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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{Asie}
\rfoot{juin 2006}
\begin{center}
{\Large \bf \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES    Asie juin 2006~\decofourright }\\\end{center}

\bigskip

{\bf \large Exercice 1} \hfill {\bf 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
 
\[ f(x) = \text{e}^{-x} -1\]

%La courbe $({\cal C})$ donnée est la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
%On note $F$ la primitive de la fonction $f$ sur $\R$ telle que $F(0)=0$.

%Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse.

%Aucune justification n'est demandée.

%\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point.  L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est} 0.

\begin{enumerate}
\item[\bf a.]
	$f(\ln(2))= \text{e}^{-\ln 2} -1  = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}}- 1 = \dfrac{1}{2} - 1 = - \dfrac{3}{2}$. Donc fausse.
\item[\bf b.] On sait que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x} = 0$, donc 
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = - 1$. Donc vraie.
\item[\bf c.]
Pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)= - \text{e}^{-x}$, donc fausse.
\item[\bf d.] Une primitive de $\text{e}^{-x}$ sur $\R$ est $- \text{e}^{-x}$, donc :

$\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \, \text{d}x  = \left[- \text{e}^{-x} - x \right]_{-1}^0 = - 1  - \left(- \text{e}^{-(- 1)} - (- 1)\right) = - 1 + \text{e} - 1 = \text{e} - 2 \approx \np{0,71828}$, donc fausse..
\item[\bf e.]On a $f(x) < 0  \iff \text{e}^{-x} -1 < 0 \iff \text{e}^{-x} < 1 \iff - x < 0 \iff x > 0$.

$f$ étant la dérivée de $F$, $F$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. Donc fausse.
%La fonction $F$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~0]$.
\item[\bf f.]
Pour tout nombre réel $x$, on a $F(x) =  - \text{e}^{-x} - x + C$. Or :

$F(0) = 0  \iff  - \text{e}^{-0} - 0 + C = 0 \iff C = 1$.

Donc $F(x) = - \text{e}^{-x} - x + 1$. Donc affirmation vraie.
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf \large Exercice 2} \hfill {\bf 5 points}

\textbf{(pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité)}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du profit annuel d'une entreprise de l'année 1999 à l'année 2005.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Année 					&1999 &2000  &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 \\\hline
Rang de l'année $(x_i)$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\\hline
Profit annuel en  millions d'euros $(y_i)$      &$\np{1,26}$ &$\np{1,98}$ &$\np{2,28}$ &$\np{2,62}$ &$\np{2,84}$ &$\np{3,00}$ &$\np{3,20}$ \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item 
Construire le nuage de points associé à la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère orthogonal représenté ci-dessous.

\begin{center}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(10.5,4.2)
\psgrid[gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(10,4)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(10.2,4.2)
\uput[r](7.3,-0.25){\blue Rang de l'année}
\uput[r](0,4.1){\blue Profit annuel en millions d'euros.}
\psdots(1,1.26)(2,1.98)(3,2.28)(4,2.62)(5,2.84)(6,3)(7,3.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.29}{10}{3.43 x mul ln}
\end{pspicture*}

\psset{unit=1cm}
\end{center}

\item La forme du nuage suggère un ajustement logarithmique. On décide donc d'étudier la série $\left(x_i~;~z_i\right)$, où 
$z_i = \text{e}^{y_i}$.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les valeurs décimales arrondies au centième.
  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ & 1 & 2& 3 & 4& 5 & 6 & 7 \\\hline
$z_i= \text{e}^{y_i}$ & $3,53$ &  $7,24$   &  $9,78$  &  $13,74$  &   $17,12$ &  $20,09$  &  $24,53$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Donner l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
%Les résultats obtenus à la calculatrice seront arrondis au centième (avec ces arrondis, on obtient une équation de la forme $z=ax$).
La calculatrice donne $z = 3,43x - 0,001$, soit en arrondissant les coefficients au centième près : $z = 3,43x$.

