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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat S Asie 
18 juin 2008~\decofourright }}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A -Vrai ou faux ?}

%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration
%consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.}\\

%\medskip

%\emph{Rappel des notations :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$.\\
%\item[$\bullet~$]  L 'écriture $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ n'ont aucun point commun.
%\end{itemize}}

\begin{enumerate}
\item  %Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
%\[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset,\]
%alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$
Faux : contre-exemple : il suffit de prendre $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{3}$ perpendiculaires à $\mathcal{P}_{2}$.

\item  %Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
%\[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset\]
%alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont tels que : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}= \emptyset$  et $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}= \emptyset$.
Faux : contre-exemple : on reprend l'exemple précédent.
\item  %Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
%\[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset,\]
% alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}  \neq \emptyset.$
Vrai : si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre.

\item  %Si $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace vérifiant :
%\[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{D}  \neq \emptyset$ \end{enumerate}
Faux : $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont parallèles : si la droite  $\mathcal{D}$ est incluse dans  $\mathcal{P}_{1}$ elle n'est pas sécante avec $\mathcal{P}_{2}$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{B - Intersection de trois plans donnés}

\medskip

%Dans un repère orthonormal de l'espace on considère les trois plans suivants :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $x+ y -z = 0$
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{2}$	d'équation $2x+y+z - 3 =0$,
%\item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z+3 = 0$.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  %Justifier que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation
%paramétrique de leur droite d'intersection, notée $\Delta$.
Le vecteur $\vect{n}_{1}(1~;~1~;~-1)$ est normal à $\mathcal{P}_{1}$,  $\vect{n}_{2}(2~;~1~;~1)$ est normal à $\mathcal{P}_{2}$ et ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : les deux plans sont donc sécants.

Il faut résoudre :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x+ y -z &=& 0\\
2x+y+z - 3 &=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x+ y -z &=& 0\\
-y+3z - 3 &=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-3z + 3 + z\\
y&=&3z - 3\\
z&=&z\\
\end{array}\right. \]
\[\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2t+3\\
y&=&\phantom{-}3t - 3\\
z&=&\phantom{- 2}t\\
\end{array}\right.\]
qui est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ commune aux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$
\item  %En déduire la nature de l'intersection $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}$.
Un point de $\Delta$ appartient à $\mathcal{P}_{3}$ si et seulement si :
\[-2t + 3 + 2(3t - 3) - 4(t) + 3 = 0 \iff -2t + 6t - 4t + 3 - 6 + 3 = 0\]
qui est vrai quel que soit $t \in \R$.

Ceci signifie que tout point de $\Delta$ appartient à $\mathcal{P}_{3}$.

Conclusion : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} = \Delta$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\
%On considère plusieurs sacs de billes S$_{1}$, S$_{2}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots tels que :
%\begin{itemize}
%\item le premier, S$_{1}$, contient 3 billes jaunes et 2 vertes;
%\item  chacun des suivants, S$_{2}$,~ S$_{3}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
%\end{itemize}

%\medskip

%Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
%\begin{itemize}
%\item  on tire au hasard une bille dans S$_{1}$ ;
%\item on place la bille tirée de S$_{1}$ dans S$_{2}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{2}$ ;
%\item on place la bille tirée de S$_{2}$ dans S$_{3}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{3}$;
%\item  etc.
%\end{itemize}

%\medskip

%Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $E_{n}$ l'évènement : \og  la bille tirée dans S$_{n}$ est verte \fg{} et on note
%$p\left(E_{n}\right)$ sa probabilité.
\begin{enumerate}
\item  Mise en évidence d'une relation de récurrence
	\begin{enumerate}
		\item %D'après l'énoncé, donner les valeurs de $p\left(E_{1}\right),~ p_{E_{1}}\left(E_{2}\right),~ p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right)$.\\
%En déduire la valeur de $p\left(E_{2}\right)$.
On a $p\left(E_{1}\right) = \dfrac{2}{5},\:p_{E_{1}}\left(E_{2}\right) =  \dfrac{3}{5}$ et $p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right) = \dfrac{2}{5}.$

