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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : François Hache
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pdftitle = {Métropole 16 mai 2025},
allbordercolors = white,
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 16 mai 2025~\decofourright}\\[7pt]Groupement B1
%\footnote{Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries,  Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation,  Environnement nucléaire,  Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), Traitement des matériaux (2 options), Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures}}
%
%\medskip
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Pour fabriquer de l'aluminium en feuille on chauffe une plaque d'aluminium à 250~\textcelsius{} puis on la sort du four  : c'est alors la phase de refroidissement. On étudie l'évolution de la température de la plaque d'aluminium durant cette phase.

On note $f(t)$ la température de la plaque d'aluminium à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en degré Celsius, et $t$ désigne le nombre de minutes de refroidissement.

%\medskip
%
%\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{\large Partie A. Équation différentielle}

\medskip

On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle 
$(E): y' + 0,25y = 7,5$

%où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~; +\infty [$, et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item  On résout l'équation différentielle 
$ (E_0) : y' + 0,25y = 0.$

D'après le formulaire, l'équation différentielle $y'+ay=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $y'+0,25y=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{-0,25t}$, où $k\in\R$.

%On fournit la formule suivante :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
%\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle I\\
%\hline
%$y' + ay = 0$ & $y(t) = k\e^{-a t},\quad k \in \R$ \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\item %Soit $c$ un nombre réel.
Soit la fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0\;;+\infty[$ par :
$g(t) = c$, où $c\in\R$.

$g$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout réel $t$, 
$g'(t) +0,25g(t)=7,5$, soit $0,25c=7,5$; donc $c=\dfrac{7,5}{0,25}=30$.

%Déterminer le réel $c$ pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation différentielle (E).

\item Donc les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0\;;+\infty[$ par $f(t)=k\e^{-0,25t}+30$.

\item %Déterminer l'expression de la fonction $f$ sachant qu'à l'instant $t = 0$ la température est égale à 250~\textcelsius.
$f(0)=250
\iff k\e^{0}+30 = 250
\iff k=220$

La fonction $f$ a donc pour expression $f(t)=220\e^{-0,25t}+30$ où $t\in[0\;;+\infty[$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 \;;+\infty[$ par :
$f(t) = 220\e^{-0,25t} + 30.$

%On admet que $f(t)$ représente la température (en degré Celsius) de la plaque d'aluminium après $t$ minutes de refroidissement.

\begin{enumerate}
\item  La valeur de la température de la plaque après un quart d'heure de refroidissement, est $f(15)$ dont la valeur  approchée à 0,1~\textcelsius{} est $35,2$~\textcelsius.

\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\ds\lim_{t\to +\infty} -0,25t=-\infty$ et $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$,
donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,25t}=0$.

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} 220\e^{-0,25t}+30=30$, c'est-à-dire $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=30$.

La courbe représentative de la fonction $f$ admettra donc une asymptote horizontale d'équation $y=30$ en $+\infty$.

%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La température limite de refroidissement sera donc de 30~\textcelsius.

\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 \;;+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

%Déterminer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 \;;+\infty[$.
%
%En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 \;;+\infty[$.
%
%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

$f'(t)=220\times (-0,25)\e^{-0,25t}+0=-55\e^{-0,25t}$

Pour tout réel $x$, on sait que $\e^{x}>0$, donc pour tout $t$ de $[0 \;;+\infty[$, $f'(t)<0$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0 \;;+\infty[$. Cela paraît logique car plus le temps passe pendant la phase de refroidissement, plus la température de la plaque diminue.

\item Un technicien affirme : \og en cent secondes, la plaque a perdu cent degrés \fg.

Cent secondes correspondent à 1 minute et 40 secondes, soit $1+\dfrac{40}{60}\approx 1,667$. \\
Or $f(1,667)\approx 175> 150$ donc le technicien a tort.

%A-t-il raison? Quelle est la durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} ?
On résout l'inéquation $f(t)<150$.

$\aligned
f(t)<150
& \iff 220\e^{-0,25t}+30 < 150
\iff 220\e^{-0,25t} < 120
\iff \e^{-0,25t} < \dfrac{120}{220}\\
& \iff -0,25t < \ln\left (\dfrac{120}{220}\right )
\iff t> -\dfrac{\ln\left (\frac{120}{220}\right )}{0,25}
\endaligned$

Or $-\dfrac{\ln\left (\frac{120}{220}\right )}{0,25} \approx 2,4245$ et $0,4245$ minute correspond à $0,4245\times 60$ soit environ 25 secondes.

La durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} est donc de 2 minutes et 25 secondes.
%Les réponses devront être justifiées.

\item %Réaliser sur la copie un croquis donnant l'allure de la courbe représentative de la fonction $f$. Ce croquis devra également faire apparaître les résultats des questions \textbf{1} à \textbf{4}.
On trace la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm,arrowsize=3pt 2,radius=0pt,nodesep=4pt}
\def\xmin{-1}   \def\xmax{24} \def\ymin{-1} \def\ymax{260}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[yunit=0.4cm,subgriddiv=0, gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(24,26)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,ticksize=-2pt 2pt, Dx=1, Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)%, labels=none
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{\xmax}{30 220 2.7183 -0.25 x mul exp mul add}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,30)(\xmax,30)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,150)(\xmax,150)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.4245,150)(2.4245,0)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](15,0)(15,35.2)(0,35.2)
\uput*[l](0,35.2){\blue\footnotesize $35,2$}
\uput*[d](2.4245,0){\blue\footnotesize $2'25''$}
\psdots[linecolor=blue](15,35.2)
\uput[d](8,30){\red $y=30$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{\large Partie A. Loi exponentielle}

\medskip


On s'intéresse au temps que doit attendre un client pour être servi à la terrasse d'un café.
On admet que ce temps d'attente, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable
aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{enumerate}
\item On sait que le temps d'attente moyen d'un client est égal à $4$ minutes.

%Expliquer pourquoi on a alors $\lambda = 0,25$.

Si la variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, son espérance, c'est-à-dire  le temps d'attente moyen d'un client, est égal à $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$. \\
Comme $E(T)=4$, on a $\dfrac{1}{\lambda}=4$ donc $\lambda=0,25$.

\item% Décrire par une phrase l'évènement $(T < 3)$ et déterminer sa probabilité, arrondie à $10^{-3}$.
L'évènement $(T < 3)$ est l'évènement \og le temps d'attente est inférieur à 3 minutes \fg{}.

Si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a:
$P(T<t)=1-\e^{-\lambda t}$.

Donc $P(T<3)=1-\e^{-0,25 \times 3} \approx 0,528$.

\item %Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins $5$ minutes ? Arrondir à $10^{-3}$.
La probabilité qu'un client attende au moins $5$ minutes est $P(T\geqslant 5)$.

Si  $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a:
$P(T\geqslant t)=\e^{-\lambda t}$.

Donc $P(T\geqslant 5) = \e^{-0,25 \times 5} \approx 0,287$.

\item On cherche le temps $t$ tel que: $P(T > t) = 0,1$.

On résout l'équation:\\
$P(T>t)=0,1
\iff \e^{-0,25t}=0,1
\iff -0,25t=\ln(0,1)
\iff t=-\dfrac{\ln(0,1)}{0,25}$

$-\dfrac{\ln(0,1)}{0,25}\approx 9,21$; or $0,21\times 60 \approx 13$ donc  le temps $t$ tel que $P(T > t) = 0,1$ est de 9 minutes 13 secondes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Un café propose des boissons chaudes et des boissons froides, qui peuvent être servies
en terrasse ou en salle.

\begin{list}{\textbullet}{On dispose des informations suivantes:}
\item 60\,\% des consommations sont servies en terrasse.

Dans un tiers des cas, il s'agit d'une boisson chaude.
\item 40\,\% des consommations sont servies en salle.

