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%Tapuscrit : Ronan Charpentier
%Relecture Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize BTS corrigé}
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{15 mai 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]15 mai 2023}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A - Etude d'une série statistique.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points $(t~;~N)$ n'a pas une allure rectiligne donc un ajustement affine de $N$ en $t$ n'est pas pertinent.

\medskip

\item 

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation de la série $(t~;~z)$ est $- 0,989$.
\item Cette corrélation est proche de $-1$ donc un ajustement affine de $z$ en $t$ est pertinent.
\end{enumerate}

\medskip
\item L'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ est $z = - 0,80t + 4,83$.


\medskip
\item $z = at + b \iff \ln(415 - N)= at+b \iff 415 - N=\text{e}^{at+b} \iff - N= \text{e}^{at} \text{e}^b -415 \iff N = 415 - 125 \text{e}^{-0,8 t}$ avec $\text{e}^b=\text{e}^{4,83}\approx 125$.

\medskip

\item En 2023, $t=6$ et $N=415-125 \text{e}^{-0,8 \times 6} \approx 414$ montures vendues.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle $(E_0) \: : \: 5y'+4y=0$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-\dfrac45 t}$ où $k \in \mathbb{R}$ est une constante.

\medskip
\item La fonction constante $g$ est définie par $g(t)=c$, donc $g'(t) = 0$.

Alors $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ quand $5 g'(t)+ 4g(t) = \np{1660}$ donc lorsque $5 \times 0 +4c = \np{1660}$ d'où $c=\dfrac{\np{1660}}{4}=415$, ainsi $g(t) = 415$.

\medskip
\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-\dfrac45 t} + 415$.

\medskip

\item $f(0)=290$ donc $k \text{e}^{-\dfrac45 \times 0}+ 415 = 290$ soit $k = 290 - 415= - 125$ et $f(t)= -125\text{e}^{-\dfrac45 t}+ 415$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude d'une fonction.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le logiciel de calcul formel, $\displaystyle \lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = 415$ donc la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=415$ comme asymptote en $+ \infty$.

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le nombre de montures vendues va se stabiliser à 415 à long terme.

\medskip
\item D'après le logiciel de calcul formel, $f'(t) = 100 \text{e}^{-\dfrac45 t}$ or $\text{e}^{-\dfrac45 t}>0$ donc $f'(t)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\medskip
\item La situation correcte est la situation 2.

\medskip

\textit{Le développement limité $f(t)=290+100t-40t^2+t^2 \varepsilon(t)$ donné par le logiciel de géométrie dynamique permet d'affirmer que $T \::\:y=290+100t$ et que la courbe de $f$ est en-dessous de sa tangente au voisinage de zéro puisque $- 40t^2 < 0$.}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D - Étude d'une suite.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lors de l'année 2018 on a $u_1= 0,9 u_0 + 500 = 0,9 \times \np{3000} +500 = \np{3200}$ clients.

\medskip
\item Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}- \np{5000} =0,9 u_n + 500 - \np{5000} =0,9 u_n - \np{4500} =0,9 (u_n - \np{5000})= 0,9v_n$

donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$.

\medskip
\item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9 et $v_0=u_0- \np{5000} = \np{3000} - \np{5000} = -\np{2000}$ donc pour tout entier naturel $n$, on a $v_n =\np{- 2000} \times 0,9^n$.
\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - \np{5000}$ donc $u_n = v_n + \np{5000} = \np{-2000} \times 0,9^n + \np{5000}$ soit $u_n = \np{5000} - \np{2000}\times 0,9^n$.

\medskip
\item Le nombre de clients lors de l'année 2023 est $u_6 = \np{5000} - \np{2000} \times 0,9^6 \approx \np{3937}$.

\medskip

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
\texttt{n}$\leftarrow$\texttt{0}  \\
\texttt{u}$\leftarrow$\texttt{3000} \\
\texttt{Tant que u}$\leqslant$\texttt{4000} \\
\hspace{1cm}\texttt{n}$\leftarrow$\texttt{n+1} \\
\hspace{1cm}\texttt{u}$\leftarrow$\texttt{0,9*u+500} \\
\texttt{Fin Tant que}\\\hline 
\end{tabular}
\end{center}

La valeur de la variable $n$ après l'exécution de l'algorithme est \texttt{n=7} si \texttt{n} est initialisé à zéro (et \texttt{n=8} si \texttt{n} est initialisé à un).

