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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie  juin 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de
% départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours.
%La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de $1\:400$ mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R$_{1}$ et R$_{2}$.
%  
%Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à $2\:500$ mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R$_{3}$, ou atteindre le sommet directement.
%
%\medskip
% 
%\parbox[c]{0.45\textwidth}{La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R$_1$ est égale à $\dfrac{1}{3}$.\\ 
%La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_1$ est égale à $\dfrac{3}{4}$.\\
%La probabilité de monter directement au sommet en partant de 
%R$_2$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.\\}
%\parbox[c]{0.45\textwidth}{
%\begin{pspicture}(4.5,5)
%\pscurve(0.4,1)(0.7,1.7)(1,2)(1.3,2.5)(1.5,2.7)(2,3.2)(2.5,3.6)(3,4.3)(3.4,4.7)
%\pscurve(3,0.4)(2.5,0.5)(2.1,1)(2,1.2)(1.7,1.5)(1.5,1.6)(1.4,1.7)(1.4,1.9)(1.5,2.2)
%(2,2.7)(2.3,3)(2.5,3.1)(2.7,3.3)(2.8,3.7)(2.9,4)(3,4)(3.3,4.4)(3.4,4.7)
%\pscurve(3,0.4)(3.4,1)(3.6,1.1)(3.7,1.5)(3.9,1.8)(4,2)(3.7,2.5)(3.5,3)(3.4,3.5)
%(3.3,4)(3.3,4.4)
%\pscurve(1.4,1.9)(1.5,2)(1.7,2.1)(2,2.3)(2.4,2.5)(3,2.7)(3.1,3)(3.2,3.8)(3.3,4.4)
%\pscurve(3.9,1.8)(3.8,2)(3.6,2.2)(3,2.7)
%\pscurve(5,0.7)(4.7,1.3)(4.6,1.8)(4.2,2)(4,3)(3.8,4)(3.4,4.7)
%\rput(2.5,3.5){5,5} \rput(3,3.5){2} \rput(3.5,3.5){6} 
%\rput(2.1,2.1){4} \rput(3.2,2){4,5} \rput(1.5,1.1){5}
%\rput(3.9,1.1){4} 
%\rput(3.6,4.7){S} \rput(3,2.4){R$_{3}$} \rput(1.2,1.7){R$_{1}$} 
%\rput(4.2,1.7){R$_{2}$} \rput(3,0.2){D} 
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item %Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesep=2.5pt,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{R$_1$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree[levelsep=0.5cm]{\TR{}\naput{$\frac{3}{4}$ S direct}}
		{5 + 5,5 = 10,5}
	\pstree[levelsep=0.5cm]{\TR{}\nbput{$\frac{1}{4}$ R$_3$ puis S }}
		{5 + 4 + 2 = 11}
	}
\pstree{\TR{R$_2$}\nbput{$\frac{1}{3}$}}
	{\pstree[levelsep=0.5cm]{\TR{}\naput{$\frac{2}{3}$ S direct }}
		{4 + 6 = 10}
		\pstree[levelsep=0.5cm]{\TR{}\nbput{$\frac{1}{3}$ R$_3$ puis S }}
		{4 + 4,5 + 2 = 10,5}
	}
}

\end{center}

\bigskip
\item %Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

%E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ;
$p\left(\text{E}_1\right) = p_{\text{R}_1}\left(\text{R}_3\right) = 1 - p_{\text{R}_1}\left(\text{S direct} \right) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$.
%E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;

L’évènement E$_2$  ou R$_3$ est la réunion des évènements disjoints $\text{R}_3 \cap \text{R}_1$ et 

$\text{R}_3 \cap \text{R}_2$ ;

$p\left(\text{E}_2 \right) = p\left(\text{R}_3 \cap \text{R}_1 \right)  + 
p\left(\text{R}_3 \cap \text{R}_2 \right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 + 8}{36} = \dfrac{11}{36}$.

