujet aimablement fourni par Erwan Hautot
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
\usepackage{pst-all}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TS Asie},
pdftitle = {16 juin 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}   
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%%%%   Commandes perso FH
\usepackage{vmargin}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}	% displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}	% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}	% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}		% plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}		% plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\dc}{\Longrightarrow}
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} 	% le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}	% le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}	% le i des complexes
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie -- }}
\rfoot{\small{16 juin 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 16 juin 2015~\decofourright}}\\[10pt]
} \end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Les probabilités seront arrondies au millième.}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire.
À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0$,8.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants.
%Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de flèches atteignant la cible.

Pour un tir, la probabilité du succès est $p=0,8$.

On répète 4 fois de façon indépendante le tir, donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,8$.

Pour une  loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, on a:
$P(X=k)=\ds\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$.
On cherche ici:

$P(X\pg 3) = P(x=3)+P(X=4)= \ds\binom{4}{3}\times 0,8^3 \times 0,2^1 + \ds\binom{4}{4}\times 0,8^4 \times 0,2^0 = \np{0,4096} + \np{0,4096} = \np{0,8192}\\ P(X\pg 3) \approx 0,819$

\item% Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ?

La concurrent tire $n$ flèches de façon indépendante; donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$.

Pour atteindre en moyenne 12 fois la cible, il faut que l'espérance mathématique de la variable $X$ soit égale à 12.
Une variable aléatoire $X $ suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ a pour espérance mathématique $E(X)=np$.

On doit donc chercher $n$ pour que $n\times 0,8=12 \iff n=\dfrac{12}{0,8}\iff n=15$.

Il faut donc que le concurrent prévoie 15 flèches pour atteindre en moyenne la cible 12 fois.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
%
%\parbox{0.55\linewidth}{Entre deux phases du concours, pour se perfectionner, le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d'entraînement,
%représentée ci-contre. Pour cela, il tire des flèches pour essayer d'atteindre une bande verticale, de largeur $20$~cm (en grisé sur la figure), le plus près possible de la ligne verticale centrale.
%
%On munit le plan contenant la bande verticale d'un repère : la ligne centrale visée est l'axe des
%ordonnées.
%
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute flèche tirée atteignant ce plan, associe l'abscisse de son point d'impact.}\hfill
%\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=0.125cm}
%\begin{pspicture}(-18,-18)(22,18)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-10,-18)(10,18)
%\multido{\n=-15+5}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,-18)(\n,18)}
%\multido{\n=-15+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](-18,\n)(22,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-18,-18)(22,18)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(22,18)
%\psdots(-5,5)(10,-10)(15,10)%CBA
%\uput[ur](-5,5){C}\uput[ur](10,-10){B}\uput[ur](15,10){A}
%\psline[linewidth=1.25pt](-10,-18)(-10,18)
%\psline[linewidth=1.25pt](10,-18)(10,18)
%
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
%
%Ainsi, par exemple :
%\begin{itemize}
%\item si la flèche atteint le point A, le tireur a raté la bande, et $X$ prend la valeur $15$ ;
%\item si elle atteint le point B, l'impact est à la limite de la bande, et $X$ prend la valeur $10$ ;
%\item si elle atteint le point C, l'impact est dans la bande et $X$ prend la valeur $- 5$.
%\end{itemize}
%
%\smallskip

On suppose que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $10$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Lorsque la flèche atteint le plan, déterminer la probabilité que son point d'impact soit situé hors de la bande grisée.
Pour que la flèche soit hors de la bande grisée, il faut que $(X<-10)$ ou $(X>10)$.

On cherche donc $P\left ( (X<-10) \cup (X>10)\rule{0pt}{10pt}\right )$ qui est égale à $1-P(-10 \pp X \pp 10)$.

$X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=0$ et d'écart type $\sigma=10$, et on sait que pour toute loi normale, $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,683$ donc $P(-10 \pp X \pp 10)\approx 0,683$.

On peut donc dire que la probabilité que la flèche soit hors de la bande grisée est approximativement de $1-0,683 = 0,317$.

\emph{On peut également trouver ce résultat en utilisant la calculatrice.}

\item%  Comment modifier les bords de la bande grisée pour faire en sorte que, lorsque la flèche atteint le plan, son point d'impact soit situé à l'intérieur de la bande avec une probabilité égale à $0,6$ ?