\item %En déduire que la courbe d'équation $y = \ln(x) + \np{1,23}$ approche le nuage de points.
On a donc $z = \text{e}^{y} = 3,43x \iff y =  \ln 3,43x$ pour $x > 0$, ou encore :

\[y =  \ln x + \ln 3,43 \approx y = \ln x + 1,23.\]

\item %On suppose que l'évolution du profit annuel se poursuit suivant ce modèle.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le profit annuel, exprimé en millions d'euros, attendu pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
2008 correspond au rang $x = 10$, d'où $y_{10} = \ln 10 + 1,23 \approx 3,53$.

Le profit annuel attendu en 2008 sera environ de 3,53~millions d'euros.		
		\item %Déterminer à partir de quelle année le profit annuel initial (c'est à dire celui de l'année 1999) aura au moins triplé.
Il faut résoudre l'inéquation ;
		
$\ln x  + 1,23 \geqslant 3 \times 1,26 \iff \ln x \geqslant 3,78 - 1,23 \iff \ln x \geqslant 2,55 \iff x \geqslant \text{e}^{2,55}$

Comme $\text{e}^{2,55} \approx 12,81$, il faut prendre au moins $x = 13$, soit l'année 2011.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf\large Exercice 2} \hfill {\bf 5 points}

\textbf{(pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité)}

\medskip

%L'espace est rapporté à un repère orthogonal.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-2,-0.4)(2,1.4)
%\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
%\psline{->}(0,0)(0.8,0.8)
%\uput[r](1,0){\blue $x$}
%\uput[r](0,1){\blue $z$}
%\uput[r](0.8,0.8){\blue $y$}
%\uput[l](0,0){\blue O}
%\end{pspicture*}
%\psset{unit=1cm}
%
%\end{center}

On a représenté ci-dessous la surface $(S)$ d'équation $z = 3(x^2 + y)$, avec 
$x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1,5]$, et $y$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1,5]$.
\vspace*{-0.5cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.cm}
%\hspace{-2.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(9,8)
\psset{Alpha=150,Beta=25}%avant Beta=30,Alpha=150 
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=6,zMax=12,drawing=false]
\pstThreeDPut(2.5,-1.5,0){$x$} \pstThreeDPut(7.2,2.6,0){$y$}
\pstThreeDPut(-0.85,-0.3,3){$z$}

% les x

\multido{\r=0+0.4}{15}{\pstThreeDLine[linecolor=red](\r,0,0)(\r,-0.2,0)}
%les z
\multido{\n=0+2,\i=0+1}{7}{\pstThreeDPut(-0.3,0,\i){\n}}
\multido{\i=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linecolor=red](-0.2,0,\i)(0,0,\i)}
% les y
%\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDPut(-0.5,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linecolor=red](6.2,\n,0)(6,\n,0)}