%E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;
$p\left(E_3 \right) = p_{\text{R}_3}\left(\text{R}_1\right) = \dfrac{p\left(\text{R}_1 \cap \text{R}_3\right)}{p\left(\text{R}_3\right)} = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}}{\frac{11}{36}} = \dfrac{3}{11}$.

%E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg.
$p\left(E_4\right) = p_{\text{S direct}}\left(\text{R}_2 \right) = \dfrac{p\left(\text{S direct} \cap \text{R}_2 \right)}{p(\text{S direct})}$.

Or $p(\text{S direct}) = p(\text{S direct} \cap \text{R}_1) + p(\text{S direct} \cap \text{R}_2) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{16 + 9}{36} = \dfrac{25}{36}$.

Donc $p\left(E_4\right) = \dfrac{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{25}{36}} = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{36}{25} = \dfrac{16}{25}$.
\item %On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point $M$ au point $N$.

%On donne $d$(D, R$_1$) = 5 ;~$d$(D, R$_2$) = 4 ;~$d$(R$_1$,~ R$_3$) = 4 ;~$d$(R$_2$,~R$_3$) = 4,5 ;

%$d$(R$_3$, S) = 2 ;~$d$(R$_1$,~S) =  5,5 ;~ $d$(R$_2$,~S) = 6.

%Soit $X$ la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par lesrandonneurs pour aller du départ D au sommet S.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		On a $p(X = 10) = p\left(\text{R}_2 \cap \text{S direct}\right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$.
		
$p(X = 11) = p \left(\text{R}_1 \cap \text{R}_3 \right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$.

$p(X = 10,5) = p\left(\text{R}_1 \cap \text{S direct} \right) + p\left(\text{R}_2 \cap \text{R}_3 \right) =  \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} +  \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} =  \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{17}{36}$.
		\item %Calculer l'espérance mathématique de $X$.
$E(X) = 10 \times  \dfrac{4}{9} + 11 \times \dfrac{1}{12} + 10,5 \times  \dfrac{17}{36} = \dfrac{371,5}{36} \approx 10,3194\ldots$ soit 10,32 au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

%On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z~ (z \neq -~1)$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{-\text{i}z- 2}{z + 1}.\]

%Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = - 1,~ b = 2$i et $c = -\text{i}$.

\begin{enumerate}
\item %Soit C$'$ l'image du point C par $f$. Donner l'affixe $c'$ du point C$'$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
On a $c’ = \dfrac{-\text{i}(-\text{i}) - 2}{-\text{i}+ 1} = \dfrac{- 3}{1 - \text{i}} = \dfrac{- 3(1 + \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} = \dfrac{- 3(1 + \text{i})}{2} = - \dfrac{3}{2}(1 + \text{i})$.

D’où $\left|c’ \right|^2 = \dfrac{9}{4}(1+1) = \dfrac{18}{4}$, donc $\left|c’ \right| = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

En factorisant ce module on peut donc écrire :

$c’ = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos - \frac{3\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{3\pi}{4}  \right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{3\pi}{4}}$.
\item %Calculer l'affixe $d$ du point D ayant pour image par f le point D$'$ d'affixe $d' = \dfrac{1}{2}$.
Il faut résoudre l’équation :

$\dfrac{-\text{i}z- 2}{z+ 1} = \dfrac{1}{2} \iff 2(-\text{i}z- 2) = z + 1 \iff z(1 + 2\text{i}) = - 4 - 1 \iff z = \dfrac{- 5}{1 + 2\text{i}} \iff z = \dfrac{- 5(1 - 2\text{i})}{(1 + 2\text{i})(1 - 2\text{i})} \iff z = \dfrac{5(- 1 + 2\text{i})}{1 + 4} = - 1 + 2\text{i}$
\item %Pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on note $p$ le module de $z + 1$ (c'est-à-dire $|z + 1| =  p$) et $p'$ le module de $z' +$ i (c'est-à-dire $|z' + \text{i}| = p'$). 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on a : $pp' = \sqrt{5}$. 
$z' = \dfrac{-\text{i}z- 2}{z+ 1} \Rightarrow z’ + \text{i} = \dfrac{-\text{i}z- 2}{z+ 1} + \text{i} \iff z’ + \text{i} = \dfrac{-\text{i}z - 2 + \text{i}z + \text{i}}{z+ 1} \iff $

$\left(z’ + \text{i} \right)(z + 1) =  - 2 + \text{i}$.