D'après la formule des probabilités totales appliquée à $E_{1}$ et à $\overline{E_{1}}$ :

$p\left(E_{2}\right) = p\left(E_{1} \cap E_{2} \right) + p\left(E_{1} \cap \overline{E_{2}} \right) = p\left(E_{1} \right) \times p_{E_{1}}\left(E_{2}\right) + p\left(\overline{E_{1}} \right) \times p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right) = $

$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} + \left(1 - \dfrac{2}{5}\right) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25}  = \dfrac{12}{25} = 0,48$.
		\item %À l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $p\left(E_{n+1}\right)$ en fonction de $p\left(E_{n}\right)$.
Arbre pondéré :
		
\medskip
		
 \begin{center}\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{J}\taput{$1 - p\left(E_{n} \right)$}}
		{
\TR{J}\taput{$\frac{3}{5}$}
\TR{V}\tbput{$\frac{2}{5}$}
 		}
	\pstree{\TR{V}\tbput{$p\left(E_{n} \right)$}}
		{
\TR{J}\taput{$\frac{2}{5}$}
\TR{V}\tbput{$\frac{3}{5}$}
 		}
}		
		 \end{center}
D'après la loi des probabilités totales on a $p\left(E_{n+1}\right) = \dfrac{2}{5}\left(1 - p\left(E_{n} \right)\right) + \dfrac{3}{5}p\left(E_{n} \right) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}p\left(E_{n} \right).$
 	\end{enumerate}
\item Étude d'une suite

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :	
%\renewcommand{\arraystretch}{2} $\left\{\begin{array}{l c l}
%	u_{1}&=&\dfrac{2}{5}\\
%	u_{n+1}&=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5}~~\text{pour tout }~n \geqslant 1.\\
%	\end{array}\right.$

	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $1/2$.
Démonstration par récurrence :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation} : $u_{1} = \dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}$ : vrai ; la relation est vraie au rang 1.
\item \emph{Hérédité}  : soit un naturel $n \geqslant 1$ et supposons que $u_{n} < \dfrac{1}{2}$ ; alors $\dfrac{1}{5}u_{n} < \dfrac{1}{10} \iff$

$ \dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{5} \iff u_{n+1} < \dfrac{5}{10}$. Soit finalement $u_{n+1} < \dfrac{1}{2}$. La relation est vraie au rang $n + 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La relation est vraie au rang et si elle est vraie au rang $n \geqslant 1$, elle est vraie au rang $n + 1$. On a démontré par récurrence que pour tout $n \geqslant 1,\: u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}$.
		\item   %Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
Pour tout naturel $n > 0$, 

$u_{n + 1} - u_{n} = \dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5} - u_{n} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{5}u_{n}= \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2} - u_{n} \right)$.

D'après la question précédente $u_{n}\leqslant \dfrac{1}{2}$, donc $u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante

		\item   %Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite.
		La suite est croissante et majorée par 1 : elle converge vers une limite $\ell$ telle que $\ell \leqslant 1.$
		
$\ell$ vérifie la relation de récurrence : $\ell = \dfrac{1}{5}\ell + \dfrac{2}{5} \iff 5\ell = \ell + 2 \iff 4\ell = 2 \iff \ell = \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item %Évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$
	\begin{enumerate}
		\item  %À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$.
		On a de façon évidente $u_{n} = p\left(E_{n}\right)$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  p\left(E_{n}\right) = \dfrac{1}{2}$.
		\item  %Pour quelles valeurs de l'entier $n$ a-t-on : $\nombre{0,49999} \leqslant   p\left(E_{n}\right) \leqslant  0,5$ ?
		Considérons la suite des différences de  $p\left(E_{n}\right)$ avec sa limite $0,5$, soit \\$v_{n} =  p\left(E_{n}\right) - 0,5$.
		
