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% Sujet aimablement fourni par Arnaud Crouzet
% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet  des collèges }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Asie juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%On donne les nombres suivants : 
%	  	 
%A $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{15} \quad \text{B} = \dfrac{6 \times  10^{-2} \times 5 \times 10^2}{1,5 \times  10^{-4}}\quad \text{et} \quad  \text{C} = \sqrt{12} -  5\sqrt{3}  + 2\sqrt{48}$.
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour les trois questions suivantes, on écrira au moins une étape de calcul.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
A $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{15} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \times  \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} = - \dfrac{2}{4}= - \dfrac{1}{2} = - 0,5$. 
\item %Calculer B et donner le résultat sous forme scientifique.
$\text{B} = \dfrac{6 \times  10^{-2} \times 5 \times 10^2}{1,5 \times  10^{-4}} = 20 \times 10^{- 2 + 2 + 4} = 20 \times 10^4 = 2 \times 10^5$. 
\item %Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
$\text{C} = \sqrt{12} -  5\sqrt{3}  + 2\sqrt{48} = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 2 \times 4 \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule est exacte.}
%
%\medskip
% 
%Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.15cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
%\multicolumn{2}{c|}{}&Proposition 1 &Proposition 2 &Proposition 3\\ \hline 
%1&\begin{tabular}{l} L'expression $(2x - 5)^2$\\
%a pour forme développée :\\
%\end{tabular}&$4x^2 -25$& $4x^2 - 20x - 25$&$4x^2 - 20x + 25$\\ \hline
%2 &\begin{tabular}{l}L'expression $9x^2 - 144$\\
%a pour forme factorisée :\\ \end{tabular}&$(3x - 12)(3x + 12)$ &$(3x -12)^2$ &$(9x - 12)(9x + 12)$ \\ \hline
%3&\begin{tabular}{l}L'équation $- 3x + 7 = 0$\\
%a pour solution :\\
%\end{tabular}&$\dfrac{- 7}{3}$&$\dfrac{7}{3}$&$\dfrac{- 3}{7}$\\ \hline 
%4&\begin{tabular}{l}La partie en gras représente\\
% les solutions de l'inéquation\\
%$5x + 3 \geqslant 2x + 9$\\ \hline
%\end{tabular}&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
%\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{[-}(2,0)(4,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}\multirput(-0.5,0)(0.25,0){10}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
%\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{-]}(-0.5,0)(2,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}\multirput(2,0)(0.25,0){8}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
%\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{]-}(1,0)(4,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\multirput(-0.5,0)(0.25,0){6}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $(2x - 5)^2 = 4x^2 + 25 - 20x$.
\item $9x^2 - 144 = (3x)^2 - 12^2 = (3x + 12)(3x - 12)$

\emph{Remarque } : on peut également factoriser en $9(x + 4)(x - 4)$.
\item $- 3x + 7 = 0$ ou $7 = 3x$ ou $\dfrac{7}{3} = x$.
\item $5x + 3 \geqslant 2x + 9$ ou $3x \geqslant 6$ et $x \geqslant 2$. C'est la proposition 2. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
%Dans un magasin, tous les articles d'une même catégorie sont au même prix. 
%
%Pierre et Clothilde décident d'y acheter des DVD et des bandes dessinées.
%
%Ils possèdent chacun 75~\euro. Pierre achète un DVD et 4 bandes dessinées; il lui reste 14,50~\euro.
% 
%Clothilde dépense 73,50~\euro{} pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
% 
%Calculer le prix de chaque article. 
Soit $d$ le prix d'un DVD et $b$ le prix d'une BD. On a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
d + 4b	&=&75 - 14,5\\
2d + 3b	&=&73,5
\end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{l c l}
d + 4b	&=&60,5\\
2d + 3b	&=&73,5
\end{array}\right.$

De la première équation on déduit que $d = 60,5 - 4b \quad (1)$ et en substituant dans la deuxième équation :

$2(60,5 - 4b) + 3b = 73,5$ ou $121 - 8b + 3b = 73,5$ ou $121 - 73,5 = 8b - 3b$, c'est-à-dire $47,5 = 5b$ et finalement $b = \dfrac{47,5}{5} = 9,5$.