On en déduit en prenant les modules des deux membres :

$pp’ = |- 2 + \text{i} | = \sqrt{5}$.
		\item %Si le point $M$ appartient au cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon 2, montrer qu'alors $M' = f(M)$ appartient à un cercle ($\Gamma '$), dont on précisera le centre et le rayon.
Si le point $M$ appartient au cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon 2, alors

A$M = 2 \iff |z - (- 1)| = 2 \iff |z + 1| = 2 \iff p = 2$.

Du résultat précédent on en déduit que $p’ = \dfrac{\sqrt{5}}{2} = |z’ + \text{i}| = \text{C}M’$ : ceci signifie que l’image d’un point du cercle de centre A et de rayon 2, est un point du cercle de centre C et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on considère le nombre complexe $\omega = \dfrac{z- 2\text{i}}{z + 1}$.

	\begin{enumerate} 
		\item %Interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe $\omega$.
$\omega = \dfrac{z_M - z_{\text{B}}{z_M - z_{\text{A}}}$, donc un argument de $\omega$ est $\left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M} \right)$.
		\item %Montrer que $z' = - \text{i}\omega$.
z' = \dfrac{-\text{i}z- 2}{z+ 1} = \dfrac{-\text{i}(z - 2\text{i})}{z+ 1} = - \text{i}\dfrac{z- 2\text{i}}{z + 1} = - \text{i}\omega$.
		\item %Déterminer l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ telle que $z'$ soit un réel non nul.
D'après le résultat précédent $z'$ est un réel non nul si $\omega$ est un imaginaire pur non nul, c'est-à-dire si $\left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M} \right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\: k \in \E$.

Conclusion : les points $M$ appartiennent au cercle (F) de diamètre [AB] privé des points A et B.
		\item %Vérifier que le point D appartient aux ensembles ($\Gamma$) et (F).
A a pour affixe $- 1$ et D a pour affixe $- 1 + 2\text{i}$, donc AD = 2 ; D appartient au cercle $(\Gamma)$.

Comme OADB est un rectangle , D appartient au cercle (F) de diamètre [AB].
	\end{enumerate}
\item ~%Représenter les ensembles ($\Gamma$), (F) et ($\Gamma'$) en prenant 4~cm pour unité graphique.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(1.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(1.5,2.5)
\psdots(-1,0)(0,2)(0,-1)(-1,2)(0.5,0)%ABCDD'
\uput[ur](-1,0){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[r](0,-1){C} \uput[ul](-1,2){D}
\uput[d](0.5,0){D$'$}\uput[dr](0,0){O}
\pscircle(-0.5,1){1.118}\pscircle(-1,0){2}
\psline(-1,0)(-1,2) 
\uput[dr](0.5,0.5){(F)}\uput[ul](-2,1.8){$\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\begin{enumerate} 
\item %On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
 
\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %MExprimer $(f \circ f)(z)$ en fonction de $z$.
$(f \circ f)(z) = f[f(z)] = f\left(\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z} \right) = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\times \overline{\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z}} =$

$ \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\times\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\times z = \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)z = z$.
		\item %Montrer que $f = \text{R} \circ \text{S}$, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S).
On voit que : $z \longmapsto S(z) = \overline{z} \longmapsto R[S(z)] = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z = f(z)$.

$R$ est la symétrie autour de l'axe des abscisses.

Ensuite on a vu à la question 1. que $\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 = \left|\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \right|^2$.

$\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ est donc un complexe de module 1 ; on peut l'écrire 

$\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$

On reconnaît dans $R$ la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{3}$.

