\documentclass[10pt,a4paper]{article}		
\usepackage[T1]{fontenc}	
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}		
\usepackage[french]{babel}	
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
\usepackage{multicol}
%\usepackage{adforn}
\usepackage{color}			
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{tabularx}
%\usepackage{tkz-euclide,tkz-tab}
%\usepackage{nccrules}
%\usepackage{fourier}
\usepackage{pst-all,pst-eucl}
%\usepackage{pst-plot}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\pagestyle{empty}  
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
%\renewcommand{\ln}{\mathrm{ln}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
%\newcommand{\np}{\numprint}
%% TMD sujet 2019 10 septembre Tapuscrit : Willy Viriot
%% Corrigé : François Hache

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{Corrigé}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat  -- Terminale TMD}~\decofourright\\[10pt]
 10 septembre 2019}
\end{center}
%\normalsize

\vspace{0.5cm}

{\bfseries EXERCICE 1 \hfill 6 points}

\medskip

À un concours de musique, 70\,\% des candidats sont des filles. Les candidats choisissent de jouer au concours soit du piano, soit du violon, soit de la flûte traversière. Parmi les filles, 60\,\% jouent du piano et 30\,\% du violon. Parmi les garçons, 70\,\% jouent du piano et 15\,\% du violon.

\begin{list}{\textbullet}{On choisit au hasard un candidat à ce concours et on note:}
\item $F$ l'évènement \og le candidat est une fille \fg{} ;
\item $T$ l'évènement \og le candidat joue de la flûte traversière \fg{} ;
\item $V$ l'évènement \og le candidat joue du violon \fg{} ;
\item $P$ l'évènement \og le candidat joue du piano \fg.
\end{list}

%\medskip
%
%\fbox{
%\parbox{\linewidth}{
%\emph{On rappelle que $B$ étant un évènement de probabilité non nulle, $P_B ( A )$ est la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
%$\overline{B}$ est l'évènement contraire de $B$.}
%}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La situation de l'exercice est modélisée par l'arbre pondéré représenté ci-dessous:
%Reproduire cet arbre en complétant les probabilités manquantes.

\begin{center}
\bigskip
{%\small
\psset{treemode=R,levelsep=3cm, treesep=10mm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt}
\pstree{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}\ncput*{$0,7$}}
{
\TR{$P$}\ncput*{$0,6$}
\TR{$V$}\ncput*{\blue $0,3$}
}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{F}$}\ncput*{\blue $0,3$}}
{
\TR{$P$}\ncput*{\blue $0,7$}
\TR{$V$}\ncput*{\blue $0,15$}
\TR{$T$} \ncput*{\blue $0,15$}
}
}
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

\item D'après l'énoncé:
\begin{enumerate}
\item $P( F )= 0,7$
\item $P_F(P)= 0,6$
\end{enumerate}

\item L'évènement $F \cap T$ est \og le candidat est une fille ET le candidat joue de la flûte traversière \fg{}.%  et calculer sa probabilité.

$P(F \cap T) = P(F)\times P_F(T) = 0,7\times 0,1 = 0,07$.

\item %Justifier que la probabilité $P ( T )$ est égale à 0,115.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(T)= P(F\cap T) + P\left (\overline{F}\cap T\right ) 
=P(F)\times P_F(T) + P\left (\overline{F}\right )\times P_{\overline{F}}(T)
=0,07 + 0,3\times 0,15 = 0,115$.


\item Sachant que le candidat joue de la flûte traversière,  la probabilité que ce soit une fille est:%. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

$P_T(F)=\dfrac{P(F\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,07}{0,115}\approx 0,61$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

{\bfseries EXERCICE 2 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on note $\ln$ la fonction logarithme népérien. On rappelle que $\ln(\e) =1$.}

