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%Tapuscrit : Ronan Charpentier
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\begin{document}
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\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien-lunetier -- corrigé}}
\rfoot{\footnotesize{16 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]16 mai 2025}  
\end{center}

%\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og   type collège \fg{} est autorisé.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

%Une usine produit des montures de lunettes et les vend à des opticiens.

%Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.

\subsection*{Partie A. Statistique}

%On étudie la relation entre le prix de vente d'une monture et la recette de l'usine.

%Une enquête a permis d'obtenir le résultat suivant.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%$x$ Prix de vente d'une monture, en euros & 5 & 5,5 & 6 & 6,5 & 7 & 7,5 \\
%\hline
%$y$ Recette de l'usine, en milliers d'euros & 17,72 & 18,21 & 18,74 & 19,12 & 19,35 & 19,85 \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

%Ainsi, lorsque le prix de vente d'une monture est égal à 5 euros, la recette de l'usine est égale à 17,72 milliers d'euros, soit 17 720 euros.

\begin{enumerate}
\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x,y)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
On trouve un coefficient de corrélation linéaire $r \approx 0,994$. 
\item Le coefficient de corrélation est proche de 1 donc un ajustement affine de $y$ en $x$ est justifié.
%Expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$ est justifié.

\item À l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x$ est $y=0,8x+13,7$.
%À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x$, selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$.

\item Selon ce modèle la recette de l'usine pour un prix de vente égal à $x=10$ euros est $y=0,8 \times 10+13,7=21,7$ milliers d'euros soit 21700 euros.
%Selon ce modèle, quelle est la recette de l'usine, lorsque le prix de vente d'une monture est égal à 10 euros ? Arrondir à l'euro près.

\item %Une étude montre que, lorsque le prix de vente d'une monture est égal à 10 euros, la recette de l'usine est, en réalité, égale à 19 950 euros.

%Lorsque l'écart entre la valeur donnée par un modèle statistique et la valeur réelle est inférieur à 5 \%, on dit que le modèle est fiable.

%Le modèle étudié ici est-il fiable ? Justifier.

L'écart entre la valeur donnée par un modèle statistique et la valeur réelle 

est $\dfrac{21700-19950}{19950}\approx 0,09$. 

Avec 9\,\% d'écart, on peut conclure que le modèle n'est pas fiable.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Équation différentielle}

%On considère l'équation différentielle :

%\[(E) : y' + 0,1y = 5e^{-0,1x},\]

%où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de l'équation différentielle

%\[(E_0) : y' + 0,1y = 0.\]

%
Les solutions de l'équation différentielle
$(E_0) : y' + 0,1y = 0$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-0,1x}$ où $k$ est une constante.

\item %On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$, par :

%\[g(x) = 5xe^{-0,1x}.\]

%On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0; +\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item[a.] %Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$

on a $g'(x)=5 \text{e}^{-0,1x} +5x(-0,1)\text{e}^{-0,1x}=(-0,5x+5)\text{e}^{-0,1x}$.

\item[b.] Par conséquent pour tout $x \geqslant 0$, 
$g'(x)+0,1 g(x)=(-0,5x+5)\text{e}^{-0,1x}+0,1 \times 5x \text{e}^{-0,1x}$ 

 soit $g'(x)+0,1 g(x)=\left(-0,5x+5+0,5x\right)\text{e}^{-0,1x}=5\text{e}^{-0,1x}$ 
et la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

%En déduire que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item[a.] Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme $h(x)=k \text{e}^{-0,1x}+ g(x)$

soit $h(x) = (5x + k)e^{-0,1x}$.

%En déduire que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $h$ définies pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$, par :

%\[h(x) = (5x + k)e^{-0,1x}, \quad \text{où } k \text{ est une constante réelle}.\]

\item[b.] %Déterminer, à $10^{-2}$ près, la valeur de la constante $k$ pour que la fonction $h$ ci-dessus vérifie :

%\[h(5) = 17,72.\]

La condition initiale $h(5)=17,72$ donne $(5 \times 5 + k)e^{-0,1 \times 5}=17,72$ 

donc $k=17,72 \text{e}^{0,5}-25 \approx 4,22$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie C. Étude de fonction}

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [5~;~15] ;

par $f(x) = (5x + 4,22)\text{e}^{-0,1x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les valeurs approchées à $10^{-2}$ de $f(5)$ et $f(15)$.

Au centième, $f(5) = (5 \times 5 + 4,22)\text{e}^{-0,1 \times 5}=29,22\text{e}^{-0,5}\approx17,72$ 

et $f(15) = (5 \times 15 + 4,22)\text{e}^{-0,1\times 15}=79,22\text{e}^{-1,5}\approx 17,68$.
\item 
\begin{enumerate}
\item[a.] $f'(x) = (4,578 - 0,5x)\text{e}^{-0,1x}$ est du signe de $4,578-0,5x$ sur l'intervalle [5~;~15] car $\text{e}^{-0,1x}>0$ sur cet intervalle.

$f'(x)\geqslant 0 \iff 4,578-0,5x\geqslant 0 \iff -0,5 x \geqslant 4,578 \iff x \leqslant 9,156$ et on donne le signe de $f'(x)$ dans le tableau de variations de $f$ ci-dessous. 
\item[b.] Au millième, $f(9,156) = (5 \times 9,156 + 4,22)\text{e}^{-0,1 \times 9,156}=50\text{e}^{-0,9156}\approx 20,014$.

