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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier -- Corrigé},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur -- Corrigé}
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{14 mai 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Opticien-lunetier -- 14 mai 2018}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

%\medskip
%
%Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{A. Étude d'une série statistique}

\medskip

Le graphique suivant représente l'évolution des ventes d'un certain modèle de lentilles de couleur depuis 2010 par l'entreprise \og Beauzyeux \fg. 
En abscisse, $x$ correspond au rang de l'année à partir de l'année 2010 et en ordonnée $y$ correspond au nombre de paires de lentilles de couleur de ce modèle vendues durant l'année $2010 + x$, exprimé en centaines.

\begin{center}
\scalebox{0.8}
{
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(8,250)
\multido{\n=0.0+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(0,0)(8,250)
\psdots(0,212.48)(1,139.1)(2,84.07)(3,55.16)(4,34.01)(5,28)(6,27.03)(7,23)
\uput[d](4,-20){Rang de l'année à partir de 2010}
\rput{90}(-1,125){Nombre de lentilles en centaines}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide du graphique et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$ n'est pas approprié.
Les points tracés de coordonnées $(x\;;\;y)$ ne sont pas du tout alignés donc un ajustement affine de $y$ en $x$ n'est pas approprié.

\item  On effectue le changement de variable $z = \ln(y - 20)$, et on obtient le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline
$x$ &0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline
$z$ &5,26 	&4,78 	&4,16 	&3,56 	&2,64 	&2,08 	&1,95 	&1,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x~;~z)$ est $-0,994$.
		\item L'ajustement affine de $z$ en $x$ est approprié car le coefficient de corrélation linéaire est très voisin de $-1$.
 	\end{enumerate}
\item  Une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ selon la méthode des moindres carrés, en arrondissant au dixième les coefficients est
$z=-0,6 x + 5,3$.

\item % En déduire, en utilisant le changement de variable, une expression de $y$ en fonction de $x$ de la forme $y = A \text{e}^{- 0,6 x} + 20$, où $A$ est arrondi à l'unité.
$z=\ln(y-20)$ donc de $z=-0,6 x + 5,3$, on déduit $\ln(y-20)=-0,6 x + 5,3$ ce qui équivaut à $y-20 = \e^{-0,6x+5,3}$ ou encore $y = \e^{-0,6x}\times \e^{5,3} + 20$.

Or $\e^{5,3}$ a pour valeur arrondie à l'unité le nombre 200 donc $y=200\e^{-0,6x} +20$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On modélise l'évolution du nombre de paires, en centaines, d'un certain type de lentilles de
couleur vendues par l'entreprise \og Beauzyeux\fg{} par une fonction solution de l'équation
différentielle $(E)$ :

$y' + 6y = 120$,
où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$ : $10y'+6y=0$.

On fournit la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle & Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$ay'+ by = 0$ & $f(x) = k \e^{- \frac{b}{a}x}$\rule[-4pt]{0pt}{17pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Pour $(E_0)$ : $10y'+6y=0$, on a $a=10$ et $b=6$ donc $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{10} = -0,6$.

On en déduit que l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $f_0$ définies par $f_0(x) = k \e^{-0,6 x}$ où $k$ est un réel.

\item % Déterminer le nombre réel $c$ tel que la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = c$ soit une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Si la fonction constante $g$ définie par $g(x)=c$ est solution de $(E)$, alors \\
$10 g' + 6g=120 \iff 0+6c = 120 \iff c=20$. 

\item%  En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
Les solutions de l'équation $(E)$ sont constituées de la somme des solutions $f_0$ de l'équation homogène associée, et d'une solution particulière $g$ de l'équation complète; l'équation différentielle $(E)$ a donc pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(x)=k\e^{-0,6x}+20$.

\item%  Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 220$.
$f(0) = 220 \iff k\e^{-0}+20 = 220 \iff k=200$

La solution cherchée est donc la fonction $f$ définie par $f(x)=200\e^{-0,6x} + 20$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par $f(x) = 200 \e^{- 0,6 x} + 20$.