En remplaçant dans (1) : $d = 60,5 - 4 \times 9,5 = 60,5 - 38 = 21,5$.

Une bande dessinée coûte 9,50~\euro{} et un DVD 2,50~\euro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\parbox{0.45\linewidth}{On considère la figure ci-contre :
% \begin{enumerate}
%\item Montrer que le triangle ABO est rectangle. 
%\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
%\item Le triangle OCD est-il rectangle? Justifier.
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\pspolygon(0,4)(6.3,2)(5.7,0)(0.5,5.7)
%\uput[dl](0,4){A} \uput[ur](6.3,2){C} \uput[dr](5.7,0){D} \uput[ur](0.5,5.7){B} \uput[ur](2.9,3){O}
%\rput(0,4.85){3,6}\rput(1.8,4.5){6}\rput(4.6,2.7){6}\rput(4.1,1.4){7,5}\rput(1.4,3.2){4,8} 
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item $\text{OB}^2 = 6^2 = 36$ ; $\text{OA}^2 + \text{AB}^2 = 4,8^2 + 3,6^2 = 23,04 + 12,96 = 36$.

On a donc $\text{OB}^2 = \text{OA}^2 + \text{AB}^2$ ce qui montre d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle OAB est rectangle en A.
\item $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{4,8}{6} = 0,8$ et    $\dfrac{\text{OB}}{\text{OD}} = \dfrac{6}{7,5} = 0,8$.

On a donc $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OD}}$, donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\item (CD) est parallèle à (AB) qui est perpendiculaire à (AC), donc (CD) est elle aussi perpendiculaire à (AC) : le triangle OCD est rectangle en C. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
%Lors d'une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l'échelle.
% 
%Le pied P de l'échelle est situé sur le camion à 1,5~m du sol et à 10~m de l'immeuble. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(15,5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(2,4.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.3,0.3)(8.1,0.3)(8.1,0.7)(5.1,0.7)(5.1,1.4)(4.3,1.4)
%\uput[d](2,0){S}\uput[dr](2,0.6){R}\uput[ur](7.3,0.7){P}\uput[ur](2,3.9){F}
%\psline(0,0)(15,0)
%\pscircle(4.8,0.2){0.2}\pscircle(6.9,0.2){0.2}\pscircle(7.5,0.2){0.2}
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.75pt](2,0.7)(7.3,0.7)
%\psline[linewidth=1.75pt](7.3,0.7)(2,3.9)
%\uput[r](9,4.5){\emph{Le dessin n'est pas réalisé à l'échelle.}}
%\uput[r](9,1.5){FS = 18 m}
%\uput[r](9,2.5){RS = 1,5 m}
%\uput[r](9,3.5){RP = 10~m}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %D'après les informations ci-dessus, déterminer la longueur RF.
On a $\text{RF} = \text{FS} -  \text{RS} = 18 - 1,5 = 16,5$~m.  
\item %Déterminer l'angle que fait l'échelle avec l'horizontale, c'est-à-dire $\widehat{\text{FPR}}$, arrondi à l'unité.
Dans le triangle rectangle FPR, on a $\tan \widehat{\text{FPR}} = \dfrac{\text{FR}}{\text{PR}} = \dfrac{16,5}{10} = 1,65$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{FPR}} \approx 58,78$ soit environ59\degres. 
\item %L'échelle a une longueur maximale de 25 mètres.
 
%Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F ?
Dans le triangle FPR rectangle en R le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{PF}^2 = \text{PR}^2 + \text{RF}^2 = 10^2 + 16,5^2 = 100 + 272,25 = 372,25$.

