%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
%Corrigé de
%Sébastien.rabault@ac-poitiers.fr
%Merci de me signaler toute erreur.
% et Arnaud Crouzet pour l'exercice de spécialité
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\veccc}[3]{\left(\begin{array}{c} #1 \vspace*{6pt} \\ #2 \vspace*{6pt} \\ #3 \vspace*{6pt} \end{array} \right)}
%
\setlength{\hoffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
 
\thispagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Asie 
20 juin 2012~\decofourright }}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il est évident que le point de coordonnées $(1~;~0~;~-5)$ appartient à $\mathcal{D}$ mais pas à $\mathcal{P}$. Donc, si parallélisme il y a, il est strict.

La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ si, et seulement si, un vecteur directeur $\vect{d}$ de $\mathcal{D}$ est orthogonal à un vecteur normal $\vect{n}$ au plan $\mathcal{P}$. Grâce aux équations, on a :

\[\vect{d} \veccc{-2}{1}{-4} \text{ et } \vect{n}\veccc{3}{2}{-1}.\]
 
Le repère est orthonormé donc : $\vect{d}\bot\vect{n} \Longleftrightarrow x_{\vect{d}}\times x_{\vect{n}}+y_{\vect{d}}\times y_{\vect{n}}+z_{\vect{d}}\times z_{\vect{n}}=0$.\\
Ce que l'on vérifie facilement.\vspace{0,1cm}\\
Ainsi : \fbox{\textbf{l'affirmation \no 1 est vraie}}.

\medskip

%
\item La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale, d'après la formule du cours, à :

\[d\left(A;\mathcal{P}\right)=\dfrac{\left|4\times 1-9-0 +3\right|}{\sqrt{4^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{18}}\ne \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Ainsi : \fbox{\textbf{l'affirmation \no 2 est fausse}}.

\medskip

%
\item  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{- 2x} = 0 \Longrightarrow \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=3 \Longrightarrow $ la droite d'équation $y = 3$ est une asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.\\
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^{- 2x} = +\infty \Longrightarrow \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=0 \Longrightarrow $ la droite d'équation $y=0$ est une asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$.\vspace{0,1cm}\\
Ainsi : \fbox{\textbf{l'affirmation \no 3 est vraie}}.

\medskip

%
\item  Considérons le réel $F\left(1,5\right) = \displaystyle\int_{1}^{1,5} (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t$.\vspace{0,1cm}\\
La fonction $t\longmapsto (2 - t)\text{e}^{- t}$ est évidemment continue et strictement positive sur l'intervalle d'intégration $[1;1,5]$. Donc, d'après théorème du cours, on en conclut que $\displaystyle\int_{1}^{1,5} (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t > 0~~ \emph{ id est }$

$F\left(1,5\right)\not\leqslant 0$.

Ainsi : \fbox{\textbf{l'affirmation \no 4 est fausse}}.

\medskip

%
\item  On va effectuer une intégration par parties avec :

\[\left\{\begin{array}{cc}
u'(t)=t^2~~&;~~u(t)=\dfrac{t^3}{3}\vspace{0,1cm}\\
v(t)=\ln(t)~~&;~~v'(t)=\dfrac{1}{t}
\end{array}\right.\]

Et on a bien le droit puisque toutes les fonctions ($u$, $u'$, $v$, $v'$) sont continues sur l'intervalle d'intégration $[1;\text{e}]$ (relire les hypothèses du théorème d'intégration par parties). Par suite :\vspace{0,1cm}\\
$I = \left[\dfrac{t^3}{3}\ln(t)\right]_1^\text{e}-\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \frac{t^3}{3}\times\frac{1}{t}\:\text{d}t=\dfrac{\text{e}^3}{3}\ln(\text{e})-0-\left[\dfrac{t^3}{9}\right]_1^\text{e}=\dfrac{\text{e}^3}{3}-\dfrac{\text{e}^3}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{2\text{e}^3 + 1}{9}$.\vspace{0,1cm}