On a $v_{n+1} = p\left(E_{n+1}\right) - 0,5$.

La relation de récurrence devient : $v_{n+1} + 0,5 = \dfrac{1}{5}\left(v_{n} + 0,5 \right) + \dfrac{2}{5} \iff$
		
$v_{n+1} = \dfrac{1}{5}v_{n}.$

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et $v_{n} = \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \times v_{1}$ soit $p\left(E_{n}\right) - 0,5 = \dfrac{1}{5^{n-1}}\left(\dfrac{2}{5} - 0,5\right) \iff p\left(E_{n}\right) = 0,5 - \dfrac{1}{5^{n-1}}\dfrac{1}{10}$.

On a donc  $\nombre{0,49999} \leqslant   p\left(E_{n}\right) \iff \dfrac{1}{2\times 5^{n}} < 10^{-5} \iff 5^{n} > \nombre{50000} \iff $

$5^{n- 1} > 10^4 \iff (n - 1) \ln 5 > 4 \ln 10 \iff n - 1 > \dfrac{4 \ln 10}{\ln 5} \iff n > 1 + \dfrac{4 \ln 10}{\ln 5} \approx 6,7$.

Il faut donc prendre $n = 7$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls ; on appelle \og réseau \fg{} associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x~;~ y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leqslant x\leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant b$. On note $R_{a,b}$ ce réseau.\\
%Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
%\medskip

\textbf{A - Représentation graphique de quelques ensembles}

\medskip
%Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe \no 1 à rendre avec la copie.\\
%Représenter graphiquement les points $M(x~;~ y)$ du réseau $R_{8,8}$  vérifiant :
\begin{enumerate}
\item  $x \equiv 2\quad  (\text{modulo}~ 3)$ et $ y \equiv 1 \quad  (\text{modulo}~ 3)$, sur le graphique 1 de la feuille annexe
\item  $x + y \equiv 1$\quad  (modulo 3), sur le graphique 2 de  la feuille annexe ;
\item $x \equiv  y$ \quad (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{B - Résolution d'une équation}

\medskip

On considère l'équation (E) : $7x - 4y =1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item  Le couple $(-1~;~-2)$ est un couple solution.

\item   %Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
On a donc :

$\left\{\begin{array}{l cl}
7 \times (-1) - 4 \times (-2)&=&1\\
7x - 4y&=&1\\
\end{array}\right. \Rightarrow~(\text{par différence})~7(x + 1)-4(y+2) = 0 \iff $

$7(x + 1) = 4(y + 2) \quad (1)$.

D'après le théorème de Gauss, $7$ divise $4(y + 2)$ mais est premier avec $4$ : il divise donc $y + 2$ ; il existe donc $k \in \Z$ tel que $y + 2 = 7k \iff y = 7k - 2$.

En reportant dans (1), $7(x+1) = 4 \times 7k \iff x + 1 = 4k \iff x = 4k - 1$.

Les couples solutions sont de la forme $(4k - 1~;~7k - 2),~k \in \Z$.

Inversement on vérifie qu'un couple $(4k - 1~;~7k - 2)$ vérifie l'équation proposée car $7(4k - 1) - 4(7k - 2) = 28k - 7 - 28k + 8 = 1$.
\item %Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution $(x~ ;~ y)$ pour laquelle le point $M(x~;~ y)$ correspondant appartient au réseau $R_{4, 7}$.
$(x~;~y)$ appartient à $R_{4, 7} \iff \left\{\begin{array}{l cl}
0 \leqslant &4k - 1 \leqslant &4\\
0 \leqslant &7k - 2 \leqslant & 7\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l cl}
1 \leqslant &4k  \leqslant &5\\
2 \leqslant &7k  \leqslant & 9\\
\end{array}\right. \iff k = 1$\\
Il y a donc une seule solution : le couple (3~;~5).
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.}\\
% Si $a$ et $b$ sont  deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [O$A$] du réseau $R_{a,~b}$, avec
%O(0 ; 0) et $A(a~;~b)$.

