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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes

\begin{document}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie - Corrigé}}
\rfoot{\small{22 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Asie~\decofourright\\[8pt]22 juin 2017}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill {\normalsize Commun  à  tous les candidats} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Commun  à  tous les candidats}

\bigskip

Un protocole de traitement d'une maladie, chez l'enfant, comporte une perfusion longue durée d'un
médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée
par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $\cd 0~;~+ \infty\cd$ par :
$C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1 - \text{e}^{-\frac{a}{80} t}\right)$

\begin{list}{\textbullet}{oà¹}
\item $C$ désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,

\item $t$ le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,

\item $d$ le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,

\item $a$ un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.

\end{list}

%Le paramètre $a$ est spécifique à  chaque patient.
%
%\medskip
%
%En médecine, on appelle \og plateau \fg{} la limite en $+ \infty$ de la fonction $C$.
%
\bigskip

\subsection*{Partie A : étude d'un cas particulier}

\medskip

La clairance $a$ d'un certain patient vaut 7, et on choisit un débit $d$ égal à  $84$.

Dans cette partie, la fonction $C$ est donc définie sur $\cd 0~;~+ \infty\cd$ par : 
$C(t) =  12\left(1 - \e^{-\frac{7}{80} t}\right)$.

\begin{enumerate}
\item %à‰tudier le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $C$ est dérivable sur $\R$ et 
$C'(t)=12\left (0-\left (-\dfrac{7}{80}\right ) \e^{-\frac{7}{80}t}\right ) = \dfrac{21}{20}\e^{-\frac{7}{80}t} >0$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$, 

donc la fonction $C$ est strictement croissante sur $\cd 0~;~+\infty\cd$. 

\item% Pour être efficace, le plateau doit être égal à  15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
Le plateau est la limite de la fonction $C$ en $+\infty$.

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{t \to +\infty} -\dfrac{7}{80} t = -\infty\\[5pt]
\text{On pose } T=-\dfrac{7}{80}t\\[5pt]
\ds\lim_{T \to -\infty} \e^{T} = 0
\end{array}
\right \rbrace
\implies 
\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-\frac{7}{80}t}=0
$ donc $\ds\lim_{t \to +\infty} C(t)= \ds\lim_{t \to +\infty}  12\left(1 - \e^{-\frac{7}{80} t}\right) = 12$.

\smallskip

Le plateau devrait être égal à  15; il n'est que de 12 donc le traitement n'est pas adapté.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B : étude de fonctions}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0~;~+ \infty\cd$ par : 
$f(x) = \dfrac{105}{x} \left(1 - \e^{- \frac{3}{40}x}\right)$.

%Démontrer que, pour tout réel $x$ de  $]0~;~+ \infty[$, \:  $f'(x) = \dfrac{105g(x)}{x^2}$, oà¹ $g$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{3x}{40}\text{e}^{- \frac{3}{40}x}\ + \text{e}^{- \frac{3}{40}x} - 1$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\cg 0~;~+ \infty\cd$ comme produit de fonctions dérivables et

$f'(x)= 105\left (-\dfrac{1}{x^2}\right ) \times \left(1 - \e^{- \frac{3}{40}x}\right) + \dfrac{105}{x}\times \left ( 0 - \left ( -\dfrac{3}{40} \e^{-\frac{3}{40}x}\right )\right )
= \dfrac{105}{x^2} \left (  -1 + \e^{-\frac{3}{40}x} + \dfrac{3x}{40} \e^{\frac{3}{40}}\right )
= \dfrac{105\,g(x)}{x^2}$

oà¹ $g$ est la fonction définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par $g(x)=\dfrac{3x}{40}\e^{- \frac{3}{40}x}\ + \e^{- \frac{3}{40}x} - 1$.

\item  On donne le tableau de variation de la fonction $g$ :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{0} &    &    \\
g(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{-1} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

%En déduire le sens de variation de la fonction $f$.

%\emph{On ne demande pas les limites de la fonction $f$}.

$f'(x)= \dfrac{105\,g(x)}{x^2}$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$. 

D'après le tableau de variation de la fonction $g$, $g(x)<0$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$, donc $f'(x)<0$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ et donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\cg 0~;~+\infty\cd$.

\item%  Montrer que l'équation $f(x) = 5,9$ admet une unique solution sur l'intervalle [1~;~80].

%En déduire que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
%
%Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.

D'après la question précédente la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement décroissante sur  $\cd 1~;~80\cg$ de

$f(1) = 105\left(1 - \text{e}^{- \frac{3}{40}}\right) \approx 7,59$ à  $f(80) = \dfrac{105}{80}\left(1 - \e^{- 6}\right) \approx 1,31$.

Comme $5,9 \in \cd 1,31~;~7,59\cg$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique $\alpha \in \cd 1~;~80\cg$, tel que $f(\alpha) = 5,9$.

