% !TeX TXS-program:compile = txs:///arara
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% BTS SIO — Session 2026 — Épreuve EF2 Mathématiques approfondies
% Sujet 26SIEF2MAPPR — 4 pages — Durée 2 heures
% =====================================================================
%
% Ce fichier contient le sujet ET son corrigé. La bascule s'effectue
% via le booléen \ifcorrige défini ci-dessous :
%   \corrigefalse  -> version sujet (énoncé seul)
%   \corrigetrue   -> version corrigé (énoncé + corrections en fond gris)
% Le fichier corrige.tex est identique à celui-ci, sauf cette ligne.

\documentclass[11pt]{article}
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% ----- Tolérance césure (évite les overfull mineurs)
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% =====================================================================
% Booléen de bascule sujet / corrigé
% =====================================================================
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\corrigetrue % <-- mettre \corrigefalse pour générer le sujet seul

\ifcorrige
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur \\
Métropole Antilles-Guyane Polynésie}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies}
\rfoot{\small 18 mai 2026}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 18 mai 2026~\decofourright\\[7pt]
Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
\textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}\ifcorrige\\[4pt]\textbf{-- Corrigé --}\fi

\medskip

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une image numérique en noir et blanc est composée de pixels, chaque pixel est représenté par un nombre $x$ allant de $0$ à $1$.

Le $0$ représente le blanc et le $1$ représente le noir, les valeurs intermédiaires allant du clair au foncé.

On s'intéresse aux fonctions permettant de modifier le contraste d'une image en noir et blanc~; une telle fonction doit vérifier les trois propriétés suivantes :
\begin{itemize}
  \item $f(0) = 0$ (le blanc reste blanc)~;
  \item $f(1) = 1$ (le noir reste noir)~;
  \item la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ (un pixel plus clair qu'un autre le reste après application de la fonction).
\end{itemize}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ par $g(x) = x\e^{x^2-1}$.

On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,1]$.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,1]$, $g'(x) = \e^{x^2-1}(1+2x^2)$.

  \debsol
  La fonction $g$ est dérivable sur $[0\,;\,1]$ comme produit de fonctions dérivables. En posant $u(x) = x$ et $v(x) = \e^{x^2-1}$, on a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 2x\e^{x^2-1}$. Donc :

  $g'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \e^{x^2-1} + x \times 2x\e^{x^2-1} = \left(1+2x^2\right)\e^{x^2-1}$.
  \finsol

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0\,;\,1]$.

    \debsol
    Pour tout $x \in [0\,;\,1]$, $\e^{x^2-1} > 0$ (exponentielle strictement positive) et $1 + 2x^2 \geq 1 > 0$. Donc $g'(x) > 0$ sur $[0\,;\,1]$, ce qui prouve que $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.
    \finsol

    \item Est-ce que la fonction $g$ vérifie les trois propriétés nécessaires pour être une fonction permettant de modifier le contraste d'une image en noir et blanc ? Justifier la réponse.

    \debsol
    \begin{itemize}
      \item $g(0) = 0 \times \e^{0-1} = 0$, donc $g(0) = 0$ (le blanc reste blanc)~;
      \item $g(1) = 1 \times \e^{1-1} = 1 \times \e^{0} = 1$, donc $g(1) = 1$ (le noir reste noir)~;
      \item $g$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$ (question précédente).
    \end{itemize}
    De plus, $g$ étant continue, croissante avec $g(0) = 0$ et $g(1) = 1$, on a $g(x) \in [0\,;\,1]$ pour tout $x \in [0\,;\,1]$. La fonction $g$ vérifie donc les trois propriétés nécessaires et peut être utilisée pour modifier le contraste d'une image.
    \finsol
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

Une fonction $f$ augmente le contraste d'une image si :
\[
  \int_{0{,}5}^{1} f(x)\d x - \int_{0}^{0{,}5} f(x)\d x - 0{,}25 \geq 0.
\]
On dit sinon que la fonction $f$ diminue le contraste.

\medskip

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Vérifier que la fonction $G$ par $G(x) = \dfrac{1}{2}\e^{x^2-1}$ définie sur $[0\,;\,1]$ est une primitive de la fonction $g$ sur cet intervalle.

    \debsol
    La fonction $G$ est dérivable sur $[0\,;\,1]$ et :

    $G'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x \times \e^{x^2-1} = x\e^{x^2-1} = g(x)$.

    Donc $G$ est bien une primitive de $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,1]$.
    \finsol

    \item La fonction $g$ diminue-t-elle ou augmente-t-elle le contraste ? Justifier.

    \debsol
    On calcule successivement les deux intégrales à l'aide de la primitive $G$.

    $\ds\int_{0}^{0{,}5} g(x)\d x = G\left(0{,}5\right) - G\left(0\right) = \dfrac{1}{2}\left(\e^{-3/4} - \e^{-1}\right) \approx 0{,}052$.

