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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%  le d de différentiation
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\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
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}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 
19 juin 2014~\decofourright}}} \end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\
%Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\smallskip
%
%Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A$(1~;~- 1~;~- 1)$, B(1~;~1~;~1), C(0~;~3~;~1) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - z + 5 = 0$. 
%

\medskip

\textbf{Question  1 - c.} 
 
%Soit $\mathcal{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$ passant par A.
% 
%Une représentation  paramétrique de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~}$\left\{\begin{array}{l cl}
%x&=&2+t \\
%y&=&- 1 - t\\ 
%z&=&1 - t
%\end{array}\right. \quad (t \in \R)$&
%\textbf{b.~~}$\left\{\begin{array}{l cl}
%x&=&- 1 + 2t \\
%y&=&1 - t\\ 
%z&=&1 + t
%\end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\
%\textbf{c.~~}$\left\{\begin{array}{l cl}
%x&=&5 + 4t \\
%y&=&- 3 - 2t\\ 
%z&=&1 +  2t
%\end{array}\right. \quad (t \in \R)$&
%\textbf{d.~~}$\left\{\begin{array}{l cl}
%x&=&4 -  2t \\
%y&=&- 2 + t\\ 
%z&=&3 - 4 t
%\end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\
%\end{tabularx}

On peut éliminer rapidement les réponses \textbf{a.} et \textbf{d.} car les vecteurs directeurs des droites proposées ne sont pas colinéaires au vecteur  $\vec u$.

La représentation paramétrique donnée en \textbf{c.} est une droite qui contient le point A pour la valeur $t=-1$.

\medskip
 
\textbf{Question 2 - c.}

%Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl}
%x&=&1 +  t \\
%y&=&- 3 - t\\ 
%z&=&2 - 2 t
%\end{array}\right. \quad (t \in \R)$.
% 
%\textbf{a.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants 
%
%\textbf{b.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. 
%
%\textbf{c.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$.
%
%\textbf{d.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{22}{3} \right)$.

Le plus efficace pour répondre à cette question est de résoudre le système
$\left\{\begin{array}{r @{\ =\ } l}
x & 1 +  t \\
y & - 3 - t\\ 
z & 2 - 2 t\\
2x+y-z+5 & 0
\end{array}\right.$

qui donne $-\dfrac{2}{3}$ comme valeur à $t$ et qui conduit au point E. 


\medskip

\textbf{Question 3 - d.}

%\textbf{a.~~} L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point. 
%
%\textbf{b.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus. 
%
%\textbf{c.~~} Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite. 
%
%\textbf{d.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles. 

On appelle $\vect n \left ( 2\,;\, 1 \,;\, -1 \right )$ un vecteur normal au plan $\mathcal P$. 

On montre successivement que $\vect n .\;\vect{\text{AB}}=0$ et $\vect n . \;\vect{\text{AC}}=0$ ce qui prouve que les plans $\mathcal P$ et (ABC) sont parallèles.
Or A\;$\not\in \mathcal P$ donc les plans sont strictement parallèles.

\medskip

\textbf{Question 4 - a.}

%Une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au dixième de degré est égale à :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} 22,2~\degres&\textbf{b.~~} 0,4~\degres&\textbf{c.~~} 67,8~\degres &\textbf{d.~~} 1,2~\degres
%\end{tabularx}
%\medskip

On utilise l'expression du produit scalaire :

$\vect{\text{AB}} . \; \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}}
\iff 12 = \sqrt{8} \times \sqrt{21} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$

donc $\cos \widehat{\text{BAC}}\approx \np{0,9258}$ ce qui correspond à $22,2\degres$.  


%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le taux d'hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. 

On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d'hématocrite d'un adulte choisi au hasard dans la population française; cette variable suit la loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d'écart type $\sigma$.

%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} =  \dfrac{X - 45,5}{\sigma}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
D'après le cours, la variable aléatoire $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite, d'espérance 0 et d'écart type 1.

		\item% Déterminer $P(X \leqslant \mu)$.		
D'après le cours, si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$,

$P(X\pp \mu)=0,5$.