La calculatrice donne $f(8) \approx 5,92 >5,9$ et $f(9) \approx 5,73 < 5,9$, donc $8 < \alpha < 9$ ;

$f(8,1) \approx 5,902>5,9$ et $f(8,2) \approx 5,882<5,9$, donc $8,1 < \alpha < 8,2$.

%$f(8,10) \approx 5,902$ et $f(8,11) \approx 5,899$, donc $8,10< \alpha < 8,11$.

On a donc au dixième près $a \approx 8,1$.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie C : détermination d'un traitement adéquat}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d'être efficace, c'est-à -dire au plateau d'être égal à  $15$.
%Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance $a$ de ce patient. %à€ cette fin, on règle provisoirement le débit $d$ à  105, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.

%On rappelle que la fonction $C$ est définie sur l' intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1 - \text{e}^{-\frac{a}{80} t}\right)\]

\begin{enumerate}
\item On cherche à  déterminer la clairance $a$ d'un patient. Le débit est provisoirement réglé à  $105$.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer en fonction de $a$ la concentration du médicament $6$ heures après le début de la perfusion.
		Puisque $C(t) = \dfrac{105}{a}\left(1 - \e^{- \frac{a}{80}t} \right)$, on a :
		
		$C(6) = \dfrac{105}{a}\left(1 - \e^{- \frac{a}{80}\times 6} \right) = \dfrac{105}{a}\left(1 - \e^{- \frac{3}{40}a} \right) = f(a)$, d'après la question précédente.
		
		\item Au bout de $6$ heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang ; elle est égale à  $5,9$ micromole par litre.
		
%Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.
On a vu dans la dernière question de la partie précédente que l'équation $f(a) = 5,9$ admet une solution unique et que cette solution vaut environ $8,1$. 

On prendra donc $8,1$ comme valeur approchée de la clairance $a$ de ce patient.
	\end{enumerate}
\item  %Déterminer la valeur du débit $d$ de la perfusion garantissant l'efficacité du traitement.
On souhaite que $\dfrac{d}{a} = 15 \iff \dfrac{d}{8,1} = 15 \iff d = 15 \times 8,1 = 121,5$.

Le débit sera donc de $121,5$ micromole par heure  pour avoir un plateau égal à  15 et donc un traitement efficace.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill {\normalsize Commun  à  tous les candidats}  \hfill 3 points}
 
%\textbf{Commun  à  tous les candidats}

\bigskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: 
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
u_0 &1 \quad  \text{et, pour tout entier naturel } n,\\[3pt]
u_{n+1} & \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n.
\end{array}
\right.$

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n = (n + 1)u_n$.

\medskip

%\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item %La feuille de calcul ci-contre présente les valeurs des premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième.

%Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire  dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les  termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?
Il faut écrire en B3 la formule \texttt{=(A2+1)/(2*A2+4)*B2}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
On peut raisonnablement conjecturer que $v_n = \dfrac{1}{2^n}$ quel que soit $n \in \N$.
		\item %Démontrer cette conjecture. 
On a pour tout entier naturel $n$ :
		
$v_{n+1} = (n + 2)u_{n+1}$ et comme $u_{n+1} =\left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n$, on peut écrire :
		
$v_{n+1} = (n + 2)\left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n = (n + 2)\left(\dfrac{n+1}{2(n+2)}\right) u_n = \dfrac{n + 1}{2}u_n =  \dfrac{1}{2}\times (n + 1)u_n = \dfrac{1}{2}v_n$.

La relation $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$, montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite gémétrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = 1 \times u_0 = 1$.

On a donc pour tout entier naturel $n$, \: $v_n = \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{2^n}$.		
	\end{enumerate}
\item  %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$, \: $v_n = (n + 1)u_n \iff u_n = \dfrac{v_n}{n+1}$.

Or comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{n + 1} = 0$, on a par produit de limites :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0.\]
\end{enumerate}
%} \hfill
%\parbox{0.42\linewidth}{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C\\ \hline
%1 &$n$ 	&$u_n$ &$v_n$\\ \hline
%2 &0	& \np{1,00000}&\np{1,00000}\\ \hline
%3 &1 	&0,25000 &\np{0,50000}\\ \hline
%4 &2	&\np{0,08333} &\np{0,25000}\\ \hline
%5 &3 	&\np{0,03125} &\np{0,12500}\\ \hline
%6 &4 	&\np{0,01250} &\np{0,06250}\\ \hline
%7 &5 	&\np{0,00521} &\np{0,03125}\\ \hline
%8 &6 	&\np{0,00223} &\np{0,01563}\\ \hline
%9 &7 	&\np{0,00098} &\np{0,00781}\\ \hline
%10 &8 	&\np{0,00043} &\np{0,00391}\\ \hline
%11 &9	&\np{0,00020} &\np{0,00195}\\ \hline
%\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\normalsize Commun  à  tous les candidats} \hfill 4 points}
 
%\textbf{Commun  à  tous les candidats}

\bigskip

%Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. 
%
%Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. 
%
%Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. 
%
%Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On dispose de deux dés, identiques d'aspect, dont l'un est truqué de sorte que le 6 apparait avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient $6$.