\multido{\n=1+1}{6}{\pstThreeDLine[linecolor=gray](0,0,\n)(0,6,\n)(6,6,\n)}
\multido{\r=0+0.4}{15}{\pstThreeDLine[linecolor=gray](0,\r,6)(0,\r,0)(6,\r,0)}
\multido{\r=0+0.4}{15}{\pstThreeDLine[linecolor=gray](\r,0,0)(\r,6,0)(\r,6,6)}
% la boîte 
\pstThreeDBox(0,0,0)(6,0,0)(0,6,0)(0,0,6)
%
\psplotThreeD[xPlotpoints=15,yPlotpoints=15,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0,6)(0,6){%
x 4 div 2 exp  y 4 div add 3 mul 2 div }% 
% les x
\pstThreeDPut(0,-0.8,0){0}
\pstThreeDPut(2,-0.8,0){0,5}
\pstThreeDPut(4,-0.8,0){1}
\pstThreeDPut(6,-0.8,0){1,5}
% les y
\pstThreeDPut(6.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(6.5,2,0){0,5}
\pstThreeDPut(6.5,4,0){1}
\pstThreeDPut(6.5,6,0){1,5}
\pstThreeDPut(5,2,4){A}
%
\pstThreeDLine[linecolor=red](0.,2.666666667,1)(0.20,2.656666667,1)(0.40,2.626666667,1)(0.60,2.576666667,1)(0.80,2.506666667,1)(1.00,2.416666667,1)(1.20,2.306666667,1)(1.40,2.176666667,1)(1.60,2.026666667,1)(1.80,1.856666667,1)(2.00,1.666666667,1)(2.20,1.456666667,1)(2.40,1.226666667,1)(2.60,0.9766666668,1)(2.80,0.7066666668,1)(3.00,0.4166666668,1)(3.20,0.1066666668,1)
%
\pstThreeDLine[linecolor=red](0.,5.333333332,2)(0.20,5.323333332,2)(0.40,5.293333332,2)(0.60,5.243333332,2)(0.80,5.173333332,2)(1.00,5.083333332,2)(1.20,4.973333332,2)(1.40,4.843333332,2)(1.60,4.693333332,2)(1.80,4.523333332,2)(2.00,4.333333332,2)(2.20,4.123333332,2)(2.40,3.893333332,2)(2.60,3.643333332,2)(2.80,3.373333332,2)(3.00,3.083333332,2)(3.20,2.773333332,2)(3.40,2.443333332,2)(3.60,2.093333332,2)(3.80,1.723333332,2)(4.00,1.333333332,2)(4.20,0.923333332,2)(4.40,0.493333332,2)(4.60,0.043333332,2)
\pstThreeDLine[linecolor=red](2.80,6.0400,3)(3.00,5.7500,3)(3.20,5.4400,3)(3.40,5.1100,3)(3.60,4.7600,3)(3.80,4.3900,3)(4.00,4.0000,3)(4.20,3.5900,3)(4.40,3.1600,3)(4.60,2.7100,3)(4.80,2.2400,3)(5.00,1.7500,3)(5.20,1.2400,3)(5.40,0.7100,3)(5.60,0.1600,3)
\pstThreeDLine[linecolor=red](4.40,5.826666668,4)(4.60,5.376666668,4)(4.80,4.906666668,4)(5.00,4.416666668,4)(5.20,3.906666668,4)(5.40,3.376666668,4)(5.60,2.826666668,4)(5.80,2.256666668,4)(6.00,1.666666668,4)
\pstThreeDLine[linecolor=red](5.40,6.043333332,5)(5.60,5.493333332,5)(5.80,4.923333332,5)(6.00,4.333333332,5)
\psdots(4,4.1) \uput[r](4,4.1){K}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

{\bf Partie A - Exploitation du graphique.}

\medskip

On considère le plan $(P)$ d'équation $z=6$.

\begin{enumerate}
\item %Sur la figure donnée, placer le point $A$ de coordonnées $(1 \,;1\,;6\,)$.
Voir la surface.
\item %Surligner en couleur la partie visible de l'intersection de la surface $(S)$ et du plan $(P)$ sur la figure donnée.
Voir la surface.
\end{enumerate}

\medskip

{\bf Partie B - Recherche d'un coût minimum.}

\medskip

%Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs.
%
%On appelle $x$ le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et $y$ le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois.
%
%Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par :
%
%\[C(x~;~y) = 3\left(x^2+y\right)\]
%
%On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l'entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût.

\begin{enumerate}
\item %La production mensuelle totale est de deux milliers de composants.
On a donc $x + y = 2$.

%Exprimer $C(x~;~y)$ en fonction de la seule variable $x$.
On a donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
C(x~;~y)&=&3\left(x^2+y\right)\\
x + y	&=&2
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
C(x~;~2 - x)&=&3\left(x^2+ 2 - x\right)\\
x + y		&=&2
\end{array}\right.$%

On a donc $C(x~;~2 - x)=3\left(x^2- x + 2 \right) = 3x^2  - 3x + 6$. (trinôme du second degré)
On note $f$ la fonction ainsi obtenue.

Vérifier que $f(x) = 3x^2 - 3x +6$.
\item %Montrer que sur l'intervalle $[0~;~1,5]$, la fonction $f$ admet un minimum atteint pour $x = 0,5$.
On a $C(x~;~2 - x) = 3\left[\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}\right]+ 6  = 3\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{21}{4}$.