Ainsi : \fbox{\textbf{l'affirmation \no 5 est vraie}}.\vspace{0,5cm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

Enseignement obligatoire
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\left|z_{\text{A}}\right|=\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+1^2}=2$.\vspace{0,1cm}\\
					$z_{\text{A}}=2\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\text{i}\dfrac{1}{2}\right)=\boxed{2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}=z_{\text{A}}}$
		\item $z_{\text{A}_1}=\overline{z_{\text{A}}}=2\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.\\
		D'autre part, le cours nous donne la formule de la rotation $r$ :
		$$r(z)=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\left(z-z_\text{O}\right)+z_\text{O}~~\emph{ id est }~~r(z)=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}z$$
		Par suite, on obtient : $$z_{\text{B}}=r\left(z_{\text{A}_1}\right)=2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}=2\text{e}^{-\text{i}\frac{4\pi}{6}}=\boxed{2\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}=z_{\text{B}}=-1-\text{i}\sqrt{3}}$$
	\end{enumerate} 
%
%
%
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\text{OA}=\left|z_{\text{A}}\right|=\left|\overline{z_{\text{A}}}\right|=\text{OA}_1$.\vspace{0,1cm}\\
Comme B est l'image de A$_1$ par la rotation de centre O (isométrie), on a : $\text{OA}_1=\text{OB}$.\vspace{0,1cm}\\
		\fbox{Le triangle est isocèle en O}.\vspace{0,1cm}\\
Mais les lignes qui précèdent sont rendues inutiles par ce qui suit :	$$z_{\text{B}}=-1-\text{i}\sqrt{3}=i\left(-\sqrt{3}+\text{i}\right)=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_{\text{A}}\Longrightarrow \text{B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle }\dfrac{\pi}{2}. $$
		\fbox{Le triangle est isocèle rectangle en O}.%\vspace{0,1cm}\\
			\item On a :\\ $\left(\vect{w};\vect{\text{OA}}\right)=\left(\vect{w};\vect{u}\right)+\left(\vect{u};\vect{\text{OA}}\right)=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{12}$.\\
Et :\\ 	$\left(\vect{w};\vect{\text{OB}}\right)=\left(\vect{w};\vect{u}\right)+\left(\vect{u};\vect{\text{OB}}\right)=-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{9\pi}{12}$.\\
Conclusion :\fbox{$\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}\right)$}.\vspace{0,1cm}\\
		 $\Delta$ est la bissectrice passant par le sommet du triangle isocèle. Donc $\Delta$ est aussi la médiatrice du segment opposé (cf programme de géométrie du collège). On en déduit évidemment que\vspace{0,1cm}\\
		  \fbox{les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$}.\vspace{0,1cm}
	\end{enumerate} 
%
\item $z_{\text{B}_1}=\overline{z_{\text{B}}}=2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z_{\text{B'}}= r\left(z_{\text{B}_1}\right)=2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}.\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}=2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}\Longrightarrow \boxed{\text{B}'=\text{A}}$
%
\item L'image de O par la symétrie d'axe $\Delta$ est lui-même puisque O$\in\Delta$. Comme la symétrie axiale est une isométrie, on en déduit que le segment [OC] a la même longueur que son image [OD]. S'il fallait le démontrer, c'est fait : OCD est isocèle en O.\\
On en déduit puisque $\Delta$ est la médiatrice du segment [CD] (par définition de la symétrie axiale) qu'elle est aussi la bissectrice de l'angle Ô.\\
Conclusion : \fbox{D est l'image de C par la rotation r$_1$ de centre O et d'angle $2\left(\vect{\text{OC}};\vect{w}\right)$}.\vspace{0,1cm}\\
$\left(\vect{\text{OC}};\vect{w}\right)=\left(\vect{\text{OC}};\vect{u}\right)+\left(\vect{u};\vect{w}\right)=-\text{arg}\left(z_\text{C}\right)+\dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{\pi}{6}$.\\
On en déduit que :

\[r_1(z)= \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{6}}z \Longrightarrow z_\text{D}=r_1\left(z_\text{C}\right)=\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{6}}.2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \Longrightarrow \boxed{z_\text{D}=2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}}.\]

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une similitude directe.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a :
		
$\quad \bullet $ \(z_{ A}=-\frac{1}{2}+ \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)+ \text{i} \sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\text{e}^{\frac{2i \pi
}{3}}\).