\textbf{Affirmation 1} : la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à  $\dfrac{2}{3}$.

Chaque dé a une probabilité $\dfrac{1}{2}$ d'être choisi ; pour le dé truqué le 6 apparait avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ au lieu de $\dfrac{1}{6}$ pour le dé normal.

\begin{tabular}{@{} l l}
Soit: & $S$ l'évènement : \og le 6 est sorti \fg ;\\
		 & $T$ l'évènement : \og le dé est truqué \fg.
\end{tabular}

On a donc l'arbre de probabilités pondéré suivant :
\hspace{1cm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$T$}\naput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$S$}\naput{$\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{1}{2}$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$S$}\naput{$\frac{1}{6}$}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}
	}	
}

\vspace{1cm}

D'après la formule des probabilités totales, la probabilité d'apparition du 6 est donc:

$P(S) = P(T \cap S) + P(\overline{T} \cap S ) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{3}{6}  + \dfrac{1}{6}\right) =  \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Or $P_{S}(T) = \dfrac{P(T \cap S)}{p(S)} =\dfrac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{3}{4} \ne \dfrac{2}{3}$. 

\textbf{L'affirmation 1 est fausse.}

\item  Dans le plan complexe, on considère les points M et N d'affixes respectives $z_{\text{M}} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$  et $z_{\text{N}} = \dfrac{3 - \text{i}}{2 + \text{i}}$.

\textbf{Affirmation 2} : la droite (MN) est parallèle à  l'axe des ordonnées.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 
On a $z_{\text{M}} = 2\e^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\left (\cos \left(-\frac{\pi}{3} \right) + \i \sin \left(-\frac{\pi}{3} \right)\right )$.

M a donc pour abscisse la partie réelle de $z_{\text{M}}$, soit $2 \times \dfrac{1}{2} = 1$.

\item
On a $z_{\text{N}} = \dfrac{3 - \text{i}}{2 + \text{i}} = \dfrac{(3 - \text{i})(2 - \text{i})}{(2 + \text{i})(2 - \text{i})} = \dfrac{6 - 1 - 3\text{i} - 2\text{i}}{4 + 1} = \dfrac{5 - 5\text{i}}{5}  = 1 - \text{i}$.

N a donc pour abscisse la partie réelle de $z_{\text{N}}$, soit 1.

\end{list}

M et N ont la même abscisse : la droite (MN) est donc parallèle à  l'axe des ordonnées. 

\textbf{L'affirmation 2 est vraie.}
\end{enumerate}

Dans les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on se place dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace et l'on considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1+ t\\
y &=& 2,\\
z &=& 3 + 2t
\end{array}\right.  t \in \R$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  On considère les points A, B et C avec A$(-2~;~2~;~3)$, B (0~;~1~;~2) et C(4~;~2~;~0).

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\textbf{Affirmation 3} : la droite $d$ est orthogonale au plan (ABC).

La droite $d$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}(1~;~0~;~2)$.

$\vect{\text{AB}}(2~;~- 1~;~- 1)$ et $\vect{\text{AC}}(6~;~0~;~- 3)$ ne sont pas colinéaires car A, B et C ne sont pas alignés.

On a $\vect{u} \cdot \vect{\text{AB}} = 1 \times 2 + 0 \times (- 1) + 2 \times (- 1) = 2 - 2 = 0$ et

$\vect{u} \cdot \vect{\text{AC}} = 1 \times 6 + 0 \times 0 + 2 \times (- 3) = 6 - 6 = 0$.

%On suppose que les points A, B et C ne sont pas alignés, mais il est aisé de voir que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires, car $2 \times 3 = 6$ et $- 1 \times 3 \ne 0$.

 Un vecteur directeur de la droite $d$ est donc orthogonal à  deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), c'est donc un vecteur normal à  ce plan. 
 
\textbf{L'affirmation 3 est vraie.}

\item  On considère la droite $\Delta$ passant par le point D(1~;~4~;~1) et de vecteur directeur $\vect{v}(2~;~1~;~3)$.

\textbf{Affirmation 4} : la droite $d$ et la droite $\Delta$ ne sont pas coplanaires.

Deux droites sont coplanaires si elles sont soit parallèles, soit sécantes.

Les droites $d$ et $\Delta$ ont pour vecteurs directeurs respectifs  $\vect{u}(1~;~0~;~2)$ et $\vect{v}(2~;~1~;~3)$; ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les deux droites $d$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.