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les points du segment [O$A$] sont caractérisés par les conditions :

%\[0 \leqslant x  \leqslant a ~;~0 \leqslant  y \leqslant  b~;~ay=bx.\]
$M(x~;~y) \in [\text{O}A] \iff \text{il existe}~k \in \R, \vect{\text{O}M} = k\vect{\text{O}A},$

$k \in [0~;~1] \iff x = ka,~y = kb,~k \in [0~;~1] \iff 0 \leqslant x  \leqslant a ~;~0 \leqslant  y \leqslant  b,~x = ka,$

$y = kb \iff 0 \leqslant x  \leqslant a ~;~0 \leqslant  y \leqslant  b,~k = \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} \iff 0 \leqslant x  \leqslant a ~;~0 \leqslant  y \leqslant  b~;~ay = bx$.
\item  %Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points O et $A$ sont les  seuls points du segment [O$A$] appartenant au réseau $R_{a,~b}$.
D'après la question précédente $a$ divise $bx$ mais est premier avec $b$ : il divise donc $x$ et de m\^eme $b$ divise $y$. Or on a vu que :\\
$0 \leqslant x  \leqslant a$ ce qui implique  que $x = 0$ ou $x = a$ et de m\^eme $y = 0$ ou $y = b$. Les points solutions sont donc O(0 ; 0) et $A(a~;~b)$.
\item  %Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [O$A$] contient au moins un autre point du réseau.\\
%(On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.)
Considérons le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$. On a  $a = da'$ et $b = db'$ avec $0 < a' < a$ et $0< b' < b$.

L'égalité $d= \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'}$ entraîne $a'b = ab'$. Donc le point de coordonnées $(a'~;~b')$ appartient au segment [O$A$].

Il existe donc au moins un autre point du réseau sur le segment [O$A$].
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour le dessin : $\left\|\vect{u}\right\| = 4$~cm.\\
%$M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que 
%\[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\]
%où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.

\medskip

\textbf{A - Quelques propriétés}

\begin{enumerate}
\item %Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$.
$z \neq 0$ et $z' = -\dfrac{1}{\overline{z}} \Rightarrow \left|z'\right| = \left|-\dfrac{1}{\overline{z}}\right| \iff \left|z'\right| = \left|\dfrac{1}{\overline{z}}\right| = \dfrac{1}{\left|\overline{z}\right|} \iff \left|z'\right|\times \left|\overline{z}\right| = 1$.\\
Pour les arguments : $z' = -\dfrac{1}{\overline{z}} \Rightarrow \text{arg}\left(z'\right) = \text{arg}\left( -\dfrac{1}{\overline{z}}\right)  = \text{arg}(-1) - \text{arg}\left(\overline{z} \right)= \pi - (- \text{arg}z) = \pi + \text{arg} z = \text{arg} (z) + \pi $.
\item  %Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés.
Ceci résulte de la question précédente ; de plus les points sont dans l'ordre $M$, O et $M'$.
\item %Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : \\$\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$.

Pour $z \neq 0$, on a $\dfrac{1}{z}(z - 1) = 1 - \dfrac{1}{z} = 1 - \overline{\dfrac{1}{\overline{z}}} = 1  + \overline{z'} = \overline{1} + \overline{z'} = \overline{z' + 1}.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Construction de l'image d'un point}\\
%On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$.\\
% On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $|z - 1| = 1$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}$ ?
$|z - 1| = 1 \iff \text{A}M = 1 \iff M $ appartient au cercle  $\mathcal{C}$ de centre A et de rayon $1$.
\item 	%Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que $\left|z'+ 1\right|  = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité.
$\overline{z' + 1} = \dfrac{1}{z}(z - 1) \Rightarrow \left|\overline{z' + 1}\right| = \left|\dfrac{1}{z}(z - 1)\right| \iff \left|z'+1\right| = \left|\dfrac{1}{z}\right| \times |z - 1| \iff \left|z'+1\right| = \left|\dfrac{1}{z}\right|$ (car $M \in \mathcal{C} \iff |z - 1| = 1$) $\iff \left|z'+1\right| = \left|-\dfrac{1}{\overline{z}}\right| \iff \left|z'+1\right| = \left|z'\right|$.