Cela résulte de la symétrie de la courbe de Gauss autour de la droite d'équation $x=\mu$.

	\end{enumerate}
	
\item% En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \leqslant X \leqslant 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
En prenant $\sigma=3,8$, $\mu-2\sigma = 45,5 - 2\times 3,8 = 37,9$ et $\mu+2\sigma = 45,5 + 2\times 3,8 = 53,1$.

Or on sait que si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$:\\
$P(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu +2\sigma) \approx 0,95$ donc $P(37,9 \pp X \pp 53,1) \approx 0,95$. 


\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

%Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence 1\,\%. On sait d'autre part que 30\,\% de la population française a plus de 50 ans, et que 90\,\% des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.
%
%\smallskip
%
%On choisit au hasard un individu dans la population française.
%
%On note $\alpha$ l'unique réel tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,995$, o\`u $X$ est la variable aléatoire  définie au début de l'exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$.
%
%\smallskip
%
On définit les évènements :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[\hspace*{1cm} $M$: ] \og l'individu est porteur de la maladie V \fg ;
\item[\hspace*{1cm} $S$: ] \og l'individu a plus de 50 ans \fg{} ; 
\item[\hspace*{1cm} $H$: ] \og l'individu a un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

%Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.
%
%D'autre part, une étude statistique a révélé que 60\,\% des individus ayant un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$
%sont porteurs de la maladie V.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
On sait que 90\,\% des porteurs de la maladie V ont plus de 50 ans donc $P_M(S)=0,9$.

$P(M \cap S) = P(M) \times P_M(S) = 0,01 \times 0,9 = 0,009$. 
		
		\item% On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
La probabilité qu'un individu ayant plus de 50 ans soit porteur de la maladie V est\\
$P_S(M)= \dfrac{P(M \cap S)}{P(S)}$.

On sait que 30\,\% de la population a plus de 50 ans, donc $P(S)=0,3$.

On déduit: $P_S(M)= \dfrac{P(M \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$.

	\end{enumerate} 

\item

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer la probabilité $P(H)$. 
$P(H)= P(X > \alpha) = 1- P(X \pp \alpha) = 1 - 0,995 = 0,005$	

		\item L'individu choisi au hasard a un taux d'hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$ (évènement $\overline H$); la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est  $P_{\overline H}(M)$.

$P_{\overline H}(M)=\dfrac{P(M \cap \overline H)}{P(\overline H)}$

On sait que 60\,\% des individus ayant un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V, donc $P_H(M)=0,6$. On en déduit que $P(H \cap M) = P(H) \times P_H(M)= 0,05 \times 0,6 = 0,003$.

D'après la formule des probabilités totales, $P(M)=P(M \cap H) + P(M \cap \overline H)$ donc \\
$P(M \cap \overline H) = P(M) - P(M \cap H) = 0,01 - 0,003 = 0,007$.

$P_{\overline H}(M)=\dfrac{P(M \cap \overline H)}{P(\overline H)}
= \dfrac{0,007}{0,995} \approx 0,007$.

La probabilité qu'un individu soir porteur de la maladie sachant qu'il a un taux d'hématocrite inférieur ou égale à $\alpha$ est de $0,007$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip
	
\subsubsection*{Partie C}	
		
%Le but de cette partie est d'étudier  l'influence d'un gène sur la maladie V. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille \np{1000}, prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l'intervalle au millième.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence $p$ de la maladie V dans un échantillon de taille $n$ est:
$I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}
\right]$

$p=P(M)=0,01$ et $n=\np{1000}$ donc:

$I=\left[ 0,01-1,96 \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{\np{1000}}}\,;\,0,01+1,96 \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{\np{1000}}}
\right]
\approx \cd 0,003\,;\, 0,017 \cg$

\item Dans un échantillon aléatoire de \np{1000} personnes possédant le gène, on a trouvé 14~personnes porteuses de la maladie V donc $f=\dfrac{14}{\np{1000}} = 0,014$.

\smallskip

%Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de 95\,\%, que le gène a une influence sur la maladie ?

Cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% donc l'échantillon étudié peut être considéré comme \og{}normal\fg{}; on peut conclure que le gène ne semble pas avoir d'influence sur la maladie. 


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$ par 

Soit $g$ la fonction définie sur $\cd -1\,;\, 1\cg$ par
$g(x) = \dfrac{1}{2a} \left(\text{e}^{ax} +  \text{e}^{- ax}\right)$
 où $a$ est un réel strictement positif.

%\smallskip
%
%On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités,  il faut et il suffit que le réel $a$ soit une solution strictement positive de l'équation 
%
%\[(x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x = 0.\]
 
On définit sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$ la fonction $f$ par $f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x$. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cd 0\,;\, +\infty \cd$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables:
$f'(x) = 1 \times \e^{2x} + (x-1)\times 2\e^{2x} -1 = (2x-1)\e^{2x} - 1$

$f'(0)= -\e^{0}-1 = -2$

$\left.
\begin{array}{@{} r @{\ =\ } l}
\ds \lim_{x \to +\infty} (2x-1) & +\infty\\
\ds\lim_{x \to +\infty}\e^{x} = +\infty \Longrightarrow \ds\lim_{x \to +\infty}\e^{2x} & + \infty
\end{array}
\right\rbrace
\stackrel{\text{par produit}}{\Longrightarrow}
\ds\lim_{x \to +\infty} (2x - 1)\e^{2x} = +\infty$

$\Longrightarrow \ds\lim_{x \to +\infty} f'(x)=+\infty
$


%Vérifier que $f'(0) = - 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$. 

\item%  On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$.
 
%Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0,\:\: f''(x) = 4x\text{e}^{2x}$. 

$f''(x)=2\times \e^{2x} + (2x-1) \times 2\e^{2x} = (2+4x-2)\e^{2x}=4x\e^{2x}$

\item% Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$. 


\begin{list}{\textbullet}{}	
\item Pour tout $x$, $\e^{2x}>0$ donc la fonction $f''$ est strictement positive sur $\cg 0\,;\, +\infty \cd$, et donc la fonction $f'$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\, +\infty \cd$.
\item La fonction $f'$ est continue $\cd 0\,;\, +\infty\cd$.
\item $f'(0)=-2<0$
\item $\ds\lim_{x \to +\infty} f'(x)=+\infty$
\end{list}

donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd 0\,;\, +\infty\cd$; on appelle $x_0$ cette solution.

\textit{On aurait pu également établir le tableau de variations de la fonction $f'$.}

\item
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$. 
\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente:
}
\item $f'(x)<0$ sur $\cd 0 \,;\, x_0\cd$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cd 0 \,;\, x_0\cg$;
\item $f'(x)>0$ sur $\cg x_0 \,;\, +\infty\cd$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cd x_0 \,;\, +\infty\cd$.
\end{list}

$\left.
\begin{array}{@{} l}
f(0)=-1\times \e^0 - 1 = -2 <0\\
f \text{ est décroissante sur } \cd 0\,;\, x_0 \cg
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
f(x)<0 \text{ pour tout } x \in \cd 0\,;\, x_0 \cg
\Longrightarrow f(x_0) <0
$
		\item  $f(2) = 1\times \e^4 -1 - 2 = \e^4 - 3 \approx 51,6 >0$

%En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ s'annule pour une unique valeur.

\begin{list}{\textbullet}{}	
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd x_0\,;\, +\infty \cd$.
\item La fonction $f$ est continue sur $\cd x_0\,;\, +\infty\cd$.
\item $f(x_0)<0$
\item $f(2)=\e^4-3>0$
\end{list}

donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd x_0\,;\, 2\cg$.

$f(2)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $\cd 2\,;\, +\infty\cd$ donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $\cd 2 \,;\, +\infty\cd$.

Comme $f(x)<0$ sur $\cd 0\,;\, x_0\cg$, l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $\cd 0\,;\, x_0\cg$.

\smallskip

On peut donc dire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\cd 0\,;\, +\infty\cd$ et que cette solution appartient à l'intervalle $\cd x_0\,;\, 2\cg$; on l'appelle $a$.

%Si l'on note $a$ cette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centi\`eme. 		