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$. On désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère orthonormé \Oij{} ci-dessous.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $x = \e$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm, yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {6}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){O}
\def\f{x x ln 1 sub mul 1 add}% undéfinition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red]{0.5}{5}{\f}%  tracé de la courbe
\uput[ul](4.4,3.1){\red $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](2.7183,0)(2.7183,1)(0,1)
\uput[d](2.7183,0){e} \uput[100](2.7183,1){A}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{-0.5}{5.5}{x 1.7183 sub}%  tracé de la droite
\uput[dr](4.55,2.8){\blue $T$}
%%% Corrigé
{\small\red
\psset{linestyle=dashed,dash =2pt 2pt,linecolor=red}
\psline(0.5,0)(0.5,0.153)(0,0.153) 
\uput[l](0,0.153){$0,2$} \uput[d](0.5,0){$0,5$}
\psline(0,2)(3.59,2)(3.59,0)
\uput*{8pt}[l](0,2){$2$} \uput[d](3.59,0){$3.6$}
\uput[l](0,-1.718){$-1,7$}
\psline[showpoints](5,3.28)(5,2)(3.718,2)
\uput[r](5,2.64){$\Delta y$} \uput[d](4.359,2){$\Delta x$}
}
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par la lecture du graphique:% Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus.
	\begin{enumerate}
		\item $f\left(\frac{1}{2}\right)\approx 0,2$
		\item L'antécédent de 2 par $f$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$ est environ $3,6$.
		\item L'ordonnée à l'origine de la droite $T$ est environ $-1,7$.
		\item Le coefficient directeur de la droite $T$ est voisin de 1.
	\end{enumerate}
	
\item On admet dans toute la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$ par l'expression : $f(x) = x \ln( x )-x+1$.

On utilise la formule, pour $a$ et $b$ strictement positifs, 
$\ln\left (\frac{a}{b} \right ) = \ln (a) - \ln (b)$.

Donc $\ln\left (\frac{1}{2} \right ) = \ln (1) - \ln (2) = -\ln (2)$,
et donc
$f\left(\frac{1}{2}\right)
= \frac{1}{2} \ln\left (\frac{1}{2}\right ) - \frac{1}{2}+1
=-\frac{1}{2}\ln(2)+\frac{1}{2}$

\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$, 
$f'(x)=1\times \ln(x) + x\times \frac{1}{x} -1 + 0 = \ln(x)+1-1=\ln(x)$.

\item% Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$, puis construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$.
On sait que pour $0<x<1$, on a $\ln(x)<0$ et pour $x>1$, on a $\ln(x)>0$.

$f\left (\frac{1}{2}\right )\approx 0,15$; $f(1)=0$ et $f(5)\approx 4$

On établit le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & \frac{1}{2} & \esp & 1 & \esp & 5 \\
 \hline
f'(x)=\ln(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\approx 0,15}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\approx 4}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{0} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item% Justifier que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left[1~;~5\right]$.
On complète le tableau des variations de la fonction $f$ en plaçant le nombre 3 sur la ligne représentant $f(x)$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & \frac{1}{2} & \esp & 1 & \esp & 5 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\approx 0,15}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\approx 4}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{0} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
%\rput*(-3.7,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
%\rput(-3.7,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 3}}
\rput(-1.3,1.7){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On en déduit que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left[1~;~5\right]$.

\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $x = \e$ .
La tangente à la courbe représentant une fonction $f$  au point de la courbe d'abscisse $a$ a pour équation
$y=f'(a)\left (x-a\right )+f(a)$.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\e$ a pour équation
$y=f'(\e)\left (x-\e\right )+f(\e)$.

$f(x)=x \ln(x) - x +1$ donc $f(\e) = \e \ln(\e) -\e +1 = \e-\e+1=1$

$f'(x)=\ln(x)$ donc $f'(\e)=\ln(\e)=1$

La tangente $T$ a pour équation
$y=1\times (x-\e) + 1$ soit $y=x-\e+1$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