Dans cette partie, on modélise l'évolution du nombre de paires, en centaines, d'un certain type de lentilles de couleur, vendues par l'entreprise \og Beauzyeux \fg, en fonction du rang $x$ de l'année après 2010, par la fonction $f$.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants. %Ces résultats sont admis et peuvent être utilisés dans les questions suivantes .

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{c|X}\hline
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1& Dérivée[200\,exp$(-0,6x)+20$]\\
$\circ$ &$\to  -120 \e^{- \frac{3}{5}x}$\\ \hline %\pscircle(0,0){3pt}
2& Intégrale[200\,exp$(-0,6x)+20, x$]\\
$\circ$ & $\to - \dfrac{\np{1000}}{3} \e^{-\frac{3}{5}x} + 20 x + c_1$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline
3 & Limite[200\,exp$(-0,6x)+20$, +inf]\\
$\circ$ &$\to 20$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ dépend du signe de la dérivée $f'$.

D'après le logiciel de calcul formel, $f'(x)=-120 \e^{-\frac{3}{5}x}$. Or, pour tout réel $X$, $\e^{X} >0$, donc pour tout $x$ de $[0~;~ + \infty[$, $f'(x)<0$.

On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] est
$\dfrac{1}{10-0}\ds\int_0^{10} f(x) \d x$.

D'après le logiciel de calcul formel, la fonction $F$ définie par $F(x)= -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-\frac{3}{5}x}+20x +c_1$ est  une primitive de la fonction $f$..

$\ds\int_0^{10} f(x) \d x =\left [F(x)\strut \right ]_{0}^{10}
= \left [ -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-\frac{3}{5}x}+20x +c_1\right ]_{0}^{10}\\
\phantom{\ds\int_0^{10} f(x) \d x}
= \left (  -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-\frac{3}{5}\times 10} +20\times 10 + c_1\right ) - \left (   -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-\frac{3}{5}\times 0}+20\times 0 +c_1\right )\\
\phantom{\ds\int_0^{10} f(x) \d x}
=  -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-6} +200  +c_1 +\dfrac{\np{1000}}{3} -c_1
= \dfrac{\np{1600}}{3} -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-6}$

Donc la valeur moyenne entre 0 et 10 est
$\dfrac{1}{10}\left (  \dfrac{\np{1600}}{3} -\dfrac{\np{1000}}{3}\e^{-6}\right )
=  \dfrac{\np{160}}{3} -\dfrac{\np{100}}{3}\e^{-6}\approx 53$.

\item D'après le modèle étudié dans cette partie, le nombre de ventes annuelles de paires de
ce type de lentilles de couleur est égal à \np{1500} ou 15 centaines, si on peut trouver $x$ tel que $f(x)=15$.

La fonction $f$ est strictement décroissante et, d'après le logiciel de calcul formel, $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = 20$ donc, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $f(x)\geqslant 0$.

Donc l'équation $f(x)=15$ n'a pas de solution et donc  le nombre de ventes annuelles de paires de
ce type de lentilles de couleur ne peut pas être égal à \np{1500}.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Étude d'une suite}

\medskip

Un des magasins de l'entreprise \og Beauzyeux \fg{} a constaté la progression suivante pour la
vente d'un nouveau modèle de lentilles de couleur.

Le premier mois, 150 clients achètent les nouvelles lentilles de couleur. Chaque mois
suivant, 5\,\% des anciens clients ne les rachètent pas alors que quatre nouveaux clients
achètent ces lentilles.

On modélise le nombre de clients chaque mois par la suite $\left(u_n\right)$ définie par:
\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_0& 150\\
u_{n + 1} & 0,95 u_n + 4,\: \text{pour tout entier naturel }n,
\end{array}\right.\]

où $n$ représente le rang du mois en prenant $n = 0$ pour le premier mois.

\smallskip

Ainsi, $u_0$ désigne le nombre de clients le premier mois et le nombre de clients du mois de
rang $n$ est estimé par l'arrondi à l'unité de $u_n$.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 80$ donc $u_n=v_n+80$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - 80 = 0,95u_n+4-80 = 0,95\left ( v_n+80\right ) -76 = 0,95v_n+76-76 = 0,95v_n$
\item $v_0 = u_0-80 = 150-80=70$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=70$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=70$	donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n = 70\times 0,95^{n}$.	
		
