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%Tapuscrit : Ronan Charpentier
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pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{15 mai 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]15 mai 2023}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On s'intéresse à une entreprise qui commercialise des montures de lunettes.

\medskip


\textbf{Partie A - Etude d'une série statistique.}

\medskip


Le graphique ci-dessous représente l'évolution des ventes d'un modèle de monture de lunettes 

depuis l'année 2017.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \y in {250,270,290,310,330,350,370,390,410,430} \draw(10,{(\y-250)/40})--(0,{(\y-250)/40})node[left]{$\y$};
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5} \draw({2*\x},4.5)--({2*\x},-0.1)node[below]{$\x$};
\draw(0,{(275-250)/40})node{\Large $\bullet$};
\draw(2,{(370-250)/40})node{\Large $\bullet$};
\draw(4,{(383.5-250)/40})node{\Large $\bullet$};
\draw(6,{(406.5-250)/40})node{\Large $\bullet$};
\draw(8,{(408.6-250)/40})node{\Large $\bullet$};
\draw(10,{(413-250)/40})node{\Large $\bullet$};
\draw(5,-1)node{$t$ : rang de l'année à partir de 2017};
%\draw(-2,2.3)node{$N$ : nombre de};
%\draw(-2,2)node{montures};
\draw(1.3,5.05)node{$N$ : nombre de montures};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi 

Le nuage de points n'est pas rectiligne donc un ajustement affine de $N$ en $t$ n'est pas pertinent.

\medskip

\item On effectue le changement de variable $z=\ln(415-N)$.

On obtient alors le tableau suivant :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 \\ \hline 
$t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 
$z$ & 4,94 & 3,81 & 3,45 & 2,14 & 1,86 & 0,77 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice le coefficient de corrélation linéaire de la série $(t~;~z)$ est $r\approx -0,989$. 
\item Ce coefficient est proche de -1 donc un ajustement affine de $z$ en $t$ est pertinent.
\end{enumerate}

\medskip
\item A l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ est $z = -0,80t + 4,83$.

\medskip
\item De $z=-0,80t+4,83$ on déduit $\ln(415-N)=-0,80t+4,83$ donc $415-N=\text{e}^{-0,80t+4,83}$ 

et $N=415 - \text{e}^{-0,80t} \times \text{e}^{4,83}$ soit $N=415-C \text{e}^{-0,8t}$ où $C=\text{e}^{4,83}\approx 125$.

\medskip

\item On suppose que l'évolution constatée se poursuit, alors le nombre de montures vendues en 2023 sera $N=415-125 \text{e}^{-0,8 \times 6}\approx 414$.

\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Partie B - Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle
$(E_0) \: : \: 5y'+4y=0$ sont les fonctions $y=k\text{e}^{-0,8t}$ où $k$ est une constante.


\item La fonction constante $g(t)=c$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si $5 g'(t)+4 g(t)=1660$ 

soit $5 \times 0+4c=1660$ 
donc pour $c=415$ la fonction $g(t)=415$ est solution de $(E)$.

\medskip
\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont alors $y=k\text{e}^{-0,8t}+415$.

\medskip

\item $f(0)=290 \iff k\text{e}^{-0,8\times 0}+415=290 \iff k=-125$,

la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=290$ est $f(t)=-125\text{e}^{-0,8t}+415$.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude d'une fonction.}

\medskip
On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(t)=415-125 \text{e}^{-0,8t}.$

On admet que cette fonction modélise l'évolution du nombre de montures vendues en fonction du temps :

\begin{itemize}
\item[\:\:]$t$ désigne le temps écoulé, en années, à partir de l'année 2017.
\item[\:\:]$f(t)$ désigne le nombre de montures vendues.
\end{itemize}

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants. Ces résultats sont admis et peuvent être utilisés dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[fill=gray!30,draw=gray!30](0,0)rectangle(1,7.2);
\draw(0.5,6.3)node{\Large 1};
\draw(0.5,4.5)node{\Large 2};
\draw(0.5,3)node{\Large 3};
\draw[fill=white,draw=gray!60](0.5,2.4)circle(0.2);
\draw(0.5,0.9)node{\Large 4};
\draw(0,0)--(10,0)--(10,7.2)--(0,7.2)--cycle;
\draw(0,1.8)--(10,1.8);
\draw(0,3.6)--(10,3.6);
\draw(0,5.4)--(10,5.4);
\draw(1.25,6.8)node[right]{dérivée$(415-125\text{e}^{-0,8t})$};
\draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,5.7)--(1.75,5.7);
\draw(1.8,6)node[right]{\textbf{$100 \text{e}^{\dfrac{-4}5 t}$}};

\draw(1.25,5)node[right]{intégrale$(415-125\text{e}^{-0,8t},t)$};
\draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,4.05)--(1.75,4.05);
\draw(1.8,4.2)node[right]{\textbf{$\dfrac{625}{4} \text{e}^{\dfrac{-4}5 t}+415t+c_1$}};