Ob a donc $f = R \circ S$.
		\item %Décomposer R à l'aide de deux symétries axiales et en déduire que $f$ est une réflexion, dont on donnera l'axe (D$_1$).
		 
%Réaliser une figure, en y représentant l'axe (D$_1$) (unité graphique 2 cm).
$R$ est la composée de la symétrie $S$ autour de l'axe des abscisses et de la symétrie d'axe $D_1$, cet axe contenant O et faisant un angle de $\frac{\pi}{6}$ avec l'axe des abscisses.

On a donc $f = R \circ S = S \circ  S = S_{D_1} \circ S \circ  S = S_{D_1}$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.1)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.1)(2,1.5)
\pscircle(0,0){1}\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
\psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,0.866)(0,0.866)
\uput[d](1.9,0){$x$} \uput[r](0,1.4){$y$}\uput[d](0.5,0){$\frac{1}{2}$}\uput[d](-0.5,0){$- \frac{1}{2}$}
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2}{0.57735 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2}{0.57735 x mul 0.57735 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline{->}(0,0)(-0.5,0.866)
\psarc(0,0){0.2}{0}{30}\uput[r](0.2;20){$\frac{\pi}{6}$}
\uput[dr](1.7,1){$(D_1)$}\uput[dr](1.2,1.3){$(D_2)$}
\rput{30}(0.5;120){\psframe(0.1,0.1)}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %On considère l'application $g$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M''$ d'affixe $z''$ telle que : 

\[z'' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une équation de l'ensemble des points invariants de $g$.
$z$ est invariant par $g$ si et seulement si :

$z = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \iff x + \text{i}y = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(x - \text{i}y) - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y - \frac{1}{2}\\
y&=& - \frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{1}{2}x&=& + \frac{\sqrt{3}}{2}y - \frac{1}{2}\\
\frac{3}{2}y&=&\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \sqrt{3}y - 1\\
3y&=&\sqrt{3}x + \sqrt{3}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \sqrt{3}y - 1\\
\sqrt{3}y&=&x + 1
\end{array}\right.\Rightarrow x = x + 1 - 1$.

On a donc $x - y\sqrt{3}  + 1 = 0$ : c'est l'équation d'une droite.
		\item %Montrer que $g = \text{T} \circ f$ où $T$ est une translation (on précisera l'affixe du vecteur de la translation T).
On voit que $g$ est la composée de $f$ et de la translation $T$ définie par 

$z \longmapsto z - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$g = T \circ f$ où $T$ est la translation de vecteur $\vect{t}$ d'affixe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\item %Décomposer la translation T à l'aide de deux symétries axiales et
% en déduire que $g$ est une réflexion, d'axe noté (D$_2$).
On a $\left(\vect{u},~\vect{t} \right) = \text{arg}\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}  \right) = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \Z$.

$\vect{t}$ est donc normal à un vecteur directeur de (D$_1$) : $T$ est la composée de la symétrie axiale $S_{\text{D}_1}$ et de la symétrie axiale $S_{\text{D}_2}$ où (D$_2$) est la parallèle à (D$_1$) contenant le point du cercle trigonométrique d'abscisse $\frac{1}{2}$. Donc :

$g = T \circ f = \left( S_{\text{D}_2} \circ S_{\text{D}_1}\right) \circ S_{\text{D}_1} = S_{\text{D}_2} \circ \left(S_{\text{D}_1}\right) \circ S_{\text{D}_1}\right) = S_{\text{D}_2}$.