Cette dernière égalité s'interprète géométriquement par : B$M' = \text{O}M'$ qui signifie que $M'$ est équidistant de B et de O, autrement dit $M'$ appartient à la médiatrice de [OB].
		\item   %Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right|  = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité  :\\
% $|z - 1| = 1$ ?
$\left|z'+ 1\right|  = \left|z'\right| \iff $\left|- \dfrac{1}{\overline{z}}+ 1\right|  = \left|- \dfrac{1}{\overline{z}}\right| \iff \left| \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}\right| = \dfrac{1}{\left|\overline{z}\right|} \iff \left|\overline{z} - 1 \right| = 1 \iff$

$|z - 1| = 1.$

La réciproque est donc vraie : on a bien O$M = 1$.
	\end{enumerate}
\item	%Tracer l'ensemble $\mathcal{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathcal{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$. 
Figure

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](-1,0)(1,0)(1.48,-0.86)(-0.5,0.3)
\uput[ur](1,0){A} \uput[ul](-1,0){B}\uput[dr](0,0){O}
\pscircle[linecolor=blue](1,0){1}
\psplot{-1.5}{2}{7 x mul 12 div neg}
\psline[linecolor=green](-0.5,-1.5)(-0.5,1.5)
\uput[u](1.48,-0.86){$M$}\uput[ur](-0.5,0.3){$M'$}  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

Construction de l'image d'un point de $\mathcal{C}$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $M'$ est aligné avec O et $M$ : il appartient à la droite (O$M$) ;
\item $M'$B = $M'$O, donc $M'$ appartient à la médiatrice de [OB] ;
\item $M'$ est donc le point commun à la droite (O$M$) et à la médiatrice de [OB].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A - Restitution organisée de connaissances}

%On suppose connu le résultat suivant : 
%$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.\\
%Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

\textbf{B - Étude d'une fonction}

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%\[ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
%On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.

\begin{enumerate}
\item %\emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte clans la notation.}\\

%\medskip

%Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
La fonction $f$ est le produit de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$ : elle est donc définie et dérivable sur $\R$ et $f'(x) = \text{e}^{-x} - (x + 1)\text{e}^{-x} = -x \text{e}^{-x}$ qui est du signe de $- x$, puisque $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x \in \R$.

La fonction est donc croissante sur $\R^{-}$ et décroissante sur $\R^{+}$.

Le maximum est obtenu pour $x = 0,~f(0) = 1 \times \text{e}^{-0} = 1$.

Limites :
\begin{itemize}
\item $f(x) = x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}$.

D'après la R. O. C. par produit et somme de limites :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)  = 0$. 
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (x + 1) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites  : 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\end{itemize}
On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3)
%\psgrid
\psframe(10,3) \psline(0,2)(10,2)  \psline(0,2.5)(10,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](6,2.5){$0$} \uput[u](9.5,2.5){$+ \infty$} 
\uput[u](1,1.9){$f'$} \uput[u](4,2){$+$} \uput[u](8,2){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.4,0){$- \infty$}  \uput[d](6,2){$1$}  \uput[u](9.7,0){$0$} 
\psline{->}(2.8,0.2)(5.8,1.6)  \psline{->}(6.2,1.6)(9.5,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment. Voir ci-dessous
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}

%Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
%\[f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}.\]
%On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.\\
%On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		On a $f_{0}(x) = x + 1$ : c'est une fonction affine
		\item   %Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.\\
%Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
Les points communs à $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$ ont des coordonnées qui vérifient  :