En utilisant la calculatrice, on trouve $a \approx 1,20$.

\textit{Pour déterminer une valeur approchée de $x_0$ à la calculatrice, on peut programmer la fonction $f$ et utiliser le tableau de valeurs, ou utiliser le \texttt{solveur} si la calculatrice en possède un.}

	\end{enumerate} 
\item On admet que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l'expression
 $L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{ax} +  \text{e}^{- ax}\right)\:\text{d}x$.

%Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme valeur  approchée du nombre $a$. 

La fonction $x \longmapsto \e^{\alpha x}$ où $\alpha \neq 0$ a pour primitive $x \longmapsto \dfrac{\e^{\alpha x}}{\alpha}$ donc la fonction $x \longmapsto \e^{ax} + \e^{-ax}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{\e^{ax}}{a} + \dfrac{\e^{-ax}}{-a}$ soit $x \longmapsto \dfrac{1}{a}\left ( \e^{ax} - \e^{-ax}\right )$.

$L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\e^{ax} +  \e^{- ax}\right)\:\d x
= \left [ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{ax} - \e^{-ax}\right ) \right ]_0^1
= \left [ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{a} - \e^{-a}\right ) \right ] - \left [ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{0} - \e^{0}\right ) \right ] =$

$ \dfrac{1}{a}\left ( \e^{a} - \e^{-a}\right )
\phantom{L} = \dfrac{1}{1,2}\left ( \e^{1,2} - \e^{-1,2}\right )
\approx 2,52$

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique}

\medskip

%Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.
 
Pour $n$ de $\N^*$, on note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cd 0~;~1\cg$ par
 
$f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}$.

Pour tout $n$ de $\N^*$, on définit le nombre $I_{n}$ par 
$I_{n} = \ds\int_{0}^1 f_{n}(x) \d x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n} \d x$. 
 
\begin{enumerate}
\item 

%Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. 

%\begin{figure}[!b]
%\begin{center}
%\psset{unit=8cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1.1,1.1)
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
%\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
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%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
%\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
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%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0,1)(0.2,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.2,0.962)(0.4,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.4,0.862)(0.6,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.6,0.735)(0.8,0)
%%\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.8,0.61)(1,0)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{figure}

%En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 

Pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $1+x^n >0$ donc $f_n(x) >0$. 

Donc $I_n = \ds\int_0^1 f_n(x) \d x$ est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe représentant la fonction $f_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. 

D'après le graphique, cette  aire tend à se rapprocher de 1 quand $n$ tend vers $+\infty$.


\item % Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
$I_1= \ds\int_0^1 \dfrac{1}{1+x} \d x = \left [ \rule[-5pt]{0pt}{12pt} \ln (1+x)\right ]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

%\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] 

Pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$:

$0 \pp x^n \pp 1 \iff 1 \pp 1+x^n \pp 2 \iff \dfrac{1}{1} \pg \dfrac{1}{1+x^n} \pg \dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{1+x^n} \pp 1$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$.
		
Pour tout $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $\dfrac{1}{1+x^n} \pp 1$ donc, d'après la positivité de l'intégration:
 
\smallskip 
 
\hfill $\ds\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \d x \pp \int_0^1 1 \d x \iff I_n \pp \left [x \rule[-2pt]{0pt}{10pt} \right ]_0^1 \iff I_n \pp 1$\hfill\,
		
	\end{enumerate} 
	
\item% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
%\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

Pour tout $n$ de $\N$ et pour tout $x$, $\left (x^n\right )^2 \pg 0$ donc $1- \left (x^n\right )^2 \pp 1$ ce qui équivaut à 

$\left (1-x^n\right )\left (1+x^n\right ) \pp 1$ et comme $1+x^n >0$ pour $x \in \cd 0\,;\, 1\cg$: $1-x^n \pp \dfrac{1}{1+x^n}$.

\item%  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. 