On cherche un nombre positif $t$  tel que $P(-t\pp X \pp t) = 0,6$.
Cela correspond au schéma suivant, en tenant compte des propriétés de symétrie de la fonction de densité de la loi normale:


\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=5cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.33}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{0}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{-1.8} \def\sup{1.8}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

%\uput[d](\m,0){$\mu$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$-t$}
\uput[d](\sup,0){$t$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(1,0.25)(0.4,0.1)
\uput[70](1,0.25){\red $60\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(3.5,0.2)(2.3,0.04)
\uput[ur](3.5,0.2){$20\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-3.5,0.2)(-2.3,0.04)
\uput[ul](-3.5,0.2){$20\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}


$\begin{array}{@{} l !{\iff} r !{=} l}
P(-t \pp X \pp t) = 0,6 & P(X\pp t) - P(X\pp -t) 					& 0,6\\
						& P(X\pp t) - P(X\pg t) 					& 0,6\\
 						& P(X\pp t) - \left (1-P(X\pp t)\right ) 	& 0,6\\
 						& 2P(X \pp t)-1 							& 0,6\\
  						& 2P(X \pp t) 								& 1,6\\
  						& P(X \pp t) 								& 0,8
\end{array}$

À la calculatrice, on trouve $t \approx 8,416$.

Les deux droites verticales délimitant la bande grise ont pour équations $x = -8,4$ et $x = 8,4$ ; alors la probabilité d'atteindre cette bande grisée est approximativement de 0,6.

\end{enumerate}


%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

La durée de vie (exprimée en heures) du panneau électrique affichant le score des concurrents est
une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 10^{-4}$ (exprimé en h$^{-1}$).

D'après le cours, on peut dire que 
$P(T \pp t) = \ds\int_{0}^t \lambda \e^{-\lambda x} \d x =
\left [ -\e^{-\lambda x} \right ]_{0}^t = 1 - \e^{-\lambda t}$ et que\\[3pt]
$P(T \pg t) = 1- P(T \pp t) = 1- \left (1 - \e^{-\lambda t} \right ) = \e^{-\lambda t}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant \np{2000}~heures ?
La probabilité que le panneau fonctionne au moins \np{2000} heures est $P(T \pg 2000)$.

$P(T \pg 2000) = \e^{-10^{-4}\times \np{2000}} \approx 0,819$

\item \emph{Restitution organisée des connaissances}

Dans cette question, $\lambda$ désigne un réel strictement positif.

On rappelle que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant une loi
exponentielle de paramètre $\lambda$, est définie par : $E(T) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ds\int_{0}^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$, définie pour tout réel $t$ par : $F(t) = \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\e^{- \lambda t}$.
		
%Démontrer que la fonction $F$ est une primitive sur $\R$ de la fonction 1 définie pour tout réel $t$ par : $f(t) = \lambda t\text{e}^{- \lambda t}$.

La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et:

$F'(x)=-1\times \e^{-\lambda t} + \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right)
\times (-\lambda)\e^{-\lambda t}
= -\e^{-\lambda t} + \lambda t \e^{-\lambda t} + \e^{-\lambda t}
= \lambda t \e^{-\lambda t} = f(t)$

Donc $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

		\item% En déduire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est:

$E(T) = \ds\lim_{x \to + \infty} \ds\int_{0}^x \lambda t \e^{- \lambda t}\d t
= \ds\lim_{x \to + \infty} \ds\int_{0}^x f(t) \d t 
= \ds\lim_{x \to + \infty} \left ( F(x)-F(0)\rule{0pt}{10pt}\right )\\[3pt]
\phantom{E(T)}
= \ds\lim_{x \to + \infty}\left ( \left [ \left ( -x - \dfrac{1}{\lambda}\right ) \e^{-\lambda x}\right ] - \left [ -\dfrac{1}{\lambda}\times 1 \right ]\right )
= \ds\lim_{x \to + \infty}\left (-x\e^{-\lambda x} - \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} +\dfrac{1}{\lambda} \right)$