$g$ est donc la réflexion d'axe $\left(\text{D}_2\right)$.
		\item %Quelle est l'image par $g$ du point A d'affixe $\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
		
%En déduire une construction de la droite (D$_2$), qui n'utilise pas son équation, et l'illustrer en complétant la figure précédente.
Si A$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ est le point de D$_2$ précédent son image par $g$ est le point d'affixe

$\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) -  \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} =$

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Le point A est donc invariant par $g$. La droite $\left(\text{D}_2\right)$ est la droite contenant A parallèle à  $\left(\text{D}_1\right)$, donc normale à $\vect{t}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle	]- 1 ;~$+~\infty$[  par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^2}.\]

%On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

$\star~${\textbf{I. Étude de la fonction~ \boldmath $f$\unboldmath ~ et tracé de  \boldmath$(\mathcal{C})$\unboldmath}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de cette fonction lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
On a $(1 + x)^2 = 1 + x^2 + 2x = x^2\left(\frac{1}{x^2} + 1 + \frac{2}{x} \right)$, donc pour $x \ne 0$ :

$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x^2}\times \dfrac{1}{\frac{1}{x^2} + 1 + \frac{2}{x}}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{\frac{1}{x^2} + 1 + \frac{2}{x}} = 1$, donc par produit de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Calculer la limite de cette fonction lorsque $x$ tend vers $- 1$.
		
%Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to - 1} \text{e}^x = \text{e}^{- 1}$ et $\displaystyle\lim_{x \to - 1} (1 + x)^2 = 0_{+}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = + \infty$.

La droite dont une équation est $x = - 1$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) au voisinage de $ - 1$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que son signe est celui de $\dfrac{x - 1}{x + 1}$.
$f$ quotient de fonctions dérivables le dénominateur étant non nul est dérivable sur $]- 1~;~+~\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(1 + x)^2 - 2(1 + x)\text{e}^x}{(1 + x)^4} = \dfrac{(1 + x)\text{e}^x[1 + x - 2)}{(1 + x)^4} = \dfrac{(x - 1)\text{e}^x}{(1 + x)^3}$.

Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit $x$ et que $(1 + x)^3 > 0$ pour $x > - 1$, $f'(x)$ est du signe de $x - 1$.
\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
D'après le résultat précédent :

$x  - 1 > 0 \iff x > 1\implies f'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur $[1~;~+ \infty[$ ;

$x  - 1 < 0 \iff x < 1\implies f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur $]- 1~;~ 1[$ ;

$x - 1 = 0 \iff x = 1$ : $f$ a un minimum en 1, égal à $f(1) = \dfrac{\text{e}^1}{(1 + 1)^2 = \dfrac{\text{e}}{4}$.
\item %Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), les droites d'équations respectives $x = - 1$ et $y = 1$, ainsi que la tangente à cette courbe en son point d'abscisse $0$ (unité graphique : 4~cm).
La tangente en $x = 0$ a pour équation :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - \dfrac{\text{e}^0}{1^2} = \dfrac{(0 - 1)\text{e}^0}{(1 + 0)^3}(x - 0) \iff y - 1 = - x \iff y = - x + 1$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.3)(4,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.9}{4}{2.71828 x exp 1 x add dup mul div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.9}{4}{1 x sub}
\psline(-1,1)(4,1)\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-1,-0.3)(-1,3)
\psline{<->}(0.5,0.68)(1.5,0.68)
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,0.68)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle [1 ; 10].\\
% Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres entiers consécutifs $a$ et $b$ tels que $\alpha$ appartient à l'intervalle  $[a~;~b]$.
Sur l'intervalle [1~;~10], $f$ est strictement croissante ; elle définit une bijection de [1~;~10] sur $[f(1)~;~f(10)]$.

Or $f(1) \approx 0,68 < 1$ et $f(10)\approx 182 > 1$, donc l'équation $f(x) = 1 $ a une solution unique $\alpha \in [1~;~10]$.
D'après la courbe on peut dire que $2 < \alpha < 3$.
\end{enumerate} 

$\star~${\textbf{II. Calcul d'une aire}}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit %$g$ la fonction définie sur $]- 1~;~+~\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}.$
	\begin{enumerate} 
		\item %Étudier le sens de variation de $g$ dans l'intervalle [1~;~ 2].
$g$ est dérivable sur [1~;~ 2] et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac{\text{e}^x(1 + x) - \text{e}^x \times 1}{(1 + x)^2} = \dfrac{\text{e}^x(1 + x - 1) }{(1 + x)^2} = \dfrac{x\text{e}^x}{(1 + x)^2}$.