On regarde maintenant si elles sont sécantes.

M$(x~;~y~;~z)$ étant un point quelconque de $\Delta$ on obtient une équation paramétrique de $\Delta$ en traduisant la colinéarité : $\vect{\text{DM}} = t' \vect{v}$ par :
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x & 1+ 2t'\\
y & 4 + t',\\
z & 1 + 3t'
\end{array}\right.  t' \in \R$.

$d$ et $\Delta$ sont sécantes si et seulement si le système
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
1 + t & 1 + 2t'\\
2 & 4 + t'\\
3 + 2t & 1 + 3t'
\end{array}\right.$
admet une solution unique.

$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
1 + t & 1 + 2t'\\
2 & 4 + t'\\
3 + 2t & 1 + 3t'
\end{array}
\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
1 + t & 1 - 4\\
-2 & t'\\
3 + 2t & 1 - 6
\end{array}\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
1 + t & - 3\\
-2 & t'\\
3 + 2t &  -5
\end{array}\right. 
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
 t & -4\\
-2 & t'\\
t &  -4
\end{array}\right. $

Il existe donc un point commun à  ces deux droites, correspondant à  $t=-4$ pour la droite $d$, ou $t'=-2$ pour la droite $\Delta$; c'est  le point de coordonnées $(1-4~;~2~;~3+2\times (-4)) = (- 3~;~2~;~- 5)$. Les droites ayant un point commun sont sécantes donc coplanaires

\textbf{L'affirmation 4 est donc fausse.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill {\normalsize Commun  à  tous les candidats}  \hfill 3 points}
 
%\textbf{Commun  à  tous les candidats}

\bigskip

L'objet du problème est l'étude des intégrales $I$ et $J$ définies par :
$I = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \d x$ et $J = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^2} \d x$.

\subsection*{Partie A : valeur exacte de l'intégrale  $\boldsymbol I$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une interprétation géométrique de l'intégrale $I$.
On a $0 \leqslant x \leqslant 1 \implies 1 \leqslant 1 + x \leqslant 2 \implies \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1 + x} \leqslant 1$ donc $\dfrac{1}{1+x}>0$ sur $\cd 0~;~1\cg$.

L'intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle $\cd 0~;~1\cg$ a pour valeur en unité d'aire, l'aire de la surface limitée par la représentation graphique de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{1 + x}$, par l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

\item %Calculer la valeur exacte de $I$.
$1+x>0$ sur $\cd 0~;~1\cg$; la fonction $x  \longmapsto \dfrac{1}{1 + x}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \ln (1 + x)$; donc 

$I = \left[\ln (1 + x) \rule{0pt}{9pt}\right]_0^1 = \ln (1 + 1) - \ln (1 + 0) = \ln 2$.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B : estimation de la valeur de $\boldsymbol J$}

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd 0~;~1\cg$ par $g(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$.

%On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
%
%On a donc : $J = \displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x$.
%
%Le but de cette partie est d'évaluer l'intégrale $J$ à  l'aide de la méthode probabiliste décrite ci-après.
%
%On choisit au hasard un point $M(x~;~y)$ en tirant de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ au hasard selon la loi uniforme sur [0~;~1].
%
%On admet que la probabilité $p$ qu'un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe 
%$\mathcal{C}_g$ est égale à  l'intégrale $J$.
%
%En pratique, on initialise un compteur $c$ à  $0$, on fixe un entier naturel $n$ et on répète $n$ fois le processus suivant :
%
%\begin{itemize}
%\item on choisit au hasard et indépendamment deux nombres $x$ et $y$, selon la loi uniforme sur [0~;~1] ;
%\item si $M (x~;~y)$ est au-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$ on incrémente le compteur $c$ de 1.
%\end{itemize}
%
%On admet que $f = \dfrac{c}{n}$ est une valeur approchée de $J$. \emph{C'est le principe de la méthode dite de Monte-Carlo.}


%\parbox{0.42\linewidth}{La figure ci-contre illustre la méthode présentée pour
%$n = 100$.
%
%$100$ points ont été placés aléatoirement dans le carré.
%
%Les disques noirs correspondent aux points sous la
%courbe, les disques blancs aux points au-dessus de la
%courbe. 
%
%Le rapport du nombre de disques noirs par le
%nombre total de disques donne une estimation de l'aire
%sous la courbe.}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{
%\psset{unit=6cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(1,1)
%\multido{\n=0.1+0.2}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1,1)
%\psRandom[dotsize=4pt,dotstyle=o,fillstyle=solid,fillcolor=black,
%  randomPoints=100](0,0)(1,1){%
%    \pscustom[linestyle=none]{%
%      \psline(0,1)
%      \psplot[plotpoints=200]{0}{1}{1 x dup mul 1 add div }
%      \psline(1,0)
%}}
%\psRandom[dotsize=4pt,dotstyle=o,fillcolor=white,
%  randomPoints=100](0,0)(1,1){%
%    \pscustom[linestyle=none]{%e
%      \psline(0,1)(1,1)
%      \psplot[plotpoints=200]{1}{0}{1 x dup mul 1 add div }
%}}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{1}{1 x dup mul 1 add div}
%\rput(0.5,1.05){Illustration de la méthode avec $n = 100$}
%\end{pspicture}
%}

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'algorithme ci-après pour qu'il affiche une valeur approchée de $J$.