$\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\d x 
= \left [ x-\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_0^1 
= \left [1-\dfrac{1}{n+1}\right ] - 0 = \dfrac{n}{n+1} $

\item% À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 

On a vu que, pour tout $n$ de $\N$ et tout réel $x$ de $\cd 0\,;\, 1\cg$, $1-x^n \pp \dfrac{1}{1+x^n}$. D'après la positivité de l'intégration, on peut en déduire que 
$ \ds \int_0^1 (1-x^n) \d x \pp \ds \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \d x$ c'est-à-dire  

$\dfrac{n}{n+1} \pp I_n$.

On a vu aussi que pour tout $n$, $I_n \pp 1$.
Donc, pour tout $n$, $\dfrac{n}{n+1} \pp I_n \pp 1$.

\smallskip

On sait que $\ds\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}=0$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{n+1}=1$ ce qui équivaut à $\ds\lim_{n \to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$

$\ds\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$, $\ds\lim_{n \to +\infty} 1 = 1$ et, pour tout $n$ de $\N$, $\dfrac{n}{n+1\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} \pp I_n \pp 1$; donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ est convergente et a pour limite 1.

\item% On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
%\textbf{Variables :}&  $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\
%					& $x$ et $I$ sont des réels\\
%					&\\ 
%\textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\
%					&\\ 
%\textbf{Traitement :}& 	Demander un entier $n \geqslant 1$\\
%					& Demander un entier $p \geqslant 1$\\ 
%					&Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ 
%					&\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ 
%					&\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ 
%					&Fin Pour \\
%					&Afficher $I$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?

On fait tourner l'algorithme proposé avec $n=2$ et $p=5$:
		 
%On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$& $x$&$I$\\ \hline 
0 & 0	& 	0,2 \\ \hline
1 & 0,2	&	0,392\\ \hline
2 & 0,4 &	0,565\\ \hline
3 & 0,6 &	0,712\\ \hline
4 &	0,8 &	0,834\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

La valeur de $I$ arrondie au centième qui sera affichée est 0,83.

		\item% Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.
Il faut reconnaitre dans l'algorithme proposé la méthode des rectangles permettant de calculer des valeurs approchées d'aire sous une courbe; plus précisément, comme la fonction $f_n$ est décroissante sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, on obtient la somme de rectangles majorant l'intégrale $I_n$ cherchée.

%\begin{figure}[!b]
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
\uput[ur](0.4,0.862){$f_{2}$}
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0,1)(0.2,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.2,0.962)(0.4,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.4,0.862)(0.6,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red, hatchangle=-45](0.6,0.735)(0.8,0)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=red](0.8,0.61)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi la spécialité mathématique}

%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

%Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés $p_{1},\:  p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. 
On considère le nombre $E$ produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :

$E = p_{1} \times p_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1$.

%Démontrer que $E$ est un entier supérieur ou égal â 2, et que $E$ est premier avec chacun des nombres $p_{1},\:  p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. 

Le nombre 2 est premier donc il est dans la liste $\{ p_1\,,\, p_2 \,,\, \ldots, p_n\}$ donc le produit de ces nombres premiers est supérieur ou égal à 2 et donc $E$ est supérieur ou égal à 2.

Soit $i$ un entier de l'intervalle $\cd 1\,;\, n\cg$.

Le reste de la division de $E$ par $p_i$ est 1; donc $E$ n'est pas divisible par $p_i$. Comme $p_i$ est un nombre premier, et que $E$ n'est pas divisible par $p_i$, alors $E$ et $p_i$ sont premiers entre eux.

Donc $E$ est premier avec chacun des nombres $p_1$, $p_2$, \ldots,$p_n$.

\item% En utilisant le fait que $E$ admet un diviseur premier conclure.
Tout nombre supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier, donc $E$ admet un diviseur premier. Ce diviseur premier ne peut être ni $p_1$, ni $p_2$, ni \ldots, ni $p_n$; donc il existe un autre nombre premier qui n'est ni $p_1$, ni $p_2$, ni \ldots, ni $p_n$, ce qui contredit l'hypothèse faite au départ.

Il existe donc une infinité de nombres premiers.

\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B}

Pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, on pose $M_{k} = 2^k -1$.
On dit que $M_{k}$ est le $k$-ième nombre de Mersenne.