Tous les termes étant positifs pour $x > 1$, on a donc $g'(x) > 0$ sur [1~;~2] : la fonction est strictement croissante de $g(1) = \dfrac{\text{e}}{2} \approx 1,359$ à $\dfrac{\text{e}^2}{4} \approx 2,464$.
		\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [1~;~2], on 
%a : $1 \leqslant  g(x) \leqslant 2,5$.
D'après le résultat précédent on a \emph{a fortiori} : $1 <  g(x) < 2,5$
		\item %En déduire un encadrement de A$_1 = \displaystyle\int_1^2  g(x)\:\text{d}x$.
$1 <  g(x) < 2,5 \implies \displaystyle\int_1^2 1\:\text{d}x < \displaystyle\int_1^2 g(x) \:\text{d}x <  \displaystyle\int_1^2 2,5\:\text{d}x \iff 2 - 1 < \text{A}_2 < 2,5(2 - 1)\iff$

$ 1 < \text{A}_1 < 2,5$ en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\item %Soit A$_2$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les
% droites d'équations respectives $x$ = 1 et $x$ = 2, la courbe ($\mathcal{C}$) et l'axe des abscisses.
%À l'aide d'une intégration par parties, exprimer A$_2$ en fonction de 
% A$_1$, et en déduire un encadrement de A$_2$.
Sur l'intervalle [1~;~2], la fonction $f$ est positive donc :

$\text{A}_2 = \displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^2}\:\text{d}x$.

En posant $u(x) = \text{e}^x$ et $v'(x) = \dfrac{1}{(1 + x)^2}$, on a :

$u'(x) =  \text{e}^x$ et $v(x) = - \dfrac{1}{1 + x}$.

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur [1~;~2], on peut donc intégrer par parties :

A$_2 = \left[- \text{e}^x\times \dfrac{1}{1 + x}\right]_1^2 + \displaystyle\int_1^2 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{2} - \dfrac{\text{e}^2}{3} + \text{A}_1$.

De l'encadrement précédent de A$_1$, on déduit :

$1 < \text{A}_1 < 2,5 \implies 1 + \dfrac{\text{e}}{2} - \dfrac{\text{e}^2}{3} < \text{A}_1 < 2,5 + \dfrac{\text{e}}{2} - \dfrac{\text{e}^2}{3}$, soit à peu près :

$- 0,1 < \text{A}_2 < 1,4$ en unité d'aire.

Cette aire est positive donc en fait $0 < \text{A}_2 < 1,4$ en unité d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

$\star~$ {\textbf{III. Approximation d'un nombre à l'aide d'une suite}}

\medskip

Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l'équation
 $f(x) = x$ a une unique solution $\beta$ et que celle-ci est élément de
l'intervalle  $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
  
Soit $h$ la fonction définie sur $]- 1~;~+\infty[$  par $h(x) =
\dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^3}.$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $]- 1~;~+\infty[$ on  a :

%\[f'(x) = f(x) - 2h(x).\]
$f(x) - 2h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^2} - 2\dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^3} = \dfrac{\text{e}^x(1 + x - 2)}{(1 + x)^3} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{(1 + x)^3} = f'(x)$.

		\item %Calculer $h'(x)$.
La fonction $h$ est dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :
		
$h'(x) = \dfrac{\text{e}^x(1 + x)^3 - 3\text{e}^x(1 + x)^2}{(1 + x)^6} = \dfrac{\text{e}^x(1 + x - 3)}{(1 + x)^4} = \dfrac{\text{e}^x(x - 2)}{(1 + x)^4}$.
		\item %En utilisant la question \textbf{a}, calculer $f''(x)$.
Les fonctions $f'(x)$ et  $f(x) - 2h(x)$ étant égales leurs dérivées le sont aussi, d'où :

$f''(x) = f'(x) - 2h'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{(x + 1)^3} - 2\dfrac{\text{e}^x(x - 2)}{(1 + x)^4} = \dfrac{\text{e}^x}{(x + 1)^4[(x- 1)(x + 1) - 2(x - 2)] = \text{e}^x \dfrac{x^2 - 2x + 3}{(x + 1)^4}$.
	