$\quad \bullet $ \(z_{B} = -\sqrt{3} + \text{i} = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\text{i}}{2}\right) = 2\left(\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right) + \text{i} \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right)\right) = 2\text{e}{\frac{5i \pi }{6}}\).
		\item Voir figure.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La transformation $f$ est une similitude directe donc elle admet une écriture complexe de la forme 
		
\(z' = az + b\).

Comme \(f(A) = B\) et \(f(O) = O\), les complexes $a$ et $b$ vérifient le système \(\begin{cases}
 0 = a\times 0 + b \\
 2\text{e}{\frac{5\text{i} \pi }{6}}=a \text{e}^{\frac{2i \pi }{3}}+b
\end{cases}\) donc 

\(\begin{cases}
 b = 0 \\
 a = \frac{2\text{e}{\frac{5\text{i} \pi }{6}}}{\text{e}^{\frac{2\text{i} \pi }{3}}}= 2\text{e}^{\text{i} \left(\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}\right)} = 2\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}
\end{cases}\).\\
Donc l'écriture complexe de $f$ est \(z' = 2\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}z\).
		\item On sait que $f$ est une similitude directe de centre $O$.\\
De plus on sait que le rapport de $f$ est donné par \(\left.\left|2\text{e}^{\frac{\text{i} \pi }{6}}\right| = |2|\left|\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}\right.\right|=2\)
puisque \(\left|\text{e}^{\text{i}\theta }\right|= 1\) quel que soit le réel $\theta $ et que l'angle de $f$ est donné par \(\arg \left(2\text{e}^{\frac{\text{i}\pi }{6}}\right)=\frac{\pi }{6}\).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une transformation}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La transformation $g$ est la composée de $f$ suivie de \emph{ s}.
		
Or l'écriture complexe de $f$ est \(z'=2\text{e}^{\frac{\text{i} \pi }{6}}z\) et l'écriture complexe de $s$ est \(z'= \overline{z}\).

Par suite l'écriture complexe de \(g = s \circ f\) est \(z' = s\left(2\text{e}^{\frac{\text{i} \pi}{6}}z\right) = \overline{2\text{e}{\frac{\text{i} \pi }{6}}z}= \overline{2}\times \overline{\text{e}{\frac{\text{i} \pi }{6}}}\times \overline{z}=2\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}\overline{z}\).
		\item On a \(z_{A}=\text{e}^{\frac{2\text{i} \pi }{3}}\) et \(g(A)= C\) donc \(z_{ C}=z_{A'} = 2\text{e}^{-\frac{\text{i} \pi }{6}}\overline{z_{ A}} = 2\text{e}^{-\frac{\text{i}
\pi }{6}}\text{e}^{-\frac{2i \pi }{3}} = 2\text{e}^{-\frac{5\text{i} \pi }{6}}\).\\
On a \(g(C) = D\) d'où \(z_{D}=z_{C'} = 2\text{e}^{-\frac{\text{i} \pi }{6}}\overline{z_{ C}} = 2\text{e}{-\frac{\text{i} \pi }{6}}\times \overline{2\text{e}^{-\frac{5\text{i}
\pi}{6}}} = 2\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}\times 2\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}} = 4\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right)}= 4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\).