Parmi elles, les trois quarts sont des boissons chaudes.
\end{list}

On s'intéresse à une consommation choisie au hasard.


\begin{list}{}{On considère les évènements suivants:}
\item $T$ : il s'agit d'une consommation servie en terrasse.
\item $C$ : il s'agit d'une boisson chaude.
\end{list}

\newpage

\begin{enumerate}
\item  On dresse un arbre pondéré représentant la situation.

\begin{center}
%\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{$0,60$}}
 	  { 
 		  \TR{$C$}\naput{$\frac{1}{3}$}
 		  \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1- \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,60=0,40$}}
 	  {
 		  \TR{$C$}\naput{$\frac{3}{4}$}
          \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$} 
     }
}
%\bigskip
\end{center}

\item %Déterminer la probabilité $P(T\cap C)$.
$P(T\cap C) = P(T)\times P_T(C)= 0,60 \times \dfrac{1}{3} = 0,20$

\item %Montrer que la probabilité que la consommation soit une boisson chaude est égale à $\frac{1}{2}$.
La probabilité que la consommation soit une boisson chaude est $P(C)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(C)=P(T\cap C) + P\left (\overline{T} \cap C \right ) = 0,20+0,40\times \dfrac{3}{4}=0,50=\dfrac{1}{2}$

\item Une boisson chaude vient d'être commandée. Un serveur déclare :

\og Elle a davantage de chance d'être servie en salle qu'en terrasse \fg.

%Le serveur a-t-il raison ? Justifier la réponse.
La probabilité qu'elle soit servie en terrasse est:

$P_C(T)= \dfrac{P(T\cap C)}{P(C)}= \dfrac{0,20}{0,50}=0,40<\dfrac{1}{2}$

Donc la boisson chaude  a davantage de chance d'être servie en salle qu'en terrasse, et donc le serveur a raison.

\item %Les évènements $T$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.
$P(T\cap C)=0,20$; $P(T)=0,60$ et $P(C)=0,50$ donc $P(T)\times P(C)=0,30$

$P(T\cap C) \neq P(T)\times P(C)$ donc les évènements $T$ et $C$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie C. Intervalle de confiance}

\medskip

La direction d'un café souhaite estimer la proportion $p$ d'étudiants parmi ses clients.
Pour cela, elle interroge un échantillon aléatoire de \np{1000} clients. Dans cet échantillon,
elle compte $525$~étudiants.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ d'étudiants.
$f = \dfrac{525}{\np{1000}}=0,525$ est une estimation ponctuelle de la proportion  $p$ d'étudiants.

\item Pour donner une estimation de la proportion $p$, on détermine un intervalle de confiance $I_{90}$ avec le niveau de confiance de 90\,\%.

$\aligned
I_{90}
& = \left[ f - 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\;; f + 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]\\
& =\left[ 0,525 - 1,65 \sqrt{\frac{0,525(1-0,525)}{\np{1000}}}\;; 0,525 + 1,65 \sqrt{\frac{0,525 (1-0,525)}{\np{1000}}}\right]\\
& \approx \left [0,499\;; 0,551\strut\right ]
\endaligned$

%On fournit la formule suivante:
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabular}{|c|}\hline
%Intervalle de confiance d'une proportion avec un niveau de confiance de 90\,\%\\\hline
%\raisebox{-1.5ex}[0pt][0pt] {$\left[ f - 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} ;f + 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$}\\[3ex]\hline
%\end{tabular}

\item Le patron du café affirme:
\og La proportion $p$ est obligatoirement contenue dans l'intervalle de confiance. \fg

%A-t-il raison ? Justifier.
Il a tort: il n'y a que 90\;\% de chances que l'intervalle $I_{90}$ contienne la proportion $p$.

\item On estime que lorsqu'un étudiant vient au café, sa consommation s'élève en
moyenne à $3,50$~euros.
Chaque mois, le café reçoit \np{5000} clients.
La direction du café décide d'accorder une réduction de 10\,\% aux étudiants.

En supposant que la proportion $p$ est effectivement contenue dans l'intervalle de
con\-fiance, pour \np{5000} clients, on peut estimer le nombre d'étudiants entre $0,499\times\np{5000}$ et $0,551\times\np{5000}$, soit dans l'intervalle $\left [\np{2495}\;; \np{2755}\strut \right ]$.

La réduction pour un étudiant est de 10\;\% de $3,50$~\euro, soit $0,35$~\euro.

$\np{2495}\times 0,35=873,25$ et $\np{2755}\times 0,35=964,25$

On peut donc estimer que le manque à gagner mensuel en euro pour le café appartient à l'intervalle
$\left [873,25\;; 964,25\strut\right ]$.

%indiquer, sous forme d'un intervalle, le manque à gagner mensuel pour le café.
\end{enumerate}
\end{document}