$\ds\lim_{x \to + \infty} -x\e^{-\lambda x} 
= \ds\lim_{x \to + \infty} -\dfrac{1}{\lambda} \dfrac{\lambda x}{\e^{\lambda x}}
$
donc 
$E(T) = \ds\lim_{x \to + \infty}\left (-\dfrac{1}{\lambda} \dfrac{\lambda x}{\e^{\lambda x}} - \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} +\dfrac{1}{\lambda} \right)$

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \ \\[-23pt]

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\lambda >0 \Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \lambda x = +\infty\\
\text{On pose } X=\lambda x\\
\text{On sait que } \ds\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\e^{X}}{X} = +\infty 
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^{\lambda x}}{\lambda x} = +\infty
\Longrightarrow\ds\lim_{x \to + \infty} -\dfrac{1}{\lambda} \dfrac{\lambda x}{\e^{\lambda x}}=0$

\smallskip

\item \ \\[-23pt]

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\lambda >0 \Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \lambda x = +\infty\\
\text{On pose } X=\lambda x\\
\text{On sait que } \ds\lim_{X \to + \infty} \e^{-X} = 0 
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \ds\lim_{x \to + \infty} \e^{-\lambda x}=0
\Longrightarrow\ds\lim_{x \to + \infty} -\dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x}=0
$

\smallskip

\item Par somme, $\ds\lim_{x \to + \infty}\left (  -x\e^{-\lambda x} - \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} +\dfrac{1}{\lambda} \right )= \dfrac{1}{\lambda}$ et donc $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$.

\end{list}
		
\medskip
		
L'espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des
concurrents est 

$\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{10^{-4}}=10^{4}$ soit \np{10000} heures.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\bigskip

Dans les questions 1 et 2, on munit l'espace d'un repère orthonormé, et on considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d'équations respectives $x+ y + z - 5 = 0$ et $7x - 2y + z - 2 = 0$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.

Le plan $\mathcal P_1$ a pour vecteur normal $\vect{n_1}\;:\;(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et le plan $\mathcal P_2$ a pour vecteur normal 

$\vect{n_2}\;:\;(7\,;\, -2\,;\, 1)$. 

$\vect{n_1}.\vect{n_2} = 7 - 2 + 1 = 6 \neq 0$ donc ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et donc les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ ne sont pas perpendiculaires.

\textbf{Affirmation 1: FAUSSE}

\item \textbf{Affirmation 2 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent suivant la droite de représentation paramétrique:
\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & \phantom{- 3}t\\
y & \phantom{-}2t + 1\\ 
z & - 3t + 4
\end{array}\right.\:, \:t  \in \R.\]

%Pour chercher l'intersection des  plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, on résout le système
%$\left\lbrace 
%\begin{array}{l !{=} l}
%x+y+z-5 & 0\\
%7x - 2y + z - 2 & 0
%\end{array}
%\right. $

On a vu dans la question précédente que les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ avaient respectivement pour vecteurs normaux $\vect{n_1}\;:\;(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et  $\vect{n_2}\;:\;(7\,;\, -2\,;\, 1)$; ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles.
Les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont donc sécants.

Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & \phantom{- 3}t\\
y & \phantom{-}2t + 1\\ 
z & - 3t + 4
\end{array}\right.\:, \:t  \in \R$.

Pour voir si cette droite est l'intersection des plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, il suffit de déterminer deux points de cette droite et de vérifier s'ils appartiennent aux deux plans.

%On cherche deux points appartenant à la droite $d$ et on regarde s'ils appartiennent aux deux plans.

\begin{list}{\textbullet}{}	
\item En remplaçant $t$ par $0$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, on obtient le point $A\;(0\,;\,1\,;\, 4)$. Or $x_A+y_A+z_A-5 = 0+1+4-5=0$ donc $A\in \mathcal P_1$, et $7x_A-2y_A+z_A-2 = 0-2+4-2=0$ donc $A\in \mathcal P_2$. On peut dire que $A \in \mathcal P_1 \cap \mathcal P_2$.

\item En remplaçant $t$ par $1$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$, on obtient le point $B\;(1\,;\,3\,;\, 1)$. Or $x_B+y_B+z_B-5 = 1+3+1-5=0$ donc $B\in \mathcal P_1$, et $7x_B-2y_B+z_B-2 = 7-6+1-2=0$ donc $B\in \mathcal P_2$. On peut dire que $B \in \mathcal P_1 \cap \mathcal P_2$.