Voir figure.
		\item On a \(\dfrac{z_{ C}}{z_{A}} = \dfrac{2\text{e}^{-\frac{5\text{i} \pi }{6}}}{\text{e}^{\frac{2\text{i} \pi }{3}}}=2\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{5\pi }{6}-\frac{2\pi }{3}\right)} = 2\text{e}^{-\frac{3\text{i}\pi}{2}} = 2\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{2}} = 2\text{i}\).\\
Par suite comme \(\left(\vect{OA}~;~\vect{OC}\right)=\arg \left(\frac{z_{C}-z_{O}}{z_{A}- z_{O}}\right)=\arg \left(\frac{z_{C}}{z_{A}}\right)\) et comme \(\arg \left(\frac{z_{C}}{z_{A}}\right) = \arg (2\text{i})=\dfrac{\pi }{2}\),
on obtient \(\left(\vect{OA}~;~\vect{OC}\right) = \dfrac{\pi }{2}\): le triangle
\emph{ OAC} est rectangle en \emph{ O}.
		\item On a \(\dfrac{z_{D}}{z_{A}}=\dfrac{4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}}{\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}}= 4 \in \mathbb{R}^*\).\\
Alors comme \(\frac{z_{\vect{OD}}}{z_{\vect{OA}}}= \dfrac{z_{D}- z_{O}}{z_{A}-z_{O}}=\dfrac{z_{D}}{z_{A}} = 4\) on en déduit \(z_{\vect{OD}}= 4z_{\vect{OA}}\) d'où \(\vect{OD}=4 \vect{OA}\).\\
Les vecteurs \(\vect{OD}\) et \(\vect{OA}\) sont donc colinéaires.
	\end{enumerate}
\item L'écriture complexe de la composée \(g\circ g\) est \(z' = g(g(z)) = g\left(2\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}\overline{z}\right) = 2\text{e}^{-\frac{\text{i}
\pi }{6}}\overline{2\text{e}^{-\frac{\text{i} \pi }{6}}}\overline{z} = 4\text{e}^{-\frac{\text{i} \pi }{6}}\text{e}^{\frac{\text{i} \pi }{6}}\overline{z}= 4z\).

Par conséquent, comme \(4\in \left.\mathbb{R}^*\right\backslash \{1\}\), on en déduit que la transformation \(g \circ g\) est une homothétie de rapport 4.

Remarquons que \(g(g(O))=g(O)=O\) donc \emph{O} est l'unique point invariant de cette homothétie, c'est-à-dire son centre.

Donc \(g \circ  g\) est l'homothétie de centre \emph{ O} et de rapport 4.
\end{enumerate}
\pmb{ Figure :}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(-3,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1;120)(2;150)(2;-150)(4;120)%ABCD
\psline(4;120)(0;0)(1;120)(2;-150)(0;0)(2;150)
\uput[dr](0;0){$O$} \uput[ur](1;120){$A$} \uput[ul](2;150){$B$} \uput[dl](2;-150){$C$} \uput[ul](4;120){$D$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}
  
\begin{enumerate}
\item $~$\vspace{-1cm}

\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(0,-2.5)(10,2.5)
%\psline(4,2) \psline(4,-2)
%\rput(4.5,2){{$N$}} \uput[u](2,1){$0,7$}
%\rput(4.5,-2){{$B$}} \uput[u](2,-2.3){$0,3$}
%\psline(5,2)(9,3) \psline(5,2)(9,1)
%\psline(5,-2)(9,-1) \psline(5,-2)(9,-3)
%\rput(10,3){{$N$}} \uput[u](7,2.5){$0,7$}
%\rput(10,1){{$B$}}\uput[u](7,0.3){$0,3$}
%\rput(10,-1){{$N$}} \uput[u](7,-1.7){$0,7$}
%\rput(10,-3){{$B$}}\uput[u](7,-3.8){$0,3$}
%\end{pspicture}
\vspace{0,4cm}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N$} \taput{0,7}}
	{\TR{$N$} \taput{0,7}
	\TR{$B$} \tbput{0,3}
	}
\pstree{\TR{$B$} \tbput{0,3}}
	{\TR{$N$} \taput{0,7}
	\TR{$B$} \tbput{0,3}
	}	
}
\end{center}
D'où : $p = P\left(G\right)=0,7\times0,3+0,3\times0,7\Rightarrow \boxed{p=0,42}$.
 