On complète l'algorithme proposé:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables}& $n$, $c$, $f$, $i$, $x$, $y$ sont des nombres\\ \hline
&Lire la valeur de $n$\\
&$c$ prend la valeur $\red 0$\\
&Pour $i$ allant de 1 à  $\red n$ faire\\
&\hspace{0.5cm}$x$ prend une valeur aléatoire entre $0$ et $1$\\
\textbf{Traitement}
&\hspace{0.5cm}$y$ prend {\red une valeur aléatoire entre $0$ et $1$}\\
&\hspace{0.5cm}Si $\red y < \dfrac{1}{1 + x^2}$ alors\\[5pt]
&\hspace{1cm}$\red c$  prend la valeur $\red c + 1$\\
&\hspace{0.5cm}Fin si\\
&Fin pour\\
&$f$ prend la valeur $\red \dfrac{c}{n}$\\[7pt]
 \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $f$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Pour $n = \np{1000}$, l'algorithme ci-dessus a donné pour résultat : $f = 0,781$.

%Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la valeur exacte de $J$.

L'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\% est:

$\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0,781 - \dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}}~;~0,781 + \dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}}\right] \approx  \cd 0,749~;~0,813\cg$.

\item  %Quelle doit-être, au minimum, la valeur de $n$ pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, ait une amplitude inférieure ou égale à  $0,02$ ?
L'amplitude de l'intervalle de confiance est égal à  $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$. 

Il faut donc résoudre l'inéquation  $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,02$:

$\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,02 \iff \sqrt{n} \geqslant \dfrac{2}{0,02}  \iff \sqrt{n} \geqslant 100  \iff  n \geqslant \np{10000}$.

\medskip

La valeur minimale de $n$ est \np{10000}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 5} \hfill {\normalsize Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Question préliminaire}

Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, oà¹ $\lambda$ désigne un réel strictement positif.

On rappelle que, pour tout réel $a$ positif, on a : $P( T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^{a}\lambda \e^{-\lambda t}\:\d t$.

La fonction $x \longmapsto \lambda \e^{-\lambda t}$ a pour primitive sur  $\R$ la fonction $- \e^{-\lambda t}$ donc 

$P( T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^{a}\lambda \e^{-\lambda t}\:\d t
= \left [ - \e^{-\lambda t} \rule{0pt}{9pt}\right ]_{0}^{a}= -\e^{-\lambda a} -\left (- \e^{0}\right )
= 1 - \e^{-\lambda a}$.

L'événement $(T>a)$ est l'événement contraire de $(T\pp a)$ donc
$P(T > a) = 1- P(T\pp a) = 1- \left [ 1 - \e^{-\lambda a} \rule{0pt}{9pt}\right ] =  \e^{-\lambda a}$.

\bigskip

Dans la suite de l'exercice, on considère des lampes à  led dont la durée de vie, exprimée en jour, est modélisée par une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{\np{2800}}$.

%\begin{center}
%\emph{Les durées seront données au jour près, et les probabilités au millième près}
%\end{center}

\subsection*{Partie A : étude d'un exemple}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
La probabilité qu'une lampe fonctionne au moins 180 jours est $P(T\pg 180) = \e^{-\frac{180}{\np{2800}}} \approx 0,938$.

\item Sachant qu'une telle lampe a déjà  fonctionné 180 jours,  la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins 180 jours est 
$P_{(T \pg 180)}(T \pg 180+180)$.

Comme la loi exponentielle est une loi à  durée de vie sans vieillissement:

\hfill{}$P_{(T \pg 180)}(T \pg 180+180) = P(T \pg 180) \approx 0,938$.\hfill{}

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\subsection*{Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne}
 
\medskip
 
Le fabricant de ces lampes affirme que, dans sa production, la proportion de lampes qui ont une durée de vie supérieure à  $180$~heures est de 94\,\%.
 Un laboratoire indépendant qui doit vérifier cette affirmation fait fonctionner un échantillon aléatoire de $400$~lampes pendant $180$~jours.
 
%On suppose que les lampes tombent en panne indépendamment les unes des autres.
 
Au bout de ces $180$~jours, $32$ de ces lampes sont en panne.
 
%Au vu des résultats des tests, peut-on remettre en cause, au seuil de 95\,\%, la proportion annoncée par le fabricant ?