$\left\{\begin{array}{l cl}
y&=&x + 1\\
y&=&(x+1)\text{e}^x\\
\end{array}\right. \Rightarrow x + 1 = (x+1)\text{e}^x \iff (x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right) = 0 \iff\\
 \left\{\begin{array}{l cl}
x+1&=&0\\
\text{e}^x - 1&=&0\\
\end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l cl}
x&=&-1\\
\text{e}^x &=&1\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l cl}
x&=&-1\\
x &=&0\\
\end{array}\right.$

On a donc deux points commune : le point (0 ; 1) et le point $(-1~;~0)$.

On remarque que quel que soit $k,~f_{k}(-1) = 0$, donc le point $(-1 ~;~0)$ appartient à toutes les courbes $\mathcal{C}_{k}$.

De m\^eme, quel que soit $k,~f_{k}(0) =1$, donc le point (0 ; 1) appartient à toutes les courbes $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	%Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.\\
%En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.
Tableau de signes :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(10,4) \psline(0,1)(10,1)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,3)(10,3)
\psline(4,0)(4,4)
\uput[u](2,3){$x$} \uput[u](4.4,3){$- \infty$} \uput[u](6,3){$-1$} \uput[u](8,3){$0$} \uput[u](9.6,3){$+\infty$} 
\rput(2,2.5){Signe de $x + 1$}\rput(2,1.5){Signe de $\text{e}^x - 1$}
\rput(2,0.5){Signe de $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$}
\rput(5,2.5){$-$} \rput(6,2.5){$0$} \rput(7,2.5){$+$} \rput(9,2.5){$+$} 
\rput(5,1.5){$-$} \rput(7,1.5){$-$} \rput(9,1.5){$+$} \rput(5,0.5){$+$} 
\rput(7,0.5){$-$} \rput(9,0.5){$+$} \rput(8,0.5){$0$} 
\rput(6,0.5){$0$} \rput(8,1.5){$0$} 
\psline(6,0)(6,3) \psline(8,0)(8,3) 
\end{pspicture}
\end{center}

On a donc :

$f_{k+1}(x) - f_{k}(x) = (x + 1)\text{e}^{(k+1)x} -  (x + 1)\text{e}^{kx} = (x + 1)\text{e}^{kx}\left(\text{e}^x - 1\right)$ qui est du signe du produit ci-dessus car $\text{e}^{kx} > 0$ quel que soit $x \in \R$. On en déduit que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item pour $x < -1$ et pour $x > 0$, ~$\mathcal{C}_{k+1}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{k}$
\item pour $- 1 < x < 0,~\mathcal{C}_{k+1}$ est au dessous de $\mathcal{C}_{k}$
\item les deux courbes se coupent en $x = -1$ et en $x = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\item	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
%	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)
$f_{k}$ produit de fonction dérivable est dérivable et $f'_{k}(x) = \text{e}^{kx} + k(x + 1)\text{e}^{kx} = \text{e}^{kx}(kx + k + 1).$

Comme $\text{e}^{kx} > 0$ quel que soit $x$ et quel que soit $k$, le signe de $f'_{k}(x)$ est celui de $kx + k + 1$.

\begin{itemize}
\item Si $k > 0$, alors $kx + k + 1 = 0 \iff x = - \dfrac{k+1}{k}$, donc $f'_{k}(x) > 0$ si $x > - \dfrac{k+1}{k}$, donc la fonction est croissante sur cet intervalle et  $f'_{k}(x) < 0$ si $x < - \dfrac{k+1}{k}$, donc la fonction est décroissante sur cet intervalle.
\item Si $k < 0$, alors $kx + k + 1 = 0 \iff x = - \dfrac{k+1}{k}$.\\
$f'_{k}(x) > 0 \iff kx + k + 1 > 0 \iff k + 1 > -kx \iff x < - \dfrac{k+1}{k}$. La fonction $f_{k}$ est donc croissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{k+1}{k}\right[$ et décroissante sur $\left]- \dfrac{k+1}{k}~;~+ \infty\right[$.
\end{itemize}

\item	%Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.

%Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
En utilisant la question précédente, on peut dire que $\mathcal{E}$
 et $\mathcal{F}$ correspondent à des valeurs de $k$ négatives.
 
Plus précisément la courbe $\mathcal{E}$  croît sur $]- \infty~;~0[$ ce qui correspond à la valeur $k = -1$.
 
 Donc $\mathcal{E}$ représente la fonction $f_{-1}$ et par conséquent $\mathcal{F}$ représente la fonction $f_{-3}$.
 
Pour les valeurs de $k$ positives on utilise les résultats de la question \textbf{2.} : pour $x > 0$, on constate que que  $\mathcal{K}$ est au dessus de $\mathcal{H}$ ; donc $\mathcal{H}$ représente $f_{1}$ et $\mathcal{K}$ représente~$f_{2}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\textbf{D - Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
% Soit $\lambda$ un réel strictement positif. La fonction $f$ est celle définie dans la partie B.\\
\begin{enumerate}
\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(t)\:\text{d}t$.
$\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} (t+1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t$. Soit

$\left\{\begin{array}{l c l}
u(t)&=&t+1\\
v'(t)&=&\text{e}^{-t}\\
\end{array}\right.$ d'o\`u $\left\{\begin{array}{l c l}
u'(t)&=&1\\
v(t)&=&-\text{e}^{-t}\\
\end{array}\right.$

Toutes ces fonctions sont dérivables donc continues sur $[0~;~\lambda]$, on peut donc intégrer par parties :

$\mathcal{A}(\lambda)  = \left[- (t+1)\text{e}^{-t}  \right]_{0}^{\lambda} + \displaystyle\int_{0}^{\lambda}  \text{e}^{-t}\:\text{d}t = \left[- (t+1)\text{e}^{-t} -  \text{e}^{-t}\right]_{0}^{\lambda} = \left[- (t+2)\text{e}^{-t}\right]_{0}^{\lambda} =$

$-(\lambda + 2)\text{e}^{-\lambda} + 2 = 2 - (\lambda + 2)\text{e}^{-\lambda}$.
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda)$. Interpréter graphiquement le résultat.
Comme $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty}  \text{e}^{-\lambda} = 0,{}\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \lambda \text{e}^{-\lambda} = 0,~\lim_{\lambda \to + \infty}\mathcal{A}(\lambda) = 2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 - exercice 3 (spécialité mathématique) - À rendre avec la copie}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9)
\psdots[dotstyle=o,dotscale=2](2,1)(5,1)(8,1)(2,4)(5,4)(8,4)(2,7)(5,7)(8,7)
\multido{\d=0+1}{9}{
\multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}}
\rput(5,-1.5){Graphique 1}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9)
\psdots[dotstyle=o,dotscale=2](1,0)(4,0)(7,0)(0,1)(3,1)(6,1)(2,2)(5,2)(8,2)
(1,3)(4,3)(7,3)(0,4)(3,4)(6,4)(2,5)(5,5)(8,5)(1,6)(4,6)(7,6)(0,7)(3,7)(6,7)(2,8)(5,8)(8,8)
\multido{\d=0+1}{9}{
\multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}}
\rput(5,-1.5){Graphique 2}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9)
\psdots[dotstyle=o,dotscale=2](0,0)(3,0)(6,0)(1,1)(4,1)(7,1)(2,2)(5,2)(8,2)
(0,3)(3,3)(6,3)(1,4)(4,4)(7,4)(2,5)(5,5)(8,5)(0,6)(3,6)(6,6)(1,7)(4,7)(7,7)(2,8)(5,8)(8,8)
\multido{\d=0+1}{9}{
\multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}}
\rput(5,-1.5){Graphique 3}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}