\item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. 
	\begin{enumerate}
		\item L'expérience aléatoire a deux issues :
\begin{center}
\begin{itemize}
	\item succès : le joueur gagne avec une probabilité de $p=0,42$
	\item échec : le joueur perd avec une probabilité de $q=1-p=0,58$
\end{itemize}
\end{center}
		On répète cette expérience $n$ fois de manière indépendante. Donc, \textbf{la variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \boldmath $n$ et $p$ \unboldmath}. 
		\item $p_{n}=1-P(X=0)=\boxed{1-0,58^n=p_{n}} \Longrightarrow p_{10}=1-0,58^{10}\approx\boxed{0,996\approx p_{10}}$
		\item  $1-0,58^n\geqslant 0,99 \Rightarrow 0,01 \geqslant 0,58^n \Rightarrow \ln(0,01) \geqslant \ln\big(0,58^n\big) \Rightarrow \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,58)} \leqslant n  \Rightarrow$
		
$\boxed{\textbf{le joueur doit jouer au moins 9 parties}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $~$\vspace{-0,7cm}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(10,2.5)
\psline(4,2) \psline(4,-2)
\rput(4.5,2){{$N$}} \uput[u](2,1){$\frac{k}{k+3}$}
\rput(4.5,-2){{$B$}} \uput[u](2,-2.3){$\frac{3}{k+3}$}
\psline(5,2)(9,3) \psline(5,2)(9,1)
\psline(5,-2)(9,-1) \psline(5,-2)(9,-3)
\rput(10,3){{$N$}} \uput[u](7,2.5){$\frac{k}{k+3}$}
\rput(10,1){{$B$}}\uput[u](7,0.2){$\frac{3}{k+3}$}
\rput(10,-1){{$N$}} \uput[u](7,-1.7){$\frac{k}{k+3}$}
\rput(10,-3){{$B$}}\uput[u](7,-3.8){$\frac{3}{k+3}$}
\end{pspicture}\vspace{0,4cm}
\end{center}
		On en déduit que :
		$$p\left(Y_{k} = 5\right) =\dfrac{k}{(k + 3)}\times \dfrac{3}{(k + 3)}+\dfrac{3}{(k + 3)}\times \dfrac{k}{(k + 3)} \Longrightarrow \boxed{p\left(Y_{k} = 5\right) =\dfrac{6k}{(k + 3)^2}}$$
		\item d
$$\begin{array}{*{4}{|c}|}
\hline
y_{i} =    & -9 & -1 & +5 \\
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}P\left(Y_{k} = y_i\right) = & \dfrac{9}{(k + 3)^2} & \dfrac{k^2}{(k + 3)^2}  & \dfrac{6k}{(k + 3)^2} \\
\hline
\end{array}$$
\end{enumerate}
\item E$\left(Y_{k}\right) = -9\times \dfrac{9}{(k + 3)^2}+ (-1)\times \dfrac{k^2}{(k + 3)^2}+ 5\times \dfrac{6k}{(k + 3)^2}=\dfrac{-81-k^2+30k}{(k + 3)^2}=\dfrac{-(k-3)(k-27)}{(k + 3)^2}$\\
D'où :

\[\text{E}\left(Y_{k}\right)>0 \Longleftrightarrow k\in ]3~;~27[\]

\fbox{Le jeu est favorable au joueur pour $k \in ]3~;~27[$}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $~$\vspace{0,1cm}\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $u$&$v$ &$a$&$b$\\ \hline  
0 &4 &9&4&9\\ \hline 
1&6,5&6,964&6,5&6,964\\ \hline 
2&6,732&6,736&6,732&6,736\\ \hline
\end{tabularx}
%
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{Initialisation}
		
Pour $n = 0$, on a bien $u_0 > 0$ et $v_0 > 0$. L'hypothèse de récurrence est vérifiée pour $n = 0$.