La probabilité qu'une lampe ne tombe pas en panne les 180 premiers jours de fonctionnement est $p=0,94$. On prend un échantillon de $n=400$ lampes.

$n=400 \pg 30$; $np=376 \pg 5$ et $n(1-p)=24\pg 5$ donc les conditions sont vérifiées pour que l'on puisse établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%:

\smallskip

$I =
\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]
=
\left [ 0,94-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,94\times 0,06}}{\sqrt{400}}~;~0,94+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,94\times 0,06}}{\sqrt{400}}\right ]\\
\phantom{I}
\approx \cd 0,916~;~0,964\cg$
 
\smallskip

Sur 400 lampes, 32 sont tombées en panne pendant les 180 premiers jours d'utilisation donc 368 ne sont pas tombées en panne; leur fréquence est $f=\dfrac{368}{400} = 0,92$.

Or $0,92 \in I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en cause, au seuil de 95\,\%, la proportion annoncée par le fabricant. 
 
\bigskip
 
\subsection*{Partie C : dans une salle de spectacle}
 
\medskip
 
Pour éclairer une salle de spectacle, on installe dans le plafond $500$ lampes à  led.
 
On modélise le nombre de lampes fonctionnelles après $1$~an par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 440$ et d'écart-type $\sigma = 7,3$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que plus de $445$ lampes soient encore fonctionnelles après un an est $P (X > 445) \approx 0,247$ (à  la calculatrice)

\item Lors de l'installation des lampes dans le plafond, la direction de la salle veut constituer un stock de lampes. 

On cherche la taille minimale de ce stock pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à  95\,\%.

On cherche le nombre $n$ tel que $P(T\pg n) = 0,95$, ce qui équivaut à  $P(X<n)=0,05$; à  la calculatrice, on trouve $n\approx 428$.

Pour arriver à  500 lampes fonctionnelles, il faut donc un stock de $500-428=72$ lampes; ainsi la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, est supérieure à  $0,95$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 5} \hfill {\normalsize Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\begin{center}
%\emph{Les deux parties sont indépendantes}
%\end{center}

Un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit 0, soit 1.

\bigskip

\subsection*{Partie A : ligne de transmission}

\medskip

Une ligne de transmission transporte des bits de données selon le modèle suivant :

\begin{itemize}
\item elle transmet le bit de façon correcte avec une probabilité $p$ ;
\item elle transmet le bit de façon erronée (en changeant le $1$ en $0$ ou le $0$ en $1$) avec une probabilité $1- p$.
\end{itemize}

On assemble bout à  bout plusieurs lignes de ce type, et on suppose qu'elles introduisent des erreurs de façon indépendante les unes des autres.

\smallskip

On étudie la transmission d'un seul bit, ayant pour valeur 1 au début de la transmission.

Après avoir traversé $n$ lignes de transmission, on note :

\begin{itemize}
\item $p_n$ la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $1$ ;
\item $q_n$ la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $0$.
\end{itemize}

On a donc $p_0 = 1$ et $q_0 = 0$.

On définit les matrices suivantes :
$A = \begin{pmatrix}p& 1- p\\1 - p&p\end{pmatrix}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix}
\quad  P = \begin{pmatrix}1&1\\1&- 1\end{pmatrix}$.

On admet que, pour tout entier $n$, on a : $X_{n+1} = AX_n$ et donc, $X_n = A^n X_0$.

\medskip

%\parbox{0.59\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$.
Si on trouve une matrice inverse à  la matrice $P$, on prouve ainsi que la matrice $P$ est inversible.

La calculatrice donne 
$P^{-1} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$
donc la matrice $P$ est inversible de matrice inverse $P^{-1}$.

\begin{list}{\textbullet}{Remarques}
\item On peut démontrer que la matrice $P$ est inversible en utilisant son déterminant: 
le déterminant de la matrice $P$ est $1\times (-1) - 1\times 1 = -2 \neq 0$ donc la matrice $P$ est inversible.

\item On peut aussi chercher une matrice 
$Q =
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}$
telle que $P\times Q=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$
et vérifier ensuite que $Q\times P =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$.
Cela prouve que $P$ est inversible et a pour inverse $Q$.
\end{list}

		\item On pose : $D = \begin{pmatrix} 1&0\\0 & 2p - 1\end{pmatrix}$.
		
%Vérifier que : $A = PDP^{-1}$.

$PD=
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2p-1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1 & 2p-1 \\ 1 & -2p+1  \end{pmatrix}
$

$PDP^{-1}=
\begin{pmatrix} 1 & 2p-1 \\ 1 & -2p+1  \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[7pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}   \dfrac{1}{2} + p -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} - p + \dfrac{1}{2} \\[7pt]
								\dfrac{1}{2} - p + \dfrac{1}{2}  & \dfrac{1}{2} + p -\dfrac{1}{2}  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}p& 1- p\\1 - p&p\end{pmatrix} = A
$

		\item Soit $\mathcal P_n$ la propriété $A^n = PD^n P^{-1}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=1$, on sait que $A=PDP^{-1}$ donc la propriété est vraie au rang 1.