\end{list}

L'intersection des deux plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ est la droite $(AB)$ de représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & \phantom{- 3}t\\
y & \phantom{-}2t + 1\\ 
z & - 3t + 4
\end{array}\right.\:, \:t  \in \R$.

\textbf{Affirmation 2: VRAIE}


\item% Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille $312$ dans l'ensemble des parties.
%
%On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties
%qu'il jouera, tout en conservant la même stratégie.

\textbf{Affirmation 3 :} au niveau de confiance de 95\,\%, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l'intervalle \cd{}0,658~;~0,771\cg{}.

Le joueur gagne avec une fréquence de $f=\dfrac{223}{312}\approx \np{0,7147}$.

L'échantillon est de taille $n=312>30$; $n\times f = 223 >5$ et $n\times (1-f)= 89 >5$. \\
Donc on peut déterminer l'intervalle de confiance au seuil 95\,\%:

\[I=\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\right ]
= \left [ \dfrac{223}{312} - \dfrac{1}{\ds\sqrt{312}}\,;\, \dfrac{223}{312} + \dfrac{1}{\ds\sqrt{312}}\right ] \approx \cd{}0,658 \,;\, 0,771 \cg{}\]

\textbf{Affirmation 3: VRAIE}

\smallskip

\textbf{Remarque du correcteur} -- En fait, les deux bornes de l'intervalle ont pour valeurs approchées à $10^{-4}$ les nombres \np{0,6581} et \np{0,7714}; la règle veut que l'on arrondisse par défaut la borne inférieure, et par excès la borne supérieure, pour que l'intervalle obtenu contienne l'intervalle donné par la formule ; l'intervalle obtenu serait alors \cd{}0,658\,;\,0,772\cg{} ce qui rendrait l'affirmation fausse.

Mais était-ce vraiment l'intention du concepteur du sujet de \og{}jouer\fg{} sur la troisième décimale ?

Il faudrait, pour en être sûr, avoir les consignes de correction.

\item  On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline
			&$a$, $b$ sont deux nombres réels tels que $a < b$\\
VARIABLES	& $x$ est un nombre réel\\
			&$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[a~;~b]$\\ \hline
			&Lire $a$ et $b$\\
			&Tant que $b-a > 0,3$\\
			&\hspace{1cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{a+ b}{2}$\\
TRAITEMENT	&\hspace{1cm} Si $f(x) f(a) > 0$, alors $a$ prend la valeur $x$\\
			&\hspace{3.4cm}sinon $b$ prend la valeur $x$\\
			&\hspace{1cm}Fin Si\\
			&Fin Tant que\\
			&Afficher $\dfrac{a+ b}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Affirmation 4 :} si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre \np{1,6875}.

On fait tourner l'algorithme avec les valeurs de $a$, de $b$ et l'expression de $f$ données dans le texte,
et on va décrire ce qui se passe à chaque étape en affichant l'état des variables $a$, $b$ et $x$:


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|l |c |c|c|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{\null} & $a$ & $b$ & $x$ \\ \hline
$a$ reçoit la valeur 1 & \red 1 & & \\ \hline
$b$ reçoit la valeur 2 & 1 & \red 2 & \\ \hline
$b-a=1 >0,3$ donc on entre dans la boucle & 1 & 2 & \\ \hline
$x$ prend la valeur $\dfrac{a+b\rule{0pt}{10pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} = 1,5$ & 1 & 2 & \red 1,5\\ \hline
$f(a)=1^2-3=-2$ & 1 & 2 & 1,5 \\ \hline
$f(x)=1,5^2-3 = -0,75$ & 1 & 2 & 1,5\\ \hline
$f(x)\times f(a) >0$ donc $a$ prend la valeur $x=1,5$ & \red 1,5 & 2 & 1,5 \\ \hline
fin du tant que & 1,5 & 2 & 1,5 \\ \hline
$b-a=0,5>0,3$ donc on entre dans la boucle & 1,5 & 2 & 1,5 \\ \hline
$x$ prend la valeur $\dfrac{a+b\rule{0pt}{10pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} = 1,75$ & 1,5 & 2 & \red 1,75 \\ \hline
$f(a)=1,5^2-3= -0,75$ & 1,5 & 2 & 1,75 \\ \hline
$f(x)=1,75^2-3 = \np{0,0625}$ & 1,5 & 2 & 1,75 \\ \hline
$f(x)\times f(a) <0$ donc $b$ prend la valeur $x=1,75$ & 1,5 & \red 1,75 & 1,75 \\ \hline
fin du tant que & 1,5 & 1,75 & 1,75 \\ \hline
$b-a = 0,25 \pp 0,3$ donc on n'entre pas dans la boucle & 1,5 & 1,75 & 1,75 \\ \hline
On affiche $\dfrac{a+b\rule{0pt}{10pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}=\dfrac{1,5+1,75}{2}= {\red 1,625}$ & 1,5 & 1,75 & 1,75 \\ \hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\textbf{Affirmation 4: FAUSSE}