Cela signifie que le nombre de clients dépassera \np{4000} pour \texttt{n}$\geqslant$\texttt{7} donc à partir de l'année 2024.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a recopié et complété l'arbre :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(3,2)node[right]{$F_1$};
\draw(1.5,1.1)node[above]{$0,3$};
\draw(0,0)--(3,0)node[right]{$F_2$};
\draw(1.5,0)node[above]{$0,6$};
\draw(0,0)--(3,-2)node[right]{$F_3$};
\draw(1.5,-1.1)node[below]{$0,1$};
\draw(4,2)--(7,2.5)node[right]{$D$};
\draw(5.5,2.25)node[above]{$0,03$};
\draw(4,2)--(7,1.5)node[right]{$\overline{D}$};
\draw(5.5,1.75)node[below]{$0,97$};
\draw(4,0)--(7,0.5)node[right]{$D$};
\draw(5.5,0.25)node[above]{$0,04$};
\draw(4,0)--(7,-0.5)node[right]{$\overline{D}$};
\draw(5.5,-0.25)node[below]{$0,96$};
\draw(4,-2)--(7,-1.5)node[right]{$D$};
\draw(5.5,-1.75)node[above]{$0,02$};
\draw(4,-2)--(7,-2.5)node[right]{$\overline{D}$};
\draw(5.5,-2.25)node[below]{$0,98$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip
\item $P(F_1 \cap D)= P\left(F_1\right)P_{F_1}(D)=0,3 \times 0,03 = 0,009$.
\item La probabilité que le verre semi-fini soit défectueux est 

$P(D)= P\left(F_1 \cap D\right) + P\left(F_2 \cap D\right) + P\left(F_3 \cap D\right) = 0,009 + 0,6\times 0,04 + 0,1\times 0,02 = 0,035$.

\medskip
\item On sait que le verre semi-fini est défectueux.

La probabilité qu'il provienne du premier fournisseur est $P_D\left(F_1\right) = \dfrac{P\left(D \cap F_1\right)}{P(D)}=\dfrac{0,009}{0,035}\approx 0,257$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Loi binomiale et loi normale.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,035$.

\item $P(6 \leqslant X \leqslant 10)= P(X \leqslant 10)- P(X \leqslant 5) \approx 0,905- 0,296 = 0,609$.
\end{enumerate}

\medskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On approche la loi de $X$ par une loi normale de même espérance $\mu=np=200\times 0,035=7$ et de même écart type $\sigma=\sqrt{np(1 - p)}=\sqrt{\rule{0pt}{8pt}200 \times 0,035 \times 0,965}\approx 2,599$.
		\item Si la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance 7 
et d'écart type 2,6,

alors $P(5,5 \leqslant Y \leqslant 10,5) \approx 0,629$,

ce qui signifie que la probabilité qu'il y ait entre 6 et 10 verres défectueux est 0,629 avec l'approximation de la loi binomiale par une loi normale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Loi exponentielle.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'espérance de $T$ est $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,2}= 5$.

Cela signifie que le temps d'attente moyen est de 5 minutes.

\medskip
\item On considère un appel au standard, choisi au hasard.

La probabilité que le temps d'attente correspondant à cet appel soit compris
entre 2 et 4 minutes est

$P(2 < T <4)=P(T< 4)- P(T < 2) = 1 - \text{e}^{-0,2 \times 4} - \left(1-\text{e}^{-0,2 \times 2} \right) = \text{e}^{-0,4}- \text{e}^{- 0,8}\approx 0,221$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D - Estimation}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une estimation ponctuelle de la proportion $p$ est $f=\dfrac{80}{100}= 0,8$.

\medskip

\item Une estimation de $p$ par un intervalle de confiance avec le coefficient 
de confiance 90 \,\% est

$\left[ f -1,65 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}};f +1,65 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right]=\left[ 0,8 -1,65 \sqrt{\dfrac{0,8 \times 0,2}{100}};0,8 +1,65 \sqrt{\dfrac{0,8 \times 0,2}{100}} \right] \approx [0,734~;~0,866]$.
\item $1,65 \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant 0,03 \iff \sqrt{\dfrac{0,16}{n}} \leqslant \dfrac{0,03}{1,65} \iff \dfrac{0,16}{n} \leqslant \left(\dfrac{1}{55}\right)^2 \iff \dfrac{n}{0,16} \geqslant 55^2$

$\phantom{1,65 \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant 0,03} \iff n \geqslant 55^2 \times 0,16 \iff n \geqslant 484$.

ce qui signifie que pour avoir un intervalle de confiance à $90$~\,\% avec une marge d'erreur d'au plus 3 points, on doit prendre un échantillon d'au moins $484$~clients (en supposant que la fréquence reste égale à 0,8).
\end{enumerate}
\end{document}