\item \textbf{Hérédité}

Soit $n$ un réel quelconque supérieur ou égal à  1 tel que $\mathcal P_n$ soit vraie, c'est-à -dire $A^n = PD^n P^{-1}$.

$A^{n+1} = A^{n}\times A = \left (PD^n P^{-1}\right ) \times \left ( PDP^{-1} \right )
= PD^n\left (P^{-1}P\right )DP^{-1}
= P\left (D^nD\right )P^{-1}
= PD^{n+1}P^{-1}$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie pour $n=1$ et elle est héréditaire pour tout $n\pg 1$; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\pg1$.	
\end{list}

On a donc démontré, que pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $A^n = PD^n P^{-1}$.
		
		\item% En vous appuyant sur la copie d'écran d'un logiciel de calcul formel donnée ci-contre, déterminer l'expression de $q_n$ en fonction de $n$.
On a vu successivement que 
$X_n= \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$,
que $X_n=A^n X_0$,
et que $A^n = PD^n P^{-1}$.

Le logiciel de calcul formel donne 
$PD^nP^{-1}X_0 =
\begin{pmatrix}
\dfrac{(2p-1)^n +1}{2} \\[7pt] \dfrac{-(2p-1)^n +1}{2}
\end{pmatrix}$
soit
$\begin{pmatrix}
p_n\\q_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\dfrac{(2p-1)^n +1}{2} \\[7pt] \dfrac{-(2p-1)^n +1}{2}
\end{pmatrix}$.

On peut donc en déduire que $q_n= \dfrac{-(2p-1)^n +1}{2}$.
		
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $p$ vaut $0,98$. %On rappelle que le bit avant transmission a pour valeur 1.
 On souhaite que la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $0$ soit inférieure ou égale à  $0,25$. 
 %Combien peut-on, au maximum, aligner de telles lignes de transmission ?
 
On cherche donc $n$ tel que $q_n \pp 0,25$ avec $p=0,98$ donc $2p-1=0,96$.
On résout l'inéquation:

$q_n \pp 0,25
\iff
\dfrac{-0,96^n +1}{2} \pp 0,25
\iff
-0,96^n +1 \pp 0,5
\iff
0,5 \pp 0,96^n
\iff
\ln(0,5) \pp \ln\left (0,96^n\right )\\
\phantom{q_n \pp 0,25}
\iff
\ln(0,5) \pp n \ln\left (0,96\right )
\iff
\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,96)} \pg n
$
 
$\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,96)}  \approx 16,98$ donc on peut aligner au maximum 16 lignes de transmission pour que la probabilité que le bit reçu ait pour valeur 0 soit inférieure ou égale à  $0,25$.
 
\end{enumerate}

%%\parbox{0.4\linewidth}{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X r|}\hline	
%1	&$X0$ : = [[1], [0]]					&\\ \hline
%	&$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$		&M\\ \hline
%2	&P : = [[1, 1], [1, $-1$] ]				&\\ \hline
%	&$\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$&M\\ \hline
%3	&\small D : = [[1, 0],[0,$2*p-1$]]				&\\ \hline
%	&$\begin{bmatrix}1&0\\0&2*p-1\end{bmatrix}$&M\\ \hline
%4	&$P*(D\hat~n)*P\hat~(-1)*X0$					&\\ \hline
%	&$\begin{bmatrix}\dfrac{(2*p - 1)^n + 1}{2}\\\dfrac{- (2*p-1)^n + 1}{2}\end{bmatrix}$&M\\ \hline
%\end{tabularx}

\bigskip

\subsection*{Partie B : étude d'un code correcteur, le code de Hamming (7, 4)}

\medskip

%On rappelle qu'un \textbf{bit} est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$.

On considère un \og mot \fg{} formé de 4 bits que l'on note $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $b_4$.

%Par exemple, pour le mot \og 1101 \fg, on a $b_1 = 1$, $b_2 = 1$, $b_3 = 0$ et $b_4 = 1$.

On ajoute à  cette liste une \emph{clé de contrôle} $c_1c_2c_3$ formée de trois bits :

\begin{itemize}
\item $c_1$ est le reste de la division euclidienne de $b_2 + b_3 + b_4$ par 2 ;
\item $c_2$ est le reste de la division euclidienne de $b_1 + b_3 + b_4$ par 2 ;
\item $c_3$ est le reste de la di vision euclidienne de $b_1 + b_2 + b_4$ par 2.
\end{itemize}

On appelle alors \og message \fg{} la suite de 7 bits formée des 4 bits du mot et des 3 bits de contrôle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préliminaires
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $c_1$, $c_2$ et $c_3$ ne peuvent prendre comme valeurs que 0 ou 1.
$c_1$, $c_2$ et $c_3$ sont des restes dans une division par 2 donc ils ne peuvent être égaux qu'à  0 ou à  1.