\medskip

\emph{Il s'agit de l'algorithme de recherche par dichotomie de la solution positive de l'équation $x^2-3 = 0$.}

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout  $n$ de $\N$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle \cd{}0~;~1\cg{} par: 
$f_n(x) = x + \e^{n (x - 1)}$.

%\parbox{0.5\linewidth}{Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$
%pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par : 
%
%\[f_n(x) = x + \e^{n (x - 1)}.\]
%
%On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la
%fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. 
%
%Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-contre.
%
%\medskip
%
%\subsubsection*{Partie A : généralités sur les fonctions \:\boldmath $f_n$\unboldmath}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1].
%\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
%\item À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des
%coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ?
%
%Démontrer cette conjecture.
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=5cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.1,2.1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](0,0)(2,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.1,-0.15)(1.1,2.09)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.1,2.09)
%%\multido{\n=0+1}{4}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub \n mul exp x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 1 mul exp x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 2 mul exp x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 3 mul exp x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 10 mul exp x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 50 mul exp x add}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 100 mul exp x add}
%\uput[l](0.1,1.1){$\mathcal{C}_0$}\uput[l](0.49,1.1){$\mathcal{C}_1$}
%\uput[l](0.63,1.1){$\mathcal{C}_2$}\uput[r](0.68,1.1){$\mathcal{C}_3$}
%\uput[l](0.78,0.86){$\mathcal{C}_{10}$}\uput[l](0.98,1.1){$\mathcal{C}_{50}$}
%\uput[r](0.93,1){$\mathcal{C}_{100}$}
%\end{pspicture*}}
%
%\medskip
%
\subsubsection*{Partie A : généralités sur les fonctions \:\boldmath $f_n$\unboldmath}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1].
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que, pour tout $X$, $\e^{X}>0$ donc $\e^{n(x-1)}>0$ pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$.

Sur \cd{}0~;~1\cg{}, $x\pg 0$,
donc $x+\e^{n(x-1)}>0 \iff f_n(x)>0$ pour tout $n \in \N$.

\item $f_n$ est dérivable sur $\R$ et $f'_n(x)=1+n\e^{n(x-1)}$.

Pour pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$, $n\e^{n(x-1)}>0$ donc $f'_n(x)>0$ donc la fonction $f_n$ est strictement croissante sur  \cd{}0~;~1\cg{}.

\end{list}

\item% Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
$f_n(1) = 1 + \e^{0} = 2$ donc toutes les courbes $\mathcal C_n$ passent par le point A de coordonnées $(1\,;\, 2)$.

\item À l'aide des représentations graphiques, %peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ?
on peut conjecturer que le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 

%Démontrer cette conjecture.

Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_n$ est égal à $f'_n(x_{\text A}) = f'_n(1) = 1+ n$.

$\ds\lim_{n \to +\infty} 1+n = +\infty
\iff
\ds\lim_{n \to +\infty} f'_n(1) = +\infty$

\end{enumerate}


\subsubsection*{Partie B : évolution de \boldmath $f_n(x)$\unboldmath{}  lorsque \boldmath$x$\unboldmath{} est fixé}

%\medskip

Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle \cd{}0~;~1\cg. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $x = 1$.% Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Pour tout $n\in\N$, $f_n(1)=2$ donc la suite $(u_n)$ est constante et chacun de ses termes est égal à 2; la suite $(u_n)$ admet donc le nombre 2 comme limite.