Donc PF $ = \sqrt{372,25} \approx 19,29 < 25$ ; donc l'échelle est assez longue. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Problème \hfill 12 points}

\medskip
  
%\emph{On rappelle les formules suivantes :}
% 
%\emph{Périmètre d'un cercle de rayon} $R$ :  $2\pi R$ 
%
%\emph{Aire d'un disque de rayon} $R$ :  $\pi R^2$
% 
%\emph{Volume d'un cône :}  $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Un cocktail sans alcool est préparé avec 8~cL de jus d'abricot, 6~cL de jus d'ananas, 2~cL de jus de citron vert et 2~cL de sirop de cerise.
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la proportion de jus d'abricot dans ce cocktail ?
La proportion de jus d'abricot est $\dfrac{8}{8 + 6 + 2 + 2} = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9} \approx  0,44$ ou 44\,\%. 
\item %Pour préparer un pichet contenant 2,7~litres de ce cocktail, quel quantité de jus d'abricot faut-il prévoir ?
Le pichet contient 270~cL ; on peut donc y mettre $\dfrac{270}{18} = \dfrac{30}{2} = 15$~cocktails. 

Il faudra donc $15 \times 8 = 120$~cL de jus d'abricot.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%\parbox{0.6\linewidth}{Lors d'une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d'un cône de révolution.
% 
%Le bord du verre est un cercle de rayon OC = 5,9 cm. 
%
%Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
% 
%La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm. 
%
%\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}}\hfill
%\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,4.5)
%\psellipse(2.5,0.2)(1.15,0.2)
%\psellipse(2.5,3.7)(2.45,0.55)
%\psellipse[linestyle=dashed](2.5,2.7)(1.25,0.3)
%\psline(0.2,3.5)(2.5,1.7)(4.8,3.5)
%\psline(2.5,1.7)(3.8,3.22)(2.5,3.7)
%\psline[linestyle=dashed](2.5,1.7)(3.18,2.45)(2.5,2.7)
%\uput[dl](2.5,1.7){S}\uput[u](2.5,3.7){O}\uput[ur](3.7,3.3){C}
%\uput[l](2.5,2.7){O$'$}\uput[u](3.15,2.4){C$'$}
%\psline(2.5,0.2)(2.5,3.7)
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer, en cm$^3$, le volume de ce verre, arrondi à l'unité.
		Le volume du verre est: $\dfrac{\pi \times 5,9^2 \times 6,8}{3} = \dfrac{236,708\pi}{3} \approx 247,88$ soit environ 248~cm$^3$.
		\item %En déduire que la contenance de ce verre est d'environ 25~cL.
248~cm$^3 = 0,248$~dm$^3 = 0,248$~L soit 24,8~cL donc environ 25~cL.		 
	\end{enumerate}
%	\emph{On utilisera cette valeur dans la suite du problème.}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
		 
%On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO$'$ dont la base est le disque de rayon O$'$C$'$. On considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre.
 
%Calculer le volume de cocktail contenu dans chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près.
Le rayon et la  hauteur du cône formé par le cocktail sont multipliés par  $\dfrac{4}{5} = 0,8$ ; comme la rayon est utilisé deux fois le volume du cocktail est celui du verre multiplié par $0,8^3$, soit $25 \times 0,8^3 = 12,8$~cL donc environ 13~cL. 
		\item %43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu'en moyenne, chacune d'elles consommera 3~verres, 20~litres de cocktail suffiront-ils ?
Seront bus : $43 \times 3 = 129$~cocktails de 13~cL chacun. Il faudra donc$129 \times 13 = \np{1677}$~cL soit 16,77~L donc moins que les 20~L.
	\end{enumerate} 
\item %Le graphique fourni en annexe  représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en fonction de la hauteur de liquide. 
	\begin{enumerate}
		\item %Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide ? Justifier la réponse.
La réponse est non  : comme on l'a vu si la hauteur est multipliée par $k$, le volume est multiplié par $k^3$.

Le graphique n'est pas celui qui correspond à une fonction linéaire c'est-à-dire une droite contenant l'origine. 
		\item %Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer : 
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] %Le volume de cocktail si la hauteur de liquide atteint 3~cm.
Le volume est légèrement supérieur à 2~cL. 
\item[$\bullet~$] %La hauteur de liquide si le volume servi est 17~cL.
La hauteur du liquide est légèrement inférieure à 6~cm.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\bigskip

\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Problème : partie 2  : question 3}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(8,26)
\uput[d](8,0){$h$ (cm)} \uput[r](0,26){Volume en cL}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.8}{0.08 x 3 exp mul}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,26)}
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n,26)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(8,26)
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](3,0)(3,2.16)(0,2.16)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,17)(5.95,17)(5.95,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}