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 70 \times 0,95^n + 80$.
On a vu dans les questions précédentes que, pour tout entier naturel $n$,		
$\left \lbrace
\begin{array}{@{} l !{=} l}
v_n & 70\times 0,95^{n}\\
u_n &  v_n+80
\end{array}
\right.$

On en déduit que, pour tout $n$, $u_n=70 \times 0,95^n + 80$.
		
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}
\hline
$s \gets 0$\\
Pour $n$ allant de 0 à 23\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$u \gets  70 \times 0,95^n + 80$\\
$s\gets s+ u$\\ 
\end{tabular}\\
Fin Pour\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\emph{Remarque : dans cet algorithme $s \gets 0$ signifie que la valeur $0$ est affectée à la variable $s$.}
%
%\smallskip

En sortie de cet algorithme, la valeur arrondie à l'unité de la variable $s$ est \np{2911} ce qui signifie que $u_0+u_1+u_2 + \cdots + u_{23}  = \np{2911}$.
Autrement dit, le nombre total de clients les 24 premiers mois (ou les 2 premières années) est de \np{2911}.

%Que représente ce nombre dans le contexte ?

\item%  Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $70 \times 0,95^n + 80 \leqslant 100$. Interpréter la réponse dans le contexte.
On résout l'inéquation $70 \times 0,95^n + 80 \leqslant 100$.

$70 \times 0,95^n + 80 \leqslant 100
\iff 70 \times 0,95^n  \leqslant 20
\iff 0,95^{n} \leqslant \dfrac{2}{7}
\iff \ln\left (0,95^n \right ) \leqslant \ln\left ( \dfrac{2}{7} \right )\\
\phantom{70 \times 0,95^n + 80 \leqslant 100}
\iff n \times \ln(0,95) \leqslant \ln\left ( \dfrac{2}{7} \right )
\iff n \geqslant \dfrac{\ln\left ( \frac{2}{7} \right )}{\ln(0,95)}$

Or $\dfrac{\ln\left ( \frac{2}{7} \right )}{\ln(0,95)} \approx 24,4$ donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $70 \times 0,95^n + 80 \leqslant 100$ est $n=25$.

Comme on démarre de $n=0$, c'est à partir du 26\ieme{} mois que le nombre de clients sera inférieur ou égal à 100.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande série des verres optiques.

%\begin{center}
%\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%
%\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}.$ \unboldmath
%\end{center}

\bigskip

\textbf{A. Loi exponentielle}

\medskip

Dans un laboratoire, on utilise une meuleuse automatique pour le détourage des verres.

Cette meuleuse doit être soumise à un étalonnage aussi souvent que nécessaire. On considère que la durée de bon fonctionnement, exprimée en jours, entre deux étalonnages est modélisée par une variable aléatoire $T$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$.

On rappelle que :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item pour tout nombre réel positif $t$, on a $P(T \leqslant t) = 1 - \e^{ - \lambda t}$ ;
\item l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(T \leqslant 6) = 1-\e^{-0,125\times 6} \approx 0,528$

\item  La probabilité que la durée de bon fonctionnement de cette machine dépasse 9~jours est

$P(T>9) = 1-\left (P(T \leqslant 9)\right ) = 1-\left ( 1-\e^{-0,125\times 9} \right ) = \e^{-1,125} \approx 0,325$

\item  $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,125} = 8$% puis interpréter ce nombre dans le contexte.

Donc la durée moyenne de bon fonctionnement de cette machine est de 8 jours.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

Les verres sont ensuite ébauchés.
On admet qu'après cet usinage, 1\,\% des verres ont un défaut de courbure.
On prélève au hasard $500$ verres ébauchés. La production est suffisamment importante pour
que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $500$ verres.
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le
nombre de verres qui ont un défaut de courbure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour chaque verre, il n'y a que deux possibilités: il a un défaut, avec une probabilité de $p=0,01$, ou il n'en a pas, avec une probabilité de $1-p=0,99$.
\item On prélève au hasard 500 verres et la production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
\end{list}		

On peut donc dire que la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de verres défectueux dans l'échantillon suit la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,01$.		
		