%En déduire le sens de variation de $f$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$
Or $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 +3 = (x - 1)^2 + 2 \geqslant 2 > 0$ (car somme de deux carrés). On a donc clairement $f''(x) > 0$ sur $]- 1~;~+ \infty[$ donc sur 
$\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.

Conclusion $f'$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.

		\item %En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ on a :
%\[\left|f'(x)\right| \leqslant  \dfrac{1}{4}.\]
$f'$ croit donc de $f\left(\dfrac{1}{2} \right) = - \dfrac{4\sqrt{\text{e}}}{27} \approx -0,25$ à $f(1) = 0$. Donc $f'$ est négative sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ et $\left|f'(x)\right| \leqslant \dfrac{1}{4} = 0,25$.
	\end{enumerate}
\item %On définit la suite (U$_n$), pour tout nombre entier naturel $n$,
% par U$_0$ = 1 et U$_{n + 1} = f\left(\text{U}_n\right)$ pour $n \geqslant  0$.
 
%On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : 
%$\dfrac{1}{2} \leqslant  \text{U}_n	\leqslant 1$.

(Question hors-programme en 2002).
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :
%\[\left|\text{U}_{n+ 1} - \beta\right| \leqslant   \dfrac{1}{4} \left|\text{U}_n - \beta\right|.\]
Comme $f(\beta) = \beta$ on a pour tout naturel $n$, \, $\left|U_{n+1} - \beta\right| = \left|f\left(U_n\right) - f(\beta) \right|$.

Comme $U_n$ et$\beta$ appartiennent à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$, en appliquant l'inégalité des accroissements finis :

$\left|U_{n+1} - \beta\right| \leqslant \dfrac{1}{4}\left|U_n - \beta\right|$.

		 \item %Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :
%\[\left|\text{U}_n - \beta\right| \leqslant \left( \dfrac{1}{4}\right)^n.\]
$\bullet~~$\emph{Initialisation}

$\left|U_0 - \beta\right| = |1 - \beta| \leqslant 1$ et $\left(\dfrac{1}{4} \right)^0 = 1$ : l'inégalité est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité}

Supposons que pour $n \in \N$, on ait $\left|U_n - \beta\right| \leqslant \left( \dfrac{1}{4}\right)^n$.

Or $\left|U_{n+1} - \beta\right| \leqslant \dfrac{1}{4}\left|U_n - \beta\right|$; donc

$\left|U_{n+1} - \beta\right| \leqslant \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ et finalement :

$\left|U_{n+1} - \beta\right| \leqslant \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}$ : l'inégalité est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : l'inégalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang $n + 1$ ; d'après le principe de récurrence quel que soit le naturel $n$,\,$\left|U_n - \beta\right| \leqslant \left( \dfrac{1}{4}\right)^n$. 
		\item %En déduire une valeur approchée numérique de $\beta$ à $10^{- 3}$ près.
		Une valeur approchée numérique de $\beta$ à $10^{- 3}$ près est $U_n$ lorsque 
		
		$\left(\dfrac{1}{4} \right)^n \leqslant 10^{-3}$ soit par croissance du logarithme népérien :
		
$n \ln \dfrac{1}{4} \leqslant - 3 \ln 10 \iff n \geqslant \dfrac{- 3 \ln 10}{\ln \frac{1}{4}}$ \quad car $\ln \dfrac{1}{4} < 0$.

Finalement la calculatrice donne $n \geqslant 4,98$.

Conclusion $U_5 \approx \np{0,69714}\approx 0,697$ est une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-3}$ près.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}