\item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant  x < 1$.% Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

$x\in \cd{}0~;~1\cd{} \Longrightarrow x-1<0$

$\ds\lim_{n \to +\infty} n(x-1)=-\infty \Longrightarrow \ds\lim_{n \to +\infty} \e^{n(x-1)}=0$ (limite de fonctions composées)

On en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty}\left ( x+\e^{n(x-1)}\right )=x$ et donc que $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n= x$.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C : aire sous les courbes \boldmath$\mathcal{C}_n$ \unboldmath}

%\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.

À partir des représentations graphiques et particulièrement en regardant l'aire sous la courbe $\mathcal C_{100}$, on peut conjecturer que la limite de la suite $A_n$ est $\dfrac{1}{2}$.

\smallskip

Pour démontrer cette conjecture, on cherche une primitive de la fonction $f_n$:
pour $n>0$, la fonction $F_n$ définie par $F_n(x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{\e^{n(x-1)}}{n}$ est une primitive de $f_n$ sur $\cd{}0\,;\,1\cg{}$.

La fonction $f_n$ est positive sur $\cd{}0\,;\,1\cg{}$ donc l'aire $A_n$ est donnée par $\ds\int_{0}^1 f_n(t) \d t$.

\smallskip

Pour $n>0$, $A_n=\ds\int_{0}^1 f_n(t) \d t = F_n(1)-F_n(0) = \left [ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n}\right ] - \left [ 0 + \dfrac{\e^{-n}}{n}\right ]
= \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{n} - \dfrac{\e^{-n}}{n}$

\smallskip

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0\\[5pt]
\ds\lim_{n \to +\infty} \e^{-n} = 0
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow
\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\e^{-n}}{n}=0
\Longrightarrow
\ds\lim_{n \to +\infty} \left ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{n} - \dfrac{\e^{-n}}{n} \right ) = \dfrac{1}{2}$;
donc $\ds\lim_{n \to +\infty} A_n=\dfrac{1}{2}$

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\renewcommand{\j}{\text{\,j}}

\medskip

Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv.

On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

%Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.


\subsubsection*{Partie A : propriétés du nombre j}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\]
On résout l'équation: $z^2 + z + 1 = 0$;
$\Delta=-3<0$ donc cette équation admet deux solutions complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-1+\i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1-\i\sqrt{3}}{2}$

		\item $\j = -\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{-1+\i\sqrt{3}}{2}=z_1$ donc $\j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
		
	\end{enumerate}

\item% Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
$\left |\j\right |^2=\left (-\dfrac{1}{2}\right )^2+ \left (\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$
donc $|\j|=1$

$\j=-\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; on cherche $\theta$ tel que
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
\cos \theta & -\dfrac{1}{2}\\[8pt]
\sin \theta & \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}
\right .$
Donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3} \ \cd{}2\pi\cg$

La forme exponentielle de $\j$ est donc: $\j = \e^{\i\frac{2\pi}{3}}$


\item% Démontrer les égalités suivantes:

	\begin{enumerate}

		\item $\j^3 = \left ( \e^{\i\frac{2\pi}{3}} \right )^3 = \e^{\i\frac{2\pi\times 3}{3}} = \e^{\i\times 2\pi} = 1$ 

		\item $\j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$ donc $\j^2+\j+1=0$ et donc $\j^2=-1-\j$.

	\end{enumerate}

\item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan.
	
%Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.

P a pour affixe 1; Q a pour affixe $\j=-\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et R  pour affixe $\j^2=-1-\j = -1 +\dfrac{1}{2} -\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2}-\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

\smallskip

$\text{PQ}^2 = \left | -\dfrac{1}{2} +\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1  \right |^2= \left | -\dfrac{3}{2} +\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4} = 3 \Longrightarrow \text{PQ} = \ds\sqrt{3}$

$\text{QR}^2 = \left | -\dfrac{1}{2} -\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} -\i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |2 = \left | -\i\sqrt{3} \right |^2  = 3
\Longrightarrow \text{QR} = \ds\sqrt{3}$

$\text{RP}^2 = \left | 1 + \dfrac{1}{2} + \i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |^2 = \left |  \dfrac{3}{2} + \i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right |^2 =
\dfrac{9}{4}+ \dfrac{3}{4} = 3 \Longrightarrow \text{RP} = \ds\sqrt{3}$

$\text{PQ} = \text{QR} = \text{RP}$ donc le triangle PQR est équilatéral. 
\end{enumerate}	

\subsubsection*{Partie B}

Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$.