La plus petite valeur de $C$, somme de deux carrés  est obtenue quand le carré $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$ est nul, donc pour $x = \dfrac{1}{2}$.

La fonction $f$ a pour minimum sur $[0~;~1,5]$, \: $f\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{21}{4} = 5,25$.
\item %Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l'entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production ? Quel est ce coût ?
D'après la question précédente en produisant 500 microprocesseurs et \np{1500} cartes mères le coût de production minimal sera de \np{5250}~\euro.
\item %Placer sur la figure donnée le point $K$ correspondant au coût minimum.
Voir sur la figure le point K.
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf\large Exercice 3} \hfill {\bf 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

%Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
%
%On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
%
%Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré \og secteurs repéré \fg.
%
%On note $p_1$ la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne $p_1 = 0,2$.
%
%On note $p_2$ la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne $p_2 = 0,3$.

\begin{enumerate}
	\item %Calculer la probabilité, notée $p_3$, que le secteur $C$ soit repéré.
On a donc $p_1 + p_2 + p_3 = 1 \iff p_3 = 1 - \left(p_2 + p_3 \right) = 1 - (0,2 + 0,3) = 1 - 0,5 = 0,5$.
%Une partie consiste à lancer la route deux  fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
%
%On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.
\item ~%Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A,\,B) est égale à $0,06$.
On peut obtenir les 9 issues différentes par un arbre pondéré :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\naput{0,2}}
	{\TR{$A$}\naput{0,2}
	\TR{$B$}\naput{0,3}
	\TR{$C$}\nbput{0,5}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\naput{0,3}}
	{\TR{$A$}\naput{0,2}
	\TR{$B$}\naput{0,3}
	\TR{$C$}\nbput{0,5}
	}
	\pstree{\TR{$C$~}\naput{0,5}}
	{\TR{$A$}\naput{0,2}
	\TR{$B$}\naput{0,3}
	\TR{$C$}\nbput{0,5}
	}	
}
\end{center}

En suivant la deuxième branche, on a donc : $p(A \cap B) = 0,2 \times 0,3 = 0,06$.
\item ~%Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles.
%Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité de tenir le couple (C,\,C) est égale à $0,25$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\footnotesize Secteur repéré \\\footnotesize au premier lancer}{\footnotesize Secteur repéré\\\footnotesize  au deuxième lancer} & A & B & C \\
\hline
A     &0,04		&0,06 	&0,10 \\\hline
B     &0,06  	&0,09	&0,15 \\\hline
C     &0,10     &0,15 	&0,25   \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item %Montrer que la probabilité de tenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à $0,25$.
La probabilité d'obtenir un couple ne contenant que les secteurs A ou B est égale à : 

$0,04 + 0,06 + 0,06 + 0,09 = 0,25$.
\item %De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

%$\bullet$ \quad obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
%
%$\bullet$ \quad obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
%
%$\bullet$ \quad d'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Gain (en euros) & $- 10$ & 1 & 8 \\\hline
Probabilité     &0,25  &0,50 &  $\np{0,25}$  \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
		\item %Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.
Le gain moyen est égal à l'espérance mathématique de la loi de probabilité dont le tableau est ci-dessus.
		
On a $g_{\text{moyen}} = - 10 \times 0,25 + 1 \times 0,5 + 8 \times 0,25 = - 2,50 + 0,5 + 2  = 0$.
		