\item[c.] On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [5 ; 15].
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0.5,0)--(12,0)--(12,4)--(0.5,4)--cycle;
\draw(0.5,3.2)--(12,3.2);
\draw(0.5,2.4)--(12,2.4);
\draw((2,0)--(2,4);
\draw(1.25,3.6)node{$x$};
\draw(2.3,3.6)node{$5$};
\draw(7,3.6)node{$9,156$};
\draw(11.7,3.6)node{$15$};
\draw(1.25,2.8)node{$f'(x)$};
\draw(4.5,2.8)node{$+$};
\draw(7,2.8)node{$0$};
\draw(7,2.4)--(7,3.2);
\draw(9.5,2.8)node{$-$};
\draw(1.25,1.2)node{$f$};
\draw(2.6,0.3)node{$17,72$};
\draw(7,2.1)node{$20,014$};
\draw(11.4,0.3)node{$17,68$};
\draw[->](3.2,0.3)--(6.3,2.1);
\draw[->](7.7,2.1)--(10.8,0.3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item %On suppose que la fonction $f$ modélise la recette de l'entreprise en fonction du prix de vente d'une monture. Ainsi, lorsque le prix de vente d'une monture, en euros, est égal à $x$, la recette de l'usine, en milliers d'euros, est égale à $f(x)$.

%Quel doit-être le prix de vente d'une monture pour que la recette soit maximale ? À combien s'élève alors la recette ?

Pour que la recette $f(x)$ soit maximale, il faut alors que le prix de vente soit $x=9,16$ € et la recette est alors $f(9,16)\approx 20,014$ milliers d'euros soit \np{20014} euros.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

%Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.

\subsection*{Partie A. Probabilités conditionnelles}

\begin{enumerate}
\item On a complété l'arbre.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node at (1.5,0.8) {0,9};
\node at (3.5,1) {C};
\node at (3.5,-1) {$\overline{C}$};
\draw (3,-1)--(0,0)--(3,1);
\node at (7.5,1.5) {R};
\node at (7.5,0.5) {$\overline{R}$};
\draw (4,1) -- (7,1.5);
\draw (4,1) -- (7,.5);
\node at (5.5,0.45) {0,95};
\node at (7.5,-0.5) {R};
\node at (7.5,-1.5) {$\overline{R}$};
\draw (7,-.5) -- (4,-1)-- (7,-1.5);

\node at (1.5,-0.8) {0,1};
\node at (5.5,1.55) {0,05};
\node at (5.5,-0.45) {0,97};
\node at (5.5,-1.55) {0,03};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité que la monture soit conforme et refusée est

$P(C \cap R)=P(C) \times P_C(R) = 0,9 \times 0,05=0,045$.

\item La probabilité que la monture soit refusée est 

$P(R)=P(C \cap R)+P( \overline{C}\cap R)=0,045+0,1 \times 0,97= 0,142$.

\item Un technicien affirme : « Parmi les montures refusées, plus du quart sont conformes ».

Il affirme donc que $P_R(C)>\dfrac14$.

Vérifions : $P_R(C)=\dfrac{P(R \cap C)}{P(R)}=\dfrac{0,045}{0,142}\approx 0,317 >0,25$.

Le technicien a raison.

\item La probabilité que la machine commette une erreur est

$P(C \cap R)+P(\overline{C}\cap \overline{R})=0,045 + 0,1 \times 0,03= 0,048$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Loi binomiale et loi normale}

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,142$.

\item La probabilité qu'au plus 12 \% des montures de l'échantillon aient été refusées est $P(X \leqslant 120) \approx 0,024$ au millième.

\item On approche la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de même moyenne $m = np=1000 \times 0,142=142$ et de même écart-type 

$\sigma = \sqrt{n p (1-p)}=\sqrt{1000 \times 0,142 \times 0,858}\approx 11$.

\item 

%\textit{La zone grisée est disposée symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la courbe. Elle représente une probabilité égale à 0,95.}

%Donner une valeur approchée du réel $b$ puis des réels $a$ et $c$.

Par symétrie, $b=m=142$. On reconnaît que $[a~;~c]$ est l'intervalle à plus ou moins deux écarts-types donc $a=142 -2 \times 11=120$ et $142+2\times 11=164$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie C. Test d'hypothèse}

%Une usine possède un grand stock de vis destinées à l'assemblage des montures. La longueur des vis doit être égale à 3mm. Afin de contrôler cette longueur, on prélève un échantillon aléatoire de 400 vis et on réalise un test bilatéral au seuil de signification de 5 \%.


\begin{enumerate}
\item $P(3 - h < \overline{L} < 3 + h) = 0,95 \iff h=2 \times \dfrac{0,1}{\sqrt{400}}=0,01$.

L'intervalle d'acceptation de $H_0$ est donc $[3-0,01~;~3+0,01]=[2.99~;~3.01]$.

\item On prélève un échantillon de 400 vis et on calcule la moyenne $\overline{l}$ des longueurs des vis de cet échantillon.

Si $\overline{l} \in [2,99~;~3,01]$
alors on accepte l'hypothèse nulle

sinon on rejette l'hypothèse nulle, avec un risque d'erreur de 5 \,\%.

\item %On prélève un échantillon aléatoire de 400 vis. Les longueurs de ces vis figurent dans le tableau ci-dessous.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%Longueur (en mm) & 2,98 & 2,99 & 3,00 & 3,01 & 3,02 \\
%\hline
%Effectif & 48 & 92 & 240 & 18 & 2 \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item[a.] La longueur moyenne des vis de cet échantillon est

 $\overline{l}=\dfrac{48\times2,98+92\times2,99+240\times3+18\times3,01+2\times3,02}{400}=2,99585$.

\item[b.] $\overline{l} \in [2,99~;~3,01]$ donc on accepte l'hypothèse nulle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}