{\bfseries EXERCICE 3 \hfill Enseignement obligatoire\hfill 7 points }

\medskip

\fbox{
\parbox{\linewidth}{
\textbf{Rappels}\rule{0pt}{13pt}

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Dans la gamme de tempérament égal, l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. \\
Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note, exprimées en hertz (Hz), est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$.
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associée un entier naturel $n$ appelé indice et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Ainsi le LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, le LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.\\
La fréquence de LA$_3$ est 440 Hz.
\item[$\bullet~~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore est exprimé en décibels (dB) par :
\[N(I) = 10 \,\log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\: \text{ où }\:I_0 = 10^{-12} \text{W.m}^{-2} \text{ et log désigne la fonction logarithme décimal.}\]
\item[$\bullet~~$] On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent.
\item[$\bullet~~$] Pour deux notes de fréquences respectives $f_1$ et $f_2$, avec $f_2 \geqslant  f_1$, la différence de hauteur de ces notes, exprimée en savarts, est égale à $\np{1000}\, \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$.
\item[$\bullet~~$] Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste en contient sept.\rule[-7pt]{0pt}{0pt}
\end{itemize}
}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À partir du LA$_3$ , on monte de trois quartes justes; on monte donc de $3\times 5 = 15$ demi-tons.% Justifier que la note obtenue est le DO$_5$.
		
\begin{center}
%\small
$\overbrace{\ldots{} \vphantom{\text{R\'E}}\; \Rnode{X}{\text{LA}} \; \text{LA}\# \; \text{SI}}^{\text{octave } 3} \quad
\overbrace{\text{DO} \; \text{DO}\# \; \text{R\'E} \; \text{R\'E}\# \; \text{MI} \; \text{FA} \; \text{FA}\# \; \text{SOL} \; \text{SOL}\# \; \text{LA} \; \text{LA}\#\; \text{SI}}^{\text{octave } 4} \quad
\overbrace{\Rnode{Y}{\text{DO}} \; \text{DO}\# \; \vphantom{\text{R\'E}} \ldots}^{\text{octave } 5}$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt]{->}{X}{Y}
\mput*{$+15$}
\vspace{0.5cm}
\end{center}

La note obtenue est donc le DO$_5$.
		
		\item %Montrer que la fréquence de la note obtenue est égale à \numprint{1047} Hz, arrondie à l'unité.
La fréquence du LA$_3$ est de 440~Hz.

Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence est multipliée par $2^{\frac{1}{12}}$, donc elle est multipliée par $\left (2^{\frac{1}{12}}\right )^{15}$ quand on monte de quinze demi-tons.

La fréquence du DO$_5$ est donc en hertz de $440 \times \left (2^{\frac{1}{12}}\right )^{15}$ soit $\np{1047}$ en arrondissant à l'unité.
		
		
		\item La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre le LA$_3$ (de fréquence 440~Hz), et le DO$_5$ (de fréquence  $440 \times \left (2^{\frac{1}{12}}\right )^{15}$~Hz) est
		$\np{1000}\, \log\left ( \dfrac{440 \times \left (2^{\frac{1}{12}}\right )^{15}}{440}\right )= \np{1000}\, \log\left ( \left (2^{\frac{1}{12}}\right )^{15}\right )$ soit $376$ en arrondissant à l'unité.
	\end{enumerate}
\item On admet que l'intensité sonore moyenne d'une guitare classique est égale à $3,2\times 10^{-5}$ W.m$^{-2}$. 

Le niveau sonore moyen d'une guitare classique est, en décibels,\\
$N\left (3, 2\times 10^{-5}\right ) = 10\, \log \left(\dfrac{3, 2\times 10^{-5}}{10^{-12}}\right) = 10 \, \log \left(3,2\times 10^{7}\right)$ soit $75$ en arrondissant à l'unité.


\item On admet que le niveau sonore moyen d'une clarinette est de 90 dB. %Montrer que l'intensité sonore moyenne d'une clarinette est égale à $10^{-3}$ W.m$^{-2}$.

L'intensité sonore moyenne d'une clarinette est le nombre $I$ tel que $N(I)=90$.

$N(I)=90 \iff 10\, \log \left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right) =90 \iff \log \left (I\times 10^{12} \right )=9
\iff I\times 10^{12} = 10^{9}
\iff I =10^{-3}$

L'intensité sonore moyenne d'une clarinette est égale à $10^{-3}$ W.m$^{-2}$.
 
\item On admet que l'intensité sonore moyenne d'un trombone est égale à $3, 2\times 10^{-3}$~W.m$^{-2}$. 

Léa affirme qu'un pupitre de $8$ clarinettes jouant ensemble, joue avec le même niveau sonore moyen qu'un pupitre de $3$ trombones jouant ensemble.