    $\ds\int_{0{,}5}^{1} g(x)\d x = G\left(1\right) - G\left(0{,}5\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \e^{-3/4}\right) \approx 0{,}264$.

    Donc :

    $\ds\int_{0{,}5}^{1} g(x)\d x - \int_{0}^{0{,}5} g(x)\d x - 0{,}25 \approx 0{,}264 - 0{,}052 - 0{,}25 \approx -0{,}038 < 0$.

    La fonction $g$ \textbf{diminue} le contraste de l'image.
    \finsol
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On applique un filtre qui diminue de $6\,\%$ le contraste global d'une image à chaque itération. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le contraste global de l'image après $n$ itérations du filtre sur une image dont le contraste initial est de $0{,}81$. Ainsi, $u_0 = 0{,}81$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$.

    \debsol
    Diminuer de $6\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}06 = 0{,}94$. Donc :

    $u_1 = 0{,}81 \times 0{,}94 = 0{,}7614$.
    \finsol

    \item Vérifier que $u_2 = 0{,}715716$.

    \debsol
    $u_2 = u_1 \times 0{,}94 = 0{,}7614 \times 0{,}94 = 0{,}715716$.
    \finsol
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique. Déterminer sa raison.

    \debsol
    Le filtre diminue le contraste de $6\,\%$ à chaque itération, donc pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = 0{,}94 \times u_n$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q = 0{,}94$ et de premier terme $u_0 = 0{,}81$.
    \finsol

    \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

    \debsol
    Pour une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, on a $u_n = u_0 \times q^{n}$. Donc :

    $u_n = 0{,}81 \times 0{,}94^{n}$.
    \finsol

    \item Déterminer à partir de combien d'itérations le contraste global de l'image sera inférieur à $0{,}5$.

    \debsol
    On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0{,}5$, soit :

    $0{,}81 \times 0{,}94^{n} < 0{,}5 \iff 0{,}94^{n} < \dfrac{0{,}5}{0{,}81} \approx 0{,}6173$.

    Comme $\ln\left(0{,}94\right) < 0$, en passant au logarithme l'inégalité change de sens :

    $n \times \ln\left(0{,}94\right) < \ln\left(0{,}6173\right) \iff n > \dfrac{\ln\left(0{,}6173\right)}{\ln\left(0{,}94\right)} \approx 7{,}79$.

    Le plus petit entier convenant est $n = 8$.

    Vérification : $u_7 \approx 0{,}525 > 0{,}5$ et $u_8 \approx 0{,}494 < 0{,}5$.

    Il faut donc \textbf{au moins $8$ itérations} pour que le contraste devienne inférieur à $0{,}5$.
    \finsol
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes.}

\textbf{Les résultats seront arrondis si nécessaire au millième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un pare-feu analyse les connexions réseau pour détecter les attaques.

$1\,\%$ des connexions sont malveillantes, c'est-à-dire qu'elles correspondent à une attaque réelle.

Dans sa configuration actuelle, le pare-feu détecte correctement une attaque avec une probabilité de $0{,}99$.

Mais il a aussi un taux de faux positifs de $5$ pour $1000$, c'est-à-dire que la probabilité qu'il signale à tort une connexion comme malveillante alors qu'elle est légitime est de $0{,}005$.

On choisit au hasard une connexion et on définit les événements suivants :
\begin{itemize}
  \item $A$ : « la connexion choisie correspond à une attaque »~;
  \item $T$ : « le pare-feu considère que la connexion correspond à une attaque ».
\end{itemize}

On note $\overline{A}$ l'événement contraire de l'événement $A$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer $P(A)$.

    \debsol
    D'après l'énoncé, $1\,\%$ des connexions sont malveillantes, donc :

    $P\left(A\right) = 0{,}01$.
    \finsol

    \item Modéliser cette situation par un arbre pondéré.

    \debsol
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[
      grow=right,
      level distance=2.6cm,
      level 1/.style={sibling distance=3.2cm},
      level 2/.style={sibling distance=1.5cm},
      every node/.style={inner sep=2pt},
      edge from parent/.style={draw, thick, -}
    ]
    \node {}
      child {
        node {$\overline{A}$}
        child { node {$\overline{T}$} edge from parent node[below, pos=0.5, fill=white, inner sep=1pt]{$0{,}995$} }
        child { node {$T$} edge from parent node[above, pos=0.5, fill=white, inner sep=1pt]{$0{,}005$} }
        edge from parent node[below, pos=0.5, fill=white, inner sep=1pt]{$0{,}99$}
      }
      child {
        node {$A$}
        child { node {$\overline{T}$} edge from parent node[below, pos=0.5, fill=white, inner sep=1pt]{$0{,}01$} }
        child { node {$T$} edge from parent node[above, pos=0.5, fill=white, inner sep=1pt]{$0{,}99$} }
        edge from parent node[above, pos=0.5, fill=white, inner sep=1pt]{$0{,}01$}
      };
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \finsol
  \end{enumerate}

  \item Calculer $P(T)$.