\fbox{Hérédité}
		      
Supposons que pour $n \in \N$ : $u_n > 0$ et $v_n > 0$. Alors :\vspace{0,1cm}
		
		$u_n + v_n > 0 \Rightarrow \dfrac{u_n + v_n}{2}>0 \Rightarrow u_{n+1} > 0$\\
		$u_n^2 > 0 \text{ et } v_n^2 > 0 \Rightarrow u_n^2 + v_n^2 > 0 \Rightarrow \dfrac{u_n^2 + v_n^2}{2}>0 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{u_n^2 + v_n^2}{2}}>0  \Rightarrow v_{n + 1} > 0$
		
La proposition est donc vérifiée au rang $n+1$.

Ainsi, la proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie pour $n \geqslant 0$, elle est vraie au rang suivant : d'après le principe de récurrence, on en déduit que : \fbox{$u_n > 0$ et $v_n > 0$ pour tout $n \in \N$}.
		\item $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}- \left(\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\right)^2=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2}{4}- \dfrac{u_{n}^2 +2u_{n}v_{n}+ v_{n}^2}{4}=\dfrac{u_{n}^2 -2u_{n}v_{n}+ v_{n}^2}{4}=$
		
$\boxed{\left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2=v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}$.\vspace{0,2cm}
		
D'où, pour tout $n\in\N$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geqslant 0  \Rightarrow v^2_{n+1} \geqslant u^2_{n+1} \Rightarrow v_{n+1} \geqslant u_{n+1}  \Rightarrow v_n\geqslant u_n \text{ pour tout } n\in\N^* $.\vspace{0,1cm}

Par construction, $ v_0 \geqslant u_0 $.\vspace{0,1cm}

 Conclusion : $\boxed{v_n\geqslant u_n \text{ pour tout } n \in \N}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}- u_{n} = \dfrac{v_{n} - u_{n}}{2} \geqslant 0$ d'après la question précédente. 
		
\fbox{La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc croissante}. 
		\item $0 < u_n \leqslant v_n \Rightarrow u_n^2 \leqslant v_n^2 \Rightarrow u_n^2+v_n^2 \leqslant v_n^2+v_n^2 \Rightarrow \dfrac{u_n^2+v_n^2}{2} \leqslant v_n^2 \Rightarrow \boxed{v_{n+1}^2 \leqslant v_n^2} \Rightarrow v_{n+1} \leqslant v_n$ {\footnotesize{(car les éléments de la suite $v_n$ sont positifs)}}.\vspace{0,1cm}
		
		\fbox{La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc décroissante}.\vspace{0,1cm} 
\end{enumerate} 
\item On a montré que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $u_{n}$ est croissante donc $u_{0} \leqslant  u_{n}$ pour tout entier naturel $n$,
\item[$\bullet~~$] la suite $v_{n}$ est décroissante donc $v_{n} \leqslant v_{0}$ pour tout entier naturel $n$,
\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \leqslant v_{n}$.
\end{itemize}

On en déduit que pour tout entier naturel $n, u_{0} \leqslant u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant v_{0}$ d'où en particulier
$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n} &\leqslant& v_{0}\\
v_{n} &\leqslant& u_{0}
\end{array}\right.$

La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante majorée par $v_0$ donc, d'après théorème, elle est convergente.\vspace{0,1cm}

La suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante minorée par $u_0$ donc, d'après théorème, elle est convergente.\vspace{0,1cm}

\fbox{Il s'agit, vous l'aurez compris, de suites adjacentes, car on peut démontrer  que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(v_{n} - u_{n} \right) = 0$}.
\end{enumerate}
\end{document}