		\item Soit le mot  $1001$;
on a donc $b_1=1$, $b_2=0$, $b_3=0$ et $b_4=1$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $c_1$ est le reste de la division euclidienne de $b_2 + b_3 + b_4= 1$ par 2 donc $c_1=1$;
\item $c_2$ est le reste de la division euclidienne de $b_1 + b_3 + b_4 = 2$ par 2 donc $c_2=0$;
\item $c_3$ est le reste de la di vision euclidienne de $b_1 + b_2 + b_4=2$ par 2 donc $c_3=0$.
\end{list}

La clé de contrôle du mot 1001 est 100.

 	\end{enumerate}
\item Soit $b_1b_2b_3b_4$ un mot de 4 bits et $c_1c_2c_3$ la clé associée.
	
Si on change la valeur de $b_1$ en $b'_1$, on aura $b'_1 \equiv b_1 +1 \pmod 2$.
	
\begin{list}{\textbullet}{}
\item la valeur de $c_1$ ne dépend pas de $b_1$ donc est inchangée;
\item $b'_1 + b_3 + b_4 \equiv b_1 + b_3 + b_4 +1 \pmod 2$ donc $c_2$ est modifiée;
\item $b'_1 + b_2 + b_4 \equiv b_1 + b_2 + b_4 +1 \pmod 2$ donc $c_3$ est modifiée.
\end{list}
 
\item On suppose que, durant la transmission du message, au plus un des 7 bits a été transmis de
façon erronée. à€ partir des quatre premiers bits du message reçu, on recalcule les 3 bits de
contrôle, et on les compare avec les bits de contrôle reçus.

%Sans justification, recopier et compléter le tableau ci-dessous. La lettre $F$ signifie que le bit de contrôle reçu ne correspond pas au bit de contrôle calculé, et $J$ que ces deux bits sont égaux.

On complète le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.35cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\footnotesize Bit de \\\footnotesize contrôle\\\footnotesize  calculé}{\footnotesize Bit \\\footnotesize erroné}&$b_1$& $b_2$& $b_3$& $b_4$&$c_1$&$c_2$&$c_3$&\scriptsize Aucun\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$c_1$}	&$J$	&$F$&$F$&$F$&$F$&$J$&$J$&$J$\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$c_2$}	&$F$	&$J$&$F$&$F$&$J$&$F$&$J$&$J$\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$c_3$}	&$F$	&$F$&$J$&$F$&$J$&$J$&$F$&$J$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Justifier rapidement, en vous appuyant sur le tableau, que si un seul bit reçu est erroné, on peut dans tous les cas déterminer lequel, et corriger l'erreur.
Les huit triplets du tableau $(J~;~F~;~F)$, $(F~;~J~;~F)$, \ldots , $(J~;~J~;~J)$, sont tous différents. Quand on reçoit un message, on calcule les codes de contrôle et on les compare avec  ceux qu'on a reçus. Selon le triplet obtenu, on sait donc quel est le bit erroné, s'il y en a un.

\item Voici deux messages de 7 bits : $A = 0100010$ et $B = 1101001$.

On admet que chacun d'eux comporte au plus une erreur de transmission.

%Dire s'ils comportent une erreur, et la corriger le cas échéant.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 
\begin{list}{$\circ$}{Pour le message $A = 0100010$:}
\item $b_2 + b_3 + b_4 = 1+0+0=1$ a pour reste 1 dans la division par 2.
\item $b_1 + b_3 + b_4 = 0+0+0=0$ a pour reste 0 dans la division par 2.
\item $b_1 + b_2 + b_4 = 0+1+0=1$ a pour reste 1 dans la division par 2.
\end{list}

Donc le code correct est 101 alors que le code reçu est 010; la différence entre les deux codes correspond au triplet $(F~;~F~;~F)$. 

D'après le tableau, c'est donc $b_4$ qui est erroné et le bon message est $0101010$.

\item 
\begin{list}{$\circ$}{Pour le message $B = 1101001$:}
\item $b_2 + b_3 + b_4 = 1+0+1 = 2$ a pour reste 0 dans la division par 2.
\item $b_1 + b_3 + b_4 = 1+0+1 = 2$ a pour reste 0 dans la division par 2.
\item $b_1 + b_2 + b_4 = 1+1+2 = 3$ a pour reste 1 dans la division par 2.
\end{list}

Donc le code correct est 001 et est identique au code reçu; le message $B$ ne contient pas d'erreur.
\end{list}

\end{enumerate}

\end{document}