On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$.

On sait que $a+b\j +c\j^2=0$ donc $a=-\j b -\j^2 c$.

Or, d'après la question \textbf{A. 3. b.}, $\j^2 = -1-\j$ donc:\\ 
$a=-\j b -\j^2 c = -\j b -(-1-\j)c = -\j b + c +\j c \iff a-c = \j(c-b)$

\item%  En déduire que AC = BC .
$a-c = \j(c-b) \Longrightarrow \left |a-c\right | = \left |\j(c-b)\right | \iff
\left |a-c\right | = \left |\j \right | \times \left |c-b\right |$

On a vu précédemment que $\left |\j\right |=1$; de plus $\left |a-c\right | = \text{AC}$ et $\left |c-b\right |=\text{BC}$.

On a donc démontré que $\text{AC}=\text{BC}$.


\item%  Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$.
On sait que $a=-\j b - \j^2 c$.
On sait aussi que $\j^2 = -1-\j$ donc $\j=-1-\j^2$.

On a donc $a=-(-1-\j^2) b - \j^2 c= b +\j^2 b - \j^2 c$ ce qui équivaut à
$a-b = \j^2(b-c)$. 


\item%  En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
On sait que $\left |\j\right | = 1$ donc $\left |\j^2\right | = \left |\j\right |^2 = 1$.
De plus $\left |a-b\right | = \text{AB}$ et $\left |b-c\right | = \text{CB}$.

On a vu dans la question précédente que $a-b = \j^2(b - c)$ ce qui entraîne $\left |a - b\right | = \left |\j^2(b - c)\right |$ ou encore $\left |a - b\right | = \left |\j^2\right |\times \left |b - c\right |$. Cette dernière égalité équivaut à $\text{AB} = \text{CB}$.  

Comme $\text{AC}=\text{BC}$ et $\text{AB} = \text{CB}$, on a démontré que le triangle ABC était équilatéral.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1 + 2 + \ldots + n$.

%Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$.
%
%Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
%
%\medskip
%
%On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a :
%
%\[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]

\subsubsection*{Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers}

\begin{enumerate}

\item% Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
$36 = \dfrac{72}{2} = \dfrac{8\times 9}{2}= 1+2+3+4+5+6+7+8$ donc $36$ est un nombre triangulaire.

De plus, $36=6^2$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$.
$1 + 2 + \ldots + n = p^2 \iff \dfrac{n(n+1)}{2}=p^2 \iff n(n+1)=2p^2 \iff n^2+n-2p^2=0$.

Donc le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$.
		
		\item%  En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$.
$n^2 + n - 2 p^2 = 0 \iff 4n^2 + 4n - 8 p^2 = 0 \iff  4n^2 + 4n +1 - 8 p^2 = 1 \iff (2n+1)^2 - 8p^2=1$

Donc le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B : étude de l'équation diophantienne associée}

On considère (E) l'équation diophantienne 
$x^2 - 8 y^2 = 1$,
où $x\in \N$ et $y\in \N$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
Deux couples solution sont, par exemple, $(3\,;\,1)$ et $(1\,;\,0)$.
\item% Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

Soit  $(x~;~y)$ un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ solution de (E).

Soit $d$ un diviseur commun à $x$ et $y$. 

Alors $d$ divise $x^2$, $y^2$, $8y^2$ et donc $d$ divise $x^2-8y^2$ donc $d$ divise 1.

On en déduit que $d=1$ ou $d=-1$ ce qui veut dire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C : lien avec le calcul matriciel}

Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$.

On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$.
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff 
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}3x+8y\\x+3y\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x' & 3x+8y\\
y' & x+3y
\end{array}
\right. 
$

\item% Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
La matrice $A$ a un déterminant égal à 1, donc non nul, donc elle admet une matrice inverse $A^{-1}$.

Pour déterminer $A^{-1}$ on peut chercher la matrice carrée
$A'=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
et résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues 
$A\times A'=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$;
enfin il faut vérifier que $A'\times A = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On peut également déterminer $A^{-1}$ à la calculatrice et on trouve:
$A^{-1} =
\begin{pmatrix}3&-8\\-1&3\end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff
A^{-1}\times\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}3&-8\\-1&3\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\iff 
\begin{pmatrix}3x'-8y'\\-x'+3y'\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
x & 3x'-8y'\\
y & -x'+3y'
\end{array}
\right. 
$
\item% Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E).