\draw(1.25,3.2)node[right]{Limite$(415-125\text{e}^{-0,8t},\infty)$};
\draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,2.1)--(1.75,2.1);
\draw(1.8,2.1)node[right]{\textbf{$415$}};

\draw(1.25,1.4)node[right]{PolynômeTaylor$(415-125\text{e}^{-0,8t},t,0,2)$};
\draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,0.3)--(1.75,0.3);
\draw(1.8,0.35)node[right]{\textbf{$290+100 t-40 t^2$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=415$ donc la courbe $\mathcal{C}$ admet en $+\infty$ une asymptote d'équation $y=415$, ce qui signifie qu'à long terme le nombre de montures se rapprochera de 415.


\medskip
\item $f'(t)=100 \text{e}^{-0,8t}$ or $\text{e}^{-0,8t}>0$ donc $f'(t)>0$ et  la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$.

\medskip
\item On note $T$ la tangente à la courbe de $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

La situation 2 représente correctement la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $T$ au voisinage de zéro.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw(0,0)--(3,0)--(3,1)--(0,1)--cycle;
\draw(1.5,0.5)node{Situation 1};
\draw(0.5,1.5)--(2,3);
\draw(2,3)node[above right]{$T$};
\draw[samples=100,domain=0:1.5]plot({0.5+\x},{1.5+\x+\x*\x/4});
\draw(2,3.75)node[left]{$\mathcal{C}$};

\draw(5,0)--(8,0)--(8,1)--(5,1)--cycle;
\draw(6.5,0.5)node{Situation 2};
\draw(5.5,1.5)--(7,3);
\draw(7,3)node[above right]{$T$};
\draw[samples=100,domain=0:1.75]plot({5.5+\x},{1.5+\x-\x*\x/4});
\draw(7.25,2.5)node[right]{$\mathcal{C}$};

\draw(10,0)--(13,0)--(13,1)--(10,1)--cycle;
\draw(11.5,0.5)node{Situation 3};
\draw(10.5,1.5)--(12,3);
\draw(12,3)node[above right]{$T$};
\draw[samples=100,domain=0:2]plot({10.5+\x},{1.5+\x*\x/4});
\draw(12.5,2.5)node[right]{$\mathcal{C}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textit{D'une part l'équation de $T$ est $y=290+100t$, d'autre part la courbe $\mathcal{C}$ est en-dessous de $T$ car $-40t^2 \leqslant 0$.}

\end{enumerate}


\newpage

\textbf{Partie D - Étude d'une suite.}

\medskip

On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_0=3000$, et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9 u_n+500.$

La suite $(u_n)$ représente l'évolution du nombre de clients de l'entreprise.

Ainsi $u_n$ correspond au nombre de clients durant l'année 2017+$n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de clients lors de l'année 2018 est $u_1=0,9 u_0+500=0,9 \times 3000+500=3200$.

\medskip
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-5000$.

$v_{n+1}=u_{n+1}-5000=0,9 u_n +500 -5000=0,9 u_n -4500 =0,9(u_n-5000)=0,9 v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9.

\medskip
\item On sait que $v_0=u_0-5000=3000-5000=-2000$ et que $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9 donc $v_n=-2000 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
\item Alors $u_n=v_n+5000=-20000 \times 0,9 +5000$ pour tout entier naturel $n$ soit $u_n=5000-2000\times 0,9^n.$

\medskip
\item Le nombre de clients lors de l'année 2023 est $u_6=5000 -2000 \times 0,9^6 \approx 3937$. 

\medskip
\item On considère l'algorithme suivant :


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
\texttt{n}$\leftarrow$\texttt{0}  \\

\texttt{u}$\leftarrow$\texttt{3000} \\

\texttt{Tant que u}$\leqslant$\texttt{4000} \\

\hspace{1cm}\texttt{n}$\leftarrow$\texttt{n+1} \\

\hspace{1cm}\texttt{u}$\leftarrow$\texttt{0,9*u+500} \\

\texttt{Fin Tant que}\\


\hline 
\end{tabular} 
\end{center} 

La valeur de la variable $n$ après l'exécution de l'algorithme est $n=7$ (car $u_6 \approx 3937$ et $u_7 \approx 4043$) ce qui signifie que le premier terme de $(u_n)$ qui dépasse le seuil 4000 est $u_7$, le nombre de clients de l'entreprise dépassera 4000 à partir de 2024.
\end{enumerate}

\textit{Remarque : l'énoncé original initialisait \texttt{n} à \texttt{1}, à la première ligne de l'algorithme.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une usine fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-finis.

\medskip

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a complété l'arbre de probabilités.