%Indiquer si l'affirmation de Léa est juste. Justifier votre réponse.

Les intensités sonores s'ajoutent donc l'intensité sonore de $3$ trombones est de $3\times 3, 2\times 10^{-3} = 9,6\times 10^{-3}$~W.m$^{-2}$, et l'intensité sonore de $8$ clarinettes est de $8\times 10^{-3}$~W.m$^{-2}$.

Les intensités sonores sont différentes donc les niveaux sonores seront différents; Léa a tort.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bfseries EXERCICE 4 \hfill Enseignement renforcé  \hfill 7 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.

On note $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text A}$, $z_{\text B}$ et $z_{\text C}$ définis par:

\[ z_{\text A}= \sqrt{3}-\i, \quad z_{\text B}=3\i  \quad \text{et}\quad  z_{\text C} = z_{\text A} \times z_{\text B}.\]

%Les constructions demandées dans la suite de l'exercice seront réalisées sur une même figure en prenant pour unité graphique 1 cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On place le point B dans le repère orthonormé \Ouv. Voir graphique.
		\item $z_{\text B}=3\i$. Or $\i$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ donc $z_{\text B}= 3\e^{\i\frac{\pi}{2}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text A}$.
$z_{\text A} = \sqrt{3} - \i$ donc $|z_{\text A}| = \sqrt{\left (\sqrt{3}\right )^{2} + \left (-1\right )^{2}} = \displaystyle\sqrt{3+1\strut} = 2$

$z_{\text A} = \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{1}{2}\i\right )$

On cherche un réel $\theta$ tel que $\cos\left (\theta\right )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left (\theta\right )=-\dfrac{1}{2}$; le réel $-\dfrac{\pi}{6}$ convient.

Donc $z_{\text A} = 2\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$.
		
		\item Le point A est le point du cercle de centre O et de rayon 2, d'ordonnée $-1$ et d'abscisse positive. Voir graphique.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $z_{\text C} = z_{\text A} \times z_{\text B} = 2\e^{-\i\frac{\pi}{6}} \times 3\e^{\i\frac{\pi}{2}} = 6\e^{\i\left (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right )} = 6\e^{\i\frac{\pi}{3}}$
		\item %Construire le point C dans le repère orthonormé \Ouv.
$z_{\text C} = z_{\text A} \times z_{\text B} = \left ( \sqrt{3} - \i\right )\times (3\i) = 3+ 3\i\sqrt{3}$; de plus on sait que $|z_{\text C} |=6$.		

Le point C est donc le point du cercle de centre O et de rayon 6, d'abscisse égale à 3 et d'ordonnée positive. Voir graphique.		
				
		\item% Justifier que le triangle AOC est rectangle en O.
Soit U le point tel que $\vectt{OU} = \vect{u}$.
		
$z_{\text A} = 2\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$ donc $\widehat{\text{AOU}}=\dfrac{\pi}{6}$	
et
$z_{\text C} = 2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$ donc $\widehat{\text{UOC}}=\dfrac{\pi}{3}$

$\widehat{\text{AOC}} = \widehat{\text{AOU}} + \widehat{\text{UOC}} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$ donc le triangle AOC est rectangle en O.
		
		\item% Calculer la longueur AC.
$\text{OA} = |z_{\text A}| = 2$
et
$z_{\text C} = 6\e^{\i\frac{\pi}{3}}$ donc $\text{OC} = |z_{\text C}| = 6$
		
Le  triangle AOC est rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore, \\
$\text{AC}^2 = \text{OA}^2 + \text{OC}^2 = 4 + 36 = 40$.

Donc $\text{AC} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-7}   \def\xmax {7}
\def\ymin {-7}   \def\ymax {7}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\uput[dr](1,0){U} \uput[l](0,1){V}
\psdots(0,3) \uput[l](0,3){B}
\pscircle[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){2} \psdots(2;-30) \uput[-30](2;-30){A}
\pscircle[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){6} \psdots(6;60) \uput[60](6;60){C}
\pspolygon[linecolor=blue](2;-30)(6;60)(0,0)
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}