$\begin{array}[t]{@{} l !{\Longleftrightarrow} l}
(x~;~y) \text{ est solution de (E)} & x^2-8y^2=1\\
 & \left(3x'-8y'\right)^2 - 8\left(-x'+3y'\right)^2=1\\
 & 9x'^2 - 48 x'y' + 64y'^2 -8\left(x'^2-6x'y'+9y'^2\right)=1\\
 & 9x'^2 - 48 x'y' + 64y'^2 -8x'^2 +48x'y' - 72y'^2 =1\\
 & x'^2-8y'^2 = 1\\
 & (x'~;~y') \text{ est solution de (E)}
\end{array}$
\item On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$,\: $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. 
%On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$.

%Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E).

Soit $\mathcal P_n$ la propriété: $(x_n\,;\,y_n)$ est solution de (E).

\begin{list}{\textbullet}{}

\item \emph{Initialisation} Pour $n=0$: $x_0=3$ et $y_0=1$ donc $x_0^2-8y_0^2=9-8=1$ donc $(x_0\,;\,y_0)$ est solution de (E).

La propriété est vraie au rang 0.

\item \emph{Hérédité} On suppose que la propriété est vraie à un rang $p$ quelconque  ($p\pg 0$) c'est-à-dire que $(x_p\,;\,y_p)$ est solution de (E) ; c'est l'hypothèse de récurrence.

On veut démontrer que $(x_{p+1}\,;\,y_{p+1})$ est solution de (E).

On a vu dans la question précédente que si $(x\,;\, y)$ était solution de (E), alors $(x'\,;\, y')$ défini par $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
est aussi solution de (E).

Comme $(x_{n}\,;\,y_{n})$ est solution de (E), on peut dire que $(x_{n+1}\,;\,y_{n+1})$ est solution de (E) puisque $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} =  A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$.
Donc la propriété est vraie au rang $p + 1$.

\item La propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire. D'après le principe de récurrence,  elle est vraie pour tout $n \in \N$.

\end{list}

Pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n\,;\,y_n)$ est solution de (E).
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie D : retour au problème initial}

%À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier.

On cherche un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item On cherche $n$ entier naturel tel que: $1+2+3+ \ldots +n \pg \np{2015}$.\\
Ce qui équivaut à $\dfrac{n(n+1)}{2}\pg \np{2015} \iff n^2+n-\np{4030}\pg 0$.

L'équation $x^2+x-\np{4030}=0$ a pour solutions $\dfrac{-1-2\ds\sqrt{329}}{2}\approx -63,98$ et $\dfrac{-1+2\ds\sqrt{329}}{2}\approx 62,98$.\\[5pt]
Pour que le nombre triangulaire soit supérieur à \np{2015}, il faut que $n\pg 63$.

\item Dans la partie \textbf{A} on a vu qu'un nombre triangulaire $1+2+\ldots +n$ était un carré si et seulement s'il existait un entier $p$ tel que $(2n+1)^2-8p^2=1$.

\item Dans la partie \textbf{C} on a déterminé une suite de couples $(x_n\,;\,y_n)$ qui étaient tous solutions de l'équation $x^2 - 8y^2 = 1$.

\item On va donc chercher $n\pg 63$ tel que $(2n + 1)^2 - 8p^2=1$; si $n\pg 63$, alors $2n+1\pg 127$. 

Ce qui revient à chercher les couples $(x_n\,;\,y_n)$ solutions de (E) avec $x_n\pg 127$.

\item En partant de 
$\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}$ 
et en multipliant successivement par la matrice $A$, on trouve comme solutions
$\begin{pmatrix} 17\\6 \end{pmatrix}$, 
$\begin{pmatrix} 99\\35 \end{pmatrix}$, 
$\begin{pmatrix} 577\\204 \end{pmatrix}$ \ldots 

\item $577 = 2\times 288 +1$ donc un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} est $1+2+3+ \ldots + 288 = \dfrac{288\times 289}{2} = \np{41616}$.

\item On peut vérifier que $\np{41616} = 204^2$ (résultat en conformité avec la question \textbf{A. 2. a.}).
\end{list}
\end{document}