		\item On trouve à la calculatrice que $P(X = 5)\approx 0,176$.
		\item La probabilité que le nombre de verres ayant un défaut de courbure soit strictement inférieur à $4$ dans un tel prélèvement est $P(X<4) = P(X\leqslant 3) \approx 0,264$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Le paramètre de cette loi de Poisson est, d'après le cours, $\mu=np=500\times 0,01=5$.
		\item On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\mu=5$.
		
On trouve à la calculatrice que $P(Y \leqslant 3) \approx 0,265$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

Les verres sans défaut de courbure sont alors polis. On constate qu'à l'issue du polissage
certains verres sont défectueux.

On considère la production de verres polis d'une journée. On souhaite construire un test
d'hypothèse unilatéral pour décider si, au seuil de 5\,\%, on peut considérer qu'il y a plus de
10\,\% de verres défectueux.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de $400$ verres prélevé dans la
production, associe la fréquence des verres défectueux dans cet échantillon.

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1- p)}{400}}$.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $p = 0,10$ \fg.

L'hypothèse alternative $H_1$ est: \og $p > 0,10$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le texte, la variable aléatoire $F$ suit une loi normale et comme on est sous hypothèse $H_0$, la moyenne de cette loi est  $p=0,10$.

L'écart-type est $\ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{400}} = \ds\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9\vphantom{p\left (1-p\right )}}{400}} = 0,015$.

Donc la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de moyenne $0,1$ et d'écart-type $0,015$.

\item  On souhaite déterminer, sous l'hypothèse nulle $H_0$, le réel positif $a$ tel que $P(F \leqslant a) = 0,95$; on trouve à la calculatrice pour valeur de $a$ arrondie au millième le nombre $0,125$.



%\smallskip
%
%\emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. \\
%Une seule réponse est correcte.\\
%Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\
%La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
%rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\smallskip
%
%La valeur approchée de $a$ arrondie au millième est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%0,075 &0,100& 0,119& 0,125\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item % Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
On prélève un échantillon aléatoire de 400 verres dans la production de verres polis puis on calcule la fréquence $f$ de verres défectueux dans cet échantillon.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $f \leqslant 0,125$, on accepte l'hypothèse $H_0$.
\item Si $f>0,125$ on rejette l'hypothèse $H_0$.
\end{list}

\item  On prélève un échantillon aléatoire de $400$ verres dans la production de verres polis de la
journée. On constate qu'il y a $46$ verres défectueux dans cet échantillon donc $f=\dfrac{46}{400} = 0,115$.

$0,115 \leqslant 0,125$ donc on accepte l'hypothèse $H_0$ ce qui signifie qu'on accepte l'hypothèse selon laquelle il y a moins de 10\,\% de verres défectueux dans la production, au risque de 5\,\% de se tromper.

%Quelle est la conclusion du test ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Évènements indépendants}

\medskip

En fin de processus, les verres sont contrôlés.
On a contrôlé la qualité de la production d'une journée et on a constaté que 5\,\% des verres
ont un défaut de diamètre et que 8\,\% des verres ont un défaut d'épaisseur.
On prélève un verre au hasard dans cette production.

On note $D$ l'évènement: \og le verre prélevé présente un défaut de diamètre \fg.

On note $E$ l'évènement: \og le verre prélevé présente un défaut d'épaisseur \fg.

On admet que $P(D) = 0,05$ et $P(E) = 0,08$ et que les évènements $D$ et $E$ sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les événements $D$ et $E$ sont indépendants donc 

$P(D \cap E) = P(D)\times P(E)=0,05\times 0,08 = 0,004$.

\item La probabilité que le verre contrôlé ait au moins un des deux défauts est

$P(D \cup E) = P(D) + P(E) - P(D\cap E) = 0,05+0,08 - 0,004 = 0,126$.

\item% Calculer la probabilité que le verre contrôlé n'ait aucun des deux défauts.
L'événement \og le verre contrôlé n'a aucun des deux défauts \fg{} est l'événement contraire de \og le verre contrôlé a au moins un des deux défauts \fg{} donc sa probabilité est

$1-P(D\cup E) = 1-0,126 = 0,874$.
\end{enumerate}
\end{document}