Le jeu est donc équitable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf\large Exercice 4} \hfill {\bf 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définition intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^x-1\quad\text{ et }\quad g(x) = \dfrac{3}{\text{e}^x+1}
\]

%Les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
%
%Le plan est rapporté un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est représentée par la courbe ${\cal C}$ figurant ci-dessous.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.2,5.5)
\psgrid[gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-4,-3)(4,5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(4,5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](4.1,0){$x$}
\uput[r](0,5.1){$y$}
\uput[r](1.8,4.9){\blue $y= \text{e}^x-1$}
\uput[r](1.4,4.9){$ \blue {\cal C}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{1.7917}{2.718 x exp 1 sub}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{0}{4}{3 2.718 x exp 1 add div}
\psline[linewidth=1pt](4,4)\uput[dr](3.8,3.8){$T$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0.69,0)(0.69,1)(0,1)
\uput[d](0.69,0){$m$}\uput[l](0,1){$f(m)$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{0}{0.693147}{3 2.718 x exp 1 add div}
\psline(0.693147,0)(0,0)}
\end{pspicture*}
\psset{unit=1cm}
\end{center}
\end{figure}

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation de la tangente $T$ cette courbe au point $O$ origine du repère.
Une équation de $T$ est : $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

$\bullet~~$$f'(x) = \text{e}^x$, donc $f'(0) = \text{e}^0 = 1$ ;

$\bullet~~$$f(0) = 	\text{e}^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Donc une équation de $T$ est $y - 0 = 1(x - 0)$ soit $y = x$.	
		\item %Tracer la droite T dans le repère donné.
Voir plus bas.	
	\end{enumerate}
\item {\bf étude de la fonction $g$}
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g(0)$.
$g(0) = \dfrac{3}{\text{e}^0+1} = \dfrac{3}{1+1} = \dfrac{3}{2} = 1,5$.	
		\item %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.	
%En donner une interprétation graphique.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x + 1 = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$.

Ce résultat signifie géométriquement que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la représentation graphique de $g$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Étudier les variations de la fonction gestion sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		Sur $[0~;~+\infty[$, \: $g$ est dérivable et sur cet intervalle :
		
		$g'(x) = - \dfrac{3 \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$.
		
	Le dénominateur est positif, donc $g'(x)$ est du signe du numérateur et comme quel que soit $sx$, $\text{e}^x > 0$, on a finalement $g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur $[0~;~+\infty[$ de $g(0) = 1,5$ à $0$.
		\item %Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ dans le repère donné.
Voir le tracé en rouge.
	\end{enumerate}
\item La lecture graphique montre que l'équation $f(x) = g(x)$ admet dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ unique solution, notée $m$.
	\begin{enumerate}
		\item %Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées $(m~;~f(m))$.
	Voir le dessin ci-dessous.
		\item %Prouver, par le calcul, que $m = \ln (2)$.
		Le point commun aux deux courbes a une abscisse $m$ qui vérifie :
		
		$f(m) = g(m) \iff \text{e}^m - 1  = \dfrac{3}{\text{e}^m + 1} \iff \left(\text{e}^m - 1 \right)\left(\text{e}^m + 1 \right) = 3 \iff \text{e}^{2m} - 1  = 3 \iff $
		
$ \text{e}^{2m} = 4 \iff \left(\text{e}^{m} \right)^2 = 2^2 \iff \text{e}^{m} = 2 \iff m = \ln 2$ par croissance de la fonction logarithme népérien.
	\end{enumerate}
\item On considère le nombre suivant : \[{\cal A} = \int_{0}^{\ln(2)} g(x) \, \text{d}x\]
	\begin{enumerate}
		\item %Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire, en en unités d'aires, est égale à 	${\cal A} $.
Voir le graphique
		\item %Soit la fonction véritable $G$	définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
		 
\[G(x) = 3x - 3 \ln \left(\text{e}^x+1\right)\]

%Montrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$.
$G$ est dérivable sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$G'(x) = 3 - 3 \times \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{3\left(\text{e}^x + 1 \right) - 3\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{3}{\text{e}^x + 1 } = g(x)$.

Ce résultat montre que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$.
		\item %Calculer ${\cal A} $.
On a donc ${\cal A}  = G(\ln 2) - G(0) = \left[3\ln 2 - 3 \ln \left(\text{e}^{\ln 2}+1\right) \right] - \left[3\times 0  - 3 \ln \left(\text{e}^0 + 1\right) \right] = 3\ln 2 - 3 \times 3 + 3 \times 2 = 3\ln 2 - 3\ln 3 + 3\ln 2 = 6\ln 2 - 3\ln 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}