  \debsol
  D'après la formule des probabilités totales appliquée au système complet d'événements $\left\lbrace A\,;\,\overline{A}\right\rbrace$ :

  $P\left(T\right) = P\left(A \cap T\right) + P\left(\overline{A} \cap T\right) = P\left(A\right) \times P_A\left(T\right) + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}\left(T\right)$.

  $P\left(T\right) = 0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}005 = 0{,}0099 + 0{,}00495 = 0{,}01485$.

  Donc $P\left(T\right) \approx 0{,}015$.
  \finsol

  \item L'administrateur du pare-feu estime qu'il est bien configuré si, lorsqu'une connexion est considérée comme une attaque par le pare-feu, il y a $95\,\%$ de chance que cette connexion soit effectivement une attaque.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $P_T(A)$.

    \debsol
    Par définition de la probabilité conditionnelle :

    $P_T\left(A\right) = \dfrac{P\left(A \cap T\right)}{P\left(T\right)} = \dfrac{0{,}01 \times 0{,}99}{0{,}01485} = \dfrac{0{,}0099}{0{,}01485} \approx 0{,}667$.
    \finsol

    \item Le pare-feu est-il bien configuré ? Justifier.

    \debsol
    On a $P_T\left(A\right) \approx 0{,}667$, soit environ $66{,}7\,\%$. Cette probabilité est nettement inférieure au seuil de $95\,\%$ requis. Le pare-feu \textbf{n'est donc pas bien configuré} : environ un tiers des connexions signalées comme malveillantes sont en réalité légitimes.
    \finsol
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'administrateur du pare-feu analyse fréquemment l'historique des connexions. Pour cela, il prélève au hasard à chaque fois un échantillon de $50$ connexions dans l'historique. On considère que l'historique est suffisamment grand pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

On suppose dans cette partie que la probabilité qu'une connexion soit malveillante est de $0{,}06$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $50$ connexions, associe le nombre de connexions malveillantes.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

  \debsol
  \begin{itemize}[itemsep=0pt]
  \item On répète $50$ fois, de façon indépendante, la même expérience à deux issues : « la connexion est malveillante » ou « la connexion n'est pas malveillante ».
  \item On appelle \textbf{succès} l'événement « la connexion est malveillante », de probabilité $p=0{,}06$.
  \item La variable aléatoire $X$ comptabilise le nombre de succès parmi les $50$ connexions choisies.
  \end{itemize}
  Donc $X\sim\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}06\right)$.
  \finsol

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer la probabilité qu'exactement deux connexions soient malveillantes.

    \debsol
    La probabilité qu'exactement deux connexions soient malveillantes est :

    $P\left(X=2\right) = \ds\binom{50}{2}\times 0{,}06^{2}\times \left(1-0{,}06\right)^{50-2}\approx 0{,}226$.
    \finsol

    \item Calculer la probabilité qu'au moins une connexion soit malveillante.

    \debsol
    La probabilité qu'au moins une connexion soit malveillante est :

    $P\left(X\geqslant 1\right) = 1 - P\left(X=0\right) = 1 - \left(1-0{,}06\right)^{50} = 1 - 0{,}94^{50}\approx 0{,}955$.
    \finsol
  \end{enumerate}

  \item Déterminer le nombre moyen de connexions malveillantes par échantillon de $50$ connexions.

  \debsol
  $E\left(X\right)=np=50\times 0{,}06=3$.

  En moyenne, un échantillon de $50$ connexions contient $3$ connexions malveillantes.
  \finsol
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les attaquants sont capables de s'adapter à la configuration d'un pare-feu. La durée d'efficacité, exprimée en mois, d'une configuration pour un pare-feu, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

La probabilité qu'une configuration ait une durée d'efficacité totale supérieure à $6$ mois est égale à $0{,}4$.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$.

  \debsol
  Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, on a $P\left(Y > t\right) = \e^{-\lambda t}$ pour tout $t \geqslant 0$. Donc :

  $\e^{-6\lambda} = 0{,}4 \iff -6\lambda = \ln\left(0{,}4\right) \iff \lambda = \dfrac{-\ln\left(0{,}4\right)}{6} = \dfrac{\ln\left(2{,}5\right)}{6} \approx 0{,}153$.
  \finsol

  \item Quelle est la valeur moyenne, calculée en mois, de la durée d'efficacité totale d'une configuration ?

  \debsol
  Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, l'espérance vaut $E\left(Y\right) = \dfrac{1}{\lambda}$. Donc :

  $E\left(Y\right) = \dfrac{1}{\lambda} \approx \dfrac{1}{0{,}153} \approx 6{,}55$ mois.

  La durée d'efficacité moyenne d'une configuration est d'environ $6{,}55$ mois.
  \finsol
\end{enumerate}

\end{document}