%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de $M_{k}$ : 
On calcule $M_k$ pour quelques valeurs de $k$:


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 
$M_{k}$&3&7&15&31&63&127&255&511&1023\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item% D'après le tableau précédent, si $k$ est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre $M_{k}$ est premier ?
Pour $k=2$ premier, $M_2=3$ est premier.
Pour $k=3$ premier, $M_3=7$ est premier.
Pour $k=5$ premier, $M_5=31$ est premier.
Pour $k=7$ premier, $M_7=127$ est premier.

D'après ce tableau, on peut conjecturer que si $k$ est premier, alors $M_k$ est premier.

	\end{enumerate}		 

\item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. 

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier l'égalité : $1 + 2^p +  + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 +  \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}   = \dfrac{\left(2^p\right)^q - 1}{2^p - 1}$. 

$1 + 2^p +  + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 +  \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}$ est la somme des $q$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $2^P$; cette somme est égale à:
 
\smallskip 
 
\hfill $\text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^\text{nombre de termes}}{1- \text{raison}}
= 1\times \dfrac{1-(2^p)^q}{1-2^p}
= \dfrac{(2^p)^q-1}{2^p-1}$ \hfill\,
  
\smallskip


		\item% En déduire que $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$. 
Le nombre $1 + 2^p +  + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 +  \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}$ est entier et, d'après la question précédente,  
$\left (1 + 2^p +  + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 +  \cdots \left(2^p\right)^{q - 1}\right ) \times \left ( 2^p-1\right ) = 2^{pq}-1$ donc $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$.

		\item% En déduire que si un entier $k$ supérieur ou égal à $2$ n'est pas premier, alors $M_{k}$ ne l'est pas non  plus.
Soit $k$ un nombre non premier; alors il existe deux entiers strictement plus grands que 1 tels que $k=pq$.

$M_k=2^k-1=2^{pq}-1$ est divisible par $2^p-1$ qui est strictement plus grand que 1: donc $M_k$ n'est pas premier.


	\end{enumerate}  

\item

	\begin{enumerate}

		\item% Prouver que le nombre de Mersenne $M_{11}$ n'est pas premier.
$M_{11} = 2^{11}-1 = \np{2047} = 23\times 89$ donc $M_{11}$ n'est pas premier.


		\item% Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?		
La conjecture de la question \textbf{1.b.} est donc fausse: 11 et premier et $M_{11}$ ne l'est pas.


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie C}

%Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise  la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 4$ et pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\]
% 
%Si $n$ est  un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre $M_{n}$ est premier si et seulement si $u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}$.  Cette propriété est admise dans la suite. 
%
%\medskip

Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par:
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l l}
u_0 & 4\\
u_{n+1} & u_n^2-2 & \text{pour tout entier naturel } n
\end{array}
\right. $

\begin{enumerate}
\item% Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne $M_{ ~5}$ est premier 
D'après le test de Lucas-Lehmer, $M_5$ est premier si et seulement si  
$u_{3} \equiv 0 \text{ modulo }M_{5}$.

$M_5=31$;
$u_0=4$ ; $u_1=u_0^2-2 = 14$; $u_2=u_1^2-2=194$; $u_3=u_2^2-2=\np{37634} = 31 \times \np{1214}$

Donc $u_3$ est divisible par $M_5$ donc le test de Lucas-Lehmer est vérifié pour $k=5$. 

\item% Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.
 
L'algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de Mersenne $M_{n}$
est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline 
 & \\[-5pt]
\textbf{Variables:}& $u$, $M$, $n$ et $i$ sont  des entiers naturels \\
\textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 4\\ 
\textbf{Traitement:}& Demander un entier $n \geqslant  3$\\ 
&	$M$ prend la valeur {\red $2^n-1$}\\ 
&	Pour $i$ allant de 1 à  {\red $n-2$}		faire \\
&\hspace{0.4cm}	$u$ prend la valeur {\red $u^2-2$} \\
&Fin Pour\\ 
&Si $M$ divise $u$ alors afficher \og $M$ {\red est premier} \fg\\
& sinon afficher \og $M$ {\red n'est pas premier} \fg\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

%Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue. 

\end{enumerate}

\end{document}