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(3,2)node[right]{$F_1$};\draw(1.5,1.4)node{$0,3$};
\draw(0,0)--(3,0)node[right]{$F_2$};\draw(1.5,.2)node{$0,6$};
\draw(0,0)--(3,-2)node[right]{$F_3$};\draw(1.5,-1.4)node{$0,1$};
\draw(4,2)--(7,2.5)node[right]{$D$};\draw(5.5,2.5)node{$0,03$};
\draw(4,2)--(7,1.5)node[right]{$\overline{D}$};\draw(5.5,1.45)node{$0,97$};
\draw(4,0)--(7,0.5)node[right]{$D$};\draw(5.5,0.56)node{$0,04$};
\draw(4,0)--(7,-0.5)node[right]{$\overline{D}$};\draw(5.5,-0.6)node{$0,96$};
\draw(4,-2)--(7,-1.5)node[right]{$D$};\draw(5.5,-1.5)node{$0,02$};
\draw(4,-2)--(7,-2.5)node[right]{$\overline{D}$};\draw(5.5,-2.55)node{$0,98$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\medskip
\item $P\left(F_1 \cap D\right)=P(F_1) \times P_{F_1}(D)=0,3 \times 0,03=0,009$.

\medskip
\item La probabilité que le verre semi-fini soit défectueux est 

$P(D)=P(F_1 \cap D)+P(F_2 \cap D)+P(F_2 \cap D)=0,009+0,6 \times 0,04 + 0,1 \times 0,02=0,035$.

\medskip
\item On sait que le verre semi-fini est défectueux.

La probabilité qu'il provienne du premier fournisseur est $P_D(F_1)=\dfrac{P(D \cap F_1)}{P(D)}=\dfrac{0,009}{0,035}\approx 0,257$.

\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B - Loi binomiale et loi normale.}

\medskip

On estime que 3,5 \,\% des verres semi-finis du stock de l'usine sont défectueux.

On prélève un échantillon aléatoire de 200 verres semi-finis dans le stock de l'usine.

On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de verres semi-finis défectueux au sein de l'échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

Les paramètres de la loi de $X$ sont $n=200$ et $p=0,035$.
\item D'après la calculatrice, $P(6 \leqslant X \leqslant 10) \approx 0,609$.
\end{enumerate}

\medskip
\item 

\begin{enumerate}
\item On approche la loi de $X$ par la loi normale de même espérance $\mu=np=200 \times 0,035=7$ et de même écart-type $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200 \times 0,035 \times 0,965}\approx 2,599$.
\item On considère une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale d'espérance 7  et d'écart type 2,6.

Alors $P(5,5 \leqslant Y \leqslant 10,5)\approx 0,629$ ce qui signifie que la probabilité qu'entre 6 et 10 verres soient défectueux est $0,629$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Loi exponentielle.}

\medskip
On s'intéresse au standard téléphonique de l'usine.

On considère $T$ la variable aléatoire qui, à chaque appel au standard, associe le temps d'attente, en minutes.

On admet que $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'espérance de la variable aléatoire $T$ est $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,2}=5$, le temps d'attente moyen est 5 minutes.

\medskip
\item On considère un appel au standard, choisi au hasard.

La probabilité que le temps d'attente correspondant à cet appel soit compris
entre 2 et 4 minutes est

$P(2 < T<4)=P(T<4)-P(T<2)=1- \text{e}^{-0,2 \times 4} - \left( 1- \text{e}^{-0,2 \times 2} \right)=\text{e}^{-0,4} -\text{e}^{-0,8}\approx 0,221$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D - Estimation}

\medskip
L'usine souhaite estimer la proportion $p$ de clients satisfaits d'un nouveau verre.

Sur un échantillon de 100 clients choisis au hasard, 80 d'entre eux ont déclaré être satisfaits.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Une estimation ponctuelle de la proportion $p$ est  $f=\dfrac{80}{100}=0,8$.

\medskip
\item Une estimation de $p$ par un intervalle de confiance avec le coefficient 
de confiance 90 \,\% est

$\left[ f -1,65 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}};f +1,65 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right] = \left[ 0,8 -1,65 \sqrt{\dfrac{0,8 \times 0,2}{100}};0,8 +1,65 \sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{100}} \right] = [0,734~;~0,866]$.  

\item $1,65 \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant 0,03 \iff \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant \dfrac{0,03}{1,65} \iff \dfrac{0,16}{n} \leqslant \left(\dfrac{3}{165}\right)^2   \iff \dfrac{n}{0,16} \geqslant 55^2$

$\phantom{1,65 \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant 0,03} \iff n \geqslant 0,16 \times 3025 \iff n \geqslant 484$,

ce qui signifie que pour avoir un IC de rayon inférieur à $0,03$ il faudrait calculer l'IC à partir d'un échantillon d'au moins 484 verres, à condition que l'estimation ponctuelle reste la même.

\end{enumerate}

\end{document}